Un ejercicio sobre sucesiones geométricas

ENUNCIADO. De una cierta sucesión geométrica se sabe que el valor del primer término es $\dfrac{1}{4}$ y el del quinto es $4$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión

SOLUCIÓN.

-oOo-Aquí tenéis también el texto de la solución:
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$

Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$

Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$

Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:

  $a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$

  $a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$

y

  $a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$

b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:

$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$

  $=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$

    $=\dfrac{1\,048\,575}{4}$

$\square$

Un ejercicio sobre sucesiones aritméticas

ENUNCIADO. De una cierta sucesión aritmética se sabe que el valor del primer término es $-1$ y el del séptimo es $1$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión

SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$

Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$

Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$

Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:

  $a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$

  $a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$

  $a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$

  $a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$

y

  $a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$

b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.

Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:

$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$

  $=1\,550$

$\square$

Rebotes

ENUNCIADO. Una pelota se deja caer, en vertical, desde $30$ metros de altura. Así que va rebotando en el suelo, subiendo y bajando, de manera que tras cada rebote ( en el suelo ) alcanza una altura igual a $4/5$ de la altura desde la que ha caído en la etapa anterior. Se pide:
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?

SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros

b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:

    i) $30$ metros de bajada

    ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$

    iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]

Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$

$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación de los temas 1-5, realizado el viernes 13/01/2017

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )

SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).

Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.

Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$

Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$

Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano

podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.

b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$

$\square$

Comparando aproximaciones de varias cantidades según sus respectivas precisiones

ENUNCIADO. Se aproxima el número $16\,358$ por $16\,000$; y el número $1\,210$ por el número $1\,000$. Calcular el error absoluto y el error relativo de ambas aproximaciones. Decir razonadamente cuál de las dos aproximaciones es más precisa.

SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$

En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$

Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.

$\square$

Resolviendo ecuaciones polinómicas

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$

SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$

Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que

$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$

b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:

$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir

  $6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$

    $3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$

      $6-3\,x-2\,x -10=3-x$

        $6-10-3=3\,x+2\,x-x$

          $-7=4\,x$

            $x=-\dfrac{7}{4}$

$\square$

¿ Es o no es una raíz ?

ENUNCIADO. Averiguar si $x=-1$ es una raíz del polinomio $$P(x)=x^5+3x^4+4\,x^3+4\,x^2+3\,x+1$$

SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
            $=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
              $=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
                $=-1+3-4+4-3+1$
                  $=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$

Resolviendo problemas mediante el álgebra

Plantear algebraicamente el siguiente problema y resolver el sistema de ecuaciones resultante:

ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?

Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.

SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
$\square$

Fracciones

ENUNCIADO. En la primera etapa de una excursión, Marta ha recorrido dos terceras partes del trayecto y en la segunda etapa una cuarta parte del resto. Para terminar la excursión aún le faltan $5$ kilómetros. ¿ Cuál es la longitud total del trayecto ?.

SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$