Media proporcional

ENUNCIADO. Calcúlese la media proporcional de $8$ y $2$

SOLUCIÓN. $$\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x^2=2\cdot 8 \Rightarrow x = |\sqrt{16}|=4$$
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Aumentos y descuentos en el precio de un artículo

ENUNCIADO. Un vendedor de electrodomésticos aumenta el precio de un frigorífico, que es de 200 euros, en un 20%, la semana anterior a la semana de rebajas, en la que hará un descuento de un 20% sobre el precio de todos los productos. ¿ Cuánto costará dicha nevera en la semana de rebajas ?

SOLUCIÓN.
Al aumentar un 20% el precio de venta del frigorífico, éste costará $200\cdot \dfrac{100+20}{100}$ -- multiplicando el precio nominal por el índice de variación que corresponde al aumento -- justo antes de que empiecen las rebajas. Y, durante las rebajas, al aplicar el descuento del 20%, costará $\left(200\cdot \dfrac{100+20}{100}\right) \cdot \dfrac{100-20}{100}$, esto es, $192$ euros, donde se ha multiplicado la cantidad calculada al hacer el descuento por el índice de variación (correspondiente al descuento).

-oOo-
Nota. Como se puede ver con toda claridad, es un error el pensar que pueden restarse los porcentajes de aumento y descuento, y plantear la situación como si no se hiciese ni el uno ni el otro. Al aplicar pues varios descuentos/recargos hay que hacerlo de manera encadenada, multiplicando la cantidad nominal por todos y cada uno de los índices de variación.
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Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?

ENUNCIADO. Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?


SOLUCIÓN.
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de piezas producidadas, tiemplo empleado ( en minutos ), y número de máquinas

+ ================================================================+
   | tiempo ( min )    | número de máquinas      | número de piezas  | 
   + ================================================================+
   |         10        |           10            |         10       |
   +-----------------------------------------------------------------+
   |         t         |            1            |          1        |
   + ================================================================+

La relación entre el número de máquinas y el tiempo empleado es inversa ( cuántos más máquinas, menos tiempo se tarda en producir un cierto número de piezas ) y la relación entre el número de piezas fabricado y el tiempo empleado es directa ( a más piezas fabricadas más tiempo se necesitará para fabricarlas ), entonces:
$$\dfrac{t}{10}=\dfrac{1/1}{1/10}\cdot \dfrac{1}{10} \Rightarrow t=10\cdot \dfrac{10}{10}\,\text{minutos}=10\,\text{minutos}$$
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Ejercicios resueltos del examen de los temas 3 y 4 ( sucesiones y proporcionalidad )

Transimisión del movimiento de giro entre dos ruendas dentadas

ENUNCIADO. Se consideran dos ruedas dentadas, A y B, que están engranadas. La rueda A tiene 40 dientes y da 12 vueltas cada 5/2 minutos. ¿Cuántas vueltas da la rueda B en 7 minutos, teniendo ésta 60 dientes?

SOLUCIÓN.
I)
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de vueltas, tiemplo empleado ( en minutos ), número de dientes

| ================================================================
   | número de vueltas | tiempo empleado ( min ) | número de dientes | 
===| ================================================================
A  |         12        |           5/2           |         40        |
---|-----------------------------------------------------------------
B  |         n         |            7            |         60        |
===| ================================================================

La relación entre el número de dientes y el número de vueltas es inversa ( cuántos más dientes, menos vueltas da ) y la relación entre el tiempo empleado y el número de vueltas es directa ( cuánto más tiempo esté girando más vueltas da ), entonces:
$\dfrac{n}{12}=\dfrac{7}{5/2}\cdot \dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow n=\dfrac{12 \cdot 2\cdot 7 \cdot 40}{5 \cdot 60}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-II)
Otra manera de plantear el problema consiste en establecer una proporción simple entre el número de dientes y la velocidad de giro ( vueltas/minuto ), la cual es inversa, pues a mayor número de dientes, menos velocidad de giro. La velocidad de giro de la rueda A es $\dfrac{12}{5/2}$ vueltas/minuto, y, la de B, $\dfrac{n}{7}$ vueltas/minuto. Así:

| ====================================================
   | número de dientes | velocidad de giro ( vueltas/min)|  
===| ====================================================
A  |         40        |           12/(5/2)              |
---|------------------------------------------------------
B  |         60         |            n/7                 |
===| =====================================================

