ENUNCIADO
En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada, cuya área es de $50 \, \text{dm}^2$, observamos una hoja de sauce flotando que, movida por la corriente, se desplaza a razón de $10 \, \text{m}$ cada $5 \, \text{s}$. ¿Que caudal de agua lleva el canal? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenar una balsa de riego, inicialmente vacía, que tiene una capacidad de $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$?
SOLUCIÓN
En un intervalo de $5 \, \text{s}$, podemos considerar un elemento de volumen de agua ( que transporta el canal ), en forma de prisma recto, cuya base cuadrada tiene un área de $50 \, \text{dm}^2$, y cuya arista longitudinal ( en la dirección de la corriente ) mida $10 \, \text{m}$, esto es, $100 \, \text{dm}$; entonces el volumen de dicho elemento es de $50 \cdot 100 = 5000 \, \text{dm}^3$, por tanto, el caudal pedido es de $\dfrac{5000 \, \text{dm}^3}{5 \, \text{s}}$, es decir, $10^3 \, \dfrac{\text{dm}^3}{s}$
Teniendo en cuenta que $1 \, \text{dm}^3$ de volumen equivale a $1 \, \text{L}$ de capacidad, el canal aporta $10^3 \, \dfrac{\text{L}}{s}$, y como la capacidad de la balsa de riego es $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$, se necesitan $$\dfrac{5 \cdot 10 ^6}{10^3} \, \dfrac{\text{L}}{\text{L}/\text{s}} = 5000 \, \text{s}$$ para llenarla, que, expresado en forma compleja, es igual a $$3 \, \text{h} \; 28 \, \text{min} \; 20 \, \text{s}$$.
$\square$
viernes, 19 de junio de 2015
jueves, 11 de junio de 2015
El lado más largo de un rectángulo mide ...
Enunciat:
El costat més llarg d'un rectangle fa dos metres més que el més curt. Sabem que el perímetre d'aquest rectangle mesura $16 \, \text{dm}$. Quant val l'àrea del rectangle?
Resolució:
Si anomenem $x$i $y$ a les longituds dels costats desiguals del rectangle, i considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} 2x+2y = 16 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$
simplificant la primea equació el podem escriure de forma més senzilla
$\left.\begin{matrix} x+y = 8 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable
$y+2+y=8$
que equival a
$2y=8-2$
és a dir
$2y=6$
d'on trobem que
$y=3 \, \text{dm}$
i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=8-3$
és a dir
$x=5 \, \text{dm}$
Ara ja podem calcular l'àrea del rectangle, multiplicant les longituds dels dos costats
$A=5 \cdot 3 = 15 \, \text{dm}^2$
$\square$
miércoles, 10 de junio de 2015
Diversos ejercicios de proporcionalidad ...
1. Hem comprat un article que estava rebaixat en un 6%. Si hem pagat 32,00 € (I.V.A. inclòs), quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte?
Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar si, en proporció, ens descompten sis euros de cada cent que valgui un cert article
$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{32,00}$
aïllant la incòngita, trobem
$x=\dfrac{32,00 \cdot 100}{94}$
i, aproximant el càlcul (per arrodoniment) fins els cèntims d'euro, trobem la quantitat que haurem de pagar: 34,04 €
$\square$
2. El preu nominal d'un article és de 30,50 € . Ens fan un desc ompte del 6%; per altra banda, cal pagar l'impost de l'I.V.A. del 18% . Quant ens costarà ?
Resoldrem el problema en dos passos: cal calcular quant pagarem amb l'I.V.A. afegit a la dada del problema; a continuació, partint d'aquest resultat, calcularem la quantitat que resultat d'aplicar-li el descompte. Val a dir que l'ordre d'aquests passos es pot invertir, atès que el resultat - com ja s'ha explicat a classe - és el mateix.
