En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada ...

ENUNCIADO
En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada, cuya área es de $50 \, \text{dm}^2$, observamos una hoja de sauce flotando que, movida por la corriente, se desplaza a razón de $10 \, \text{m}$ cada $5 \, \text{s}$. ¿Que caudal de agua lleva el canal? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenar una balsa de riego, inicialmente vacía, que tiene una capacidad de $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$?

SOLUCIÓN
En un intervalo de $5 \, \text{s}$, podemos considerar un elemento de volumen de agua ( que transporta el canal ), en forma de prisma recto, cuya base cuadrada tiene un área de $50 \, \text{dm}^2$, y cuya arista longitudinal ( en la dirección de la corriente ) mida $10 \, \text{m}$, esto es, $100 \, \text{dm}$; entonces el volumen de dicho elemento es de $50 \cdot 100 = 5000 \, \text{dm}^3$, por tanto, el caudal pedido es de $\dfrac{5000 \, \text{dm}^3}{5 \, \text{s}}$, es decir, $10^3 \, \dfrac{\text{dm}^3}{s}$

Teniendo en cuenta que $1 \, \text{dm}^3$ de volumen equivale a $1 \, \text{L}$ de capacidad, el canal aporta $10^3 \, \dfrac{\text{L}}{s}$, y como la capacidad de la balsa de riego es $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$, se necesitan $$\dfrac{5 \cdot 10 ^6}{10^3} \, \dfrac{\text{L}}{\text{L}/\text{s}} = 5000 \, \text{s}$$ para llenarla, que, expresado en forma compleja, es igual a $$3 \, \text{h} \; 28 \, \text{min} \; 20 \, \text{s}$$.
$\square$

[nota del autor]

El lado más largo de un rectángulo mide ...

Enunciat:
El costat més llarg d'un rectangle fa dos metres més que el més curt. Sabem que el perímetre d'aquest rectangle mesura $16 \, \text{dm}$. Quant val l'àrea del rectangle?

Resolució:
Si anomenem $x$i $y$ a les longituds dels costats desiguals del rectangle, i considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} 2x+2y = 16 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

simplificant la primea equació el podem escriure de forma més senzilla

$\left.\begin{matrix} x+y = 8 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable

$y+2+y=8$
que equival a
$2y=8-2$
és a dir
$2y=6$
d'on trobem que
$y=3 \, \text{dm}$

i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=8-3$
és a dir
$x=5 \, \text{dm}$

Ara ja podem calcular l'àrea del rectangle, multiplicant les longituds dels dos costats

$A=5 \cdot 3 = 15 \, \text{dm}^2$
$\square$

[nota del autor]

Diversos ejercicios de proporcionalidad ...

1. Hem comprat un article que estava rebaixat en un 6%. Si hem pagat 32,00 € (I.V.A. inclòs), quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar si, en proporció, ens descompten sis euros de cada cent que valgui un cert article

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{32,00}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{32,00 \cdot 100}{94}$

i, aproximant el càlcul (per arrodoniment) fins els cèntims d'euro, trobem la quantitat que haurem de pagar: 34,04 €
$\square$

2. El preu nominal d'un article és de 30,50 € . Ens fan un desc ompte del 6%; per altra banda, cal pagar l'impost de l'I.V.A. del 18% . Quant ens costarà ?

Resoldrem el problema en dos passos: cal calcular quant pagarem amb l'I.V.A. afegit a la dada del problema; a continuació, partint d'aquest resultat, calcularem la quantitat que resultat d'aplicar-li el descompte. Val a dir que l'ordre d'aquests passos es pot invertir, atès que el resultat - com ja s'ha explicat a classe - és el mateix.


Anomenem $x$ al resultat d'afegir l'I.V.A. al preu nominal (que ens donen a l'enunciat) i plantegem la proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{30,50}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{30,50 \cdot 118}{100}$

resultat parcial que és igual a 35,99 €

Tot seguit, mirem quant quedaria amb el descompte; per això, anomenem $y$ a la quantitat que estem cercant i plantegem la proporció corresponent

$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{y}{35,99}$

aïllant la incògnita, trobem

$y=\dfrac{35,99 \cdot 94}{100}$

que, aproximant per arrodoniment als centèsims, és igual a 33,83 €
$\square$

3. Una persona va a la feina a peu; tarda 20 min si camina a una velocitat, constant, de 4 km/h . Quant de temps tardaria caminés a una velocitat, constant, de 5 km/h ?

