Grupo B - Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio 50 de la página 38 del libro de texto base
ENUNCIADO. Simplifica los radicales:
a) $\sqrt[6]{7^2}$
b) $\sqrt[15]{7^{12}}$
c) $\sqrt[20]{7^{12}}$
d) $\sqrt[30]{7^{18}}$
SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[6]{7^2}=7^{2/6}=7^{1/3}=\sqrt[3]{7}$

b)
$\sqrt[15]{7^{12}}=7^{12/15}=7^{4/5}=\sqrt[5]{7^4}$

c)
$\sqrt[20]{7^{12}}=7^{12/20}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$

d)
$\sqrt[30]{7^{18}}=7^{18/30}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$

$\square$

-oOo-
Ejercicio 56 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:
a) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$
b) $\sqrt{45} \div \sqrt{5}$
c) $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}$
d) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$ SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3^3} \cdot \sqrt{3}=(3^3)^{1/2} \cdot 3^{1/2}=\left(3^{3}\cdot 3\right)^{1/2}=(3^4)^{1/2}=3^{4/2}=3^2=9$

b)
$\sqrt{45} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^{2}\cdot 5} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{5}\div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}=3$

c)
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4\cdot 16}=\sqrt[3]{4\cdot 4^2}=\sqrt[3]{4^3}=4$

d)
$\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=\sqrt[5]{\sqrt{2^{10}}}=\left((2^{10})^{1/2}\right)^{1/5}=(2^{10})^{(1/2)\cdot(1/5)}=(2^{10})^{(1/10}=2^{10/10}=2^1=2$


$\square$

-oOo-
Ejercicio 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguientes casos:
a) $2^x=32$
b) $3^4=x$
c) $x^3=125$
d) $x^3=-8$
SOLUCIÓN.
a)
$2^x=32$
  $2^x=2^5 \Rightarrow x=5$
b)
$3^4=x$
  $x=3^4=81$

c)
$x^3=125$
  $x^3=5^3 \Rightarrow x=5$

d)
$x^3=-8$
  $x^3=(-2)^3 \Rightarrow x=-2$


$\square$

-oOo- Ejercicio 64 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula:
a) $5^{-1}$
b) $(-5)^{-1}$
c) $2^{2^3}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-1}=\text{inverso}(5)=\dfrac{1}{5}$

b)
$(-5)^{-1}=\text{inverso}(-5)=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}$

c)
$2^{2^3}=2^8=256$

d)
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\text{inverso}(-1/3)=3/(-1)=-3$


$\square$

-oOo- Ejercicio 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Expresa en forma de una sola potencia:
a) $5^{-3}\cdot 5^{-4}$
b) $3^{-4}\div 3^{-7}$
c) $(7^{-3})^{-5}$
d) $13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-3}\cdot 5^{-4}=5^{-3+(-4)}=5^{-7}$

b)
$3^{-4}\div 3^{-7}=3^{-4-(-7)}=3^{-4+7}=3^3$

c)
$(7^{-3})^{-5}=7^{-3\cdot (-5)}=7^{15}$

d)
$13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}=13^{-2+(-3)+(-4)}=13^{-9}$


$\square$

-oOo- Ejercicio 67 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula sin utilizar la calculadora:
a) $\sqrt[3]{125}$
b) $\sqrt[3]{-125}$
c) $\sqrt[3]{0,001}$
d) $\sqrt[3]{-0,008}$

SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=(5^3)^{1/3}=5^{3/3}=5^1=5$

b)
$\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{-5^3}=\sqrt[3]{(-5)^3}=(-5)^{3/3}=(-5)^1=5=-5$

c)
$\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{1/1000}=\sqrt[3]{1/10^3}=\sqrt[3]{10^{-3}}=(10^{-3})^{1/3}=10^{-3/3}=10^{-1}=1/10=0,1$


