Los números perfectos son amigos de sí mismos

Recordemos que un divisor de un número entero positivo se dice que es un divisor propio si es distinto del propio número; así por ejemplo los divisores propios de $30$ son $\{1,2,3,5,,6,10,15\}$. Se dice que un número entero positivo es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al propio número; por ejemplo, $6$ es un número perfecto, ya que la suma de sus divisores propios, $\{1,2,3\}$, es igual al propio número: $1+2+3=6$. En cambio, $10$ no lo es pues, la suma de sus divisores propios, $\{1,2,5\}$, no es igual a dicho número: $1+2+5=8\neq 10$.

Como curiosidad, sabed que los siguientes dos números perfectos son $28$ y $496$; a partir de éstos, los números perfectos son muy grandes: $6, 28, 496, 8\,128, 3\,3\,550\,336, 8\,589\,869\,056, 137\,438\,691\,328,\ldots$. Podemos conjeturar que hay infinitos números perfectos, aunque tal cosa no se ha llegado a demostrar ni a refutar.

Un resultado interesante a la hora de buscar números perfectos (Euclides) nos dice que si $p$ es un número primo, entonces $2^{p-1}\cdot (2^p-1)$ es un número perfecto. Comprobémoslo con el número perfecto $6$: para $p=2$, se tiene que $2^{2-1}\cdot (2^2-1)=2\cdot 3=6$. Para encontrar otros números perfectos, basta pues con partir de un número primo y hacer el cálculo al que me refiero; por ejemplo, partiendo de $p=5$ se tiene que $2^{5-1}\cdot (2^5-1)=16\cdot 11=496$, que es otro número perfecto, como puede comprobarse a partir de la definición: los divisores propios de $496$ son $\{1,2,4,8,16,31,62,124,248\}$ (podéis encontrarlos mediante el método de los diagramas de árbol), y, en efecto, al sumarlos obtenemos el propio número, $1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$

Dos números enteros positivos se dicen amigos si la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa. Podéis comprobar, por ejemplo, que los números enteros positivos más pequeños que son amigos son $220$ y $284$; en efecto, los divisores propios de $220$ son $\{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110\}$, siendo $1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55 +110=284$, y lo divisores propios de $284$, que son $\{1, 2, 4, 71, 142\}$, suman el otro número, $1+ 2+ 4+ 71 +142=220$. Encontrar la siguiente pareja de números amigos nos llevará un cierto trabajo; podéis comprobar que se trata de $1184$ y $1210$. Encontrar pues otras parejas de amigos es ya todo un reto, aunque ya en el siglo IX, el matemático Thābit ibn Qurra descubrió unas fórmulas para generarlos (teorema de Thâbit ibn Qurra), las cuales no fueron generalizadas por Leonhard Euler en el siglo XVIII.

En buena lógica, entonces, puede decirse de un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. $\diamond$

Acerca de la resolución de ciertas ecuaciones de segundo grado de una manera rápida y elegante

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado con coeficientes enteros, cuyo coeficiente de grado dos sea igual a $1$, pueden resolverse de una manera muy elegante sin tener que utilizar la fórmula general. En tales casos, las soluciones son números enteros, que además de ser divisores del término independiente, cumplen que su suma es igual al coeficiente del término de primer grado. Veamos un ejemplo de esas ecuaciones, y cómo resolverla de esta manera:

$x^2-6x+8=0$
  $x^2-2x-4x+8=0 \because\,$ observemos que entre los divisores de $8$ figuran $-2$ y $-4$, y que éstos, en particular, verifican: $b=(-2)+(-4)=-6 \, \text{y}\, c=(-2)\cdot (-4)=8$. Entonces, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
    $(x^2-2x)+(-4x+8)=0$
      $x(x-2)+4(-x+2)=0$
        $x(x-2)-4(x-2)=0$
          $(x-2)(x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Rightarrow x_1=2 \\ x-4=0 \Rightarrow x_2=4 \end{matrix}\right.$
Notemos que, cumplen la propiedad que los valores de toda solución de una ecuación de segundo grado deben satisfacer: (i) $x_1+x_2=-b$ (en nuestro caso, $b=-6$, y, en efecto, $2+4=6=-(-6)$), y (ii) $x_1\cdot x_2=c$ (en nuestro caso, $c=8$, y, en efecto, $2\cdot 4=8$).

