ENUNCIADO. Halla la fracción generatriz ( la fracción irreducible equivalente ):
a) 3,7
b) 1,06
c) 4,19
d) 0,0038
e) 7,169
f) -12,3
g) 2,608
h) 8,88
SOLUCIÓN.
a)
3,7\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{37}{10}
b)
1,06\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{106}{100}=\dfrac{53}{50}
c) 4,19\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{419}{100}
d) 0,0038\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{38}{10\,000}=\frac{19}{5000}
e) 7,169\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{7169}{1000}
f) -12,3\overset{\text{d.e.}}{=}-\dfrac{123}{10}
g) 2,608\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{2608}{1000}=\frac{326}{125}
h) 8,88\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{888}{100}=\frac{222}{25}
Ejercicio 36 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla la fracción generatriz ( la fracción irreducible equivalente ):
a) 5,\overline{24}
b) 5,\overline{1}
c) 2,\overline{75}
d) 9,12\overline{3}
e) 32,\overline{8}
f) 9,2\overline{17}
g) 15,\overline{307}
h) 0,17\overline{4}
SOLUCIÓN.
a)
5,\overline{24} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{524-5}{99}=\dfrac{519}{99}=\dfrac{173}{33}
b)
5,\overline{1} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{51-5}{9}=\dfrac{46}{9}
c)
2,\overline{75} \overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{275-2}{99}=\dfrac{91}{33}
d)
9,12\overline{3}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9123-912}{900}=\dfrac{2737}{300}
e)
32,\overline{8}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{328-32}{9}=\dfrac{296}{9}
f)
9,2\overline{17}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9217-92}{990}=\dfrac{1825}{198}
g)
15,\overline{307}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{15307-15}{999}=\dfrac{15292}{999}
h)
0,17\overline{4}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{174-17}{900}=\dfrac{13}{90}
d)
9,12\overline{3} \overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{9123-912}{900}=\dfrac{8211}{900}=\dfrac{2737}{300}
\square
Ejercicio 38 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los términos en forma de fracción:
a) 2,\overline{37}+1,\overline{18}
b) 2,3\overline{35}\cdot 1,\overline{8}+2,\overline{45}
c) 2,\overline{012}-3,\overline{9}
d) 1,1\overline{52}+4,\overline{56}\cdot 1,3\overline{2}
SOLUCIÓN.
a)
2,\overline{37}+1,\overline{18}=\dfrac{237-2}{99}+\dfrac{118-1}{99}=\dfrac{235}{99}+\dfrac{117}{99}=\dfrac{235+117}{99}=\dfrac{352}{99}
b) 2,3\overline{35}\cdot 1,\overline{8}+2,\overline{45}=\dfrac{2335-23}{990}\cdot \dfrac{18-1}{9}+\dfrac{245-2}{99}=\ldots=\dfrac{30587}{4455}
c) 2,\overline{012}-3,\overline{9}=\dfrac{2012-2}{999}-4=\ldots=-\dfrac{662}{333}
d) 1,1\overline{52}+4,\overline{56}\cdot 1,3\overline{2}=\dfrac{1152-11}{990}+\dfrac{456-4}{99}\cdot \dfrac{132-13}{90}=\ldots=\dfrac{64057}{8910}
\square
Ejercicio 39 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sin efectuar las divisiones, indica cuáles de las siguientes fracciones equivalen a números decimales exactos y cuáles a números decimales periódicos:
a) \dfrac{10}{256}
b) \dfrac{73}{125}
c) \dfrac{15}{200}
d) \dfrac{225}{300}
e) \dfrac{20}{81}
f) \dfrac{56}{1000}
SOLUCIÓN.
a) \dfrac{10}{256}=\dfrac{5}{128}, que es una fracción irreducible. Como 128 puede multiplicarse por un número cuyo última cifra sea 5 para obtener una potencia de 10, y así escribir una fracción equivalente a la fracción irreducible con una potencia de 10 en el denominador, se trata de un número decimal exacto.
b) \dfrac{73}{125} es un número decimal exacto, ya que 125\cdot 8 =1000 ( es una potencia de 10 ) y por tanto \dfrac{73}{125}=\dfrac{73\cdot 8}{1000}=\dfrac{584}{1000}, por ser el denominador una potencia de 10
c) \dfrac{15}{200}=\dfrac{15\cdot 5}{200\cdot 5}=\dfrac{75}{1000} luego es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
d) \dfrac{225}{300}=\dfrac{75}{100} luego es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
e) \dfrac{20}{81} es un número periódico, ya que la fracción es irreducible, y 81 no es divisor de ninguna potencia de 10
f) \dfrac{56}{1000} es un número decimal exacto, por ser el denominador una potencia de 10
\square
Ejercicio 45 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Dado el número \dfrac{11}{8}, ¿ cuáles son los errores absoluto y relativo al tomar como aproximación el número 1,38 ?
