ENUNCIADO.
Reparte $15\,000$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $5$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+5}=1\,500$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=1\,500 \Rightarrow x=2\cdot 1\,500=3\,000$ euros
$\dfrac{y}{3}=1\,500 \Rightarrow x=3\cdot 1\,500=4\,500$ euros
$\dfrac{z}{5}=1\,500 \Rightarrow x=5\cdot 1\,500=7\,500$ euros
$\square$
Ejercicio número 20 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Reparte $11\,050$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $4$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+4}=\dfrac{5\,000}{3}$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=2\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 3\,333,33$ euros
$\dfrac{y}{3}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=3\cdot \dfrac{5\,000}{3}=5\,000$ euros
$\dfrac{z}{4}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=4\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 6\,666,67$ euros
$\square$
Ejercicio número 21 de la página 73 del libro de texto base ( ATENCIÓN: El enunciado está modificado y corregido - había un error en el enunciado del libro -)
ENUNCIADO.
A una trabajadora le descuentan mensualmente de su nómina el $5\,\%$ para un seguro que asciende a $140$ euros. ¿ A cuánto asciende su sueldo bruto ?.
SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ al sueldo bruto, entonces $\dfrac{100}{5}=\dfrac{x}{140}\Rightarrow x=\dfrac{140\cdot 100}{5}=2\,800$ euros
$\square$
Ejercicio número 22 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En la factura de un taller aplican un $21\,\%$ de IVA sobre un importe de $168$ euros. ¿ Cuánto se paga en total ?.
SOLUCIÓN.
Se pagará en total $168+\dfrac{21}{100}\cdot 168 = 1,21\cdot 168 = 203,28$ euros
$\square$
Ejercicio número 23 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En una mezcla de $500$ gramos de café, $100$ gramos son de torrefacto y el resto es de café natural. ¿ Qué porcentaje de café torrefacto lleva la mezcala ?.
SOLUCIÓN.
Para calcular el porcentaje, $t$ ( tanto por ciento ), de café torrefacto podemos plantear la siguiente proporción: $\dfrac{t}{100}=\dfrac{100}{500} \Rightarrow t=\dfrac{100}{5}\,\%=20\,\%$
$\square$
Ejercicio número 24 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado para que se entienda mejor )
ENUNCIADO.
En una factura por una cantidad nominaal de $350$ euros nos aplican un $20\,\%$ de descuento y un $21\,\%$ de IVA. Calcula el importe total de la factura.
SOLUCIÓN.
El importe total de la factura es igual a $350\cdot \dfrac{100-20}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100}=\dfrac{350\cdot 80\cdot 121}{100\cdot 100}=338,8$ euros, esto es, $338$ euros y $80$ céntimos de euro. $\square$
Ejercicio número 25 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
En una tienda compramos un televisor con una regaja del $20\,\%$ y nos cobran el $21\,\%$ de IVA. Si pagamos $232$ euros por él, ¿ cuál era el precio nominal del televisor ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ al precio nominal, entonces $\left(\dfrac{100-20}{100}\right)\cdot \left(\dfrac{100+21}{100}\right)\,x=232$, luego $x=\dfrac{232\cdot 100\cdot 100}{80\cdot 121}\approx 239,67$ euros $\square$
Ejercicio número 31 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Las ruedas delanteras de un tractor tienen un diámetro de $0,9$ metros y las traseras tienen un diámetro de $1,2$ metros. Si en un trayecto las ruedas delanteras han dado $250$ vueltas, ¿ cuántas vueltas habrán dado las traseras ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ el número de vueltas pedido. Como la proporción es inversa, $0,9\cdot 250=1,2\,x \Rightarrow x=\dfrac{0,9\cdot 250}{1,2}=187,5$ vueltas
$\square$
Ejercicio número 32 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Con $100$ kilogramos de harina se hacen $120$ kilogramos de pan. Calcula la cantidad de harina necesaria para elaborar un pan de $120$ gramos.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ la cantidad de harina pedida ( expresada en gramos ). Como la proporción es directa, $\dfrac{100\,000}{120\,000}=\dfrac{x}{120} \Rightarrow x=100$ gramos
$\square$
Ejercicio número 33 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un grifo vierte $25$ litros por minuto y tarda $2$ horas en llenar un depósito. ¿ Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito otro grifo que vierte $40$ litros por minuto ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $t$ el tiempo pedido. Entonces, como la proporción es inversa: $25\cdot 2=40\,t \Rightarrow t=\dfrac{25\cdot 2}{40}=\dfrac{50}{40}=1,25$ horas, esto es, $1$ hora y $1/4$ de hora más = $1$ hora y $15$ minutos. $\square$
Ejercicio número 37 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una familia de $4$ miembros puede manenerse durante $8$ meses con $5\,000$ euros. ¿ Cuántas personas podrían mantenerse durante $15$ meses con $30\,0000$ euros ?.
SOLUCIÓN.
Ordenemos los datos en una tabla:
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número de personas | tiempo ( en meses ) | ingresos ( en euros )
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4 | 8 | 5000
-----------------------------------------------------------------
x | 15 | 30000
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La relación entre el tiempo y el número de personas es inversa; y, la relación entre la cantidad de ingresos y el número de personas es directa. Así pues, denotando por $x$ al número de personas pedido, podemos escribir la proporción compuesta de la forma $\dfrac{x}{4}=\left(\dfrac{15}{8}\right)^{-1}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}$, esto es $\dfrac{x}{4}=\dfrac{8}{15}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}\Rightarrow x=\dfrac{4\cdot 8\cdot 30\,000}{15\cdot 5\,000}\approx 12$ personas ( aproximando por defecto a la cifra de las unidades ).
$\square$
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