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Comentario importante: Es claro que, sin embargo, esta técnica no siempre es aplicable; así, por ejemplo, no podemos utilizarla para resolver la ecuación $x^2+x-3=0$, ya que ninguna pareja del conjunto de divisores del término independiente, que es $3$, y que son $\{\pm 1\,,\,\pm 3\}$ no permite expresar como suma de éstos el coeficiente del término de grado uno, que es $1$ (aunque sí podamos decir que $c=-3=-1\cdot 3$ o bien $c=-3=1\cdot (-3)$): $-1-3=-4\neq b=1$, $1+3=4\neq b=1$, $1+(-3)=-2 \neq b=1$ y $-1+3=2\neq b=1$. En tales casos, habrá que recurrir a la fórmula general $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$, o bien, manejar algebráicamente la ecuación, paso a paso: $x^2+x-3=(x+\frac{1}{2}\,x)^2-3-\frac{1}{4}=0$ y, por tanto, $(x+\frac{1}{2}\,x)^2=\dfrac{13}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{2}\,x=\pm \sqrt{\dfrac{13}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$   $\diamond$

Un problema de engranajes que trata de la transmisión reductora del giro de un eje motor a otro eje paralelo

Para transmitir un movimiento circular entre dos ejes paralelos montamos un tren de engranajes que consta de dos ruedas: la rueda del eje motriz consta de $z_1=25$ dientes, y la del eje receptor de $z_2=100$ dientes. Si la velocidad del eje motriz es de $w_1=1\,000$ revoluciones por minuto (r.p.m), ¿cuál es la velocidad, $w_2$, del eje receptor?

Sabemos que la velocidad de giro es inversamente proporcional al número de dientes de la rueda en la que engrana, luego $w_1 \propto z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 \propto z_{2}^{-1}$, es decir, existe una constante de proporcinalidad $c$ tal que $w_1 = c\cdot z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 = c\cdot z_{2}^{-1} \quad (2)$.

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Nota: Veamos cuál es el significado de dicha constante $c$: Observemos que $c=w_1\cdot z_1=w_2\cdot z_2$; entonces, como la velocidad angular $w$ expresa el número de vueltas por minuto y $z$ el número de dientes, $c$ representa el número de veces por unidad de tiempo que una pareja de dientes entran en contacto (un diente de cada una de las dos ruedas que engranan).

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Bien pues, dividiendo miembro a miembro $(2)$ entre $(1)$ obtenemos $\dfrac{w_2}{w_1}= \dfrac{z_{2}^{-1}}{z_{1}^{-1}}=\left( \dfrac{z_2}{z_1} \right)^{-1}=\dfrac{z_1}{z_2}$ y, por consiguiente, $w_2= w_1 \cdot \dfrac{z_1}{z_2}$ (el segundo factor del segundo miembro se denomina relación de trasmisión). Así que, con los datos del problema, obtenemos $w_2= 1\,000 \cdot \dfrac{25}{100} = 1\,000 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1000}{4}=250\,\text{r.p.m}$. Es decir, en este caso, el mecanismo transmisor es reductor, siendo la relación de transmisión igual a $1/4$, que también podemos expresar de la forma: $1:4$. $\diamond$

Una ecuación con la incógnita en el exponente

¿Qué valor (o valores) de $x$ cumplen la siguiente ecuación $2^{\sqrt{x}}=16$?

Observemos que $16=2^4$, con lo cual la ecuación pedida podemos escribirla de la forma
  $2^{\sqrt{x}}=2^4$ y por tanto, al ser iguales las bases de las potencias de sendos miembros, los exponentes también han de ser iguales:
    $\sqrt{x}=4 \Rightarrow (\sqrt{x})^2=4^2 \Rightarrow x=16$
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Un ejercicio de Olimpiada Matemática

Nos proponemos determinar los números reales que son solución de la siguiente ecuación: $$x^{x^{4}}=64$$

