ENUNCIADO. Halla la fracción generatriz ( la fracción irreducible equivalente ):
a) $3,7$
b) $1,06$
c) $4,19$
d) $0,0038$
e) $7,169$
f) $-12,3$
g) $2,608$
h) $8,88$
SOLUCIÓN.
a)
$3,7\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{37}{10}$
b)
$1,06\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{106}{100}=\dfrac{53}{50}$
c) $4,19\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{419}{100}$
d) $0,0038\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{38}{10\,000}=\frac{19}{5000}$
e) $7,169\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{7169}{1000}$
f) $-12,3\overset{\text{d.e.}}{=}-\dfrac{123}{10}$
g) $2,608\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{2608}{1000}=\frac{326}{125}$
h) $8,88\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{888}{100}=\frac{222}{25}$
Ejercicio 36 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla la fracción generatriz ( la fracción irreducible equivalente ):
a) $5,\overline{24}$
b) $5,\overline{1}$
c) $2,\overline{75}$
d) $9,12\overline{3}$
e) $32,\overline{8}$
f) $9,2\overline{17}$
g) $15,\overline{307}$
h) $0,17\overline{4}$
SOLUCIÓN.
a)
$5,\overline{24} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{524-5}{99}=\dfrac{519}{99}=\dfrac{173}{33}$
b)
$5,\overline{1} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{51-5}{9}=\dfrac{46}{9}$
c)
$2,\overline{75} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{275-2}{99}=\dfrac{91}{33}$
d)
$9,12\overline{3}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9123-912}{900}=\dfrac{2737}{300}$
e)
$32,\overline{8}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{328-32}{9}=\dfrac{296}{9}$
f)
$9,2\overline{17}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9217-92}{990}=\dfrac{1825}{198}$
g)
$15,\overline{307}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{15307-15}{999}=\dfrac{15292}{999}$
h)
$0,17\overline{4}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{174-17}{900}=\dfrac{13}{90}$
d)
$9,12\overline{3} \overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9123-912}{900}=\dfrac{8211}{900}=\dfrac{2737}{300}$
$\square$
Ejercicio 38 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los términos en forma de fracción:
a) $2,\overline{37}+1,\overline{18}$
b) $2,3\overline{35}\cdot 1,\overline{8}+2,\overline{45}$
c) $2,\overline{012}-3,\overline{9}$
d) $1,1\overline{52}+4,\overline{56}\cdot 1,3\overline{2}$
SOLUCIÓN.
a)
$2,\overline{37}+1,\overline{18}=\dfrac{237-2}{99}+\dfrac{118-1}{99}=\dfrac{235}{99}+\dfrac{117}{99}=\dfrac{235+117}{99}=\dfrac{352}{99}$
b) $2,3\overline{35}\cdot 1,\overline{8}+2,\overline{45}=\dfrac{2335-23}{990}\cdot \dfrac{18-1}{9}+\dfrac{245-2}{99}=\ldots=\dfrac{30587}{4455}$
c) $2,\overline{012}-3,\overline{9}=\dfrac{2012-2}{999}-4=\ldots=-\dfrac{662}{333}$
d) $1,1\overline{52}+4,\overline{56}\cdot 1,3\overline{2}=\dfrac{1152-11}{990}+\dfrac{456-4}{99}\cdot \dfrac{132-13}{90}=\ldots=\dfrac{64057}{8910}$
$\square$
Ejercicio 39 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sin efectuar las divisiones, indica cuáles de las siguientes fracciones equivalen a números decimales exactos y cuáles a números decimales periódicos:
a) $\dfrac{10}{256}$
b) $\dfrac{73}{125}$
c) $\dfrac{15}{200}$
d) $\dfrac{225}{300}$
e) $\dfrac{20}{81}$
f) $\dfrac{56}{1000}$
SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{10}{256}=\dfrac{5}{128}$, que es una fracción irreducible. Como $128$ puede multiplicarse por un número cuyo última cifra sea 5 para obtener una potencia de 10, y así escribir una fracción equivalente a la fracción irreducible con una potencia de 10 en el denominador, se trata de un número decimal exacto.
b) $\dfrac{73}{125}$ es un número decimal exacto, ya que $125\cdot 8 =1000$ ( es una potencia de $10$ ) y por tanto $\dfrac{73}{125}=\dfrac{73\cdot 8}{1000}=\dfrac{584}{1000}$, por ser el denominador una potencia de 10
c) $\dfrac{15}{200}=\dfrac{15\cdot 5}{200\cdot 5}=\dfrac{75}{1000}$ luego es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
d) $\dfrac{225}{300}=\dfrac{75}{100}$ luego es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
e) $\dfrac{20}{81}$ es un número periódico, ya que la fracción es irreducible, y $81$ no es divisor de ninguna potencia de $10$
f) $\dfrac{56}{1000}$ es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
$\square$
Ejercicio 45 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Dado el número $\dfrac{11}{8}$, ¿ cuáles son los errores absoluto y relativo al tomar como aproximación el número $1,38$ ?
