domingo, 24 de enero de 2016
Visitando el Museo del Romanticismo ( Madrid )
lunes, 18 de enero de 2016
Demostración "china" del teorema de Pitágoras
Fijémonos en la siguiente figura
Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$
Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$
martes, 15 de diciembre de 2015
Resolver el siguiente problema de interés compuesto
ENUNCIADO. Dejamos depositados $200,00$ euros, a un interés ( compuesto ) del $3\,\%$ anual, durante $5$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ? ¿ Cuál será el beneficio ?.
SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
$\square$
SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
$\square$
Resolver las ecuaciones de segundo grado
ENUNCIADO. Resolver:
a) $x^2+x-2=0$
b) $x^2-3\,x=0$
SOLUCIÓN.
a)
$x^2+x-2=0$
$1\cdot x^2+1\cdot x+(-2)=0$, luego $a=1$, $b=1$ y $c=-2$ en $ax^2+bx+c=0$. Por tanto, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=$
$=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{matrix}\right.$
b)
$x^2-3\,x=0$
$x(x-3)=0$, producto ( el del primer miembro ) que sólo es cero en dos casos: si $x=0$; o bien, si $x-3=0$, esto es, si $x=3$. Así, la solución de esta ecuación viene dada por el conjunto de números $\{0\,,\,3\}$
$\square$
a) $x^2+x-2=0$
b) $x^2-3\,x=0$
SOLUCIÓN.
a)
$x^2+x-2=0$
$1\cdot x^2+1\cdot x+(-2)=0$, luego $a=1$, $b=1$ y $c=-2$ en $ax^2+bx+c=0$. Por tanto, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=$
$=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{matrix}\right.$
b)
$x^2-3\,x=0$
$x(x-3)=0$, producto ( el del primer miembro ) que sólo es cero en dos casos: si $x=0$; o bien, si $x-3=0$, esto es, si $x=3$. Así, la solución de esta ecuación viene dada por el conjunto de números $\{0\,,\,3\}$
$\square$
Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones
ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
b) $\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
c) $\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
SOLUCIÓN.
a)
$2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
$2x-2\cdot 1=2\cdot 3+2x$
$2x-2=6+2x$
$2x-2x=6+2$
$0=8$, que es una contradicción, por lo que debemos concluir que esta ecuación es incompatible ( no tiene solución ).
b)
$\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $24$. Multiplicando, pues, por $24$ en ambos miembros, conseguiremos transformar la ecuación en otra equivalente, más sencilla.
$24 \cdot \dfrac{x+1}{8}=24 \cdot\dfrac{1}{12}+24 \cdot\dfrac{x}{6}$
$3\,(x+1)=2+4x$
$3x+3\cdot 1=2+4x$
$3x+3=2+4x$
$3-2=4x-3x$
$1=x$
c)
$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
Sumando, miembro a miembro, y término a término, las dos ecuaciones obtenemos otra ecuación, equivalente a cualquiera de las dos originales: $2x=3$. Despejando $x$, $x=\dfrac{3}{2}$. Y, sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones originales ( por ejemplo, en la primera ) llegamos a $\dfrac{3}{2}-y=1$; de donde, despejando, $y$, $y=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$
$\square$
a) $2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
b) $\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
c) $\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
SOLUCIÓN.
a)
$2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
$2x-2\cdot 1=2\cdot 3+2x$
$2x-2=6+2x$
$2x-2x=6+2$
$0=8$, que es una contradicción, por lo que debemos concluir que esta ecuación es incompatible ( no tiene solución ).
b)
$\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $24$. Multiplicando, pues, por $24$ en ambos miembros, conseguiremos transformar la ecuación en otra equivalente, más sencilla.