Anomenem $x$ al resultat d'afegir l'I.V.A. al preu nominal (que ens donen a l'enunciat) i plantegem la proporció
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{30,50}$
aïllant la incòngita, trobem
$x=\dfrac{30,50 \cdot 118}{100}$
resultat parcial que és igual a 35,99 €
Tot seguit, mirem quant quedaria amb el descompte; per això, anomenem $y$ a la quantitat que estem cercant i plantegem la proporció corresponent
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{y}{35,99}$
aïllant la incògnita, trobem
$y=\dfrac{35,99 \cdot 94}{100}$
que, aproximant per arrodoniment als centèsims, és igual a 33,83 €
$\square$
3. Una persona va a la feina a peu; tarda 20 min si camina a una velocitat, constant, de 4 km/h . Quant de temps tardaria caminés a una velocitat, constant, de 5 km/h ?
Observem que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre la velocitat i el temps emprat, ja que si s'augmenta la velocitat és clar que el temps emprat en fer el recorregut haurà de ser més petit.
Anomenant $t$ al temps que tardarà a fer el recorregut si camina a una velocitat de 5 km/h, plantegem la següent proporció inversa:
$\dfrac{20}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
i, d'aquí, aïllant $t$, trobem
$t=20 \cdot \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}$
i, fent el càlcul, trobem
$t=\dfrac{20 \cdot 4}{5} = 16 \; \text{min}$
$\square$
4. Si obrim una aixeta A, un dipòsit s'omple en 3 h ; per altra banda, si l'omplim obrint una aixeta B, s'omple en 2 h . Amb quant de temps l'omplirem amb les dues aixetes obertes alhora ?.
Raonem de la manera següent:
Aixeta A oberta (i B tancada):
Si omple tot el dipòsit en 3 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{3} \, \text{part}$
Aixeta B oberta (i A tancada):
Si omple tot el dipòsit en 2 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{2} \, \text{part}$
Aixetes A i B obertes alhora:
Si en una mateixa hora, omplen
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
és a dir,
$\dfrac{5}{6} \, \text{parts}$
llavors, tot el dipòsit s'omplirà en un temps $t$ que calcularem tot seguit plantejant la següent proporció:
$\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{t}{\dfrac{6}{6}}$
d'on trobem que
$t=\dfrac{6}{5}=1,2 \; \text{h}$
resultat que, expressat en forma complexa, queda
1 h i 12 min
$\square$
5. Un article que hem comprat ens ha costat 45,00 € (amb un I.V.A. del 18% inclòs). Quant hauríem pagat si l'I.V.A. fos del 0% ?
El que se'ns demana en aquest problema és el preu nominal de l'article, que anomenarem $x$; per calcular-lo, plantegem la proporció
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$
aïllant la incògnita trobem
$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118}$
i aproximant per arrodoniment als centèsims (als cèntims d'euro) queda 38,14 €
$\square$
6. El cost d'un article que comprem cada final d'any augmenta d'un 1,5% cada any, en relació al que valia l'any anterior. Enguany ens ha costat 52,00 € . Quant valia l'any passat ?.
Anomenem $x$ a la quantitat que vam haver de pagar l'any passat (la incògnita del problema) i plantegem la següent proporció:
$\dfrac{100}{100+1,5}=\dfrac{x}{52,00}$
d'aquí, aïllant $x$, arribem al resultat
$x=\dfrac{52,00 \cdot 100}{101,5}$
que, aproximat als centèsims, queda 51,23 €
$\square$
7. Volem repartir un incentiu econòmic de 100,00 € entre dues persones que treballen en una empresa de recaders, de forma proporcional al nombre d'encàrrecs que cada una ha realitzat: A n'ha fet vint-i-sis; i B, dotze. Calculeu quina quantitat correspon a cada treballador.