SOLUCIÓN.
El error absoluto es igual a $\left|\dfrac{11}{8}-1,38\right|=\left|\dfrac{11}{8}-\dfrac{138}{100}\right|=\dfrac{1}{200}$, y el error relativo $\dfrac{1/200}{11/8}=\dfrac{1}{275}\approx 0,004=4\,\%$
$\square$
Ejercicio 46 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el error absoluto y el error relativo que se comente al tomoar $0,6$ como aproximación del número $0,5625$
SOLUCIÓN.
El error absoluto es igual a $\left|0,5625-0,6\right|=0,0375$, y el error relativo $\dfrac{0,0375}{0,5625}=0,0\overline{6} \approx 0,07=7\,\%$
$\square$
Ejercicio 47 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Redondea estos números a las décimas:
a) $4,784$
b) $1,43$
c) $18,95$
SOLUCIÓN.
a) $4,784\approx 4,8$
b) $1,43 \approx 1,4$
c) $18,95 \approx 19,0$
$\square$
Ejercicio 49 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Al medir una pista de atletismo de $400$ metros de longitud se comete un error de $0,5$ metros. ¿ Cuál es el error relativo ?
SOLUCIÓN.
El error relativo es igual al cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Como desconocemos el valor exacto, podemos tomar una cota razonable del mismo igual a el valor aproximado menos el error absoluto, luego el error relativo pedido es igual a $\dfrac{0,5}{200-0,5} \approx 0,0025 = 2,5\,\%$
$\square$
Ejercicio 53 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Explica por qué estos números no están expresados en notación científica:
a) $0,75\cdot 10^{16}$
b) $3,257\cdot 100^{9}$
c) $0,5\cdot 10^{11}$
d) $12,54\cdot 10^{8}$
e) $4,832\cdot 10^{7,5}$
f) $45\cdot 10^{-13}$
SOLUCIÓN.
Sin tener en cuenta el signo de la cantidad expresada, para que esté correctamente expresado ( en cuanto al formato establecido ), la mantisa tiene que ser un número mayor o igual que 1 y menor que 10; y, por otra parte, la base de la potencia que da el orden de magnitud, ha de ser 10, y el exponente de dicha potencia un número entero. Entonces, deberían escribirse como sigue:
a) $0,75\cdot 10^{16}=7,5\cdot 10^{15}$
b) $3,257\cdot 100^{9}=3,257\cdot 10^{18}$
c) $0,5\cdot 10^{11}=5\cdot 10^{10}$
d) $12,54\cdot 10^{8}=1,254\cdot 10^{9}$
e) $4,832\cdot 10^{7,5}=...$ ( el exponente de la potencia de 10 no es un número entero )
f) $45\cdot 10^{-13}=4,5\cdot 10^{-12}$
$\square$
Ejercicio 54 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en notación usual los siguientes números:
a) $5,37\cdot 10^{-6}$
b) $8,117\cdot 100^{-9}$
c) $3,6587\cdot 10^{8}$
d) $1,45\cdot 10^{4}$
e) $6,047\cdot 10^{5}$
f) $7,413\cdot 10^{12}$
g) $5,56\cdot 10^{-2}$
h) $5,175\cdot 10^{3}$
i) $4,802\cdot 10^{-13}$
SOLUCIÓN.
b) $8,117\cdot 100^{-9}=0,000\,000\,008\,117$
c) $3,6587\cdot 10^{8}=365\,870\,000$
d) $1,45\cdot 10^{4}=14\,500$
e) $6,047\cdot 10^{5}=604\,700$
f) $7,413\cdot 10^{12}=7413 \, 000\,000\,000$
g) $5,56\cdot 10^{-2}=0,0556$
h) $5,175\cdot 10^{3}=5175$
i) $4,802\cdot 10^{-13}=0,000\,000\,000\,000\,4802$
$\square$
Ejercicio 57 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:
a) $4,83\cdot 10^{12}+5,234\cdot 10^{12}-3,48\cdot 10^{12}$
b) $4,93\cdot 10^{11}-3,25\cdot 10^{11}-1,54\cdot 10^{11}$
c) $8,23\cdot 10^{11}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}$
SOLUCIÓN.
a) $4,83\cdot 10^{12}+5,234\cdot 10^{12}-3,48\cdot 10^{12}=(4,83+5,234-3,48)\cdot 10^{12}=-3,884\cdot 10^{12}$
b) $4,93\cdot 10^{11}-3,25\cdot 10^{11}-1,54\cdot 10^{11}=(4,93-3,25-1,54)\cdot 10^{11}=$
$=0,14\cdot 10^{11}=1,4\cdot 10^{10}$
c) $8,23\cdot 10^{11}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}=0,823\cdot 10^{12}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}=$
$=(0,823-4,78+2,45)\cdot 10^{12}=-1,507\cdot 10^{12}$
$\square$
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