$24 \cdot \dfrac{x+1}{8}=24 \cdot\dfrac{1}{12}+24 \cdot\dfrac{x}{6}$
$3\,(x+1)=2+4x$
$3x+3\cdot 1=2+4x$
$3x+3=2+4x$
$3-2=4x-3x$
$1=x$
c)
$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
Sumando, miembro a miembro, y término a término, las dos ecuaciones obtenemos otra ecuación, equivalente a cualquiera de las dos originales: $2x=3$. Despejando $x$, $x=\dfrac{3}{2}$. Y, sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones originales ( por ejemplo, en la primera ) llegamos a $\dfrac{3}{2}-y=1$; de donde, despejando, $y$, $y=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$
$\square$
Calcular el interés ( simple )
ENUNCIADO. Dejamos depositados $400,00$ euros, a un interés ( simple ) del $1\,\%$ anual, durante $6$ años. ¿ Cuál será el beneficio ( intereses ) ?.
SOLUCIÓN. El beneficio o interés, $I$, viene dado por $$I=C_{\text{inicial}}\cdot i \cdot t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso es $i=1/100=0,01$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Por tanto, $$I=400,00\cdot 0,01 \cdot 6=24,00\; \text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El beneficio o interés, $I$, viene dado por $$I=C_{\text{inicial}}\cdot i \cdot t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso es $i=1/100=0,01$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Por tanto, $$I=400,00\cdot 0,01 \cdot 6=24,00\; \text{euros}$$
$\square$
Sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. Sea la sucesión aritmética $$2,5,8,11,14,\ldots$$ Se pide ( empleando las fórmulas ):
a) el valor del término $a_{20}$
b) el valor de la suma de los $20$ primeros términos
SOLUCIÓN.
a)
Esta sucesión es aritmética, pues cada término se forma, a partir del anterior, sumándole una constante, $d$ ( que en este caso es $3$ ). En una sucesión aritmética, el valor del término n-ésimo viene dado por $a_n=a_1+ (n-1)\cdot d$. Como $a_1=2$ y $n=20$, tenemos $$a_n=2+ (20-1)\cdot 3=59$$
b)
La suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética viene dada por $$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n$$ Entonces, como $n=20$, $a_1=2$ y $a_n=59$, $$S_{20}=\dfrac{(2+59)}{2}\cdot 20=610$$
$\square$
a) el valor del término $a_{20}$
b) el valor de la suma de los $20$ primeros términos
SOLUCIÓN.
a)
Esta sucesión es aritmética, pues cada término se forma, a partir del anterior, sumándole una constante, $d$ ( que en este caso es $3$ ). En una sucesión aritmética, el valor del término n-ésimo viene dado por $a_n=a_1+ (n-1)\cdot d$. Como $a_1=2$ y $n=20$, tenemos $$a_n=2+ (20-1)\cdot 3=59$$
b)
La suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética viene dada por $$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n$$ Entonces, como $n=20$, $a_1=2$ y $a_n=59$, $$S_{20}=\dfrac{(2+59)}{2}\cdot 20=610$$
$\square$
martes, 3 de noviembre de 2015
Plantear y resolver
ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $2$. Al restar los triples de dichos números nos da $6$. Encontrar dichos números, planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, donde $x \succ y$. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
3\,x &-&3\,y&=&6 \\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación es, en realidad, la primera, pues basta multiplicar por $3$ ( miembro a miembro ) los términos de la primera para obtener la segunda. Por lo tanto, este sistema consta de una sola ecuación ( independiente ) con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado, esto es, hay infinitos pares de valores (x,y) que cumplen la condición pedida, y éstos son, concretamente, de la forma $$(x\,,\,y=x-2)$$ Así, por ejemplo, $x=2$ e $y=0$ forman parte de la solución; pero también, $(3,1)$, $(4,2)$, ($5,3)$, etcétera.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, donde $x \succ y$. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
3\,x &-&3\,y&=&6 \\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación es, en realidad, la primera, pues basta multiplicar por $3$ ( miembro a miembro ) los términos de la primera para obtener la segunda. Por lo tanto, este sistema consta de una sola ecuación ( independiente ) con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado, esto es, hay infinitos pares de valores (x,y) que cumplen la condición pedida, y éstos son, concretamente, de la forma $$(x\,,\,y=x-2)$$ Así, por ejemplo, $x=2$ e $y=0$ forman parte de la solución; pero también, $(3,1)$, $(4,2)$, ($5,3)$, etcétera.