Primer de tot, cal que entenguem que - essent justos - cal fer un repartiment directament proporcional al nombre d'encàrrecs que cada treballador ha realitzat; per això, plantejarem la següent proporció:
$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}$
on $a$ representa la quantitat que percebrà el treballador A; i b, la quantitat que correspon a B
Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que
$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{a+b}{26+12}$
Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 100,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a
$\dfrac{100}{26+12}$
que, simplificada, queda
$k=\dfrac{50}{19}$
[El valor de $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]
Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{26}=k$
tenim que
$a=26 \cdot k$
és a dir
$a=26 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 68,42 \, \text{euros}$
i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{12}=k$
per tant
$b=12 \cdot k$
és a dir
$b=12 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 31,58 \, \text{euros}$
Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 100,00 € i, la més gran, correspon a qui ha repartit més encàrrecs, tal com ha de ser.
$\square$
8. Dos esportistes es volen repartir un premi de 200,00 €, de forma propormacional al temps que cadascú ha trigat en completar la cursa: A l'ha acabat en 2 h i 45 min; i B, en 2 h i 35 min. Calculeu la quantitat que ha de percebre cadascú.
Primer de tot, cal que entenguem que cal fer un repartiment inversament proporcional a les marques de temps respectives; per això, plantejarem la següent proporció:
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}$
On $a$ representa la quantitat que percebrà l'esportista A; i b, la quantitat que correspon a B. Val a dir que hem posat les marques de temps en forma incomplexa, expressant-les en minuts.
Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=\dfrac{a+b}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$
Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 200,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a
$\dfrac{200}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$
que és igual a
$k=15984,375$
[El valor de la constant de proporcionalitat $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]
Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{165} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{165} \cdot 15984,375 \approx 96,88 \, \text{euros}$
i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{155} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{155} \cdot 15984,375 \approx 103,1\underline{2} \, \text{euros}$
Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 200,00 € i, la més gran, correspon a qui ha trigat menys en completar la cursa.
$\square$
El producto de dos números pares consecutivos es igua a ...
Enunciat:
El producte de dos nombres parells consecutius és igual a 224. Determineu aquest nombres.
Resolució:
Si anomenem $n$ a un dels dos nombres, a l'altre li haurem de dir $n+2$
i d'acord amb l'enunciat, plantejarem la següent equació
$n \, (n+2)=224$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant en un mateix membre de la igualtat, i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació anterior de la forma
$n^2+2n-224=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$an^2+bn+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=2$
$c=-224$
tenim
$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -16\\ \\14\\ \end{matrix}\right.$
Per tant, trobem dos parells de nombres com a solució del problema (una parella de nombres negatius) i una altra de nombres positius:
si $n=-16$, llavors $m=-14$ (que és el nombre parell consecutiu a $-16$)
si $n=14$, llavors $m=16$ (que és el nombre parell consecutiu a $14$)
$\square$
domingo, 7 de junio de 2015
viernes, 5 de junio de 2015
Ejercicios de proporcionalidad ...
1. El preu d'un producte és de 38,75 € . Afegint l'I.V.A. del 18%, quant ens costarà quan el comprem?
Anomenem $x$ a la quantitat que ens costarà. Llavors, pensant amb el significat del tant per cent, s'ha de complir la següent proporció
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{38,75}$
per tant
$x=\dfrac{38,75 \cdot 118}{100}$
que, aproximant als cèntims d'euro (per arrodoniment), és igual a
$45,73 \, \text{euros}$
$\square$
2. Quin tant per cent correspon a:
a) trenta unitats, d'un total de trenta-cinc
b) tres dècimes, d'un total de quatre unitats
c) vint unitats d'un total de mil cinc-cents
Anomenant $t$ al tant per cent demanat, plantegem i resolem les següents proporcions:
a)
$\dfrac{30}{35}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{35} \approx 85,7 \,\%$
b)
$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4} = 7,5 \,\%$
c)
$\dfrac{20}{1500}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1500} \approx 1,3 \,\%$
$\square$
3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagat 25,30 € . Quant hauríem pagat sense el descompte ?
