Per què no n'hi ha prou amb un sol paràmetre de posició, com ara la mitjana aritmètica, i fa falta també fer ús, si més no, de la moda i de la mediana ?

Enunciat:
Per què no n'hi ha prou amb un sol paràmetre de posició, com ara la mitjana aritmètica i, sovint, fa falta fer ús dels altres dos paràmetres de posició ( la moda i la mediana ) ?.

Solució:
Si una distribució de valors d'una variable $X$ té un nombre significatiu de valors extrems la mitjana aritmètica no aporta la informació de conjunt suficient; per això, cal tenir en compte també el valor més repetit ( la moda ) i el valor central de la llista de valors ordenada ( mediana ) i, a més a més, també és convenient calcular percentils ( almenys, els quartils ).
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Ejercicios resueltos y comentados del examen extraordinario de Septiembre ( temas 1-7), realizado el día 1/09/2016

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Ejercicios rutinarios de resolución de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5\,x+4=0$
b) $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$

SOLUCIÓN.

a) La ecuación pedida es polinómica de segundo grado, de coeficientes: $a=1$ ( c. del término de segundo grado ), $b=5$ ( c. del término de primer grado ) y $c=4$ ( c. del término de grado cero ). Sabemos que $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a} \quad \quad (1)$$ luego $$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{-5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$ por tanto la solución es el conjunto de números $\{-1\,,\,-4\}$

NOTA. Podemos resolver la ecuación sin necesidad de recordar la fórmula (1). En efecto, la ecuación dada puede escribirse de la forma $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+4=0$$ esto es $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$$ entonces $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$ Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro, $$x+\dfrac{5}{2}=\pm\,\dfrac{3}{2}$$ y despejando la incógnita $$x=-\dfrac{5}{2} \pm \,\dfrac{3}{2}=\dfrac{-5 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$

OBSERVACIÓN. Ahora que conocemos la solución de la ecuación $x^2+5\,x+4=0$, sabemos cuáles son las raíces del polinomio $x^2+5\,x+4$, pudiendo escribir este polinomio como producto de los factores polinómicos de primer grado $x-(-1)$ y $x-(-4)$, es decir, $x^2+5\,x+4=(x-(-1))\cdot (x-(-4))$

b)
Como los coeficientes de los términos de la ecuación pedida, $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$, son fraccionarios, procedemos a transformar la ecuación pedida en una ecuación equivalente ( pero más sencilla, con coeficientes enteros ) multiplicando ambos miembros de la igualdad por $\text{mcm}(3,15,9)=45$

  $45\cdot \dfrac{x}{3}-45 \cdot \dfrac{1-x}{15}=45 \cdot \dfrac{x+1}{9}$

    $15\,x-3\,(1-x)=5\,(x+1)$

      $15\,x-3+3\,x=5\,x+5$

        $15\,x+3\,x-5\,x=5+3$

          $13\,x=8$

            $x=\dfrac{8}{13}$

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Un ejercicio de estadística descriptiva

ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:

Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ) y de los otros dos curtiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes.

SOLUCIÓN.

Diagrama de tallo y hojas:

Tabla de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de amplitud igual $10$

Diagrama de caja y bigotes:

NOTA: Agrupando los valores en intervalos de amplitud $10$ y a partir del histograma de frecuencias se obtiene el valor aproximado de la moda, que es igual a $34$. Mediante el histograma de frecuencias acumuladas se obtienen los valores aproximados de los cuartiles, que son los que figuran en el diagrama de caja y bigotes.
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Planteando y resolviendo ecuaciones

ENUNCIADO. Plantear mediante el álgebra, resolver y comprobar:
a) El resultado de sumar tres unidades a un número entero, y, a continuación, multiplicar el resultado por cuatro, es igual a $16$. ¿ Cuál es ese número ?.
b) El resultado de aplicar un descuento del $6\,\%$ a una cierta cantidad es igual $42$ euros. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.

SOLUCIÓN.
a) Sea $x$ el número pedido. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir $$4\,(x+3)=16$$ esto es $$4x+12=16$$ luego $$4x=4$$ y por tanto $$x=1$$

b) Denotemos por $x$ la cantidad pedida. Según el enunciado podemos escribir la siguiente proporción $$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{42}$$ es decir $$\dfrac{100}{94}=\dfrac{x}{42}$$ y despejando $$x=42 \cdot \dfrac{100}{94} \approx 44,68 \;\text{euros}$$
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

ENUNCIADO. Resolver los siguientes problemas de geometría:
a) Calcular el área de la región del plano comprendida entre una circunferencia de $4$ decímetros de radio y el contorno de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
b) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide $3$ decímetros, y la hipotenusa mide $5$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho triángulo.

