domingo, 13 de diciembre de 2020
martes, 8 de diciembre de 2020
domingo, 29 de noviembre de 2020
domingo, 22 de noviembre de 2020
lunes, 16 de noviembre de 2020
lunes, 9 de noviembre de 2020
lunes, 2 de noviembre de 2020
ESO3B ( e. académicas ) Ejercicios con polinomios
Ejercicio 4 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $a,b$ y $c$ para que los siguientes polinomios sean iguales: $P(x)=a\,x^4-8\,x^3+4\,x-b$ y $Q(x)=5\,x^4-8\,x^3-c\,x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Comparando los términos del mismo grado, vemos que: $a=5$, $c=0$ y $-b=6 \Rightarrow b=-6$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 5 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Suma los siguientes polinomios: $P(x)=7\,x^4-6\,x^3+5\,x-3$ y $Q(x)=x^4+8\,x^3-x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Sumando los términos del mismo semejantes ( del mismo grado ) se obtiene el siguiente polinomio suma: $8x^4+2x^3-x^2+9x+3$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 6 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el opuesto de los siguientes polinomios: $P(x)=5\,x^5-7\,x^3+4\,x-1$ y $Q(x)=-x^4+6\,x^3-x^2+5\,x+1$
SOLUCIÓN.
$\text{Opuesto}(P(x))=-5x^5+7x^3-4x+1$ y $\text{Opuesto}(Q(x))=-x^4-6x^3+x^2-5x-1$
Nota: Recordemos que la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio nulo.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 7 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)-Q(x)$:
$P(x)=5\,x^4+x^3-2\,x^2-5$
$Q(x)=7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2$
SOLUCIÓN.
$P(x)-Q(x)=(5\,x^4+x^3-2\,x^2-5)-(7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2)=$
$=-2x^4+x^3+3x^2-3x-7$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 8 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por:
$I(t)=t^2-3\,t+5$
$G(t)=t^2-4t+9$
Halla la expresión $B(t)$ de los beneficios.
SOLUCIÓN.
El polinomio que expresa los beneficios en función del número de año - llamémosle $B(t)$ -, es igual a $I(t)-G(t)= t^2-3\,t+5 - ( t^2-4t+9 ) = t - 4$, y, según la información del enunciado, sus valores se expresan en millones de euros.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 9 de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Multiplica los polinomios $P(x)=2\,x^3-3\,x+5$ y $Q(x)=3\,x^2+x-4$
SOLUCIÓN.
Con la instrucción de GeoGebra, $\text{Desarrolla}((2\,x^3-3\,x+5)\cdot (3\,x^2+x-4))$, puedes comprobar que el resultado que tienes que obtener ( aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma ) es el polinomio $6x^5+2x^4-17x^3+12x^2+17x-20$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 13, apartados b y c, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla y simplifica:
b) $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
c) $(6\,x-2/3)^2$
SOLUCIÓN.
b)
Por la identidad notable $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, vemos que $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=x^2-(\sqrt{5})^2=x^2-5$
c)
Por la identidad notable $(m+n)^2=m^2-2mn+n^2$, vemos que $(6\,x-2/3)^2=(6x)^2-2\cdot 6 \cdot (2/3)x+(2/3)^2=36x^2-8x+9/4$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 15, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla: b) $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)$
SOLUCIÓN.
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma para deshacer el paréntesis, se obtiene: $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)=-2\cdot 7\,x^3\,x^4+2\cdot 4\,x^3\,x^2= -14\,x^7+8\,x^5$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 17, apartado a, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: a) $12\,x^4+8\,x^3$
SOLUCIÓN.
Extrayendo factor común conseguimos la factorización en un sólo paso (en este caso concreto): $12\,x^4+8\,x^3=4x^3\,(3x+2)$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Halla el valor de $a,b$ y $c$ para que los siguientes polinomios sean iguales: $P(x)=a\,x^4-8\,x^3+4\,x-b$ y $Q(x)=5\,x^4-8\,x^3-c\,x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Comparando los términos del mismo grado, vemos que: $a=5$, $c=0$ y $-b=6 \Rightarrow b=-6$.
$\square$
ENUNCIADO.