Designarem amb la lletra $x$ la quantitat a determinar (la quantitat de diners que hauríem de pagar si no ens fessin el descompte) i plategem la següent proporció (interpretant correctament el significat del tant per cent de descompte)
$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{25,30}$
d'aquí aïllem la incògnita i obtenim
$x=\dfrac{25,30 \cdot 100}{94} \approx 26,91 \, \text{euros}$
$\square$
4. Si ens fan un descompte del 7% per la compra d'un article que té un preu de 42,34 €, quant pagarem ?
Anomenem $x$ a la quantitat a pagar i escrivim el plantejament (la proporció corresponet a la interpretació del tant per cent de descompte)
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{42,34}$
llavors
$x=\dfrac{93 \cdot 42,34}{100} \approx 39,38 \, \text{euros}$
$\square$
5. L'import de la factura de compra d'un determinat article (amb un I.V.A. del 18% inclòs) és de 110,50 € . Quin és el preu de l'article sense l'I.V.A. ?
Si $x$ és el preu demanat ( la quantitat que ens costaria si no s'hagués de pagar un impost del 18% d'I.V.A. ) podem plantejar la següent proporció, a partir del significat el tant per cent de recàrrec
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{110,50}$
d'aquí
$x=\dfrac{110,50 \cdot 100}{118} \approx 93,64 \, \text{euros}$
$\square$
6. Volem comprar un objecte que té un preu de 76,12 € . Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 9% (és temps de rebaixes), però, per altra banda, cal no oblidar que haurem de pagar l'impost de l'I.V.A. (un 18% més del que val el producte). Quina quantitat haurem de pagar ?
Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte
$\dfrac{100-9}{100}=\dfrac{x}{76,12} $
d'on traiem que
$x=\dfrac{76,12 \cdot 91}{100} = 69,2692 \, \text{euros}$
Aquest resultat parcial (per això es mostren totes les seves xifres decimals) cal fer-lo servir per acabar el problema; ara, falta per calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{69,2692} $
d'aquí
$y=\dfrac{69,2692 \cdot 118}{100}$
que, aproximant per arrodoniment fins els cèntims d'euro, és igual a
$81,74 \, \text{euros}$
Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint, primer de tot, l'I.V.A. i, a continuació, li apliquéssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.
$\square$
Ejercicios de proporcionalidad ...
1. El preu nominal d'un article és de $12,25 \; \text{euro}$ . Si ens fan un descompte del
7%, quant pagarem ? [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]
Anomenem $x$ a la quantitat a pagar. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{12,25}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{93 \cdot 12,25}{100} \approx 11,39 \; \text{euro}$
$\square$
2. Per un article que estava rebaixat un $12$% hem pagat $44,00 \text{euro}. Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?. [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]
Anomenem $x$ a la quantitat a pagar si l'article no estigués rebaixat. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{44,00}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{44,00 \cdot 100}{88} = 50 \; \text{euro}$
$\square$
3. Un article ens costa $83,40 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja és inclòs al preu ]. Quin és el preu nominal de l'article ?.
Anomenem $x$ al preu nominal de l'article. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{83,40}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{83,40 \cdot 100}{118} \approx 70,68 \; \text{euro}$
$\square$
4. El preu nominal d'un article és de $24,50 \; \text{euro}$. Ens fan un descompte del $5$%. Per altra banda, l'I.V.A. és del $18$%. Quina quantitat haurem de pagar ?.
Cal resoldre el problema en dos passos. Aplicarem el descompte (o bé - si ho preferim - primer, l'I.V.A.) i, a la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, li aplicarem l'I.V.A. (o el descompte, si hem començat aplicant l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].
a) Anomenem $x$ a la quantitat a pagar fent el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{24,50}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{24,50 \cdot 95}{100} = 23,275$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)
b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de carregar l'I.V.A. al resultat del 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{23,275}$
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{24,50 \cdot 118}{100} = 27,46 \; \text{euro}$
$\square$
5. En unes rebaixes fan el $6$% de descompte. Hem comprat un article pel qual hem pagat $32,80 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja hi és inclòs]. Quin és el preu nominal d'aquest article ?.
