Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Ayuda: Escribir, primero, la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ como una potencia ( de base $x$ ) con exponente fraccionario; a continuación, en esta expresión algebraica en forma de potencia, sustituir $x$ por el valor dado de dicha variable, y, a partir de la expresión numérica que se obtiene, usar la calculadora para encontrar el valor numérico pedido. Finalmente, hacer la aproximación.}
Resolución:
$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}=4^{2/3} \underset{(1)}{\approx} 2,5$
(1) utilizando la calculadora científica ( " 4 ^ 2 / 3 = " ) y aproximando la cantidad que aparece en pantalla por redondeo simétrico hasta las décimas
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sábado, 22 de febrero de 2014
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:
$\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro
$\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro
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Resolver la siguiente ecuación: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación:
$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
Resolución:
Multiplicando cada miembro de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes ( que es igual a $12$ ), podemos escribir la siguiente ecuación equivalente:
$$12\cdot \dfrac{x}{2}-12\cdot \dfrac{5}{6}=12\cdot\dfrac{1}{12}-12\cdot\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
y simplificando, queda
$$6\,x-10=1-8\,(x-1)$$
es decir
$$6\,x-10=1-8\,x+8$$
y agrupando términos semjantes
$$6\,x+8\,x=1+8+10$$
con lo cual
$$14\,x=19$$
luego
$$x=\dfrac{19}{14}$$
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Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Enunciado:
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Resolución:
Sean $x$ ( número de pintores ), $y$ ( área a pintar ) y $z$ ( tiempo empleado ), las magnitudes que intervienen en este problema de proporcionalidad compuesta. Es evidente que $x$ e $y$ están en proporción directa, mientras que $y$ y $z$ están en proporción inversa, luego, podemos escribir la proporción compuesta de la forma:
$$\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2} \quad \quad (1)$$
y siendo:
$x_1=4$ pintores
$x_2=3$ pintores
$y_1=32\,\text{m}^2$
$y_2=15\,\text{m}^2$
$z_1=90\,\text{min}$
$z_2$ ( incógnita del problema )
con lo cual, despejando la incógnita de (1):
$$z_2=z_1 \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot \dfrac{x_1}{x_2}$$
o, si se prefiere, poniendo directamente los datos en (1):
$$\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{33}{15}=\dfrac{90}{z_2}$$
y despejando la incógnita,
$$z_2=90\cdot \dfrac{15}{32}\cdot \dfrac{4}{3}$$
obteniendo
$$z_2=\dfrac{225}{4}=56\,\text{min}\,15\,\text{s}$$
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Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Enunciado:
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Resolución:
$P(3)=3^3-3^2+3-1=27-9+3-1=18+3-1=21-1=20$
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El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Enunciado:
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Resolución:
Un polinomio es primo si no tiene raíces en el conjunto de los números reales. Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, busquemos valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea igual a cero:
$x^2+4=0 \Leftrightarrow x^2=-4 \Leftrightarrow x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$, luego el polinomio dado no tiene raíces, luego es un polinomio primo.
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Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos: $$2\,x^3-8\,x^2$$
Enunciado:
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos:
$$2\,x^3-8\,x^2$$
Resolución:
Teniendo en cuenta que $\text{m.c.d}(2,8)=2$ y que $x^3=x^2\,x$, podemos escribir:
$2\,x^3-8\,x^2=2\,x^2\,(x-4)$
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Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$
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Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
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viernes, 7 de febrero de 2014
Proporcionalidad compuesta
Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:
Caso I ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$
Caso II ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
Caso III ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$
Caso IV ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
[ Ejemplo 1 ]
$\square$