$\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8$

Vamos a calcular $m$ (número entero positivo) tal que $\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8=2^m$

  $\left( \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8}}} \right)^8=$
    $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^2\cdot 8}}} \right)^8$
      $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^{2+1}}}} \right)^8$
        $=\left( \sqrt{8\sqrt{\sqrt{8^{3}}}} \right)^8$
          $=\left( \sqrt{8\sqrt[4]{8^{3}}} \right)^8$
            $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^4\cdot 8^{3}}} \right)^8$
              $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^{4+3}}} \right)^8$
                $=\left( \sqrt{\sqrt[4]{8^{7}}} \right)^8$
                  $=\left( \sqrt[8]{8^{7}} \right)^8$
                    $=8^{7}$
                      $=(2^3)^{7}$
                        $=2^{7\cdot 3}$
                          $=2^{21} \therefore m=21$
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Una manera de desarrollar una potencia de exponente $6$ y base $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se quiere determinar el valor de los números enteros $a$ y $b$ tales que $$\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}=a+b\,\sqrt{5}$$

Denotemos $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Entonces,
  $2x-1=\sqrt{5}$
    $(2x-1)^2=(\sqrt{5})^2$
      $4x^2-4x+1=5$
        $4x^2-4x-4=0$
          $\dfrac{4\,x^2}{4}-\dfrac{4x}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{0}{4}$
              $x^2=x+1 \quad (1)$
La cantidad pedida, $\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{6}$, es por tanto,
  $x^{6}$
    $=(x^2)^3$, y por $(1)$ podemos escribirlo como
      $(x+1)^3=$
        $=(x+1)^2\cdot (x+1)$
          $=(x^2+2x+1)\cdot (x+1)$
            $\overset{(1)}{=}((x+1)+2x+1)\cdot (x+1)$
              $=(3x+2)\cdot (x+1)$
                $=3x^2+2x+3x+2$
                  $=3x^2+5x+2$
                    $\overset{(1)}{=}3\,(x+1)+5x+2$
                      $=3x+3+5x+2$
                        $=8x+5$
                          $=8\cdot \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right) +5$
                            $=4\cdot \left( 1+\sqrt{5} \right) +5$
                              $=4+ 4\,\sqrt{5} +5$
                                $=9+ 4\,\sqrt{5} \therefore a=9;\,b=4$
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Un problema de proporcionalidad compuesta

En un mismo barrio, se sabe que $10$ carteros reparten $100$ cartas en $2$ horas. Si sólo se dispone de $5$ carteros, ¿en cuánto tiempo repartiran $75$ cartas?

En este problema de proporcionalidad intervienen tres magnitudes: el tiempo de reparto, el número de carteros, y el número de cartas a repartir. Es por tanto, un problema de proporcionalidad compuesta. Como a más número de cartas mayor será el tiempo de reparto, la relación entre el tiempo de reparto y el número de cartas a repartir es inversa; y, por otra parte, cuántos más carteros estén disponibles, menor será el tiempo de reparto, con lo que la relación entre el tiempo de reparto y el número de carteros es inversa.

Denotemos por $t$ el valor del tiempo que se pide, y ordenemos los datos en la siguiente tabla:

  |---------------------------------------------------------------|
  |número de cartas | número de carteros  | tiempo de reparto (h) |
  |---------------------------------------------------------------|
  |     100         |        10           |          2            |
  |---------------------------------------------------------------|
  |      75         |         5           |         ¿t?           |
  |---------------------------------------------------------------|

Entonces, teniendo que una de las relaciones de proporcionalidad con el tiempo es directa y la otra es inversa: $$\dfrac{t}{2}=\dfrac{75}{100}\cdot \left( \dfrac{5}{10}\right)^{-1}$$ esto es $$\dfrac{t}{2}=\dfrac{75}{100}\cdot \dfrac{10}{5}$$ y despejando $t$, resulta $$t=\dfrac{2\cdot 75 \cdot 10}{100\cdot 5}=3\,\text{h}$$ $\diamond$

Acerca de la deducción de las fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado

¿De dónde sale el $\pm$ delante de la raíz cuadrada al despejar la incógnita elevada al cuadrado en una ecuación del tipo $x^2=k$ (siendo, desde luego, $k$ un número real no negativo)?