Cal resoldre el problema en dos passos. Deduirem el descompte (o bé, primer, l'I.V.A.) i a continuació, de la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, en deduirem l'I.V.A. (o el descompte, si primer hem deduït l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].
a) Anomenem $x$ a la quantitat que obtenim deduint el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{32,80}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{32,80 \cdot 100}{94} = 34,8936 \dots$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)
b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de deduir l'I.V.A. del resultat obtingut al 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{34,8936 \dots}{y}$
[Recordeu que al numerador del 2n membre de la igualtat hi posem la quantitat que havíem desat
a la memòria de la calculadora]
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{(34,8936 \dots) \cdot 100}{118} \approx 29,57 \; \text{euro}$
$\square$
6. Volem repartir $100,00 \; \text{euros}$ entre tres participants a una cursa de fons, de forma inversament proporcional als temps que han tardat a arribar: el corredor $A$ ha tardat 3 h i 35 min; el corredor $B$, 3 h i 25 min; i el corredor $C$,3 h i 45 min. Quina quantitat correspon a cada participant ?.
Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.
Primer de tot, expressarem les unitats en forma incomplexa per poder fer els càlculs còmodament:
El temps de $A$: 3 h i 35 min = 215 min
El temps de $B$: 3 h i 25 min = 205 min
El temps de $C$: 3 h i 45 min = 225 min
Cal tenir en compte que la quantitat que a un corredor li pertoca és inversament proporcional al temps que ha tardat en arribar; per això, escriurem
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}$
I, per les propietats de les raons aritmètiques, s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}=\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{215}+\frac{1}{205}+\frac{1}{225}}$
L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=100,00$, trobem que és igual a $7156,323291$, quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.
Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow a=\dfrac{m}{215} \approx 33,29 \, \text{euro}$
$\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=m \Rightarrow b=\dfrac{m}{205} \approx 34,91 \, \text{euro}$
$\dfrac{c}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow c=\dfrac{m}{225} \approx 31,8\underline{0} \, \text{euro}$
Comprovació: $33,29+34,91+31,8\underline{0} = 100,00$
$\square$
7. Volem repartir $300,00 \; \text{euros}$ entre tres persones que han repartit formularis d'una enquesta, de forma directament proporcional al nombre de formularis que, cada u, hagi aportat. L'enquestador $A$ ha portat $42$ formularis; B, $25$; i $C$ n'ha portat $32$ . Quina quantitat correspon a cada enquestador ?.
Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.
Per les propietats de les raons s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{42}=\dfrac{b}{25}=\dfrac{c}{32}=\dfrac{a+b+c}{42+25+32}$
L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=300,00$, trobem que , simplificat, és igual a
$\dfrac{100}{33}$
Aquesta quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.
Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{42}=m \Rightarrow a=42\,m \approx 127,27 \, \text{euro}$
$\dfrac{b}{25}=m \Rightarrow b=25\,m \approx 75,76 \, \text{euro}$
$\dfrac{c}{32}=m \Rightarrow c=32\,m \approx 96,97 \, \text{euro}$
Comprovació: $127,27+75,76+96,97 = 300,00$
$\square$
8. Un excursionista tarda 3 h i 35 min per anar de casa seva a un refugi, caminant a una velocitat constant de $4$ km/h . Si, per fer el mateix trajecte, caminés a $5$ km/h, quant de temps tardaria ?
Tinguem en compte que les dues magnituds relacionades en aquest problema són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra. Anomenarem $t$ al temps que volem calcular, i expressarem la quantitat de temps que ens donen com a dada en forma incomplexa ( 3 h i 35 min = 215 min ).