Así, al ser dicha relación inversa, escribiremos:
$\dfrac{n/7}{12/(5/2)}=\dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow \dfrac{5n}{12\cdot 2 \cdot 7}=\dfrac{40}{60} \Rightarrow n=\dfrac{2\cdot 12\cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-
NOTA: La razón entre la velocidad de giro de la rueda a la que se transmite el movimiento y la velocidad de giro de la rueda motriz, $\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}$, se denomina relación de transmisión. Y teniendo en cuenta que, por la proporción inversa que liga la magnitud velocidad de giro con la magnitud número de dientes, podemos escribir: $$\text{relación de transmisión}=\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}=\dfrac{z_{\text{motriz}}}{z_\text{trnsmitida}}$$, que, en el problema que nos ocupa, tiene el siguiente valor:
relación de transmisión=$\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$, lo cual puede indicarse también de la forma: $$\text{relación de transmisión}=2:3$$ lo cual quiere decir que por cada $3$ vueltas que da la rueda motriz, la rueda transmitida da $2$ vueltas.
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Sueldo bruto y sueldo neto

ENUNCIADO. Calcúlese el valor del sueldo bruto de una trabajadora sabiendo que tras retenerle el 7% en concepto de IRPF ( Impuesto sobre la Renta para las Personas Físicas ) percibe una cantidad neta de $1\,300$ euros.

SOLUCIÓN. Denotaremos por $x$ el sueldo neto y teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el sueldo bruto y el sueldo neto

=============================
cantidad neta | cantidad bruta 
==============================
1\,300        | x 
------------------------------
100-7=93      | 100 
==============================

Entonces,
$$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1\,300}{97}\Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1\,300}{93}\approx 1\,397,85\,\text{euros}$$
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Otro ejercicio sobre el uso de factores de conversión

Un ejercicio sobre factores de conversión. ¿ A cuántos años luz equivale 1 pársec ?

Cálculos con datos afectados de error. Caso de una multiplicación. Intervalo de error del resultado.

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Acerca de la tasa de variación y del índice de variación

Bien es sabido que la tasa de variación de una magnitud que cambia su valor de $x_i$ a $x_f$, en tanto por unidad, se define como $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}$$ que también puede expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por cien: $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}\cdot 100\,\%$$

Dicho ésto, recordemos que el llamado índice de variación se define de la siguiente manera: $$\text{IV}=\dfrac{|x_f|}{|x_i|}\cdot 100$$ Así, vemos que la relación que liga la tasa de variación con el índice de variación es $$\text{IV}=100\pm\,\text{TV}$$
donde, en el segundo miembro, sumaremos si la variación corresponde a un incremento, y restaremos si ésta corresponde a un decremento.

EJEMPLO. El coste actual de un servicio de transporte ha aumentado un $1,5\,\%$ en relación al año anterior. Se pide:
a) El valor del índice de variación
b) Si el coste actual es de $1,25$ euros, ¿ cuál fue el coste del servicio en el año anterior al actual ?

SOLUCIÓN.
Por lo dicho anteriormente, $0,015=\dfrac{1,25-x_i}{x_i} \Rightarrow 0,015\,x_i=1,25-x_i \Rightarrow 1,015\,x_i=$
  $=1,25 \Rightarrow x_i=\dfrac{1,25}{1,015}\approx 1,23$ euros ( aproximando al céntimo )
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Adecuación del resultado de un cálculo al número de cifras significativas que corresponda, según la precisión de los datos ( afectados de error )

ENUNCIADO. Se han medido las tres aristas, $a,b$ y $c$, de un prisma recto de base rectangular, obteniéndose:
  $a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
  $b\approx \bar{b}=252,6\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (3 c.s.), 1 de las cuales es de la parte decimal (1 c.d.s.)
  $c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)
Calcula el área del desarrollo plano de dicho cuerpo geométrico, adecuando el resultado al número razonable de cifras significativas conforme a la precisión de los datos

SOLUCIÓN.