$\square$
[autoría]
Resolver ...
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2-2\,x-8=0$
b) $(x+1)^2-9=0$
c) $3\,x^2-6\,x=0$
SOLUCIÓN.
a)
$x^2-2\,x-8=0$
$1 \cdot x^2+(-2)\,x+(-8)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}=$
$=\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2 }=\dfrac{2\pm 6}{2 }=1\pm3=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$
Otra forma de hacerlo:
$x^2-2\,x-8=0$
$(x-1)^2-8-1=0$
$(x-1)^2=9$
$\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}$
$x-1=\pm 3$
$x=\pm 3+1=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$
b)
$(x+1)^2-9=0$
$(x+1)^2=9$
$\sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{9}$
$x+1=\pm 3$
$x=\pm 3-1=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\\
-4
\end{matrix}\right.$
c)
$3\,x^2-6\,x=0$
$3\,x \,(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
3x=0 \Leftrightarrow x=0
\\
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$
a) $x^2-2\,x-8=0$
b) $(x+1)^2-9=0$
c) $3\,x^2-6\,x=0$
SOLUCIÓN.
a)
$x^2-2\,x-8=0$
$1 \cdot x^2+(-2)\,x+(-8)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}=$
$=\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2 }=\dfrac{2\pm 6}{2 }=1\pm3=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$
Otra forma de hacerlo:
$x^2-2\,x-8=0$
$(x-1)^2-8-1=0$
$(x-1)^2=9$
$\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}$
$x-1=\pm 3$
$x=\pm 3+1=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$
b)
$(x+1)^2-9=0$
$(x+1)^2=9$
$\sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{9}$
$x+1=\pm 3$
$x=\pm 3-1=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\\
-4
\end{matrix}\right.$
c)
$3\,x^2-6\,x=0$
$3\,x \,(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
3x=0 \Leftrightarrow x=0
\\
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$
[autoría]
Resolver
ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\,(x-1)=3\,(1-x)$
b) $\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
c) $\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$
SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=3\,(1-x)$
$2x-2=3-3x$
$2x+3x=3+2$
$5x=5$
$x=1$
b)
$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
$12 \cdot \dfrac{x+2}{6}=12 \cdot \dfrac{x-1}{12}$
$2\cdot (x+2)=1 \cdot (x-1)$
$2x+4=x-1$
$2x-x=-1-4$
$x=-5$
c)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Con la combinación $3e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
7x &&&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$
Simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &&&=&\dfrac{3}{7} \\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo el valor de $x$ en la primera ecuación de este sistema ( equivalente ), obtenemos el valor de $y$:
$2\cdot \dfrac{3}{7}+y=1$
$y=1-2\cdot \dfrac{3}{7}$
$y=\dfrac{1}{7}$
$\square$
a) $2\,(x-1)=3\,(1-x)$
b) $\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
c) $\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$
SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=3\,(1-x)$
$2x-2=3-3x$
$2x+3x=3+2$
$5x=5$
$x=1$
b)
$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
$12 \cdot \dfrac{x+2}{6}=12 \cdot \dfrac{x-1}{12}$
$2\cdot (x+2)=1 \cdot (x-1)$
$2x+4=x-1$
$2x-x=-1-4$
$x=-5$
c)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Con la combinación $3e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
7x &&&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$
Simplificando la segunda ecuación
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &&&=&\dfrac{3}{7} \\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo el valor de $x$ en la primera ecuación de este sistema ( equivalente ), obtenemos el valor de $y$:
$2\cdot \dfrac{3}{7}+y=1$
$y=1-2\cdot \dfrac{3}{7}$
$y=\dfrac{1}{7}$
$\square$
[autoría]
Fracciones generatrices
ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) $4,32$
b) $2,50\overline{1}$
c) $14,\overline{46}$
SOLUCIÓN.
