Ejercicios resueltos de los temas 4 y 5 ( 11/03/2016 )

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Diferencia horaria

ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=4^{\circ}\,20'\,\text{E}$ y $L_B=24^{\circ}\,50'\,\text{W}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando la hora en $A$ es $18:30:00$ horas ?.

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativa para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=+4^{\circ}\,20'$ ( por estar al este del meridiano cero ) y $L_B=-24^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|+4^{\circ}\,20'-(-24^{\circ}\,50')\right|=29^{\circ}\,10'=1750'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{1750}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{1750}{900}=1\;\text{h}\quad 56\;\text{min}\quad 40\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ menos ( $B$ está al oeste de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A-\Delta\,t=18:30:00-1:56:40=16:33:20$$
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Prisma recto de base rectangular

ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $1$, $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje

SOLUCIÓN.
a) Aplicando el teorema de Pitágoras dos veces ( cada una en el correspondiente triángulo rectángulo ), obtenemos la longitud de la diagonal: $d=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\; \text{dm}$

b) El volumen de la caja ( que tiene forma de prisma recto de base rectangular ) es igual a $V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \; \text{dm}^3$. Luego, tiendo en cuenta la equivalencia $1\; \text{L} = 1 \; \text{dm}^3$, la capacidad de la caja es de $6 \; \text{L}$

c) El desarrollo plano está formado por seis rectángulos ( iguales dos a dos ), cuyos lados tienen como longitudes las de las aristas del prisma, así $$A=2\,(2\cdot 3+ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 )=22 \; \text{dm}^2$$
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Cono

ENUNCIADO. Considerar un cono de $8$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $6$ decímetros. Se pide:
a) la longitud de la generatriz
b) el volumen del cono
c) el área lateral
d) el área de la base

SOLUCIÓN.

a) Tomando una generatriz, podemos configurar un triángulo rectángulo, con la altura del cono y el radio de extremos el pie de la altura y el pie de la generatriz; entonces, por el teorema de Pitágoras, $g=\sqrt{h^2+r^2}$, y, con los datos del problema, $g=\sqrt{8^2+6^2}=10\; \text{cm}$

b) El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2 \cdot 8 = 96\,\pi \; \text{cm}^3$

c) El área lateral del cono ( del desarrollo plano de la misma es un sector circular de radio $g$ y ángulo proporcional a la longitud de su arco ) viene dado por $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \; \text{cm}^2$

d) El área de la base del cono ( de base circular ) viene dada por $A_{\text{base}}=\pi\,r^2=\pi\cdot 6^2 = 36\,\pi \; \text{cm}^2$

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Hemos hecho una fotocopia ampliada ...

ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un rectángulo de $6\,\text{cm}^2$, con un factor de ampliación del $250\,\%$ ( razón de homotecia igual a $2,5$ ). Se pide:
a) Si el perímetro del rectángulo original es igual a $10\,\text{cm}$, ¿ cuál es el perímetro del rectángulo ampliado ?
b) ¿ Cuál es la razón aritmética entre el área del rectángulo ampliado y el área del rectángulo original ?
c) Calcular el área del rectángulo de la fotocopia ampliada

SOLUCIÓN.
a) La homotecia nos da una imagen semejante al rectángulo original. Sea $P'$ el perímetro de la imagen ( fotocopia ) y $P$ el del rectángulo original, entonces la razón de la homotecia ( que es la de la semejanza ) es igual a $r=\dfrac{P'}{P}$, esto es, $2,5=\dfrac{P'}{10}$; de donde, despejando $P'$, obtenemos $P'=2,5 \cdot 10 = 25 \; \text{cm}$

b) La razón aritmética entre las áreas, $A$ y $A'$, de las figuras objeto e imagen, que son semejantes ( por la homotecia ), es igual al cuadrado de la razón de semejanza: $r^2=2,5^2=6,25$

c) Por lo dicho en el apartado anterior, $r^2=\dfrac{A'}{A}$, lugo $6,25=\dfrac{A'}{6}$, con lo cual $A'=6\cdot 6,25 = 37,5 \; \text{cm}^2$
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Aplicar un giro al segmento ...

ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(3,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.

SOLUCIÓN.

Del gráfico, vemos que las coordenadas de los puntos resultantes del giro son $A'(3,3)$ y $B'(4,2)$
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Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un llano del parque y en un día soleado, medimos la longitud de la sombra que da una farola y, a la vez, un ayudante mide la longitud de la sombra que da una persona cuya estatura es de $170$ centímetros. La longitud de la sombra de la farola ha resultado ser de $10$ metros; y, la longitud de la sombra de la persona ( que está de pie ), de $190$ centímetros. Con estos datos, calcular la altura de la farola.

SOLUCIÓN.
La sombras del árbol ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del árbol ) y del bastón ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del palo ), a la misma hora del día, conforman un dos triángulos semejantes; entonces, llamando $x$ a la altura del árbol, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{170}{190}$$ donde los datos vienen expresados en centímetros. Despejando $x$ obtenemos $$x=\dfrac{17 \cdot 1000}{19} \approx 895 \; \text{cm}$$. $\square$

Cuerpos geométricos en el espacio. Problemas métricos.