El primer paso, que viene a continuación, es el paso clave del ejercicio, que no es nada evidente hacerlo, pues se requiere una cierta habilidad en la planificación de la resolución, anticipándonos dos pasos antes de escribirlos; el desarrollo a partir de aquí sigue, sin embargo, con la aplicación de las propiedades básicas de las potencias:
  $\left(x^{x^{4}}\right)^4=(8^{2})^{4}$
    $\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^{2\cdot 4}$
      $\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^8 \Leftrightarrow x^4=8 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt[4]{8}$
Finalmente, y teniendo en cuenta que $2^4=16\lt 8$ y $1^4=1\lt 8$, podemos escribir la siguiente acotación: $1\lt |x| \lt 2$. $\diamond$

Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

He seleccionado los casos básicos que se nos presentan a la hora de resolver una ecuación cuadrática (la última es la ecuación cuadrática completa, con todos los términos: el de grado dos, el de grado uno, y el de grado cero). Los coeficientes que aparecen en todos ellos son números reales distintos de cero. Veámoslos:

1. $x^2-m^2=0 \Leftrightarrow (x-m)(x+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-m = 0 \Leftrightarrow x=m \\ x+m=0 \Leftrightarrow x=-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $m$ y $-m$.
2. $(x-n)^2-m^2=0 \Leftrightarrow ((x-n)-m)((x-n)+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-n-m = 0 \Leftrightarrow x=n+m\\ x-n+m=0 \Leftrightarrow x=n-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $n+m$ y $n-m$.
3. $(\ell\,x-n)^2-m=0 \Leftrightarrow ((\ell\,x-n)-\sqrt{m})((\ell\,x-n)+\sqrt{m})=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ell\,x-n-\sqrt{m} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}\\ x-n+\sqrt{m}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n-\sqrt{a}}{\ell} \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $\dfrac{n-\sqrt{m}}{\ell}$ y $\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}$.
4. La ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$, podemos escribirla de la forma $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$ (dividiendo ambos miembros por el coeficiente $a$ del término de grado dos), y, por consiguiente, también llegamos a $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$. De ahí, $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \right)^2=0$; ahora bien, por la identidad algebraica sobre la diferencia de los cuadrados, podemos expresar la última igualdad de la forma $$\left(x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)\,\left(x+\dfrac{b}{2a} - \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)=0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ x+\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$$ Es decir, $$x=-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

-oOo- Un caso particularmente sencillo a la hora de resolver la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es aquel en que $a=1$; $b,c \in \mathbb{Q}$, y $c$ puede factorizarse de la forma $c=p\,q$, donde $p,q\in \mathbb{Q}$ (números racionales), y de modo que, además, $b=p+q$. Así, al ser $b=p+q$, la ecuación original, puede escribirse de la forma $x^2+(p+q)\,x+pq=0$, esto es, $x^2 + px + qx+pq=0 \Leftrightarrow x(x + p) + q(x+p)=0 \Leftrightarrow (x+q)(x+p)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+q=0 \Leftrightarrow x=-q \\ x+p=0 \Leftrightarrow x=-p\end{matrix}\right.$.

Veamos un par de ejemplos:

1. En la ecuación $x^2+6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=4\cdot 2$ y $6=4+2$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2+2x+4x+8=0$, esto es, $x(x+2)+4(x+2)=0$; por tanto, $(x+2)(x+4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\end{matrix}\right.$
2. En la ecuación $x^2-6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=-4\cdot (-2)$ y $6=-4+(-2)$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2-2x-4x+8=0$, esto es, $x(x-2)-4(x-2)=0$; por tanto, $(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \\ x-4=0 \Leftrightarrow x=4\end{matrix}\right.$

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Contando estrellas: una estimación del número de estrellas visibles (observables a simple vista) en la totalidad de la cúpula celeste

Imaginémonos contemplando el cielo estrellado, totalmente despejado de nubes, en una noche sin luna, lejos de la contaminación lumínica de las ciudades. ¿Cómo podemos contar el número de estrellas visibles en estas condiciones?