Observem que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre la velocitat i el temps emprat, ja que si s'augmenta la velocitat és clar que el temps emprat en fer el recorregut haurà de ser més petit.

Anomenant $t$ al temps que tardarà a fer el recorregut si camina a una velocitat de 5 km/h, plantegem la següent proporció inversa:

$\dfrac{20}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$

i, d'aquí, aïllant $t$, trobem

$t=20 \cdot \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}$

i, fent el càlcul, trobem

$t=\dfrac{20 \cdot 4}{5} = 16 \; \text{min}$

$\square$

4. Si obrim una aixeta A, un dipòsit s'omple en 3 h ; per altra banda, si l'omplim obrint una aixeta B, s'omple en 2 h . Amb quant de temps l'omplirem amb les dues aixetes obertes alhora ?.

Raonem de la manera següent:

Aixeta A oberta (i B tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 3 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{3} \, \text{part}$

Aixeta B oberta (i A tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 2 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{2} \, \text{part}$

Aixetes A i B obertes alhora:
    Si en una mateixa hora, omplen
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
és a dir,
$\dfrac{5}{6} \, \text{parts}$
llavors, tot el dipòsit s'omplirà en un temps $t$ que calcularem tot seguit plantejant la següent proporció:

$\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{t}{\dfrac{6}{6}}$

d'on trobem que

$t=\dfrac{6}{5}=1,2 \; \text{h}$

resultat que, expressat en forma complexa, queda

1 h i 12 min

$\square$

5. Un article que hem comprat ens ha costat 45,00 € (amb un I.V.A. del 18% inclòs). Quant hauríem pagat si l'I.V.A. fos del 0% ?

El que se'ns demana en aquest problema és el preu nominal de l'article, que anomenarem $x$; per calcular-lo, plantegem la proporció

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

aïllant la incògnita trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118}$

i aproximant per arrodoniment als centèsims (als cèntims d'euro) queda 38,14 €
$\square$

6. El cost d'un article que comprem cada final d'any augmenta d'un 1,5% cada any, en relació al que valia l'any anterior. Enguany ens ha costat 52,00 € . Quant valia l'any passat ?.

Anomenem $x$ a la quantitat que vam haver de pagar l'any passat (la incògnita del problema) i plantegem la següent proporció:

$\dfrac{100}{100+1,5}=\dfrac{x}{52,00}$

d'aquí, aïllant $x$, arribem al resultat

$x=\dfrac{52,00 \cdot 100}{101,5}$

que, aproximat als centèsims, queda 51,23 €
$\square$

7. Volem repartir un incentiu econòmic de 100,00 € entre dues persones que treballen en una empresa de recaders, de forma proporcional al nombre d'encàrrecs que cada una ha realitzat: A n'ha fet vint-i-sis; i B, dotze. Calculeu quina quantitat correspon a cada treballador.

Primer de tot, cal que entenguem que - essent justos - cal fer un repartiment directament proporcional al nombre d'encàrrecs que cada treballador ha realitzat; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}$

on $a$ representa la quantitat que percebrà el treballador A; i b, la quantitat que correspon a B

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{a+b}{26+12}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 100,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{100}{26+12}$

que, simplificada, queda

$k=\dfrac{50}{19}$

[El valor de $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{26}=k$
tenim que
$a=26 \cdot k$
és a dir
$a=26 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 68,42 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{12}=k$
per tant
$b=12 \cdot k$
és a dir
$b=12 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 31,58 \, \text{euros}$

Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 100,00 € i, la més gran, correspon a qui ha repartit més encàrrecs, tal com ha de ser.

$\square$

8. Dos esportistes es volen repartir un premi de 200,00 €, de forma propormacional al temps que cadascú ha trigat en completar la cursa: A l'ha acabat en 2 h i 45 min; i B, en 2 h i 35 min. Calculeu la quantitat que ha de percebre cadascú.