a) $4,32 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{432}{100} \quad \overset{\text{m.c.d}(432,100)=4}{=} \quad \dfrac{108}{25}$
b) $2,50\overline{1} \quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{2501-250}{900} = \dfrac{2251}{900}$
c) $14,\overline{46} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1446-14}{99} = \dfrac{1432}{99}$
$\square$
a) $4,32$
b) $2,50\overline{1}$
c) $14,\overline{46}$
SOLUCIÓN.
a) $4,32 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{432}{100} \quad \overset{\text{m.c.d}(432,100)=4}{=} \quad \dfrac{108}{25}$
b) $2,50\overline{1} \quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{2501-250}{900} = \dfrac{2251}{900}$
c) $14,\overline{46} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1446-14}{99} = \dfrac{1432}{99}$
$\square$
[autoría]
Calcular ...
ENUNCIADO. Realizar las siguientes operaciones con fracciones ( las simplificaciones son obligatorias ):
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
c) $\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
d) $\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=$
$\overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}$
$=\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}$
$=\dfrac{24+10+(-3)}{36}$
$=\dfrac{31}{36}$
b)
$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
$=\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}$
$=\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}$
$=\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}$
$=5 \cdot \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5}{2}$
c)
$\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
$=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)$
$=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}$
$=\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$
$=\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}$
$=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}$
$=\dfrac{1 }{6}$
d)
$\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3$
$=\dfrac{(-3)^3}{2^3}$
$=\dfrac{(-27)}{8}$
$=-\dfrac{27}{8}$
$\square$
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
c) $\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
d) $\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=$
$\overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}$
$=\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}$
$=\dfrac{24+10+(-3)}{36}$
$=\dfrac{31}{36}$
b)
$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
$=\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}$
$=\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}$
$=\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}$
$=5 \cdot \dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5}{2}$
c)
$\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
$=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)$
$=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}$
$=\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$
$=\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}$
$=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}$
$=\dfrac{1 }{6}$
d)
$\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3$
$=\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3$
$=\dfrac{(-3)^3}{2^3}$
$=\dfrac{(-27)}{8}$
$=-\dfrac{27}{8}$
$\square$
[autoría]
viernes, 23 de octubre de 2015
domingo, 18 de octubre de 2015
Hallar los números racionales tales que ...
ENUNCIADO. Hallar los números racionales tales que la suma ( de cada uno de ellos ) con el respectivo inverso es la fracción $\dfrac{10}{3}$
SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$
SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$
[autoría]
La diferencia de dos números naturales es ...
ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $4$. Al restar los triples de dichos números nos da $12$. Plantear un sistema de ecuaciones, estudiarlo y resolverlo ( si procede ).
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
3x &-&3y&=&12
\end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
&&0&=&0
\end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
3x &-&3y&=&12
\end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
&&0&=&0
\end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
$\square$
[autoría]
En un depósito ...
ENUNCIADO. En un depósito hay dos grifos de llenado. Si se abre solamente el primero, el depósito se llena en $3$ horas. Si se abra solamente el segundo, el depósito se llena en $6$ horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará si se abren los dos a la vez ?.
SOLUCIÓN. El tiempo que transcurre con los dos grifos abiertos, $x$, es directamente proporcional a la fracción del depósito que se llena. Si el primer depósito llena todo el depósito en $3$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{3}$ del mismo; y, si el segundo grifo llena todo el depósito en $6$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{6}$ del mismo. Luego, en una misma hora, los dos grifos abiertos a la vez llenan $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ del depósito, lo cual nos lleva a plantear la siguiente ecuación ( proporción directa ):
$\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{x}{3/3}$. Resolviéndola,
$\dfrac{1}{2/3}=x$
$\dfrac{3}{2}=x$
luego $x=1,5$ horas
es decir, $x=1$ hora y $30$ minutos
$\square$
SOLUCIÓN. El tiempo que transcurre con los dos grifos abiertos, $x$, es directamente proporcional a la fracción del depósito que se llena. Si el primer depósito llena todo el depósito en $3$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{3}$ del mismo; y, si el segundo grifo llena todo el depósito en $6$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{6}$ del mismo. Luego, en una misma hora, los dos grifos abiertos a la vez llenan $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ del depósito, lo cual nos lleva a plantear la siguiente ecuación ( proporción directa ):
$\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{x}{3/3}$. Resolviéndola,
$\dfrac{1}{2/3}=x$
$\dfrac{3}{2}=x$
luego $x=1,5$ horas
es decir, $x=1$ hora y $30$ minutos
$\square$
[autoría]
En una granja ...