Nota preliminar:

Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:

i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.

ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.

-oOo-
En primer lugar, trabajaremos con unidades homogéneas, expresando las medidas obtenidas en milímetros; de esta manera, evitaremos operar con decimales:
  $a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
  $b\approx \bar{b}=2\,526\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
  $c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)

Como es bien sabido, el área del desarrollo plano es igual a $2\cdot ( \bar{a}\,\bar{b}+ \bar{a}\,\bar{c} + \bar{b}\,\bar{c})$. Sustituyendo los datos: $\mathcal{A}=2\cdot ( 1\,202\cdot 2\,525+1\,202\cdot 900 + 2\,525\cdot 900)=12\,782\,904\,\text{mm}^2 \overset{1 c.s.}{\approx} 10\,000\,000 \,\text{mm}^2$, esto es, $1\,000\,\text{cm}^2$, ya que al haber multiplicaciones en esta operación combinada, por el criterio expuesto ( ii ), limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra significativa ); por consiguiente, hemos aproximado por redondeo simétrico a 1 cifra significativa, sustituyendo las otras cifras ( que no son cifras significativas en el resultado ) por ceros.

Nota:
La cifra menos significativa de un número entero es la cifra distinta de cero, que, por su posición, tiene el menor valor, es decir, la de las unidades, la que está situada más a la derecha; así, por ejemplo, la cifra menos significativa del número $234$ es el «4», ya que es la que está más a la derecha y es distinta de cero (la cifra de las unidades en este caso); sin embargo, la cifra menos significativa del número $520$ es el «2» (la de las decenas, en este caso), por ser cero la última cifra a la derecha. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si el número es decimal el cero a la derecha de la parte decimal, de haberlo, sí que cuenta también como cifra significativa; así, por ejemplo, diremos que la cifra menos significativa del número $2,680$ es el «0» (cifra de las milésimas, en este caso).
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Números racionales. Acerca del producto de fracciones, el inverso de una fracción, y el cociente de fracciones

Consideremos un número racional $\delta = \dfrac{m}{n} \neq 0$. El inverso de $\delta$, que notaremos $\text{inverso}(\delta)$, es el número racional tal que $\delta \cdot \text{inverso}(\delta) = 1$ ya que $1$ es el neutro de la operación multiplicación o producto de números racionales, con lo cual es claro que $\text{inverso}(\delta)=\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\frac{m}{n}}=\dfrac{n}{m}$, pues el resultado de dicho producto es $1$ tan solo si $\dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{n}{m}=1$

Ejemplo de cálculo del inverso de una fracción
$\displaystyle \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{1}{\frac{5}{7}}=\dfrac{7}{5}$, ya que $\dfrac{5}{7}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=1 \Leftrightarrow \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{7}{5}$

Hablemos ahora del cociente de dos fracciones $\alpha \div \beta$ ( o lo que es lo mismo, $\dfrac{\alpha}{\beta}$ ), siendo $\alpha=\dfrac{a}{b}$ y $\beta =\dfrac{c}{d}$, donde $\beta \neq 0$ ( y por tanto, con $c \neq 0$ ). Podemos entender dicho cociente $\dfrac{\alpha}{\beta}$ como la operación combinada $\alpha \cdot \text{inverso}(\beta)$, esto es, como otra fracción de números enteros ( otra fracción o número racional ) $\gamma$, esto es $$\gamma=\displaystyle \dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplo de cálculo de un cociente de fracciones $$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{7} = \displaystyle \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{3\cdot 7}{4 \cdot 5}=\dfrac{21}{20}$$

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Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra

ENUNCIADO. Un número entero positivo de tres cifras verifica:
i) Es múltiplo de 9
ii) La cifra de las decenas es 5
iii) Si permutamos las cifras delas centenas y las unidades, el número disminuye en 297
¿ Cuál esl el producto de sus cifras ?