Primer de tot, cal que entenguem que cal fer un repartiment inversament proporcional a les marques de temps respectives; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}$

On $a$ representa la quantitat que percebrà l'esportista A; i b, la quantitat que correspon a B. Val a dir que hem posat les marques de temps en forma incomplexa, expressant-les en minuts.

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=\dfrac{a+b}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 200,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{200}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

que és igual a

$k=15984,375$

[El valor de la constant de proporcionalitat $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{165} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{165} \cdot 15984,375 \approx 96,88 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{155} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{155} \cdot 15984,375 \approx 103,1\underline{2} \, \text{euros}$


Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 200,00 € i, la més gran, correspon a qui ha trigat menys en completar la cursa.

$\square$

[nota del autor]

El producto de dos números pares consecutivos es igua a ...

Enunciat:
El producte de dos nombres parells consecutius és igual a 224. Determineu aquest nombres.

Resolució:

Si anomenem $n$ a un dels dos nombres, a l'altre li haurem de dir $n+2$

i d'acord amb l'enunciat, plantejarem la següent equació
$n \, (n+2)=224$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant en un mateix membre de la igualtat, i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació anterior de la forma
$n^2+2n-224=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$an^2+bn+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=2$
$c=-224$
tenim
$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -16\\ \\14\\ \end{matrix}\right.$

Per tant, trobem dos parells de nombres com a solució del problema (una parella de nombres negatius) i una altra de nombres positius:
    si $n=-16$, llavors $m=-14$ (que és el nombre parell consecutiu a $-16$)
    si $n=14$, llavors $m=16$ (que és el nombre parell consecutiu a $14$)
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con polinomios ...

[nota del autor]

Valor esperado o esperanza matemática ...

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu d'un producte és de 38,75 € . Afegint l'I.V.A. del 18%, quant ens costarà quan el comprem?

Anomenem $x$ a la quantitat que ens costarà. Llavors, pensant amb el significat del tant per cent, s'ha de complir la següent proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{38,75}$

per tant

$x=\dfrac{38,75 \cdot 118}{100}$

que, aproximant als cèntims d'euro (per arrodoniment), és igual a

$45,73 \, \text{euros}$

$\square$

2. Quin tant per cent correspon a:
    a) trenta unitats, d'un total de trenta-cinc
    b) tres dècimes, d'un total de quatre unitats
    c) vint unitats d'un total de mil cinc-cents

Anomenant $t$ al tant per cent demanat, plantegem i resolem les següents proporcions:

a)

$\dfrac{30}{35}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{35} \approx 85,7 \,\%$

b)

$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4} = 7,5 \,\%$

c)

$\dfrac{20}{1500}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1500} \approx 1,3 \,\%$

$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagat 25,30 € . Quant hauríem pagat sense el descompte ?

Designarem amb la lletra $x$ la quantitat a determinar (la quantitat de diners que hauríem de pagar si no ens fessin el descompte) i plategem la següent proporció (interpretant correctament el significat del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{25,30}$

d'aquí aïllem la incògnita i obtenim

$x=\dfrac{25,30 \cdot 100}{94} \approx 26,91 \, \text{euros}$
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 7% per la compra d'un article que té un preu de 42,34 €, quant pagarem ?

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar i escrivim el plantejament (la proporció corresponet a la interpretació del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{42,34}$

llavors

$x=\dfrac{93 \cdot 42,34}{100} \approx 39,38 \, \text{euros}$

$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article (amb un I.V.A. del 18% inclòs) és de 110,50 € . Quin és el preu de l'article sense l'I.V.A. ?

