Un problema de álgebra: números que cumplen ciertas condiciones

ENUNCIADO. Encontrar las parejas de números enteros positivos, distintos uno del otro, tales que la diferencia entre el mayor y el menor dé $6$, y al dividir ( división entera ) el mayor entre el menor se obtenga cociente igual a $1$ y resto igual a $6$.

SOLUCIÓN. Denotemos por $(n,m)$ cualquiera de esas parejas, donde $n \succ m$. Entonces, transcribiendo las dos condiciones a las respectivas ecuaciones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}n-m=6\\ n=1\cdot m +6\end{matrix}\right\}$$
Sin embargo, la segunda ecuación es idéntica a la primera, luego el sistema es compatible indeterminado, y una de las dos incógnitas, pongamos que $m$, depende de la otra, de la forma: $m=n-6$ para $n \ge 13$ ( para $n \prec 13$ se cumple la primera condición pero no la segunda ).
En consecuencia, el conjunto de parejas que constituyen la solución al problema es
$$\{(13,7)\,(14,8),(15,9),(16,10)\ldots\}$$
esto es
$$\{(n,n-6): n \in \mathbb{Z}^{+} \; \text{;} \; n \ge 13 \}$$
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Otro problema con porcentajes

ENUNCIADO. En una reunión hay el doble de hombres que de mujeres. Una de cada tres mujeres es pelirroja, y dos de cada cinco hombres son pelirrojos. ¿ Qué fracción de personas pelirrojas hay en la reunión ?

SOLUCIÓN. La fracción pedida es la razón entre el número de personas pelirrojas y el número de personas que hay en la reunión.   (1)

Denotemos por $h$ y $m$ los números de hombres y mujeres, que hay en la reunión. Sabemos que $h=2m$, luego el número de personas que hay en la reunión es $m+2m$ esto es $3m$.   (2)

El número de hombres pelirrojos es $\dfrac{2}{5}\,m = \dfrac{2}{5}\cdot 2m = \dfrac{4}{5}\,m$, y el número de mujeres pelirrojas es $\dfrac{1}{3}\,m$, luego el número de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{4}{5}\,m+\dfrac{1}{3}\,m = \dfrac{17}{15}\,m$.   (3)

Así pues, teniendo en cuenta (1), (2) y (3), la fracción de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{(17/15)\,m}{3m}$ y simplificando ( se cancela $m$ entre el numerador y el denominador ) nos queda $\dfrac{17}{45}$.
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Un problema de porcentajes

ENUNCIADO. En una clase el $40\,\%$ de los alumnos han aprobado y en otra, en la que había el doble de alumnos, el porcentaje de aprobados ha sido del $50\,\%$. ¿ Cuál ha sido el porcentaje de aprobados tomando las dos clases en conjunto ?.

SOLUCIÓN. Si $n$ es el número de alumnos de la primera clase, el número de aprobados de ésta es de $0,4\cdot n$; por otra parte, el de la segunda clase el número de alumnos es $2n$, luego el número de aprobados en la misma es $0,5\cdot 2 n$. Así pues, el número de aprobados de las dos clases es $0,4\,n +0,5\cdot 2n$, esto es $1,4\,n$ luego el porcentaje de aprobados tomando las dos clases en conjunto es $\dfrac{1,4\,n}{n+2n}$ es decir $\dfrac{1,4}{3} \approx 0,47 = 47\,\%$
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¿ Cuánto mide la altura de la mesa ?

fuente: Cliff Pickover ( @Pickover )
SOLUCIÓN.
Denotemos por $t$ la altura de la mesa; por $g$, la del gato, y por $u$ la de la tortuga. Entonces, según la figura:
$$\left.\begin{matrix}t-u+g=170 \\ t-g+u=130\end{matrix}\right\}$$ Sumando ambas ecuaciones, miembro a miembro, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las dos originales: $$2t=300$$ de donde $$t=150\,\text{cm}$$
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Un problema de cálculo con fracciones

ENUNCIADO. En la fiesta del vals, ahora, una tecera parte de los chicos están bailando con dos quintas partes de las chicas ( NOTA 1: definimos aquí una pareja de baila como aquella formado por un chico y una chica ). ¿ Qué fracción de personas no está bailando ? ( NOTA 2: Se supone que la mitad de los asistentes a la fiesta del vals son chicas y la otra mitad, chicos ).

