Un cierto depósito de gas, de forma esférica, tiene $5\,\text{m}$ de radio. ¿ Cuál es su capacidad ( en litros ) ?.

Enunciado:
Un cierto depósito de gas, de forma esférica, tiene $5\,\text{m}$ de radio. ¿Cuál es su capacidad ( en litros )?

Resolución:
El volumen de una esfera es $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$, luego el volumen de dicho depósito es $\dfrac{4}{3}\pi 5^3 \approx 523,599 \,\text{m}^3=523599 \, \text{dm}^3$, y, por tanto, su capacidad es de $523599 \, \text{L}$
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[nota del autor]

Hállese el volumen y el área lateral de un cilindro recto de $3\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.

Enunciado:
Hállese el volumen y el área lateral de un cilindro recto de $3\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.

Resolución:
En un cilindro recta, la generatriz es igual a la altura, por tanto $V=\pi\,r^2\,h=\pi\,2^2\cdot 3\,\text{dm}^3=12\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 38\,\text{dm}^3$, y el área lateral, $A_{lat}=2\,\pi\,r\,h=12\,\pi\,\text{dm}^2\approx 38\,\text{dm}^2$
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[nota del autor]

El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide: a) el volumen del cubo b) el área del desarrollo plano c) la longitud de la diagonal de una de sus caras d) la longitud de la diagonal del cubo

Enunciado:
El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide:
    a) el volumen del cubo
    b) el área del desarrollo plano
    c) la longitud de la diagonal de una de sus caras
    d) la longitud de la diagonal del cubo

Resolución:

(a) Volumen del cubo:
Denotando por $a$ la arista del cubo, $V=a^3$. Para calcular $a$, tenemos en cuenta la información del enunciado ( conocemos el valor del área de una cara), por tanto $4=a^2$, luego $a=2\,\text{dm}$, con lo cual $V=2^3 = 8 \, \text{dm}^3$

(b) Área del desarrollo plano del cubo:
El área de una de las caras es $4\,\text{dm}^2$ ( enunciado ), y, por tanto, el área de las seis caras iguales de las que consta el cubo es $6 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^2$

(c) Longitud de la diagonal de las caras del cubo:
Denotando por $x$ la diagonal de una cara y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal en una de las caras, podemos escribir: $x^2=2^2+2^2$   (1), es decir, $x^2=2\cdot 2^2$, luego $x=\sqrt{2\cdot 2^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2^2}=2\,\sqrt{2}\, \text{dm} \approx 2,8\, \text{dm}$

(d) Longitud de la diagonal del cubo:
Denotamos por $d$ la diagonal del cubo, entonces aplicando, otra vez, el Teorema de Pitágoras, ahora, al triángulo rectángulo que se eleva sobre la base y cuyos catetos son $x$ (apartado anterior) y la arista $a=2$, tenemos $d^2=x^2+2^2$   (2); sustituyendo (1) en (2) llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, y, de aquí, $d=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\,\sqrt{3} \approx 3,5 \,\text{dm}$

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[nota del autor]

Considerar el triángulo rectángulo ...

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $PB=2 \,\text{cm}$ y $PA=10\,\text{cm}$, calcúlese el área y el perímetro del triángulo.

Resolución:

(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$

(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$   (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$

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[nota del autor]

Los vértices de un triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ son los puntos del plano $A(0,1)$, $B(0,2)$ y $C(-1,2)$. Construir la traslación de dicho triángulo según el vector de traslación $\vec{t}=(3,3)$ y decir cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante $\triangle{\{A',B',C'\}}$.

Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ son los puntos del plano $A(0,1)$, $B(0,2)$ y $C(-1,2)$. Construir la traslación de dicho triángulo según el vector de traslación $\vec{t}=(3,3)$ y decir cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante $\triangle{\{A',B',C'\}}$.

Resolución:
(a) Cálculo algebraico de las coordenadas de los vértices del triángulo $\triangle{\{A',B',C'\}}$ resultante de la traslación:
$x_{A'}=x_{A}+t_{x}=0+3=3$
$y_{A'}=y_{A}+t_{y}=1+3=4$
por tanto las coordenadas de $A'$ son $(3,4)$

$x_{B'}=x_{B}+t_{x}=0+3=3$
$y_{B'}=y_{B}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $B'$ son $(3,5)$

$x_{C'}=x_{C}+t_{x}=-1+3=2$
$y_{C'}=y_{C}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $C'$ son $(2,5)$

(b) Representación gráfica ( construcción con regla y compás ) de la traslación:

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[nota del autor]

Calcular el volumen y el área lateral de un cono de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.

Enunciado:
Calcular el volumen y el área lateral de un cono recto, de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.