Suma los siguientes polinomios: $P(x)=7\,x^4-6\,x^3+5\,x-3$ y $Q(x)=x^4+8\,x^3-x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Sumando los términos del mismo semejantes ( del mismo grado ) se obtiene el siguiente polinomio suma: $8x^4+2x^3-x^2+9x+3$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el opuesto de los siguientes polinomios: $P(x)=5\,x^5-7\,x^3+4\,x-1$ y $Q(x)=-x^4+6\,x^3-x^2+5\,x+1$
SOLUCIÓN.
$\text{Opuesto}(P(x))=-5x^5+7x^3-4x+1$ y $\text{Opuesto}(Q(x))=-x^4-6x^3+x^2-5x-1$
Nota: Recordemos que la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio nulo.
$\square$
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)-Q(x)$:
$P(x)=5\,x^4+x^3-2\,x^2-5$
$Q(x)=7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2$
SOLUCIÓN.
$P(x)-Q(x)=(5\,x^4+x^3-2\,x^2-5)-(7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2)=$
$=-2x^4+x^3+3x^2-3x-7$
$\square$
ENUNCIADO.
Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por:
$I(t)=t^2-3\,t+5$
$G(t)=t^2-4t+9$
Halla la expresión $B(t)$ de los beneficios.
SOLUCIÓN.
El polinomio que expresa los beneficios en función del número de año - llamémosle $B(t)$ -, es igual a $I(t)-G(t)= t^2-3\,t+5 - ( t^2-4t+9 ) = t - 4$, y, según la información del enunciado, sus valores se expresan en millones de euros.
$\square$
ENUNCIADO.
Multiplica los polinomios $P(x)=2\,x^3-3\,x+5$ y $Q(x)=3\,x^2+x-4$
SOLUCIÓN.
Con la instrucción de GeoGebra, $\text{Desarrolla}((2\,x^3-3\,x+5)\cdot (3\,x^2+x-4))$, puedes comprobar que el resultado que tienes que obtener ( aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma ) es el polinomio $6x^5+2x^4-17x^3+12x^2+17x-20$
$\square$
ENUNCIADO.
Desarrolla y simplifica:
b) $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
c) $(6\,x-2/3)^2$
SOLUCIÓN.
b)
Por la identidad notable $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, vemos que $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=x^2-(\sqrt{5})^2=x^2-5$
c)
Por la identidad notable $(m+n)^2=m^2-2mn+n^2$, vemos que $(6\,x-2/3)^2=(6x)^2-2\cdot 6 \cdot (2/3)x+(2/3)^2=36x^2-8x+9/4$
$\square$
ENUNCIADO.
Desarrolla: b) $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)$
SOLUCIÓN.
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma para deshacer el paréntesis, se obtiene: $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)=-2\cdot 7\,x^3\,x^4+2\cdot 4\,x^3\,x^2= -14\,x^7+8\,x^5$ $\square$
ENUNCIADO.
Factoriza: a) $12\,x^4+8\,x^3$
SOLUCIÓN.
Extrayendo factor común conseguimos la factorización en un sólo paso (en este caso concreto): $12\,x^4+8\,x^3=4x^3\,(3x+2)$
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - A vueltas con los ejercicios de polinomios
Ejercicio 18, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: b) $P(x)=5\,x^3+20\,x^2+20\,x$
SOLUCIÓN.
En este caso, extrayendo factor común, podemos escribir un primer paso de factorización: $P(x)=x\,(5\,x^2+20\,x+20)$. Las raíces de $5\,x^2+20\,x+20$ son también raíces de $P(x)$, así que imponiendo la condición para encontrar raíces: $5\,x^2+20\,x+20=0 \Leftrightarrow x=-2$, con multiplicidad $2$, con lo cual: $5\,x^2+20\,x+20=5\,(x-(-2))$. Así pues: $P(x)=5\,x\,(x+2)^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 21 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=6\,x^5+2\,x^4-17\,x^3+20\,x-25$ por $Q(x)=2\,x^3-3\,x+5$
SOLUCIÓN.