SOLUCIÓN. Denotemos por $m$ el número de chicas que asisten a la fiesta, y, por $h$, al nombre de chicos que asisten a la fiesta. Según el enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad ( que representa la mitad del número de personas que están bailando ): $$\dfrac{1}{3}\,h = \dfrac{2}{5}\,m \quad \quad (1)$$ por consiguiente, el número de personas que están bailando ( cada pareja de baile está formada por dos personas ) es igual a $2\cdot \dfrac{2}{5}\,m$ ( o lo que es lo mismo, $2\cdot \dfrac{1}{3}\,h$ )
De (1) se deduce que $$h=\dfrac{6}{5}\,m$$ Así que el número de personas que asisten a la fiesta es $$m+\dfrac{6}{5}\,m$$ es decir $$\dfrac{11}{5}\,m$$ y, por tanto, el número de personas que están bailando con respecto del total ( fracción de personas que están bailando ) es igual a $$\dfrac{2\cdot (2/5)\,m}{(11/5)\,m}$$ es decir $$\dfrac{4}{11}\,\text{partes del total de asistentes}$$
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Manejo de un conjunto de condiciones para llegar a la solución

ENUNCIADO. En una sala de cine hay $100$ butacas, y menos de $70$ están vacías. Sabemos también que: dos terceras partes de los espectadores son mujeres, y que cinco octavas partes de los espectadores están llorando; por otra parte, también se sabe que los que no están llorando son un número impar. ¿ Cuántas personas hay en el cine ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\} $, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.

Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.

Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
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Un ejercicio de proporcionalidad directa

ENUNCIADO. Un excursionista asciende por la ledera de una montaña, de pendiente constante, a una velocidad constante. A las 14:00 ha realizado $1/6$ del recorrido, a las 16:00 ha realizado $3/4$ del recorrido. ¿ Qué fracción del recorrido ha realizado a las 15:00 ?

SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
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Cálculos por inducción

ENUNCIADO. Calcúlese el resultado de la siguiente operación $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdot \, \ldots \, \cdot \left(1+\dfrac{1}{99}\right)$$

SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
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Un ejercicio de mezclas

ENUNCIADO. En una jarra mezclamos naranja y limón ( exprimidos ) a partes iguales. Una tercera parte del contenido de dicha jarra la ponemos en una segunda jarra ( inicialmente vacía ), idéntica a la primera; y la acabamos de llenar con limón exprimido. ¿ Cuántas partes de naranja sobre el total de la misma tiene la segunda jarra ? ¿ Cuántas partes de limón tiene ?

SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).

NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.

El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$

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Ángulo que forman las agujas del reloj (horaria y minutera) a una hora dada

ENUNCIADO. Calcúlese el ángulo que forman la aguja horaria y la minutera en el instante en que un reloj marca las 15:40:00

SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$

Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:

$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$

Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$

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Un ejercicio de reparto de escaños en unas eleccciones

ENUNCIADO. En unas elecciones, el partido $A$ ha obtenido $600$ votos; el partido $B$, $400$ votos; el partido $C$, $200$ votos, y el partido $D$ $50$ votos. Distribúyanse $15$ escaños entre los cuatro partidos, empleando el procedimiento d'Hondt.

SOLUCIÓN.

Aproximación al problema de reparto de escaños:
Si, repartimos el número de escaños de manera directamente proporcional al número de votos obtenido por cada partido, nos toparemos con el problema de negociar los decimales. Así, por ejemplo, con los datos del ejercicio ( los votos registrados suman un total de $1250$ ), obtendríamos los siguientes resultados al realizar el reparto:
$\dfrac{600}{1250}\cdot 15 = 7,2$ ( par $A$ )
$\dfrac{400}{1250}\cdot 15 = 4,8$ ( par $B$ )
$\dfrac{200}{1250}\cdot 15 = 2,4$ ( par $C$ )
$\dfrac{50}{1250}\cdot 15 = 0,6$ ( par $D$ )

El procedimiento d'Hondt:
El procedimiento de reparto de escaños d'Hondt se considera también como un método de reparto proporcional de escaños, pero con algunos matices, entre los cuales cabe subrayar que si bien resuelve el problema de los decimales los resultados que se obtienen van en detrimento de los partidos menos votados.

