martes, 14 de junio de 2016
El problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Dejamos depositados $500$ euros, a un interés ( compuesto ) del $1\,\%$ anual, durante $10$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ?
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
Resolviendo ecuaciones ...
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
Elaboración de un diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO.
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Estadística descriptiva
ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Ejercicio con una función cuadrática
ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
domingo, 12 de junio de 2016
jueves, 9 de junio de 2016
Diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y el de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:\par
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
Un ejercicio sobre funciones cuadráticas
ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:
Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
Un ejercicio sobre funciones lineales afines
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)