Un sencillo método que encontré en un libro de divulgación astronómica (Atlas básico de astronomía, Parramón Ediciones, Barcelona, 2001) para obtener una estimación de dicha cantidad consiste en dibujar una circunferéncia de $6\,\text{cm}$ de radio en una trozo de cartulina negra, y recortarla con cuidado, con ayuda de un cúter, para observar el cielo através de dicho agujero; para ello, lo colocaremos a una distancia de nuestro ojos de $30\,\text{cm}$, para lo cual nos ayudaremos de un hilito de esa longitud atado con un nudito de gaza al reverso de la cartulina (la opuesta a la que enfretamos a nuestros ojos) y lo mantendremos tenso mientras observemos. Así podremos contar el número de estrellas que quedan dentro del círculo, observando el cielo en una dirección arbitraria; pues bien, al parecer, dicha cantidad de estrellas representa aproximadamente el $1\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista en la totalidad de la esfere celeste —¿te animas a justificar esta afirmación mediante razonamientos geométricos?—. Si repetimos la observación observando hacia $10$ regiones distintas del cielo y sumamos las estrellas contabilidazadas cada una de las veces obtendremos por tanto el $10\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista de la totalidad de la esfera celeste, aproximadamente. Finalmente, bastará multiplicar dicha cantidad por $10$ para estimar el $100\,\%$ de las estrellas, esto es, la totalidad de las estrellas visibles a simple vista. Si eres una persona curiosa, te propongo que pongas en práctica este sencillo experimento de recuento. $\diamond$

Ejemplo de una ecuació compatible indeterminada

¿Qué podemos decir de la siguiente igualdad algebraica? $$(x-1)^2=(1-x)^2$$

Veamos:
  $(x-1)^2=(1-x)^2$
    $(x-1)^2-(1-x)^2=0$
      $(x-1)^2-((-1)(1-x))^2=0$, ya que $(-1)^2=1$ y por tanto $(1-x)^2=((-1)(1-x))^2$
        $(x-1)^2-(x-1)^2=0$
          $0=0$
LLegados aquí, nos damos cuenta de que no obtenemos información alguna acerca de cuáles son los valores (y no otros) de la solución, luego cualquier número real en sustitución de $x$ satisface la igualdad, luego se trata de una ecuación compatible (hay soluciones) pero indeterminada (todos los números reales son solución de dicha igualdad). También podemos decir que esta igualdad, $(x-1)^2=(1-x)^2$, es una identidad, ya que hemos visto que en cada miembro de la igualdad $(x-1)^2=(1-x)^2$ decimos lo mismo, expresándolo sin embargo de dos maneras (equivalentes) distintas. $\diamond$

Dos cálculos con potencias

Calculemos $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}$. Para ello, recordemos que tenemos que empezar a calcular las potencias de arriba abajo: $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}=2^{1^{2^{9}}}=2^{1^{512}}=2^1=2$

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Vamos a calcular ahora $2^{0^{1^{2^{3^{4}}}}}$

Observemos que $0^{1^{2^{3^{2}}}}=0 \quad (1)$; no hace falta que calculemos $1^{2^{3^{2}}}$ pues en la base de la potencia (1) habrá un $0$ sea cual sea el exponente. Entonces, $2^{0^{1^{2^{3^{2}}}}}=2^0=1$. $\diamond$

Un ejercicio de resolución de una ecuación empleando una identidad notable conocida para escribirla de una manera apropiada para encontrar fácilmente su solución

Resolvamos la siguiente ecuación, valíendonos de alguna de las identidades notables que ya conocemos $$x^2=(x-2)^2$$

  $x^2=(x-2)^2$
    $x^2-(x-2)^2=0$
      $(x-(x-2))(x+(x-2))=0$, donde usamos la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, siendo aquí $a:=x$ y $b:=x-2$
        $2(2x-2)=0 \Leftrightarrow 2x-2=0 \Leftrightarrow x=1$

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Evocación acuática de la parábola

Parque de Santander, Chamberí, Madrid. Finales de mayo de 2023

Sucesiones con el emulador de la calculadora NumWorks

En este vídeo muestro cómo utilizar el emulador de la calculadora NumWorks (lo puedes descargar gratuitamente siguiendo este enlace) para editar la fórmula de una sencilla sucesión para, a continuación, visualizar la tabla y la gráfica de la misma.