SOLUCIÓN.
El error absoluto es igual a \left|\dfrac{11}{8}-1,38\right|=\left|\dfrac{11}{8}-\dfrac{138}{100}\right|=\dfrac{1}{200}, y el error relativo \dfrac{1/200}{11/8}=\dfrac{1}{275}\approx 0,004=4\,\%
\square
Ejercicio 46 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el error absoluto y el error relativo que se comente al tomoar 0,6 como aproximación del número 0,5625
SOLUCIÓN.
El error absoluto es igual a \left|0,5625-0,6\right|=0,0375, y el error relativo \dfrac{0,0375}{0,5625}=0,0\overline{6} \approx 0,07=7\,\%
\square
Ejercicio 47 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Redondea estos números a las décimas:
a) 4,784
b) 1,43
c) 18,95
SOLUCIÓN.
a) 4,784\approx 4,8
b) 1,43 \approx 1,4
c) 18,95 \approx 19,0
\square
Ejercicio 49 de la página 35 del libro de texto base
ENUNCIADO. Al medir una pista de atletismo de 400 metros de longitud se comete un error de 0,5 metros. ¿ Cuál es el error relativo ?
SOLUCIÓN.
El error relativo es igual al cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Como desconocemos el valor exacto, podemos tomar una cota razonable del mismo igual a el valor aproximado menos el error absoluto, luego el error relativo pedido es igual a \dfrac{0,5}{200-0,5} \approx 0,0025 = 2,5\,\%
\square
Ejercicio 53 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Explica por qué estos números no están expresados en notación científica:
a) 0,75\cdot 10^{16}
b) 3,257\cdot 100^{9}
c) 0,5\cdot 10^{11}
d) 12,54\cdot 10^{8}
e) 4,832\cdot 10^{7,5}
f) 45\cdot 10^{-13}
SOLUCIÓN.
Sin tener en cuenta el signo de la cantidad expresada, para que esté correctamente expresado ( en cuanto al formato establecido ), la mantisa tiene que ser un número mayor o igual que 1 y menor que 10; y, por otra parte, la base de la potencia que da el orden de magnitud, ha de ser 10, y el exponente de dicha potencia un número entero. Entonces, deberían escribirse como sigue:
a) 0,75\cdot 10^{16}=7,5\cdot 10^{15}
b) 3,257\cdot 100^{9}=3,257\cdot 10^{18}
c) 0,5\cdot 10^{11}=5\cdot 10^{10}
d) 12,54\cdot 10^{8}=1,254\cdot 10^{9}
e) 4,832\cdot 10^{7,5}=... ( el exponente de la potencia de 10 no es un número entero )
f) 45\cdot 10^{-13}=4,5\cdot 10^{-12}
\square
Ejercicio 54 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en notación usual los siguientes números:
a) 5,37\cdot 10^{-6}
b) 8,117\cdot 100^{-9}
c) 3,6587\cdot 10^{8}
d) 1,45\cdot 10^{4}
e) 6,047\cdot 10^{5}
f) 7,413\cdot 10^{12}
g) 5,56\cdot 10^{-2}
h) 5,175\cdot 10^{3}
i) 4,802\cdot 10^{-13}
SOLUCIÓN.
b) 8,117\cdot 100^{-9}=0,000\,000\,008\,117
c) 3,6587\cdot 10^{8}=365\,870\,000
d) 1,45\cdot 10^{4}=14\,500
e) 6,047\cdot 10^{5}=604\,700
f) 7,413\cdot 10^{12}=7413 \, 000\,000\,000
g) 5,56\cdot 10^{-2}=0,0556
h) 5,175\cdot 10^{3}=5175
i) 4,802\cdot 10^{-13}=0,000\,000\,000\,000\,4802
\square
Ejercicio 57 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:
a) 4,83\cdot 10^{12}+5,234\cdot 10^{12}-3,48\cdot 10^{12}
b) 4,93\cdot 10^{11}-3,25\cdot 10^{11}-1,54\cdot 10^{11}
c) 8,23\cdot 10^{11}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}
SOLUCIÓN.
a) 4,83\cdot 10^{12}+5,234\cdot 10^{12}-3,48\cdot 10^{12}=(4,83+5,234-3,48)\cdot 10^{12}=-3,884\cdot 10^{12}
b) 4,93\cdot 10^{11}-3,25\cdot 10^{11}-1,54\cdot 10^{11}=(4,93-3,25-1,54)\cdot 10^{11}=
=0,14\cdot 10^{11}=1,4\cdot 10^{10}
c) 8,23\cdot 10^{11}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}=0,823\cdot 10^{12}-4,78\cdot 10^{12}+2,45\cdot 10^{12}=
=(0,823-4,78+2,45)\cdot 10^{12}=-1,507\cdot 10^{12}
\square
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