Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 2, apartados b y d, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones:
b) $1,1,2,3,5,8,\ldots$
d) $1,-2,4,-8,\ldots$


SOLUCIÓN.
b) $1,1,2,3,5,8,13,21,34,35$ Esta sucesión se conoce con el nombre de s. de Fibonacci. El término actual es igual a la suma de los dos términos precedentes )
d) $1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,-512$
Esta sucesión es una s. geométrica de razón igual a $-2$. Como la razón es un número negativo, los términos se van alternando en cuanto a su signo.

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Ejercicio número 4 de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los cuatro primeros términos positivos de las siguientes sucesiones y escribe la expresión algebraica del término general:
a) sucesión de los números pares
b) sucesión de los números impares
c) sucesión de los múltiplos de 5
d) sucesión de los cubos


SOLUCIÓN.
a) $2,4,6,8,\ldots$, término general: $a_n=2\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$. Nota: sólo se piden los pares positivos, pero no olvidéis que $0$ también es par, y, desde luego, los opuestos de los que hemos escrito (los negativos), también lo son.
b) $1,3,5,7,\ldots$, término general: $b_n=2\,n+1$, donde $n=1,2,3,\ldots$
c) $5,10,15,20,\ldots$, término general: $c_n=5\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$
d) $1,8,27,64,\ldots$, término general: $d_n=n^3$, donde $n=1,2,3,\ldots$

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Ejercicio número 5, apartados b y d, de la página 49 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el término general de las siguientes sucesiones aritméticas:
b) $6,3,0,-3,\ldots$
d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$


SOLUCIÓN.
b) $6,3,0,-3,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=3$, luego su término general - cuya expresión es $b_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $b_n=6+3\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$

d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=1/2$, luego su término general - cuya expresión es $d_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$, que podemos simplificar escribiéndola de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}\,n$ , donde $n=1,2,3,\ldots$

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Ejercicio número 13, apartado b, de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la lsuma de los infinitos términos de la siguiente sucesión:
b) $3,2,4/3,8/9,16/27,\ldots$


SOLUCIÓN.
Esta sucesión es geométrica; el primer término es $a_1=3$ y la razón es $r=\dfrac{2}{3}$. Hemos visto ya que al ser la razón menor que $1$, el valor de los términos decrece paulatinamente ad infinitum, por lo que la suma de los infinitos términos será un número, que es el que tenemos que calcular. De la expresión de la suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, tenemos que, en ésta, al pensar $n$ como infinito, sucede que $r^{\infty} \rightarrow 0$, luego $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$, y, en el caso concreto que nos ocuapa, $S_{\infty}=\dfrac{3}{1-2/3}=9$

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Ejercicio número 15 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Encuentra el valor de la razón de la progresión geométrica que tiene $a_4=135$ y $a_6=1\,215$


SOLUCIÓN.
Como $a_6=a_5\,r=a_4\,r^2$, podemos escribir $1\,215=135\,r^2 \Rightarrow r^2=\dfrac{1\,215}{135}=9 \Rightarrow r=3$\square$


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Ejercicio número 17 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica es $6$ y su primer término es $4$. Halla el valor de la razón misma.


SOLUCIÓN.
Por lo que hemos dicho en el problema 13: $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$. Y con los datos de este problema, $\dfrac{4}{1-r}=6 \Rightarrow 6\,(1-r)=4 \Rightarrow 6-4=6\,r \Rightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, que es menor que $1$ ( como debe ser ).

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Ejercicio número 18 de la página 51 del libro de texto base ( modificado con una segunda pregunta añadida )
ENUNCIADO.
Si en un cuadrado de $8$ metros cuadrados de área se unen los puntos medios, se obtiene otro cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la sucesión de las áreas de dichos cuadrados. ¿ Qué tipo de sucesión es ? ¿ Cuál es el valor de la suma de las áreas de esta sucesión infinita ?.


SOLUCIÓN.
El lado del cuadrado de partida es $\ell_1=|\sqrt{8}|=2\,|\sqrt{2}|$ metros, y el lado $\ell_2$ del segundo cumple el teorema de Pitágoras aplicado cualquiera de los cuatro triángulos rectángulos isósceles en que se descompone, por lo que $\ell_2^{2}=(|\sqrt{2}|)^2+(|\sqrt{2}|)^2 \Rightarrow \ell_2=|\sqrt{2+2}|=|\sqrt{4}|=2$, y así sucesivamente. Se forma pues una sucesión geométrica con los lados, de razón $r=\dfrac{\ell_2}{\ell_1}=\dfrac{2\,|\sqrt{2}|}{2}=|\sqrt{2}$, con lo cual, la sucesión de las áreas es también geométrica y su razón es igual a $r^2=2$. Como el área del primer cuadrado es igual $8$ metros cuadrados, el término general de la sucesión de las aréas se escribe de la forma $a_n=8\,2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$. Y la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se generan es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}=\dfrac{8}{1-2}=8\,\text{m}^2$.

$\square$