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Acerca de los calendarios luni-solares y solares. Del calendario babilonio al calendario gregoriano

En este breve artículo hablo sucintamente de los dos tipos de calendarios: luni-solares y solares. Hay, y ha habido, muchos calendarios de tipo luni-solar (el c. chino, el c. hebreo, el c. inca, el babilonio, ...). En concreto, me centraré únicamente en el babilonio (como muestra de calendario empleado, en Mesopotamia, en la antigüedad), para dar paso a los calendarios solares, como es el que actualmente se utiliza en Occidente.

Si nos remontamos a las civilizaciones mesopotámicas, cabe hablar del calendario babilonio (tercer milenio antes de nuestra era), que era de tipo luni-solar y por tanto tenía en cuenta tanto las fases de la Luna como la duración del año solar sidéreo (intervalo de tiempo que media entre dos pasos consecutivos del Sol por la posición de una determinada estrella en la bóveda celeste). Un calendario luni-solar, por tanto, al describir, también, la sucesión de las cuatro estaciones, predice cuál es la constelación que se puede localizar cerca de dónde se observe una determinada fase de la Luna. Eso era importante para organizar las siembras y las cosechas.

Por otra parte, cada mes —como parte del año— del calendario babilonio tenía la duración que viene determinada por el ciclo sinódico de la Luna (lunación) —el período sinódico es el tiempo que tarda el objeto en volver a aparecer en el mismo punto del cielo respecto al sol, cuando se observa desde la Tierra—, que es de $29$ o $30$ días ($29,5$ días, aproximadamente, de promedio). Así, cada año que constaba de 12 meses lunares, y cada uno de ellos comenzaba en luna nueva. Como el año solar era unos $10$ días más largo que el intervalo de $12$ meses lunares, se añadía este número de días insertando un mes adicional para ajustarlo a la duración de éste, lo cual, claro ésta, tenía el invonveniente de producir cambios en las fechas de las efemérides de un ciclo con respecto al otro. Para salvar estos invonvenientes, las civilizaciones posteriores abandonaron los calendarios lunares y luni-solares, y se empezaron a usar los calendarios solares.

Los egipcios utilizaban un calendario solar de $365$ días. Después, la civilización romana utilizó el calendario juliano, también de tipo solar. El calendario juliano fue elaborado en tiempos de Julio César (46 a.C.), y se basaba en la duración, más precisa, del año trópico (ciclo sidéreo), de $365,25$ días (aproximadamente), y corresponde al intervalo de tiempo empleado por el Sol en completar su órbita aparente en torno a La Tierra —se mide como el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por el punto Aries o equinoccio de primavera—. Posteriormente, el el año 1582, y como es bien sabido, el calendario juliano fue sustituido por actual, el calendario gregoriano (nombre debido a su promotor, el Papa Gregorio XIII), con los cambios oportunos introducidos al objeto de corregir los inconvenientes del calendario juliano que estaban relacionados con la falta de ajuste en la periodicidad de determinados eventos anuales de la liturgia, en relación con algunas efemérides del año astronómico.

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Referencias

  [1] R.M. Ros Ferré, El cielo nocturno, RBA, Barcelona, 2017.
  [2] vv. aa., https://es.wikipedia.org/wiki/Calendario, Wikipedia, 2023.

¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones lineales en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Un ejemplo de lo que quiero decir es la ecuación $$3\,|x|+2=|x|-1$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Podemos darnos cuenta rápidamente de que esta ecuación no tiene solución, pues es equivalente a $$3\,|x|-|x|=-2-1$$ esto es $$2\,|x|=-3$$ y por tanto $$|x|\overset{!}{=}-\dfrac{3}{2} \lt 0$$ pero esto es una contradicción, ya que el valor absoluto de un número no puede ser negativo, por consiguiente hay que concluir que la ecuación propuesta no tiene solución (es incompatible).