Vamos a resolver la ecuación y enseguida entenderemos el por qué:
  $x^2=k$
    $x^2-k=0$
      $x^2-(\sqrt{k})^2=0$
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$, por la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Entonces,
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=\sqrt{k}\\ x+\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.\quad (1)$

--- Nota: Hay que tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no negativo tiene como imagen (por consenso) un número no negativo (si bien es cierto que el cuadrado del opuesto de tal número (que es negativo) también es igual a dicho cuadrado. --- Pues bien, para expresar el resultado de $(2)$ de manera escueta podemos escribir que $$x=\pm\sqrt{k}$$

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Comentario: Esto nos lleva a entender perfectamente la razón por la cual aparece ese $\pm$ en la famosa fórmula de las ecuaciones de segundo grado completas, $a\,x^2+b\,x+c=0$, siendo los coeficientes $a$, $b$ y $c$ distintos de cero, esto es, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$. Lo explico a continuación, deduciendo dicha fórmula, paso a paso:
  $a\,x^2+b\,x+c=0$
    $\dfrac{1}{a}\,(a\,x^2+b\,x+c)+\dfrac{1}{a}\cdot 0$
      $\dfrac{1}{a}\cdot a\,x^2+\dfrac{1}{a}\cdot b\,x+\dfrac{1}{a}\cdot c=0$
        $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$
          $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$, donde hemos tenido en cuenta la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$
            $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}\right)=0$
              $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)^2=0$
                $\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)=0 \Leftrightarrow$
                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = -\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$
esto es, $$x+\dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}$$ y por tanto,
  $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=$
    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{(2\,a)^2}-\dfrac{c}{a}}$
      $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
        $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
          $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a}{4\,a} \cdot \dfrac{c}{a}}$
            $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a\,c}{4\,a^2}}$
              $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4\,a\,c}{4\,a^2}}$
                $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{4\,a^2}}$
                  $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{(2\,a)^2}}$
                    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
                      $=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

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Expresión de una cantidad en notación científica

Se nos pide expresar la cantidad $980,4\times 10^5$ en notación científica (normalizada). ¿Cuál es su orden de magnituda? ¿Cuántas cifras significativas tiene dicha cantidad?

Para que la cantidad esté normalizada (en notación científica) debe escribirse de la forma $m \times 10^e$, donde $m$ (que se denomina mantisa es un número decimal que, en valor absoluto, ha de ser mayor o igual que $1$ y menor que $10$; y, por otra parte, $e$ (que se denomina orden de magnitud) es un número entero (positivo, negativo o bien cero) y nos da una idea del 'tamaño' de la cantidad. Por tanto:
  $980,4\times 10^5=\dfrac{980,4}{100}\times (10^5\cdot 100)=9,804\times (10^5\cdot 10^2)=9,804\times 10{5+2}=9,804\times 10^7$

Escribir así dicha cantidad tiene sus ventajas: (1) es fácil saber cuántas cifras significativas tiene, pues es el número de cifras de la mantisa, $m=9,804$, que, en este caso son $4$ (la cifra de la parte entera más las tres cifras de la parte decimal); (2) por otra parte, el orden de magnitud lo da el valor $e$, que en este caso es $e=7$, el cual suele expresarse de la forma $\sim 10^7$, y esto significa que, además de las $3$ cifras decimales de la mantisa, al multiplicar por un '1' seguido de siete ceros, podríamos también escribir la cantidad pedida de la forma $98\,040\,000$; (3) podemos expresar números muy grandes o muy pequeños, sin que nos arriesguemos a dejarnos algún cero, facilitando así la comprensión de la lectura de las cantidades; y (4), esta forma de escribirlo se brinda a realizar fácilmente cálculos con otras cantidades (también expresadas en el mismo formato) para poder estimar rápidamente el orden de magnitud de lo que resulte de dichas operaciones. $\diamond$

Una sencilla cuestión sobre múltiplos

Sin hacer la división euclídea, se nos pide que demos una explicación a lo siguiente: ¿por qué $21$ no es múltiplo de $6$?