Plantegem la proporció (inversa):
$\dfrac{215}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
Aïllant la incògnita $t$ trobem
$t=\dfrac{215 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=172 \; \text{min} $
és a dir
2 h i 52 min
$\square$
jueves, 4 de junio de 2015
Un barco navega ...
De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: Un vaixell A navega en línia recta a una velocitat constant de 4 km/h envers un altre vaixell B el qual es mou a una velocitat constant de 2 km/h en la mateixa direcció que A però en sentit oposat. En un instant de temps donat, els separa una distància de 6 km. A partir d'aquest instant, un au marina que s'havia posat a la creuta d'un pal del vaixell A emprén el vol cap a B, i de B cap a A, anant i venint de l'un a l'altre a una velocitat constant de 10 km/h. Quina distància total haurà recorregut l'au fins que es creuin els dos vaixells ?
|
miércoles, 3 de junio de 2015
Calcular la potencia sucesiva ...
ENUNCIADO
Calcular el valor de la siguiente operación con potencias $$2^{2^{3}}$$
SOLUCIÓN
$$2^{2^{3}}=2^8=256$$
$\square$
Calcular el valor de la siguiente operación con potencias $$2^{2^{3}}$$
SOLUCIÓN
$$2^{2^{3}}=2^8=256$$
$\square$
martes, 2 de junio de 2015
Ejercicios de proporcionalidad ...
1. El preu nominal d'un article es de 22,35 € (I.V.A. inclòs). Si ens fan un descompte del 5%, quant pagarem ? .
Anomenem $x$ a la quantitat a pagar; llavors, entenent el significat del tant per cent de descompte, podrem plantejar la següent proporció
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{22,35}$
d'on, aïllant la incògnita
$x=\dfrac{22,35 \cdot 95}{100}$
aproximant als centèsims
$x \approx 21,23 \, \text{euros}$
$\square$
2. Per un article que estava rebaixat en un 8% hem pagat 62,54 € (I.V.A. inclòs). Quant haur íem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?
Anomenem $x$ a la quantitat que pagaríem si no ens haguessin fet el descompte. De la interpretació del tant per cent de descompte que ens donen com a dada, podrem plantejar la
següent proporció
$\dfrac{100}{100-8}=\dfrac{x}{62,54}$
d'on, aïllant la incògnita, trobem
$x=\dfrac{62,54 \cdot 100}{92}$
$x \approx 67,98 \, \text{euros}$
$\square$
3. Un article ens costa 21,78 € (amb I.V.A. del 18% inclòs). Quin es el preu nominal de l'article ?
Si anomenem $x$ al preu nominal de l'article, d'acord amb l'enunciat s'ha de complir
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{21,78} $
d'on
$x=\dfrac{21,78 \cdot 100}{118} \approx 18,46 \, \text{euros}$
$\square$
4. El preu nominal d'un article es de 35,42 € . Ens fan un descompte del 4%, i l'I.V.A. es del 18%. Quina quantitat haurem de pagar ?
Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte
$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{35,42} $
d'on traiem que
$x=\dfrac{35,42 \cdot 96}{100} \approx 34,0032 \, \text{euros}$
Conservem totes les xifres decimals d'aquest resultat (que podem desar en una memòria de la calcladora) perquè encara ens falta un pas més: calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{34,0032} $
d'aquí
$y=\dfrac{34,00 \cdot 118}{100}$
que és igual a
$40,12 \, \text{euros}$
Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint l'I.V.A. a la dada del problema i, a continuació, d'aquesta en féssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.
$\square$
5. En unes rebaixes (7% de descompte), hem comprat un article que ens ha costat 19,10 € (I.V.A. del 18% inclòs). Quin és el preu nominal d'aquest article ?
Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem hagut de pagar si no estigués rebaixat
$\dfrac{100}{100-7}=\dfrac{x}{19,10} $
d'on traiem que
$x=\dfrac{19,10 \cdot 100}{93} \approx 20,54 \, \text{euros}$
Si, a partir d'aquest resultat, calculem el que hauríem de pagar si l'I.V.A. no s'hi hagués d'afegir
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{y}{20,54} $
d'aquí
$y=\dfrac{20,54 \cdot 100}{118}$
que és igual a
$17,41 \, \text{euros}$
Observació: Com ja 'ha comentat a l'exerici anterior, podem invertir l'ordre dels passos que hem seguit; s'obtindrà el mateix resultat.
$\square$
6.Volem repartir 90,00 € entre tres corredors de fons que han participat en una marató, de forma inversament proporcional al temps que cadascú ha trigat per completar la cursa: A ha tardat 3h 15 min; B, 3 h 45 min; i C, 3 h 25 min . Quant percebrà cadascun del tres corredors ?.
Anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C
Llavors s'ha de complir
$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$
La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica
$\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{195}+\frac{1}{225}+\frac{1}{205}}$
que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques
$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}$
$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}$
i
$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$
Com que $a+b+c=90,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = 6228,072706$
que aconsellem que deseu en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat
I, per acabar, fem
$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=k$
i, per tant
$a = \dfrac{k}{195}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 31,94 \, \text{euros}$
$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=k$
i, per tant
$b = \dfrac{k}{225}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,68 \, \text{euros}$
$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}=k$
i, per tant
$c = \dfrac{k}{205}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 30,38 \, \text{euros}$
A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui tarda més temps li correspon menys premi (tal com ha de ser).
$\square$
7.Volem repartir 150,00 € entre tres persones que han col·laborat a repartir qüestionaris d'una enquesta, de forma directament prporcional al nombre de qüestionaris que cadascú ha aportat. Una d'elles n'ha portat 12; una altra, 5; i la tercera, 10. Quant correspon a cada un dels tres enquestadors ?.
Com en el problema anterior, anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C. En aquest cas, però, la relació de proporcionalitat és directa
Llavors s'ha de complir
$\dfrac{a}{12}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{10}$
La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica
$\dfrac{a+b+c}{12+5+10}$
que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques
$\dfrac{a}{12}$
$\dfrac{b}{5}$
i
$\dfrac{c}{10}$
Com que $a+b+c=150,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = \dfrac{50}{9}$
que haurieu de desar en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat
I, per acabar, fem
$\dfrac{a}{12}=k$
i, per tant
$a = 12 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 66,67 \, \text{euros}$
$\dfrac{b}{5}=k$
i, per tant
$b = 5 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,78 \, \text{euros}$
$\dfrac{c}{10}=k$
i, per tant
$c = 10 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 55,5\underline{5} \, \text{euros}$
A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui porti més qüestionaris (a qui faci més feina) més li haurà de correspondre (de forma justa i lògica).
$\square$
8. Un excursionista tarda 1 h 15 min a fer el cam entre dos refugis, caminant a una velocitat constant de 5 km/h . Si la velocitat fos de 3 km/h, amb quant de temps faria el recorregut ?
Donada la relació de proporcionalitat inversa que hi ha entre la velocitat i la longitud del trajecte recorregut en un mateix interval de temps, podem plantejar la següent proporció
$\dfrac{75}{\frac{1}{5}}=\dfrac{t}{\frac{1}{3}}$
expressió, on $t$ expressa la quantitat de temps que trigarà a fer el recorregut a la nova velocitat.
Per comoditat, hem expressat el tems en minuts; malgrat la velocitat vingui donada en quilòmetres per hora, no cal convertir a unitats homogènies perquè el factor de conversió figuraria en tots dos membres de la igualtat i, per tant, es simplificaria.
Aïllant $t$ trobem
$t=\dfrac{75 \cdot 5}{3}$
que és igual a 125 min; és a dir, 2 h i 5 min .
$\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)