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Observación importante:

Hay que tener mucho chidado si procedemos de la manera alternativa que voy a comentar, mediante la cual, desde luego, se llega a la misma conclusión, pero eso sí, es necesario comprobar aparentes soluciones, que, en realidad no lo son. Veamos a qué me estoy refiriendo:

Es evidente que $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $3\cdot |0|+2=|0|-1$, esto es, $0+2=0-1$, luego $2=-1$, que, es una contradicción. Entonces, el valor de $x$ puede ser positivo o bien negativo:

1. Si $x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3x+2=x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$3x-x=-1-2$$ $$2x=-3$$ $$x=-\dfrac{3}{2}$$ Debemos ahora comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |3/2|+2\overset{?}{=}|3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3x+2=x-1$, no es solución de la ecuación propuesta, $3\,|x|+2=|x|-1$.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3\,(-x)+2=-x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$-3x+x=--1-2$$ $$-2x=-3$$ $$x=\dfrac{3}{2}$$ Como en el caso anterior, debemos comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |-3/2|+2\overset{?}{=}|-3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3\,(-x)+2=-x-1$, no lo es solución de la ecuación propuesta.

Por consiguiente, la ecuación propuesta no tiene solución. $\diamond$

La proporcionalidad directa entre fuerza y superficie (de los émbolos) en los gatos hidráulicos

Un gato hidráulico no es más que una prensa hidráulica empleado en los talleres mecánicos y también como máquina para elevar un vehículo pesado y así poder cambiar una rueda malograda. El mecanismo es muy sencillo: se trata de dos émbolos comunicados por un conducto y en el que se utiliza un fluido para transmitir una fuerza $F_1$ aplicada directamente sobre el émbolo $E_1$, que al transmitirse al segundo émbolo $E_2$ de mayor superficie que el primero, y colocado convenientemente sobre el cuerpo en el que se quiera actuar, se produce sobre éste una fuerza $F_2$ mayor que $F_1$. Esto es así por estar la magnitud fuerza y la magnitud superfice en proporción directa, como vamos a ver en seguida. Suponiendo que los émbolos son de sección circular y que sus radios son $r_1=2\,\text{cm}$ y $r_2=4\,\text{cm}$, ¿Cuál es el peso, $F_2$, que podemos elevar al ejercer una fuerza $F_1=200\,\text{N}$ (newtons) en $E_1$?.

La presión del fluido (fuerza que actúa por unidad de área) es la misma debajo de cada uno de los dos émbolos, luego estas magnitudes (fuerza y área) están en proporción directa: $\dfrac{F_1}{S_1}=\dfrac{F_2}{S_2}$, donde $S_1$ y $S_2$ son las superficies de dichos émbolos, que, al ser de sección circular, se calculan por la conocida fórmula del área de un círculo (el número $\pi$ por el cuadrado del radio). Entonces, con los datos del problema: $\dfrac{200}{\pi\cdot 2^2}=\dfrac{F_2}{\pi\cdot 10^2}$. Nota: no hace falta convertir los centímetros a metros (para trabajar con unidades homogéneas del Sistema Internacional), pues el factor de conversión estará en los dos miembros de la igualdad y por tanto ambos se cancelarán. Despejando, $F_2$ de esta ecuación, se tiene que $F_2=200\cdot \dfrac{10^2}{2^2}$, o lo que es lo mismo, $F_2=200 \cdot \left(\dfrac{10}{2}\right)^2=5\,000\,\text{N}$. $\diamond$

Sucesiones artimético-geométricas

Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $c_1=1$; en efecto: $c_1=\dfrac{2\cdot 1-1}{2^{1-1}}=\dfrac{1}{2^{0}}=\dfrac{1}{1}=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $c_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $c_2=\dfrac{2\cdot 2-1}{2^{2-1}}=\dfrac{4-1}{2^{1}}=\dfrac{3}{2}$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $c_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $c_3=\dfrac{2\cdot 3-1}{2^{2-1}}=\dfrac{6-1}{2^{2}}=\dfrac{5}{4}$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $d_1=1$; en efecto: $d_1=a_{1}\cdot b_{1}=2^{1-1}\cdot (2\cdot 1-1)=2^{0}\cdot (2-1)=1\cdot 1=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $d_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $d_2=a_{2}\cdot b_{2}=2^{2-1}\cdot (2\cdot 2-1)=2^{1}\cdot (4-1)=2\cdot 3=6$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $d_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $d_3=a_{3}\cdot b_{3}=2^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1)=2^{2}\cdot (6-1)=4\cdot 5=20$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$

Breve introducción a la aritmética modular

La operación módulo, para dos números enteros $a$ y $b$, se define como $a \mod b := \text{residuo}( a \div b)$, entendiendo la división como la división euclídea: dados dos números enteros $a$ y $b\neq 0$, entonces existen otros dos números enteros, únicos, $q,r$, tales que $a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b|$ . Así por ejemplo, $15 \mod 7 =1$, ya que $8=7\cdot 2+1$; $-6 \mod 7 = 1$ ya que $-6=7\cdot (-1) +1$.

