Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 19 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
En un depósito de una entidad financiera ofrecen un $1,5\,\%$ de interés simple anual. Se se depositan $7\,500$ euros durante $2$ años y Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses al finalizar el plazo, calcula el capital acumulado.


SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=7\,500\cdot (1+0,015)^{2}=7\,7226,69$ euros
Interereses brutos: $7\,7226,69-7\,500=226,69$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 226,69=47,60$ euros
Capital acumulado neto: $7\,7226,69-47,60=7\,679,09$ euros

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Ejercicio número 22 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Se depositan $6\,500$ euros al $1,5\,\%$ de interés compuesto anual, retirándose el capital y los intereses al cabo de $4$ años. Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses cuando se recupera el capital, calcula el capital final si los intereses se abonan anualmente.


SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=6\,500\cdot (1+0,015)^{4}=6\,898,86$ euros ( aproximando al céntimo )
Interereses brutos: $6\,898,86-6\,500=398,86$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 398,86=83,76$ euros
( aproximando al céntimo )
Capital acumulado neto: $6\,898,86-83,76=6\,815,10$ euros

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Ejercicio número 24 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $2\,\%$, y con periodos de capitalización anuales, se acumule un capital final de $13\,530,40$ euros al cabo de $4$ años ?.


SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado: $13\,530,40=c\,(1+0,02)^4 \Rightarrow c=\dfrac{13\,530,40}{1,02^4}\approx 12\,500,00$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).

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Ejercicio número 52 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario tener depositado para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $3\,\%$, y con periodos de capitalización mensuales, se acumule un capital final de $23\,232,34$ al cabo de $5$ años ?.


SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado (final): $23\,232,34=c\,(1+0,03)^5 \Rightarrow c=\dfrac{23\,232,34}{1,03^5}=20\,040,42$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).

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Ejercicio número 56, apartado a, de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el primer término y la diferencia en las progresiones aritméticas siguientes, en las que:
a) $a_3=70$ y $a_6=115$
b) $b_5=6$ y $b_9=7$

SOLUCIÓN.
a)
$a_6=a_3+(6-3)\cdot d$, luego $115=70+3d \Rightarrow d=\dfrac{115-70}{3}=15$. Por otra parte $a_3=a_1+(3-1)\cdot d$, esto es $70=a_1+2\cdot 15 \Rightarrow a_1=70-30=40$

b)
$b_9=b_5+(9-5)\,d$, luego $7=5+4d \Rightarrow d=\dfrac{7-5}{5}=\dfrac{1}{4}$. Por otra parte $b_5=b_1+(5-1)\cdot d$, esto es $6=b_1+4\cdot \dfrac{1}{4} \Rightarrow b_1=6-1=5$

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Ejercicio número 49 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el capital que hay que depositar para que al cabo de $2$ años, con una tasa de interés simple anual del $1,5\%$, para que se generen unos interesos netos de $592,50$ euros, sabiendo que Hacienda descuenta (de los intereses brutos ) un $21\,\%$


SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ el capital a depositar. Entonces:
Interereses brutos: $2\cdot 0,015\,c$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot (2\cdot 0,015\,c)$ euros
Intereses netos: $(1-0,21)\cdot 2\cdot 0,015\,c=592,50 \Rightarrow c=\dfrac{592,50}{0,79\cdot 0,030}=\dfrac{592,50}{0,0237}=25\,000$ euros

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Ejercicio número 72 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un dependiente recibe el prime día de trabajo una gratificación de $10$ euros. En los días sucesivos, esta gratificación va aumentando en $1,50$ euros, de manera que, en su última jornada, cobra $143,50$ euros. ¿ Cuántos días trabajó y cuánto cobró en total por las gratificaciones ?.


SOLUCIÓN.
Como la cantidad que percibe crece según una sucesión aritmética, podemos escribir que $143,50=10+(n-1)\cdot 1,50$, donde $n$ es el número de días que trabajó. Despejando $n$ de dicha ecuación, encontramos: $n-1=\dfrac{143,50-10}{1,50}$, con lo cual, $n=\dfrac{143,50-10}{1,50}+1=90$ días.
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