ENUNCIADO. En una granja, entre conejos y gallinas, hay 25 animales. Si entre todos hay $82$ patas, ¿ cuántos conejos y cuántas gallinas hay ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el número de conejos, entonces $25-x$ es el número de gallinas. Como cada conejo tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, podemos escribir la siguiente ecuación $$4x+2\,(25-x)=82$$. Resolvámosla:
$4x+2\,(25-x)=82$
$4x+50-2x=82=82$
$2x=82-50$
$2x=32$
$x=\dfrac{32}{2}$
$x=15$ conejos
luego el número de gallinas es $25-16=9$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el número de conejos, entonces $25-x$ es el número de gallinas. Como cada conejo tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, podemos escribir la siguiente ecuación $$4x+2\,(25-x)=82$$. Resolvámosla:
$4x+2\,(25-x)=82$
$4x+50-2x=82=82$
$2x=82-50$
$2x=32$
$x=\dfrac{32}{2}$
$x=15$ conejos
luego el número de gallinas es $25-16=9$
$\square$
[autoría]
Después de recorrer ...
ENUNCIADO. Después de recorrer la cuarta parte de un camino, y luego las dos terceras partes del resto, todavía nos quedan $3$ quilómetros por andar. ¿ Cuánto mide la longitud total del camino ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud pedida, entonces $$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\,x\right)=3$$ y realizando los pasos necesarios para despejar $x$,
$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=3$
$x-\dfrac{3}{4}\,x=3$
$\dfrac{1}{4}\,x=3$
$x=3 \cdot 4$
$x=12\,\text{km}$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud pedida, entonces $$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\,x\right)=3$$ y realizando los pasos necesarios para despejar $x$,
$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=3$
$x-\dfrac{3}{4}\,x=3$
$\dfrac{1}{4}\,x=3$
$x=3 \cdot 4$
$x=12\,\text{km}$
$\square$
[autoría]
viernes, 18 de septiembre de 2015
Se ha realizado la medida de ...
ENUNCIADO:
Se ha realizado una medida de la longitud de un tablón, $x$, obteniendo $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$, con una cota de error absoluto de $0,2 \, \text{cm}$. ¿ Cuál es el intervalo de error ( incertidumbre ) para el valor de dicha magnitud ?
SOLUCIÓN:
Podemos afirmar que $x=42,3 \, \text{cm} \; \pm \, 0,2 \; \text{cm}$, luego el intervalo de error es $I_x=(43,2-0,2\,,\,42,3+0,2) \; \text{cm}$, esto es, $I_x=(42,0\,,\,42,5) \; \text{cm}$ siendo el centro de dicho intervalo el valor tomado en el proceso de medida: $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$ y estando el valor real de la medida en algún punto de dicho intervalo.
$\square$
Se ha realizado una medida de la longitud de un tablón, $x$, obteniendo $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$, con una cota de error absoluto de $0,2 \, \text{cm}$. ¿ Cuál es el intervalo de error ( incertidumbre ) para el valor de dicha magnitud ?
SOLUCIÓN:
Podemos afirmar que $x=42,3 \, \text{cm} \; \pm \, 0,2 \; \text{cm}$, luego el intervalo de error es $I_x=(43,2-0,2\,,\,42,3+0,2) \; \text{cm}$, esto es, $I_x=(42,0\,,\,42,5) \; \text{cm}$ siendo el centro de dicho intervalo el valor tomado en el proceso de medida: $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$ y estando el valor real de la medida en algún punto de dicho intervalo.
$\square$
[autoría]
jueves, 2 de julio de 2015
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