ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
martes, 19 de abril de 2016
jueves, 7 de abril de 2016
lunes, 4 de abril de 2016
Diferencia de longitud geográfica y diferencia horaria
ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=3^{\circ}\,50'\,\text{W}$ y $L_B=12^{\circ}\,40'\,\text{E}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando en $A$ son las $13:10:20$ horas ?.
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
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SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
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Hallar la capacidad de una caja de embalaje que tiene forma de ...
ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $2$, $3$ y $4$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
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a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
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Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...
ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
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a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
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Homotecias: razón de las áreas y razón de los perímetros ...
ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un cuadrado de $4\,\text{cm}^2$ de área, con un factor de ampliación del $150\,\%$ ( razón de homotecia igual a $1,5$ ). Se pide:
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
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a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
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Construir el giro de un segmento ...
ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(-1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(4,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\square$
Hallar la altura del árbol a partir de la sombra del mismo y de la sombra de otro árbol ...
ENUNCIADO. Dos árboles están plantados ( perpendicularmente al suelo ) en un claro del bosque cuyo suelo es horizontal. El pequeño mide $4$ metros y del más alto desconocemos su altura. En un cierto momento del día ( que es soleado ) medimos las longitudes de las sombras: la que da el pequeño es de $5$ metros, y la que da el más alto es de $15$ metros. Calcular la altura del árbol más alto.
SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
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SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
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