Si $x$ és el preu demanat ( la quantitat que ens costaria si no s'hagués de pagar un impost del 18% d'I.V.A. ) podem plantejar la següent proporció, a partir del significat el tant per cent de recàrrec

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{110,50}$

d'aquí

$x=\dfrac{110,50 \cdot 100}{118} \approx 93,64 \, \text{euros}$

$\square$

6. Volem comprar un objecte que té un preu de 76,12 € . Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 9% (és temps de rebaixes), però, per altra banda, cal no oblidar que haurem de pagar l'impost de l'I.V.A. (un 18% més del que val el producte). Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-9}{100}=\dfrac{x}{76,12} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{76,12 \cdot 91}{100} = 69,2692 \, \text{euros}$

Aquest resultat parcial (per això es mostren totes les seves xifres decimals) cal fer-lo servir per acabar el problema; ara, falta per calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{69,2692} $

d'aquí

$y=\dfrac{69,2692 \cdot 118}{100}$

que, aproximant per arrodoniment fins els cèntims d'euro, és igual a

$81,74 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint, primer de tot, l'I.V.A. i, a continuació, li apliquéssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article és de $12,25 \; \text{euro}$ . Si ens fan un descompte del
7%, quant pagarem ? [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{12,25}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{93 \cdot 12,25}{100} \approx 11,39 \; \text{euro}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat un $12$% hem pagat $44,00 \text{euro}. Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?. [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar si l'article no estigués rebaixat. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{44,00}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{44,00 \cdot 100}{88} = 50 \; \text{euro}$
$\square$

3. Un article ens costa $83,40 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja és inclòs al preu ]. Quin és el preu nominal de l'article ?.

Anomenem $x$ al preu nominal de l'article. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{83,40}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{83,40 \cdot 100}{118} \approx 70,68 \; \text{euro}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article és de $24,50 \; \text{euro}$. Ens fan un descompte del $5$%. Per altra banda, l'I.V.A. és del $18$%. Quina quantitat haurem de pagar ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Aplicarem el descompte (o bé - si ho preferim - primer, l'I.V.A.) i, a la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, li aplicarem l'I.V.A. (o el descompte, si hem començat aplicant l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat a pagar fent el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{24,50}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{24,50 \cdot 95}{100} = 23,275$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de carregar l'I.V.A. al resultat del 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{23,275}$
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{24,50 \cdot 118}{100} = 27,46 \; \text{euro}$
$\square$

5. En unes rebaixes fan el $6$% de descompte. Hem comprat un article pel qual hem pagat $32,80 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja hi és inclòs]. Quin és el preu nominal d'aquest article ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Deduirem el descompte (o bé, primer, l'I.V.A.) i a continuació, de la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, en deduirem l'I.V.A. (o el descompte, si primer hem deduït l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat que obtenim deduint el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{32,80}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{32,80 \cdot 100}{94} = 34,8936 \dots$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de deduir l'I.V.A. del resultat obtingut al 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{34,8936 \dots}{y}$
[Recordeu que al numerador del 2n membre de la igualtat hi posem la quantitat que havíem desat
a la memòria de la calculadora]
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{(34,8936 \dots) \cdot 100}{118} \approx 29,57 \; \text{euro}$
$\square$

6. Volem repartir $100,00 \; \text{euros}$ entre tres participants a una cursa de fons, de forma inversament proporcional als temps que han tardat a arribar: el corredor $A$ ha tardat 3 h i 35 min; el corredor $B$, 3 h i 25 min; i el corredor $C$,3 h i 45 min. Quina quantitat correspon a cada participant ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Primer de tot, expressarem les unitats en forma incomplexa per poder fer els càlculs còmodament:
El temps de $A$: 3 h i 35 min = 215 min
El temps de $B$: 3 h i 25 min = 205 min
El temps de $C$: 3 h i 45 min = 225 min

Cal tenir en compte que la quantitat que a un corredor li pertoca és inversament proporcional al temps que ha tardat en arribar; per això, escriurem
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}$

I, per les propietats de les raons aritmètiques, s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}=\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{215}+\frac{1}{205}+\frac{1}{225}}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=100,00$, trobem que és igual a $7156,323291$, quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow a=\dfrac{m}{215} \approx 33,29 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=m \Rightarrow b=\dfrac{m}{205} \approx 34,91 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow c=\dfrac{m}{225} \approx 31,8\underline{0} \, \text{euro}$