Resolución:
(a) Volumen del cono
Calculamos el volumen con la fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$   (1) ( donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura del cono ), sin embargo no se dos da directamente el valor de la altura sino el de la generatriz; calculamos el valor de la altura mediante el Teorema de Pitágoras, pues se forma un triángulo rectángulo de catetos $r$ y $h$ e hipotenusa $g$ ( generatriz ) al cortar el cono por un plano diametral perpendicular a la base y que pasa por el vértice, por lo que $h=\sqrt{g^2-r^2}$, esto es, $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Finalmente, sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos el volumen pedido: $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 9^2\cdot40=1080\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 3393\, \text{dm}^3$

(b) Área lateral del cono
Tal como ha sido justificado en otros ejercicios, el área lateral del desarrollo plano de un cono es $A_{lat}=\pi\,r\,g$, y sustituyendo los datos obtenemos $A_{lat}=\pi\cdot 9 \cdot 41 = 369\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 1159 \, \text{dm}^3$

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[nota del autor]

A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.

Enunciado:
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.

Resolución:
Podemos calcular el área del triángulo de la forma $A=\dfrac{12\,b}{2}=6\,b$   (1), donde el valor de $b$ no se nos da directamente; sin embargo, por el Teorema de Pitágoras sabemos que $b^2+12^2=13^2$, luego $b^2=13^2-12^2$, es decir, $b^2=169-144=25 \Rightarrow b=\sqrt{25}=5\,\text{cm}$, con lo cual, de (1), $A=6\cdot 5=30\,\text{cm}^2$
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[nota del autor]

Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,2,3,5,1,3,2,4,1,4,5,2,6,3,4,3,4,2,5,6,5,2,7,3,2,4,3,4,2,5,3\}$

Enunciado:
Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$
Se pide:
a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias
b) Representar el diagrama de frecuencias del recuento ( podéis dibujar el polígono de frecuencias o bien el diagrama de barras )
c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas
d) Hallar la moda
e) Hallar la mediana
f) Hallar la media aritmética $\bar{x}$
g) Hallar el rango
h) Calcular la varianza, la desviación típica o estándar, y el coeficiente de variación de Pearson


Resolución:

( apartados: (a)-(g) )

(h)
La varianza ( mide la dispersión ) se define como el promedio de las desviaciones al cuadrado, es decir
$\displaystyle s^2=\dfrac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{5}\,(x_i-\bar{x})^2\,f_i$, donde $n=21$ es el número de valores de la variable estadística
es decir
$s^2=\dfrac{1}{21}\big((1-2'8)^2\cdot 3+(2-2'8)^2\cdot 6+(3-2'8)^2\cdot 7+$
      $+(4-2'8)^2\cdot 3+(5-2'8)^2\cdot 1+(6-2'8)^2\cdot 1\big)\approx 1'6$

La desviación estandár ( mide la dispersión ) se define como la raíz cuadrada de la varianza y sus dimensiones son las de la característica en estudio:
$s=\sqrt{s^2} \approx \sqrt{1'6} = 1'3$

El coeficiente de variación de Pearson ( mide la dispersión relativa a la media):
$\text{CVP}=\dfrac{s}{\bar{x}}\approx \dfrac{1'3}{2'8} = 0'46 = 46\,\%$

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[nota del autor]

Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

Enunciado:
Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[ Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]

b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos dos puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos tres puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.

Resolución:

(a)
Procedemos a dibujar el diagrama de árbol, y, haciendo uso de la regla de Laplace, anotamos la probabilidad correspondiente a cada suceso elemental encima de la arista a dicho suceso ( cuidado: al extraer la primera bola, queda una bola menos en la urna, y, en particular, una bola menos del color que aparece ):

Así, pues, por los principios de multiplicación y de suma ( ver el cálculo que acompaña al diagrama de árbol ), la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a $\dfrac{5}{11}$.

Nota: La probabilidad de obtener bolas de distinto color es, por la propiedad del contrario, igual a $1-$probabilidad de obtener bolas del mismo color, esto es, $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$.

(b)
El valor esperado de la ganancia de puntos se calcula sumando el producto de cada ganancia de cada evento resultante ( obtener bolas del mismo color y obtener bolas de colores distintos ) multiplicada por probabilidad correspondiente, por tanto $E=(+2)\cdot \dfrac{5}{11}+(-3)\cdot {6}{11})=-\dfrac{8}{11}$, valor éste que, al ser negativo, nos lleva a rechazar una proposición de juego como la descrita.

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[nota del autor]

Considérense dos poliedros semejantes. La razón de semejanza ( el factor d'escala ) es $2$. El volumem del poliedro menor es igual a $4\,\text{m}^3$. ¿ Cuál es el volumne del mayor ?

Enunciado:
Considérense dos poliedros semejantes, esto es, uno es una fiel reproducción del otro, pero de tamaño distinto. Si el factor de escala ( lineal ) es $2$ y el volumen del poliedro menor (1) es igual a $4\,\text{m}^3$, ¿ cuál es el volumen del poliedro mayor (2) ?

Resolución:
Si el factor de escala ( lineal ), es $r$, entonces la razón aritmética entre los volúmenes es $r^3$
esto es
    $\dfrac{\mathcal{V}_{2}}{\mathcal{V}_{1}}=r^3$
luego
    $\mathcal{V}_{2}=2^3\cdot 4 =32 \, \text{m}^3$
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[nota del autor]