Grupo A ( e. aplicadas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Tienes que elegir únicamente una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicio número 102 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Deduce de la figura el desarrollo de $(x+y+z)^2$

SOLUCIÓN.
La suma de las áreas de los rectángulos y de los dos cuadrados interiores ha de ser igual al área del cuadrado que los contine, puesto que éste está particionado. Entonces, $(x+y+z)^2=x^2+2\,xy+2\,xz+2\,yz+z^2$ $\square$



OPCIÓN 2: Ejercicio número 103 de la página 58 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Para construir una caja sin tapa, recortamos las cuatro esquinas de una carulina rectangular, de $18\,\text{cm}$ de largo y $12\,\text{cm}$ de ancho, y doblamos por las líneas de puntos que se muestran en la figura ( que no está dibujada a escala ):

a) Halla los polinomios que proporcionan el área y la capacidad de la caja según el lado $x$ de los cuadrados que recortamos.
b) Calcula el área y la capacidad para $x:=3\,\text{cm}$

SOLUCIÓN.
a) Sumando el área de la base ( rectángulo central ) y el área de las cuatro caras laterales obtenemos el área de las cinco caras de la caja:
$A(x)=(18-2x)(12-2x)+2\cdot (18-2x)+2\cdot (12-2x)=\ldots=216-4x^2$ ( expresado en centímetros al cuadrado ). Nota: si $x:=0$ se obtiene el área del rectángulo exterior, $12\cdot 18=216\,\text{cm}^2$, como debe ser.

El volumen de la caja (cerrada ) es igual $V(x)=(12-2x)\,(18-2x)\,x=\ldots=4\,x^3-60\,x^2+216\,x$ ( expresado en centímetros cúbicos ). Nota: Observemos que si $x:=0$, el volumen es igual a $0$, como debe ser.

b) Sustituyendo el valor del dato en la expresión polinómica del área, se obtiene: $A(3)=216-4\cdot 3^2 = 180\,\text{cm}^2$, y sustituyéndolo en la expresión polinómica del volumen: $V(3)=4\cdot 3^3-60\cdot 3^2+216\cdot 3 = 216\,\text{cm}^3$
$\square$