miércoles, 28 de junio de 2017
Exámenes realizados durante el curso, resueltos y comentados
Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].
lunes, 26 de junio de 2017
Cálculo de la capacidad de un depósito en forma de tronco de cono
ENUNCIADO. Calcular la capacidad ( en litros ) de un depósito que tiene forma de tronco de cono. Sabiendo que el radio de la base mayor es de $3$ metros; el radio de la base menor es de $2$ metros, y la distancia perpendicular entre ambas bases de de $1$ metro.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo
ENUNCIADO. Considerar el siguiente triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $3$ decímetros y uno de los segmentos en que ésta queda dividida al trazar la altura (que pasa por el vértice opuesto a la misma) tiene una longitud de $1$ decímetro. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
Error absoluto y error relativo en una aproximación dada
ENUNCIADO. Se ha aproximado el número $4235$ por $4200$. Se pide:
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método gráfico
ENUNCIADO. Resolver de forma gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&=&1 \\ x&+&y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
Resolviendo un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y comprobar el resultados obtenido: $$\left\{\begin{matrix}2\,x&-&5\,y&=&3 \\ 3\,x&+&2\,y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
Un ejercicio de estadística básica
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
domingo, 18 de junio de 2017
Homotecias en el plano. El pantógrafo.
El pantógrafo es un mecanismo articulado que sirve para copiar la forma de un objeto, aumentando o disminuyendo su tamaño. El siguiente vídeo muestra la realización de un pantógrafo con GeoGebra. Para experimentar con la construcción del pantógrafo, podéis seguir [ este enlace ]:
domingo, 11 de junio de 2017
Un ejercicio de estadística descriptivo de una variable con valores no agrupados en intervalos
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
X f F
--- --- ---
1 2 2
2 10 12
3 20 32
4 12 44
5 1 45
---
N=45
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
domingo, 4 de junio de 2017
Estadística descriptiva. Histogramas con intervalos de distinta amplitud
ENUNCIADO. En la recogida de datos de un estudio estadístico de una cierta característica ( variable ) $X$, agrupando los valores en intervalos se ha obtenido lo siguiente:
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
$\square$
intervalo frecuencia --------- ---------- [10,30) 10 [30,40) 20 [40,45) 15 [45,60) 30 [60,70) 8
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
intervalo amplitud frecuencia altura --------- ---------- ---------- -------------- [10,30) 20 10 10/(20·0,5)=1 [30,40) 10 20 20/(10·0,5)=4 [40,45) 5 15 15/(5·0,5)=6 [45,60) 15 30 30/(15·0,5)=4 [60,70) 10 8 8/(10·0,5)=1,6
$\square$
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