Decimos que dados dos números enteros $m$ y $n$ son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero $p$, y lo escribimos $m \equiv n (\mod p)$ si $m \mod p = n \mod p$, esto es, si las divisiones euclídeas $m \div p$ y $n \div p$ tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, $15 \equiv 22 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7$. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas al rspecto, que $15 \equiv -6 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7$. Démonos cuenta que fácilmente podemos ir escribiendo infinitos enteros congruentes con $15$ sumando (o restando) siete unidades —y lo mismo con cualquier otro número que sepamos que es congruente con $14$ módulo $7$—; así, si tomamos, por ejemplo, $15$, encontramos que: $22,29,36,\ldots$ y $8,1,-6.-13\,\ldots$ son números congruentes con $15$ módulo $7$.

Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias, en la resolución de ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes enteros con solución en el conjunto de los números enteros) y, también, juegan un papel de importantísimo para entender y probar proposiciones en teoría de números (matemática discreta). Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.

Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 $\rightarrow$ mod $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ = (o EXE)], presentándose el resultado, $1$, en pantalla.

La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si $a_1 \equiv a_2 (\mod p)$ y $b_1 \equiv b_2 (\mod p)$, entonces:

• $a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)$
• $a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)$

Por ejemplo, $26 \equiv 19 (\mod 7)$, ya que $26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7$, y $27 \equiv 13 (\mod 7)$ puesto que $27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7$. Por tanto:

• $26+27 \equiv 19+13 (\mod 7)$, esto es, $53 \equiv 32 (\mod 7)$; en efecto: $53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7$
• $26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7)$, esto es, $702 \equiv 247 (\mod 7)$; en efecto: $702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7$

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Combinatoria. Un ejemplo de aplicación del principio (de recuento) de independencia

¿Cuántas señales se pueden hacer con los sonidos de $7$ campanas (cada una con tañidos distintos a los de las demás) si la primer sonido tiene que ser siempre el tañido más agudo?.

Al fijar el primer sonido, podemos elegir el segundo de $7-1=6$ maneras distintas; el tercero, de $7-2=5$ maneras; el cuarto, de $7-3=4$ maneras; el quinto, de $7-4=3$ maneras; el sexto, de $7-5=2$ maneras, y el séptimo de $7-6=1$ sola manera. Luego, por el principio de independencia (o multiplicativo), podremos emitir un total de $6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =720$ señales. $\diamond$

Los números triangulares y las sucesiones aritméticas

Hice esta fotografía de este bonito elemento decorativo en un área de descanso de la autovía A2, camino de Barcelona.

Los números triangulares, como por ejemplo $15$ ( representado en la fotografía como la suma del número de barriles de cada una de las cinco filas ), obedece a la expresión de la suma de un conjunto de términos consecutivos de una sucesión aritmética; en el caso que nos ocupa: $15=1+2+3+4+5=\dfrac{1+5}{2}\cdot 5$ ( producto del número de términos por la semisuma del primer y del último término ).

En general, decimos que un número, $\tau$, es triangular si puede escribirse de la forma $\tau=\dfrac{1+n}{2}\cdot n$, donde $n$ es cualquier número entero no negativo. Así, podemos hablar de la sucesión de los números triangulares, cuyo término general es $f(n)=\dfrac{n(1+n)}{2}$, para $n\in \mathbb{N}$, y con el cual es muy fácil ir obteniendo tantos números triangulares como queramos: basta dar un valor concreto a $n$; por ejemplo, para $n:=12$, obtenemos el número triangular $f(12)=\dfrac{12\cdot (12+1)}{2}=78$. $\square$

ESO3 ( e. académicas ) - Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos expuestos y las lecturas del libro de texto de la semana del 22 al 28 de marzo

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