Como $6=2\cdot 3$, resulta que $6$ es múltiplo de $2$ y de $3$. Entonces, para que $21$ sea múltiplo de $6$, ha de ser divisible por $3$ (que lo es), pero, también ha de ser divisible por $2$, que no lo es, pues $21$ es un número impar, luego ésta una razón por la cual podemos afirmar que $21$ no es múltiplo de $6$. $\diamond$

Una racionalización seguida, finalmente, de una aproximación decimal

Una aproximación de $\sqrt{6}$ con dos $3$ cifras significativas es $2,45$. Sin utilizar la calculadora, se nos pide que calculemos el valor aproximado, con $3$ cifras significativas, de $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

Primero, racionalicemos la expresión:
  $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$
    $=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $
      $=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})} $
        $=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} $, donde, en el denominador, hemos empleado la identidad $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
          $=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\,\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$, desarrolando el cuadrado del binomio del numerador mediante la identidad $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
            $=\dfrac{3+2\,\sqrt{3\cdot 2}+2}{3-2}$               $=\dfrac{3+2\,\sqrt{6}+2}{1}$                 $=3+2\,\sqrt{6}+2$, que es el resultado exacto; y, sustituyendo la aproximación sugerida para $\sqrt{6}$, se obtiene:
                  $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \approx 3+2\cdot 2,45+2=9,90$ (con las tres cifras significativas pedidas). Nota: en el caso que nos ocupa, el '0' que corresponde a la segunda cifra de la parte decimal, también es una cifra significativa. $\diamond$

Un cálculo con radicales que no es posible realizar directamente con una calculadora científica básica

Calcúlese $$\sqrt[5]{\sqrt[4]{\sqrt[3]{10^{120}}}}$$

  $\sqrt[5]{\sqrt[4]{\sqrt[3]{10^{120}}}}=\sqrt[5\cdot 4 \cdot 3]{10^{120}}=\sqrt[60]{10^{120}}=10^{\frac{120}{60}}=10^{2}=100$

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¡Cuidado al emplear ciertas técnicas en la resolución de determinadas ecuaciones algebraicas!

En este artículo quiero comentar algo que muchos alumnos acostumbran a hacer (no siempre correctamente) y que puede conducir a resolver mal cierto tipo de ecuaciones como es la siguiente $$x^2=(x-1)^2$$ Veamos de que se trata:

Primero, voy a resolver la ecuación de dos maneras, digamos, seguras. Observemos que la ecuación equivalente $x^2-(x-1)^2=0 \quad (1)$ es, en realidad, una ecuación de grado $1$, ya que al expandir el binomio al cuadrado del segundo término del primer miembro vemos que se anulan los términos de grado $2$: $x^2-(x^2-2x+1)=0$, esto es $x^2-x^2+2x-1=0$ y por tanto nos queda $2x-1=0$, cuya solución es, evidentemente, $x=\dfrac{1}{2}$. Basta con sustituir este valor en la ecuación planteada para comprobar que, efectivamente, este valor que acabo de encontrar es solución de dicha ecuación:
  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2\overset{?}{=}0$
    $\dfrac{1^2}{2^2}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
      $\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
        $\dfrac{1}{4}-(-1)^2\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\overset{?}{=}0$
          El primer miembro es pues $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$, que es igual al cero del segundo miembro.

También podemos hacer lo siguiente a partir de $(1)$: $(x-(x-1))(x+(x-1))=0$, donde he empleado la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, con lo cual la ecuación simplificada es $(x-x+1)(x+x-1)=0$, esto es, $1\cdot (2x-1)=0$ y, de ahí, $x=\dfrac{1}{2}$

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Y, ahora, paso a hablar de lo que deberíamos evitar, empleado de manera irreflexiva, y por tanto incorrectamente, la siguiente técnica:
  $x^2=(x-1)^2$
    $\sqrt{x^2}=\sqrt{(x-1)^2} \quad (2)$
      $x=x-1$
        $x-x=-1$
          $0=-1$ (!!!), lo cual nos llevaría a la falsa conclusión de que la ecuación es incompatible. ¿Qué es pues lo que estamos haciendo mal? Es claro que la ecuación es compatible y que su solución es $\dfrac{1}{2}$. Pues bien, lo que ocurre aquí es que estamos saltándonos un paso previo y necesario a la aplicación de $(2)$, y es, ni más ni menos, que la simplificación de los términos de segundo grado, que se anulan; la ecuación polinómica pedida no es por tanto de segundo grado, sino de primer grado. El no darnos cuenta de ésto es la razón por la cual, la extracción de la raíz cuadrada en sendos miembros (paso $(2)$) no tiene, aquí, ningún sentido; por eso, obtenemos la contradicción que podría llevarnos a cometer el error reseñado y llevarnos interpretar erróneamente la ecuación como una ecuación incompatible. $\diamond$