El algoritmo del procedimiento d'Hondt para asignar escaños consiste en comenzar anotando los votos obtenidos en la primera fila de una tabla, con tantas columnas como partidos haya y tantas filas como escaños haya que distribuir. El primer escaño se asigna al partido más votado y se señala dicho partido; a continuación, en la segunda fila se sustituye la cantidad de votos que dio lugar a asignar el escaño en el primer paso por el número que resulta de dividir el número de votos original por el número de escaños que ya tiene asignados más una unidad -- en el caso de que varios partidos tengan la misma cantidad en un determinado paso, se da el escaño al partido más votado --. Y se sigue así, hasta haber asignado todos los escaños. La siguiente figura muestra los resultados con los datos del ejercicio, y las celdas coloreadas indican el propietario del escaño.

Así, en el caso que nos ocupa, corresponden $8$ escaños al partido $A$, $5$ escaños a $B$ y $2$ escaños a $C$. Nota: el partido $C$ se queda sin representación.

-oOo-
También podemos dividir sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ tal como se muestra en la tabla de la siguiente figura. Basta con ordenar de mayor a menor las cantidades que resultan de la división de los votos por los divisores, hasta haber asignado un total de $15$ escaños. Las celdas de la tabla que aparecen coloreadas en color naranja, indican los números de escaños que corresponden a cada partido.


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Construcción de un diagrama de caja y bigotes con GeoGebra

Estadística descriptiva. Un ejercicio acerca de la determinación de los cuartiles y de la elaboración del diagrama de caja y bigotes

ENUNCIADO.

Ordenando los valores de menor a mayor,

47 52 52 57 58 58 60    65    66 66 71 71 72 73 96

Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:

47 52 52    57    58 58 60    65    66 66 71    71    72 73 96

Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$

Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.

Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.

Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):

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Valores atípicos en una distribución estadística unidimensional. Longitud de los bigotes del diagrama de caja y bigotes

Consideramos que un valor $X=k$ de una distribución estadística es atípico si se sitúa a mayor distancia que $1,5\cdot \text{RIQ}$ del tercer cuartil $Q_3$ o bien del primer cuartil $Q_1$, y se representa con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, $|Q_3-Q_1|$

Un valor $X=k$ es por tanto atípico si $k \succ Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$

Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es $31$. Justifíques el hecho de que dicho valor sea atípico.

SOLUCIÓN. Como $Q_3+1,5 \text{RIQ}=1,5\cdot 10+15=30 \prec 31$, $X=31$ es un valor atípico.


Observación:
Para dibujar los bigotes en un diagrama de caja y bigotes ( una vez dibujada la caja, con los cuartiles ) trazamos un segmento desde el tercer cuartil hasta el valor máximo no atípico, y otro segmento desde el primer cuartil hasta el valor mínimo no atípico, así quedan determinadas las longitudes de los bigotes.

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Reparto de escaños mediante el procedimiento d'Hondt

ENUNCIADO. En unas elecciones, cuatro partidos políticos han obtenido los siguintes votos:


VOTOS

---------------
|  A  |   900 |
---------------
|  B  |   600 |
--------------
|  C  |   300 |
--------------
|  D  |   100 |
--------------

Se desea repartir $7$ escaños empleando el procedimiento d'Hondt ( Fuente: Wikipedia ).

SOLUCIÓN.

Dividiendo sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ y $7$ el número de votos de cada partido y seleccionando los números mayores empezando por el vértice superior izquierdo ( que marcamos con un asterisco ) podremos contabilizar, fila a fila, el número de escaños que hay que asignar a cada partido.
SOLUCIÓN.

