Grupo B ( e. académicas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Tienes que elegir únicamente una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicio número 93 de la página 60 del libro de texto base
ENUNCIADO. De un vaso de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿ qué parte de agua contiene el vaso ?.

SOLUCIÓN.
Los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de leche son:
$\ell_1=1$
$\ell_2=\dfrac{1}{2}$
$\ell_3=\dfrac{1}{4}$
$\ell_4=\dfrac{1}{8}$
$\ldots$
Es una s. geométrica de razón $r=\dfrac{1}{2}$, luego $\ell_6=\ell_1\,r^{6-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{1}{32}$


Y los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de agua son:
$a_1=0$
$a_2=1-\ell_1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$a_3=1-\ell_2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$a_4=1-\ell_3=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
$\ldots$ con lo cual, $a_6=1-\ell_6=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}$
$\square$

-oOo- OPCIÓN 2: Ejercicio número 92 de la página 60 del libro de texto base
ENUNCIADO. La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es $6$, y la suma de sus dos primeros términos es $\dfrac{16}{3}$. Calcula el valor del primer término.

SOLUCIÓN.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r} \quad \quad (1)$. Por otra parte, $a_1+a_2=\dfrac{13}{6}=a_1+a_{1}\,r=a_1\,(1+r) \Rightarrow a_1=\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{1}{1+r}=\dfrac{13}{6\,(1+r)} \quad \quad (2)$, luego sustituyendo en (1) el valor de la suma así como la expresión del primer término: $$6=\dfrac{\dfrac{13}{6\,(1+r)}}{1-r} \Rightarrow 36\,(1-r)(1+r)=13 \Rightarrow 1-r^2=\dfrac{13}{36} \Rightarrow r^2=1-\dfrac{13}{36}=\dfrac{23}{36} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow r=\dfrac{|\sqrt{23}|}{6}$$ Finalmente, sustituyendo en (2) llegamos a $a_1=\dfrac{13}{6\,(1+|\sqrt{23}|/6)}=\dfrac{13}{6+|\sqrt{23}|}$
$\square$