Comprovació: $33,29+34,91+31,8\underline{0} = 100,00$
$\square$

7. Volem repartir $300,00 \; \text{euros}$ entre tres persones que han repartit formularis d'una enquesta, de forma directament proporcional al nombre de formularis que, cada u, hagi aportat. L'enquestador $A$ ha portat $42$ formularis; B, $25$; i $C$ n'ha portat $32$ . Quina quantitat correspon a cada enquestador ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Per les propietats de les raons s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{42}=\dfrac{b}{25}=\dfrac{c}{32}=\dfrac{a+b+c}{42+25+32}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=300,00$, trobem que , simplificat, és igual a
$\dfrac{100}{33}$

Aquesta quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{42}=m \Rightarrow a=42\,m \approx 127,27 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{25}=m \Rightarrow b=25\,m \approx 75,76 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{32}=m \Rightarrow c=32\,m \approx 96,97 \, \text{euro}$

Comprovació: $127,27+75,76+96,97 = 300,00$
$\square$

8. Un excursionista tarda 3 h i 35 min per anar de casa seva a un refugi, caminant a una velocitat constant de $4$ km/h . Si, per fer el mateix trajecte, caminés a $5$ km/h, quant de temps tardaria ?

Tinguem en compte que les dues magnituds relacionades en aquest problema són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra. Anomenarem $t$ al temps que volem calcular, i expressarem la quantitat de temps que ens donen com a dada en forma incomplexa ( 3 h i 35 min = 215 min ).

Plantegem la proporció (inversa):
$\dfrac{215}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
Aïllant la incògnita $t$ trobem
$t=\dfrac{215 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=172 \; \text{min} $
és a dir
2 h i 52 min
$\square$

[nota del autor]

Un barco navega ...

De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: Un vaixell A navega en línia recta a una velocitat constant de 4 km/h envers un altre vaixell B el qual es mou a una velocitat constant de 2 km/h en la mateixa direcció que A però en sentit oposat. En un instant de temps donat, els separa una distància de 6 km. A partir d'aquest instant, un au marina que s'havia posat a la creuta d'un pal del vaixell A emprén el vol cap a B, i de B cap a A, anant i venint de l'un a l'altre a una velocitat constant de 10 km/h. Quina distància total haurà recorregut l'au fins que es creuin els dos vaixells ? Primer de tot, necessitem saber quant de temps cal perquè es creuin. Aquest temps és justament el temps de vol de l'au (suposem que el canvi de sentit el fa de forma instantània); per tant, per saber quina distància total haurà recorregut, només caldrà multiplicar-lo per la velocitat a la qual es desplaça. 1. Si raonem en termes de velocitat relativa, podem calcular fàcilment la quantitat de temps necessària fins que es creuen ambdues embarcacions, sense necessitat de plantejar cap equació. Com que la velocitat relativa és igual a 4 km/h + 2 km/h = 6 km/h el temps que busquem és igual al que necessitaria un dels dos vaixells viatjant envers l'altra embarcació a la velocitat relativa, suposant aquest segon, parat. Per calcular aquesta quantitat de temps tan sols cal fer 6 km / (6 km/h) = 1 h 2. Finalment, calculem la distància total recorreguda per l'au fent: 10 km/h · 1 h = 10 km

[nota del autor]

Calcular la potencia sucesiva ...

ENUNCIADO
Calcular el valor de la siguiente operación con potencias $$2^{2^{3}}$$

SOLUCIÓN
$$2^{2^{3}}=2^8=256$$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article es de 22,35 € (I.V.A. inclòs). Si ens fan un descompte del 5%, quant pagarem ? .

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar; llavors, entenent el significat del tant per cent de descompte, podrem plantejar la següent proporció

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{22,35}$

d'on, aïllant la incògnita

$x=\dfrac{22,35 \cdot 95}{100}$

aproximant als centèsims

$x \approx 21,23 \, \text{euros}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat en un 8% hem pagat 62,54 € (I.V.A. inclòs). Quant haur íem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ a la quantitat que pagaríem si no ens haguessin fet el descompte. De la interpretació del tant per cent de descompte que ens donen com a dada, podrem plantejar la
següent proporció

