jueves, 23 de marzo de 2017
martes, 21 de marzo de 2017
Conos. Relaciones métricas.
ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $6$ decímetros, y generatriz igual a $10$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
Calculo de la diferencia horaria entre dos puntos de la Tierra de diferente longitud
ENUNCIADO. En un punto $A$ de la superficie de la Tierra de longitud $20^{\circ}\, 10^{'}\,\text{E}$ son las $11:15$ horas. ¿ Qué hora es ( en ese mismo instante ) en otro punto $B$ cuya longitud es $10^{\circ}\, 40^{'}\,\text{W}$ ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Triángulos rectángulos. Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto
ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
lunes, 20 de marzo de 2017
Cálculos en un prisma recto de base rectangular
ENUNCIADO. Considérese un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas de distinta longitud miden $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
Cálculo del volumen de un tronco de cono
ENUNCIADO. Considérese un depósito que tiene forma de tronco de cono, con los siguientes datos: radio de la base mayor ( circular ) igual a $2$ metros; radio de la base menor ( circular ) igual a $1$ metro, y distancia perpendicular entre las bases igual a $1$ metro. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
lunes, 6 de marzo de 2017
domingo, 5 de marzo de 2017
sábado, 4 de febrero de 2017
Una sencilla aplicación de las sucesiones aritméticas al problema del interés simple
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés simple durante $10$ años, con una tasa de interés anual del $1\,\%$. Se pide:
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
Un sencillo ejercicio sobre el problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés compuesto durante $5$ años, con una tasa de interés anual del $2\,\%$. Se pide:
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. El segundo término de una sucesión aritmética es $3$ y el cuarto término es $4$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
viernes, 3 de febrero de 2017
Un ejercicio con sucesiones geométricas
ENUNCIADO. El tercer término de una sucesión geométrica es $\dfrac{1}{2}$ y el quinto término es $\dfrac{1}{8}$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
Escribiendo términos consecutivos
ENUNCIADO. Escríbanse dos términos más de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
martes, 31 de enero de 2017
Un ejercicio sobre sucesiones geométricas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión geométrica se sabe que el valor del primer término es $\dfrac{1}{4}$ y el del quinto es $4$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
-oOo- Aquí tenéis también el texto de la solución:
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
Un ejercicio sobre sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión aritmética se sabe que el valor del primer término es $-1$ y el del séptimo es $1$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
lunes, 30 de enero de 2017
Rebotes
ENUNCIADO. Una pelota se deja caer, en vertical, desde $30$ metros de altura. Así que va rebotando en el suelo, subiendo y bajando, de manera que tras cada rebote ( en el suelo ) alcanza una altura igual a $4/5$ de la altura desde la que ha caído en la etapa anterior. Se pide:
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
lunes, 16 de enero de 2017
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
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