Después de aplicar el algoritmo general de la división, podéis comprobar con GeoGebra si habéis obtenido el resultado correcto:
Nota: Recordad también que, por el teorema de la división con polinomios, ha de cumplirse que: 1) el polinomio dividendo ha de ser igual al producto del polinomio divisor y del polinomio cociente más el polinomio resto, y 2) el grado del polinomio resto ha de ser menor que el grado del polinomio divisor. $\square$
-oOo-
Ejercicio 22 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=x^4-6\,x^3+9\,x+10$ por $Q(x)=x-3$
SOLUCIÓN.
En el caso de esta división, en el que el polinomio divisor es de primer grado y mónico, podemos emplear el algoritmo de Ruffini. Podéis comprobar con GeoGebra que el resultado que obtengáis ha de ser:
$\square$
-oOo-
Ejercicio 26 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla un polinomio tal que al dividirlo por $2\,x^3-5\,x+1$ se obtenga de cociente $x^2+3\,x-4$ y de resto $-7\,x^2+x+8$
SOLUCIÓN.
Por el teorema de la división, el polinomio pedido ha de ser igual a $$(2\,x^3-5\,x+1)\cdot (x^2+3\,x-4)+(-7\,x^2+x+8)=2x^5+6x^4-13x^3-21x^2+24x+4$, lo cual podéis comprobar con la ayuda de GeoGebra:
$\square$
-oOo-
Ejercicio 27 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-8$ para los siguientes valores: a) $x:=0$, y b) $x:=1$
SOLUCIÓN.
$P(0)=0^5-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2-8=-8$
$P(1)=1^5-3\cdot 1^4+6\cdot 1^2-8=1-3-6-8=-16$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 29 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio $P(x)=x^4+3\,x^3-5\,x-7$ por $x+3$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x+3)$, que podemos expresar de la forma $P(x) \div (x-(-3))$ es igual al valor del polinomio para $x:=-3$, esto es, $P(-3)=(-3)^4+3\cdot (-3)^3-5\cdot (-3)-7=8$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 32 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Averigua si $2$ o $-3$, son raíces del polinomio $P(x)=x^3+x^2-9\,x-9$
SOLUCIÓN.
Recordemos que un valor de $x$, $x:=r$, es raíz de un polinomio $P(x)$ si $P(r)=0$. Entonces, como $P(2)=2^3+2^2-9\cdot 2-9=8+4-9=3\neq 0$, se deduce que $2$ no es raíz de $P(x)$; y como $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-9\cdot (-3)-9=-27+9+27-9=0$, se deduce que $-3$ es raíz de $P(x)$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 35 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=x^3-4\,x^2+k\,x+10$ sea divisible por $x-1$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x-1)$ es igual a $P(1)=1^3-4\cdot 1^2+k\cdot 1+10=k+7$; y, al objeto de que, $x-1$ sea divisor de $P(x)$, esto es, que $P(x)$ sea múltiplo de $x-1$, es necesario que dicho resto sea igual a $0$, luego lo será si $k=-7$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 61 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea $7$:
$$(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$$
SOLUCIÓN.
Es sabido ( por teorema del resto ) que el resto de la división del polinomio $P(x)=x^4+k\,x^2-5\,x+6$ entre $x+1$ ( que puede escribirse de la forma $x-(-1)$ ) es igual a $P(-1)=(-1)^4+k\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=k+12$. Como dicho resto ha de ser igual a $7$, entonces $7=k+12 \Rightarrow k=-5$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 64 de la página 99 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Factoriza:
a) $24\,x^3-18\,x^2$
b) $2\,x^3+12\,x^2+18\,x$
c) $9\,x^2-4$
SOLUCIÓN.
a)
Extrayendo factor común, podemos escribir $24\,x^3-18\,x^2=6x^2\,(4x-3)$, con lo cual el polinomio pedido queda ya factorizado.
b)
Extrayendo factor común, podemos escribir $2\,x^3+12\,x^2+18\,x=2x\,(x^2+6x+9)$; y, como el segundo factor ( por la identidad notable del cuadrado del binomio ) es igual a $(x+3)^2$, el polinomio factorizado queda de la forma $2x\,(x+3)^2$
c)
Calculando las raíces del polinomio: $9\,x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$, luego, por el teorema del factor: $9\,x^2-4=9\,(x-2/3)(x+2/3)$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Factoriza: b) $P(x)=5\,x^3+20\,x^2+20\,x$
SOLUCIÓN.