$\dfrac{100}{100-8}=\dfrac{x}{62,54}$

d'on, aïllant la incògnita, trobem

$x=\dfrac{62,54 \cdot 100}{92}$

$x \approx 67,98 \, \text{euros}$
$\square$

3. Un article ens costa 21,78 € (amb I.V.A. del 18% inclòs). Quin es el preu nominal de l'article ?

Si anomenem $x$ al preu nominal de l'article, d'acord amb l'enunciat s'ha de complir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{21,78} $

d'on

$x=\dfrac{21,78 \cdot 100}{118} \approx 18,46 \, \text{euros}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article es de 35,42 € . Ens fan un descompte del 4%, i l'I.V.A. es del 18%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{35,42} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{35,42 \cdot 96}{100} \approx 34,0032 \, \text{euros}$

Conservem totes les xifres decimals d'aquest resultat (que podem desar en una memòria de la calcladora) perquè encara ens falta un pas més: calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{34,0032} $

d'aquí

$y=\dfrac{34,00 \cdot 118}{100}$

que és igual a

$40,12 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint l'I.V.A. a la dada del problema i, a continuació, d'aquesta en féssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

5. En unes rebaixes (7% de descompte), hem comprat un article que ens ha costat 19,10 € (I.V.A. del 18% inclòs). Quin és el preu nominal d'aquest article ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem hagut de pagar si no estigués rebaixat

$\dfrac{100}{100-7}=\dfrac{x}{19,10} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{19,10 \cdot 100}{93} \approx 20,54 \, \text{euros}$

Si, a partir d'aquest resultat, calculem el que hauríem de pagar si l'I.V.A. no s'hi hagués d'afegir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{y}{20,54} $

d'aquí

$y=\dfrac{20,54 \cdot 100}{118}$

que és igual a

$17,41 \, \text{euros}$

Observació: Com ja 'ha comentat a l'exerici anterior, podem invertir l'ordre dels passos que hem seguit; s'obtindrà el mateix resultat.

$\square$

6.Volem repartir 90,00 € entre tres corredors de fons que han participat en una marató, de forma inversament proporcional al temps que cadascú ha trigat per completar la cursa: A ha tardat 3h 15 min; B, 3 h 45 min; i C, 3 h 25 min . Quant percebrà cadascun del tres corredors ?.

Anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{195}+\frac{1}{225}+\frac{1}{205}}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}$

i

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

Com que $a+b+c=90,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = 6228,072706$
que aconsellem que deseu en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=k$
i, per tant
$a = \dfrac{k}{195}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 31,94 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=k$
i, per tant
$b = \dfrac{k}{225}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,68 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}=k$
i, per tant
$c = \dfrac{k}{205}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 30,38 \, \text{euros}$

A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui tarda més temps li correspon menys premi (tal com ha de ser).
$\square$

7.Volem repartir 150,00 € entre tres persones que han col·laborat a repartir qüestionaris d'una enquesta, de forma directament prporcional al nombre de qüestionaris que cadascú ha aportat. Una d'elles n'ha portat 12; una altra, 5; i la tercera, 10. Quant correspon a cada un dels tres enquestadors ?.

Com en el problema anterior, anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C. En aquest cas, però, la relació de proporcionalitat és directa

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{12}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{10}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{12+5+10}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{12}$

$\dfrac{b}{5}$

i

$\dfrac{c}{10}$

Com que $a+b+c=150,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = \dfrac{50}{9}$
que haurieu de desar en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{12}=k$
i, per tant
$a = 12 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 66,67 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{5}=k$
i, per tant
$b = 5 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,78 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{10}=k$
i, per tant
$c = 10 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 55,5\underline{5} \, \text{euros}$


A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui porti més qüestionaris (a qui faci més feina) més li haurà de correspondre (de forma justa i lògica).
$\square$

8. Un excursionista tarda 1 h 15 min a fer el cam entre dos refugis, caminant a una velocitat constant de 5 km/h . Si la velocitat fos de 3 km/h, amb quant de temps faria el recorregut ?

Donada la relació de proporcionalitat inversa que hi ha entre la velocitat i la longitud del trajecte recorregut en un mateix interval de temps, podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{75}{\frac{1}{5}}=\dfrac{t}{\frac{1}{3}}$

expressió, on $t$ expressa la quantitat de temps que trigarà a fer el recorregut a la nova velocitat.