$\square$

-oOo- Ejercicio 69 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Introduce dentro del radical los factores que están fuera:
a) $3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}$
b) $2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}$
c) $3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10ab^{3}c^{2}}$
d) $2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}$

SOLUCIÓN.
a)
$3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}=\sqrt{(3^{2}ab^{3}c)^2\cdot 5ab}=\sqrt{(3^2)^{2}\cdot 5\,a^2\,(b^3)^2\,c^2\,a\,b}=$

  $=\sqrt{(3^{2\cdot 2})\cdot 5\,a^{2+1}\,(b^{3\cdot 2+1})\,c^2}=\sqrt{3^{4}\cdot 5\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}=\sqrt{405\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}$

b)
$2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}=\sqrt[3]{(2^3\,a^2\,b^5\,c^2)^3\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{(2^3)^{3}\,(a^2)^{3}\,(b^5)^{3}\,(c^2)^{3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=$

  $=\sqrt[3]{2^{3\cdot 3}\,a^{2\cdot 3}\,b^{5\cdot 3}\,c^{2\cdot 3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2^{9}\cdot 5\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2560\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=$

    $=\sqrt[3]{2560\,a^{6+2}\,b^{15+1}\,c^{6+2}}=\sqrt[3]{2560\,a^{8}\,b^{16}\,c^{8}}$
c)
$3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^{2}ab^{3}c^{4})^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^2)^{4}\,a^4\,(b^3)^{4}\,(c^4)^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=$

  $=\sqrt[4]{3^{2\cdot 4}\,a^4\,b^{3\cdot 4}\,c^{4\cdot 4}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\,a^4\,b^{12}\,c^{16}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\cdot 10\,\,a^{4+1}\,b^{12+3}\,c^{16+2}}=$

    $=\sqrt[4]{65\,610\,\,a^{5}\,b^{15}\,c^{18}}$


d)
$2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3}a^{2}bc^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3})^{5}\,(a^{2})^{5}\,b^5\,(c^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=$

  $=\sqrt[5]{2^{3\cdot 5}\,a^{2\cdot 5}\,b^5\,c^{4\cdot 5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{2^{15}\cdot 15\,a^{10}\,b^5\,c^{20}\,a^{4}bc^{2}}=$

    $=\sqrt[5]{491\,520\,a^{10+4}\,b^{5+1}\,c^{20+2}}=\sqrt[5]{491\,520\,a^{14}\,b^{6}\,c^{22}}$



$\square$

-oOo- Ejercicio 70 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguienes casos:
a) $\sqrt{x}=\pm 5$
b) $\sqrt{49}=x$
c) $\sqrt[3]{x}=5$
d) $\sqrt[x]{32}=2$

SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{x}=\pm 5 \Rightarrow ( \sqrt{x} )^2=(\pm 5)^2 \Rightarrow x = 25$

b) $\sqrt{49}=x$, luego $x=(7^2)^{1/2} = 7^{2/2}=7^1=7$


c) $\sqrt[3]{x}= 5$
  $x^{1/3}=5$
    $(x^{1/3})^3=5^3$
      $x^{3/3}=125$
        $x^1=125$
          $x=125$


$\square$

-oOo- Ejercicio 71 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula descomponiendo en factores primos:
a) $\sqrt[3]{216}$

b) $\sqrt[3]{729}$

c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}$

d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}$

SOLUCIÓN.

a) $\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{(2\cdot 3)^3}=\sqrt[3]{6^3}=(6^3)^{1/3}=6^{3/3}=6^1=6$


b) $\sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{3^6}=(3^6)^{1/3}=6^{6/3}=6^2=36$


c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}=\sqrt[3]{\dfrac{2^3}{5^3}}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{2}{5}\right)^3} = \left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^{1/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^1=\dfrac{2}{5}$


d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}=\sqrt[5]{\dfrac{3^5}{2^5}}=\sqrt[5]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^5} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^5\right)^{1/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^1=\dfrac{3}{2}$



$\square$

-oOo-