Ejercicios resueltos y comentados del examen del tema 4 ( realizado del día 12/02/2016 )

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Situación de un número racional en la recta numérica

Bosquejo de cómo situar un número racional en la recta numérica

Semejanza

ENUNCIADO. Sea un cuadrado de $4$ centímetros de lado. Considerar, ahora, otro cuadrado que sea semejante al primero y que tenga $12$ centímetros de lado. ¿ Cuál es la razón de semejanza del segundo con respecto del primero ? ¿ Cuál es la razón entre las áreas del mayor y del menor ?.

SOLUCIÓN. La razón de semejanza es $k=\dfrac{12}{4}=3$, y la razón entre las áreas es $k^2$, esto es, $3^2=9$
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Construir la homotecia con centro en el punto ...

ENUNCIADO. Construir una homotecia de razón $2:1$ del triángulo cuyos vértices son $A(-1,0)$, $B(0,1)$ y $C(1,0)$.

Sugerencia: Tomar como centro de la homotecia el punto $O(0,0)$

SOLUCIÓN.

Construir un giro tal que ...

ENUNCIADO.
Construir un giro de centro el punto $P(3,0)$, de ángulo $180^{\circ}$, y en el sentido de las agujas del reloj del rectángulo cuyos vértices son los puntos $A(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(-1,1)$ y $D(1,1)$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos imagen $A',B',C'$ y $D'$ ?.

SOLUCIÓN.

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo tal que ...

ENUNCIADO.
Sea un rectángulo cuya diagonal mide $5$ decímetros, siendo uno de sus lados de longitud igual a $3$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho rectángulo.

SOLUCIÓN. La diagonal del rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales. Tomemos cualquiera de los dos; entonces, el lado de longitud conocida es uno de sus catetos, y, llamando $x$ al otro cateto ( que es el otro lado desigual del rectángulo ), por el teorema de Pitágoras podemos escribir $$5^2=3^2+x^2$$ de donde $$x=\left|\sqrt{5^2-3^2}\right|=4\;\text{dm}$$. Una vez conocidos los lados desiguales del rectángulo, podemos calcular su área fácilmente $$\text{Área}=3\cdot 4=12\; \text{dm}^2$$ Y, también, el perímetro del mismo $$\text{Perímetro}=2\,(3+4)=14\;\text{dm}$$
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Triángulos rectángulos. Toremas de Pitágoras, del cateto y de la altura.

ENUNCIADO.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto

Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.

Visitando el Museo del Romanticismo ( Madrid )

Máquina de sumar, restar, multiplicar y dividir, de la segunda mitad del siglo XIX ( Museo del Romanticismo, Madrid )

Demostración "china" del teorema de Pitágoras

Fijémonos en la siguiente figura

Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$

Resolver el siguiente problema de interés compuesto

ENUNCIADO. Dejamos depositados $200,00$ euros, a un interés ( compuesto ) del $3\,\%$ anual, durante $5$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ? ¿ Cuál será el beneficio ?.

SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
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Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver:
a) $x^2+x-2=0$
b) $x^2-3\,x=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+x-2=0$
  $1\cdot x^2+1\cdot x+(-2)=0$, luego $a=1$, $b=1$ y $c=-2$ en $ax^2+bx+c=0$. Por tanto, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=$
    $=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{matrix}\right.$

b)
$x^2-3\,x=0$
  $x(x-3)=0$, producto ( el del primer miembro ) que sólo es cero en dos casos: si $x=0$; o bien, si $x-3=0$, esto es, si $x=3$. Así, la solución de esta ecuación viene dada por el conjunto de números $\{0\,,\,3\}$
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Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
b) $\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
c) $\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$

SOLUCIÓN.

a)
$2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
  $2x-2\cdot 1=2\cdot 3+2x$
    $2x-2=6+2x$
      $2x-2x=6+2$
        $0=8$, que es una contradicción, por lo que debemos concluir que esta ecuación es incompatible ( no tiene solución ).

b)
$\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $24$. Multiplicando, pues, por $24$ en ambos miembros, conseguiremos transformar la ecuación en otra equivalente, más sencilla.
  $24 \cdot \dfrac{x+1}{8}=24 \cdot\dfrac{1}{12}+24 \cdot\dfrac{x}{6}$
    $3\,(x+1)=2+4x$
      $3x+3\cdot 1=2+4x$
        $3x+3=2+4x$
          $3-2=4x-3x$
            $1=x$

c)
$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
Sumando, miembro a miembro, y término a término, las dos ecuaciones obtenemos otra ecuación, equivalente a cualquiera de las dos originales: $2x=3$. Despejando $x$, $x=\dfrac{3}{2}$. Y, sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones originales ( por ejemplo, en la primera ) llegamos a $\dfrac{3}{2}-y=1$; de donde, despejando, $y$, $y=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$
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