Per comoditat, hem expressat el tems en minuts; malgrat la velocitat vingui donada en quilòmetres per hora, no cal convertir a unitats homogènies perquè el factor de conversió figuraria en tots dos membres de la igualtat i, per tant, es simplificaria.

Aïllant $t$ trobem

$t=\dfrac{75 \cdot 5}{3}$

que és igual a 125 min; és a dir, 2 h i 5 min .

$\square$

[nota del autor]

Repartos. Polipastos ...

No cal recordar la importància que prenen els sistemes de desmultiplicació de forces. En aquestes notes, repassaré alguns dels conceptes més importants. Fig. 1 Una corda és en medi continu: una tensió es transmet per igual a tots els altres punts. A la figura 1 es mostra un acoblament de politges (polipast) que serveix per mantenir en equilibri un pes P (a la dreta) estirant del tram de corda a l'extrem esquerra amb una força més petita que P. Per simple aritmètica de repartiment de forces, si analitzem el sistema, partint del pes que penja i seguint de baix a dalt i de dreta a esquerra, trobem que la força es divideix per dos cada vegada que ens trobem amb una nova politja; arribem, doncs, a la conclusió que només caldrà fer una força igual a 1/16 del pes del cos per mantenir el sistema en equilibri. És per això que parlem d'un sistema reductor (o desmultiplicador) amb una relació nominal 1:16 Els següent polipast té una relació nominal 1:4 (figura 2). Els 100 N es reparteixen per igual entre cadascun dels quatre trams que connecten la politja superior (fixa) i el quadernal (la politja mòbil). Fig. 2 Polipast de relació nominal 1:4 (font: Wikipedia)http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Polispasto4.jpg La imatge següent (Figura 3.) mostra diversos tipus de polipastos que s'utilizen sovint en velers. A la part superior de cada un hi anatada la relació nominal. Fig. 3 (font de la imatge: C. Wing, Cómo funcionan las cosas de los barcos, Tutor, 2005)

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

El segundo término de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El segon terme d'una successió aritmètica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$. Calculeu el valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.

Resolució:
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2+4\,d$
(on $d$ representa la diferència de la successió aritmètica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4+4\,d$

d'on obtenim

$d=-\dfrac{1}{4}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer i del vintè terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2-d=4-(-\dfrac{1}{4})=\ldots=\dfrac{17}{4}$

i, com que $a_n=a_1+(n-1)\,d$, podem calcular el valor de $a_{20}$

$a_{20}=\dfrac{17}{4}+19 \cdot \bigg(-\dfrac{1}{4} \bigg) = \ldots = -\dfrac{1}{2}$

Llavors la suma demanda és igual a
$s_{20}=\dfrac{a_1+a_{20}}{2} \cdot 20 = \ldots = \dfrac{75}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les projececcions sobre la hipotenusa dels catets $a$ i $b$ del triangle rectangle $\triangle \; ABC$ mesuren $1 \; \text{m}$ i $2 \; \text{m}$, respectivament. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{(2+1) \cdot h}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $h$ farem ús del teorema de l'altura
    $h^2=2\cdot 1$ i, per tant, $h=\sqrt{2} \, \text{m}$
Llavors, substituint aquest resultat a l'expressió (1)
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \, \text{m}^2$
que, aproximant per arrodoniment
    $\mathcal{A} \approx 2 \, \text{m}^2$
$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=3+a+b \quad \quad (2)$

Calcularem $a$ i $b$ fent ús del teorema del catet:

$a^2=1 \cdot (2+1)$
i, per tant,
$a=\sqrt{3} \, \text{m}$

$b^2=2 \cdot (2+1)$
llavors,
$b=\sqrt{6} \, \text{m}$

Substituint aquests resultats a l'expressió (2), trobem
$\mathcal{P}=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \, \text{m}$
que, aproximant per arrodoniment, queda
$\mathcal{P} \approx 7 \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Algunas propiedades sobre las áreas de las figuras construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Aquestes propietats sobre les àrees de les figures regulars construïdes sobre els costats d'un triangle rectangle ja van ser recopilades per Euclides (c. 365 – 275 aC) a els Elements (Llibre VI , Proposició número 31). A les dues figures següents es mostren dos exemples; en la primera figura, les figures construïdes sobre els costats són semicercles (primera figura) i, en la segona, pentàgons (regulars).