SOLUCIÓN
a)
La figura muestra el cuadrado y la circunferencia que lo circunscribe

El área coloreada es igual al área del círculo menos el área del cuadrado, esto es, $$A=\pi\cdot 4^2 - \ell^2$$ es decir $$A=16\,\pi - \ell^2\quad \quad (1)$$ Vemos pues que debemos calcular $\ell$ para poder obtener el área pedida; para ello, fijémonos en el triángulo rectángulo isósceles ( catetos con líneas discontinuas ): por el teorema de Pitágoras $$x^2+x^2=4^2$$ luego $$2\,x^2=16$$ y por tanto $$x^2=8$$ extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros $$x=\sqrt{8}$$ Ahora bien, $$\ell=2\,x$$ y por tanto $$\ell=2\,\sqrt{8}\,\text{dm}$$ Finalmente, sustituyendo en (1), $$A=16\,\pi-(2\,\sqrt{8})^2=16\,\pi-4\cdot 8=16\,\pi-32\approx 18\; \text{dm}^2$$

b)
El área del triángulo de la figura es $$A=\dfrac{3\,x}{2}\quad \quad (2)$$ y el perímetro es $$P=5+3+x \quad \quad (3)$$ Necesitamos por tanto calcular el valor de $x$. Observando la figura

vemos que, por el teorema de Pitágoras, $$5^2=3^2+x^2$$ luego $$x^2=5^2-3^2$$ y por tanto $$x^2=16$$ Extrayendo la raíz cuadrada $$x=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$$
Finalmente, sustituyendo el valor encontrado en (1) y en (2), se obtiene: $$A=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6\,\text{dm}^2$$ y $$P=5+3+4=12\,\text{dm}$$
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Dados dos puntos del plano, determínese la ecuación de la recta que pasa por ellos

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,4)$ y $B(2,3)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Determinar el valor de los coeficientes $m$ y $k$
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $0$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $0$

SOLUCIÓN.
a)
La gráfica de la función lineal dada es la siguiente recta

b)
Las coordenadas de los puntos dados deberán satisfacer la ecuación de la función pedida $$\begin{matrix}A:&4&=&m\cdot 1&+&k \\ B:&3&=&m\cdot 2&+&k\end{matrix}$$ luego para determinar los coeficientes $m$ y $k$ resolveremos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ 2\,m&+&k&=&3 \end{matrix}\right.$$ Procedemos a resolverlo por reducción. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por dos, pasamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ &-&k&=&-5 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación obtenida vemos que $$k=5$$ y sustituyendo este valor en la primera encontramos $$m+5=4$$ y por tanto $$m=-1$$

OBSERVACIÓN. Sustituyendo estos resultados en la expresión de la función lineal afín $f(x)=m\,x+k$, vemos que ésta se escribe ( en nuestro caso ) de la forma $f(x)=-x+5$. También podemos decir que la ecuación de la recta en forma explícita es, pues, $$y=-x+5$$

c)
La ordenada pedida es la ordenada en el origen $f(0)$. Sustituyendo $x$ por $0$ en la ecuación encontrada, obtenemos $$f(0)=-0+5=5$$ Esto significa que la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,5)$

d)
Se nos pide que calculemos la raíz de la función $f(x)=-x+5$, para ello igualamos a cero el primer miembro y resolvemos la ecuación $$0=-x+5$$ de donde $x=5$. Quiere decir ésto que la recta corta al eje de abscisas en el punto de coordenadas $(5,0)$

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Translació d'un punt en el pla

Amb l'ajut d'un vector podem expressar la translació d'un punt P al llarg d'una recta, a una determinada distància d'un punt de partida i en un determinat sentit: Una translació d'un punt P portarà aquest a una nova posició P'. Per exemple, prendrem el punt P(-1,2) i el portarem al llarg de, per exemple: dues divisions de l'eix horitzontal cap a la dreta, i 4 divisions de l'eix vertical cap amunt. El resultat és el punt P'(1,6) Aquests nombres que caracteritzen el desplaçament s'anomenen components de la translació la qual podem descriure mitjançant el que anomenarem un vector de translació que representarem de la forma $\vec{d}=(d_x,d_y)$. Concretament, a tall d'exemple, considerem el vector $\vec{d}=(2,4)$, amb el qual, adès, hem fet la translació del punt P(-1,2) al punt P'(1,6). Notem, tot seguit, quelcom interessant: Observem que les coordenades del punt P' (P traslladat) corresponen a la suma de d'abscissa/ordenada i primera/segona component; l'abscissa del punt P' és igual a -1+2; i l'ordenada, pren el valor 2+4, cosa que - recordem-ho- representem així: P'(1,6). Remarquem el fet que es compleix que l'abscissa de P' és igual a la suma de l'abscissa de P i del primer component ($d_x=2$) de $\vec{d}$, i que l'ordenada de P' és igual a la suma de l'ordenada de P i del segon component ($d_y=4$) de $\vec{d}$.

Un exercici de moviments en el pla