SOLUCIÓN.
Sean u, d y c las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas, respectivamente, que, desde luego, son números naturales. Entonces:
i) $u+d+c=9k$, siendo $k\in \mathbb{N}$
ii) $d=5$
iii) $(100c+10d+u)-(100u+10d+c)=297$


Esto no lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}u+d+c=9\,k \\ d=5 \\ c-u=3\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $d$ en las ecuaciones primera y tercera podemos escribir $$\left\{\begin{matrix}u+c=9\,k-5 \\ d=5 \\ -u+c=3\end{matrix}\right.$$ y sumándolas, obtenemos la siguiente ecuación compatible con dichas ecuaciones $$2c=9k-2$$ Descartamos los valores de $k:=0$ y $k:=1$ por proporcionar valores de $c$ que no corresponden a números naturales; así que el menor valor de $k$ coherente con la naturaleza de estos números es $k:=2$, para el cual $$c=\dfrac{9\cdot 2-2}{2}=8$$

Y sustituyendo este resultado en la tercera ecuación, determinamos el valor de las unidades $$u=c-3=8-3=5$$

Por consiguiente, el número de tres cifres del que se está hablando es $855$, luego el producto de sus cifras que se ha pedido es $8\cdot 5 \cdot 5 = 50 \cdot 5 = 200$
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Un ejercicio de aplicación del teorema del resto

ENUNCIADO. Calcúlese el resto de la siguiente división: $$(x^{42}+x^{30}+x^2+1)\div (x-1)$$

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta el teorema del resto, el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio dividendo en $x=1$. Obtenemos así el siguiente resultado: $1^{42}+1^{30}+1^{2}+1=1+1+1+1=4$
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Los teoremas de la altura y del cateto como casos de una media proporcional

En un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$ se cumple el teorema de la altura, el del cateto y el de Pitágoras. Sea $c$ la hipotenusa y denotemos por $h$ la altura sobre la misma. La intersección de la altura con la hipotenusa $c$ ( llamemos $P$ a ese punto ) divide a la hipotenusa en dos segmentos, $[P,B]$ de longitud $m$ ( proyección del cateto $a$ sobre $c$ ) y $[P,A]$, de longitud $n$ (proyección del cateto $b$ sobre $c$ ).

Los teoremas del cateto y de la altura son casos de media proporcional. En efecto, como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,P,C)$, se tiene que $\dfrac{h}{m}=\dfrac{n}{h}$, y, por tanto, $h=\sqrt{m\cdot n}$

Por otra parte ( teorema del cateto ) como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,B,C)$, podemos plantear $\dfrac{a}{m}=\dfrac{c}{a}$, y por tanto, $a^2=m\,c$; y, teniendo en cuenta que $\triangle(A,P,C) \sim \triangle(A,B,C)$, tenemos que $\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{b}$, con lo cual $b^2=n\,c$
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Aumentos porcentuales sucesivos

ENUNCIADO. Una cantidad aumenta un 25%, ¿ En qué porcentaje debe aumentar la cantidad que resulta para que se doble la cantidad inicial ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
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Disminuciones porcentuales sucesivas de una cierta cantidad

ENUNCIADO. El precio de un coche disminuye un 12% cada seis meses. Si en la actualidad vale 6000 euros, ¿ cuánto costaba hace 1 año ?

SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$

Proporción áurea en la división de un segmento en dos partes

Consideremos un segmento $[P,Q]$ y coloquemos un punto $X$ entre los extremos $P$ y $Q$. De esta manera, el segmento queda dividido en dos partes desiguales, $[P,X]$ y $[X,Y]$, y a cuyas longitudes denominaremos $a$ y $b$, respectivamente, siendo $a \succ b$. Diremos que la colocación de $X$ es tal que la división del segmento en esas dos partes cumple la proporción áurea si se cumple que $$\dfrac{a+b}{\text{máx}(a,b)}=\dfrac{\text{máx}(a,b)}{\text{mín}(a,b)}$$ que, según lo establecido aquí, es $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y que podemos escribir de la forma
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
$\square$