[nota del autor]

Una demostración del Teorema de Pitágoras ... ( Artículo escrito en catalán )

El Teorema de Pitàgores expressa la propietat següent:
  L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
  Dit d'una manera simbòlica i d'acord amb la notació de la Figura 1:
                                                $b^2=a^2+c^2$

Demostració:
Fent un cop d'ull a la figura de sota, observem que d'acord amb el Teorema d'invariància de l'àrea d'un paral·lelogram [ Si es deforma un paral·lelogram mantenint el valor de la longitud del segment perpendicular entre les bases (l'altura) i la longitud de la base, el valor de l'àrea con canvia ], l'àrea del quadrat ABDE (en verd) és igual a la del paral·lelogram ABIL (en gris, superposat sobre el quadrat verd); semblantment, l'àrea del quadrat BCFG (en color rosa) és igual a l'àrea del paral·lelogram BCHI (en rosa pujat de to).

Per altra banda, i per la mateixa raó, l'àrea de ABIL és igual a l'àrea de AKNM (una part de l'àrea de ACJK, el quadrat sobre la hipotenusa), i l'àrea de BCHI és igual a de CMNJ (fent servir altre cop la mateixa propietat d'invariància d'àrees) que és la part que falt per cobrir l'àrea de ACJK. I, dit això, queda demostrat que
l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
$\square$

[nota del autor]

Consideremos una disolución de alcohol ...

Enunciado:
Consideremos una disolución de alcohol en agua, al $96 \, \%$ ( tanto por ciento de alcohol en volumen ). Si mezclamos $1 \, \text{L}$ de dicha disolución con $0,5 \, \text{L}$ de agua, ¿ cuál es la graduación de la disolución resultante ?.

Solución:
La graduación es la razón aritmética del volum de alcohol puro y el volumen total de la disolución; por tanto el grado de la disolución resultante es
    $\dfrac{0,96}{1+0,5}\cdot 100 = 64 \, \%$
$\square$

[nota del autor]

División entera por defecto y por exceso. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Umprant la divisió per defecte y la divisió per excés, determineu el valor del quocient $q$ i del residu $r$, donats els següents valors del dividend $D$ i del divisor $d$:
    a) $D=5$ i $d=2$
    b) $D=-5$ i $d=2$
    c) $D=5$ i $d=-2$
    d) $D=-5$ i $d=-2$

Solució:
El Teorema de la divisió euclidiana [ dit també de la divisió dels nombres enters], que és el punt de partida per resoldre l'exercici, enuncia que:

  Donats dos nombres enters qualssevol $D$ ( que anomenem dividend) i $d \neq 0$ ( que anomenem divisor ), llavors existeixen dos nombres enters $q,r$ (únics), que compleixen les següents condicions:
    $D=d\cdot q +r$
    $0\le r \prec \left|d\right|$

a) $q=2$ i $r=1$
b) $q=-3$ i $r=1$
c) $q=-2$ i $r=1$
d) $q=3$ i $r=1$

Observació:

Les calculadores científiques i els programes de càlcul incorporen una funció per calcular el valor del residu d'una divisió entera ( efectuant-la per defecte, si el divisor és un nombre positiu però, per excés, si el divisor és un nombre negatiu ).

Aquesta funció rep la designació MOD(D,d), on D (el valor del dividend) i d (el valor del divisor) en són els arguments; i s'ha de fer servir, doncs, concretant el valor del primer argument, D, i del segon argument, d.

Per exemple, podem comprovar que teclejant mod(5,2) obtenim 1 com a resultat del càlcul del residu; teclejant mod(-5,2), obtindrem 1 com a resultat; si teclegem, però, mod(5,-2) obtindrem -1 (que és el que li correspon al residu fent la divisió per excés); i teclejant mod(-5,-2), obtindrem també -1 com a resultat (fa la divisió per defecte). Cal, per tant, anar amb compte quan fem ús de calculadores o bé de programes de càlcul i tenir en consideració això.