-----------------------------------
        divisores  consecutivos
-----------------------------------
   1    2   3   4   5   6   7
-----------------------------------
A 900  450* 300* 225* 180* 150 129
B 600  300* 200* 150  120  100  86
C 300  150* 100  75    60   50  43
D 100   50   33  25    20   17  14

Notas: Si en un cierto paso hubiese empate en los resultados de las divisiones, se asigna el escaño al partido que cuenta con mayor número de votos.

ESCAÑOS:

---------------
|  A  |     4 |
---------------
|  B  |     2 |
--------------
|  C  |     1 |
--------------
|  D  |     0 |
--------------

Otra manera de implementar el algoritmo d'Hondt consiste en: asignar el primer escaño al partido más votado en cada paso ( organizaremos dichos pasos por filas ) y dividir el número de votos de éste por el número de escaños que tiene asignados más una unidad, siendo este resultado el nuevo número de votos a tener en cuenta para dicho partido en el siguiente paso. Repetiremos estas operaciones hasta haber asignados todos los escaños (*), tal como se muestra en la siguiente tabla:

--------------------------------------------------------
      A      |      B      |      C      |      D      |
--------------------------------------------------------
     900 (*) |     600     |     300     |     100     |
--------------------------------------------------------
     450     |     600 (*) |     300     |     100     |
--------------------------------------------------------
     450 (*) |     300     |     300     |     100     |
--------------------------------------------------------
     300 (*) |     300     |     300     |     100     |
--------------------------------------------------------
     225     |     300 (*) |     300 (*) |     100     |
--------------------------------------------------------
     225 (*)    |  150     |     150     |     100     |
--------------------------------------------------------

$\square$

Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con amplitudes desiguales.

Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con distintas amplitudes:
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )

Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:

15 15 13 17 18 19 14 12 11  9
13 15 16 18 20 18 16 15 15 14
17 15 12 13 15 16 15 17 18 15

Agrupar los valores en las siguientes clases ( intervalos ): $[9,13)$, $[13,17)$ y $[17,20]$, y elaborar una tabla de frecuencias absolutas

SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias

--------------------------------------------
--------------------------------------------
i   |intervalo  | amplitud_i | n_i |  N_i  |
--------------------------------------------
1   | [9,13)   |  13-9=4    |  4   |  4    |
--------------------------------------------
2   | [13,17)  |  17-13=4   | 17   | 21    |
--------------------------------------------
3   | [17,20)] | 20-17=3    |  9   | 30    |
--------------------------------------------
                            | N=30 |
                            -------

A continuación, deberemos dibujar los histogramas, aunque sólo calcularemos lo necesario, aquí, para elaborar el de frecuencias absolutas del recuento ( de manera similar procederíamos para dibujar el histograma de frecuencias acumuladas ). Provistos de una hoja de papel milimitrado ( para mayor comodidad ), calcularemos la altura y la anchura de los tres rectángulos que formaran dicho histograma.
Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$

Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$

Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$

Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$


Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$


$\square$

Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de valores en intervalos ( clases ) de igual amplitud

Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con igual amplitud:
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:

1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$

2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$

3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$

Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:

15 15 13 17 18 19 14 12 11  9
13 15 16 18 20 18 16 15 15 14
17 15 12 13 15 16 15 17 18 15

Agrupar los valores en clases ( intervalos ) y elaborar una tabla de frecuencias absolutas

SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$

Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$

A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$

En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$

Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:

-----------------------
i|intervalo | n_i |N_i|
-----------------------
1|8'5,10'5) |  1  |1  |
-----------------------
2|10'5,12'5)|  3  |4  |
-----------------------
3|12'5,14'5)|  5  |9  |
-----------------------
4|14'5,16'5)| 12  |21 |
-----------------------
5|16'5,18'5)|  7  |28 |
-----------------------
6|18'5,20'5)|  2  |30 |
-----------------------
            |N=30 |
            -------

$\square$

¿ Están esos puntos alineados ?

Sucesiones cuadráticas ( Contenido de ampliación para 3.º de ESO )