En este caso, extrayendo factor común, podemos escribir un primer paso de factorización: $P(x)=x\,(5\,x^2+20\,x+20)$. Las raíces de $5\,x^2+20\,x+20$ son también raíces de $P(x)$, así que imponiendo la condición para encontrar raíces: $5\,x^2+20\,x+20=0 \Leftrightarrow x=-2$, con multiplicidad $2$, con lo cual: $5\,x^2+20\,x+20=5\,(x-(-2))$. Así pues: $P(x)=5\,x\,(x+2)^2$
$\square$
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=6\,x^5+2\,x^4-17\,x^3+20\,x-25$ por $Q(x)=2\,x^3-3\,x+5$
SOLUCIÓN.
Después de aplicar el algoritmo general de la división, podéis comprobar con GeoGebra si habéis obtenido el resultado correcto:
Nota: Recordad también que, por el teorema de la división con polinomios, ha de cumplirse que: 1) el polinomio dividendo ha de ser igual al producto del polinomio divisor y del polinomio cociente más el polinomio resto, y 2) el grado del polinomio resto ha de ser menor que el grado del polinomio divisor. $\square$
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=x^4-6\,x^3+9\,x+10$ por $Q(x)=x-3$
SOLUCIÓN.
En el caso de esta división, en el que el polinomio divisor es de primer grado y mónico, podemos emplear el algoritmo de Ruffini. Podéis comprobar con GeoGebra que el resultado que obtengáis ha de ser:
$\square$
ENUNCIADO.
Halla un polinomio tal que al dividirlo por $2\,x^3-5\,x+1$ se obtenga de cociente $x^2+3\,x-4$ y de resto $-7\,x^2+x+8$
SOLUCIÓN.
Por el teorema de la división, el polinomio pedido ha de ser igual a $$(2\,x^3-5\,x+1)\cdot (x^2+3\,x-4)+(-7\,x^2+x+8)=2x^5+6x^4-13x^3-21x^2+24x+4$, lo cual podéis comprobar con la ayuda de GeoGebra:
$\square$
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-8$ para los siguientes valores: a) $x:=0$, y b) $x:=1$
SOLUCIÓN.
$P(0)=0^5-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2-8=-8$
$P(1)=1^5-3\cdot 1^4+6\cdot 1^2-8=1-3-6-8=-16$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio $P(x)=x^4+3\,x^3-5\,x-7$ por $x+3$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x+3)$, que podemos expresar de la forma $P(x) \div (x-(-3))$ es igual al valor del polinomio para $x:=-3$, esto es, $P(-3)=(-3)^4+3\cdot (-3)^3-5\cdot (-3)-7=8$
$\square$
ENUNCIADO.
Averigua si $2$ o $-3$, son raíces del polinomio $P(x)=x^3+x^2-9\,x-9$
SOLUCIÓN.
Recordemos que un valor de $x$, $x:=r$, es raíz de un polinomio $P(x)$ si $P(r)=0$. Entonces, como $P(2)=2^3+2^2-9\cdot 2-9=8+4-9=3\neq 0$, se deduce que $2$ no es raíz de $P(x)$; y como $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-9\cdot (-3)-9=-27+9+27-9=0$, se deduce que $-3$ es raíz de $P(x)$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=x^3-4\,x^2+k\,x+10$ sea divisible por $x-1$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x-1)$ es igual a $P(1)=1^3-4\cdot 1^2+k\cdot 1+10=k+7$; y, al objeto de que, $x-1$ sea divisor de $P(x)$, esto es, que $P(x)$ sea múltiplo de $x-1$, es necesario que dicho resto sea igual a $0$, luego lo será si $k=-7$.
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea $7$:
$$(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$$
SOLUCIÓN.
Es sabido ( por teorema del resto ) que el resto de la división del polinomio $P(x)=x^4+k\,x^2-5\,x+6$ entre $x+1$ ( que puede escribirse de la forma $x-(-1)$ ) es igual a $P(-1)=(-1)^4+k\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=k+12$. Como dicho resto ha de ser igual a $7$, entonces $7=k+12 \Rightarrow k=-5$
$\square$
ENUNCIADO.
Factoriza:
a) $24\,x^3-18\,x^2$
b) $2\,x^3+12\,x^2+18\,x$
c) $9\,x^2-4$
SOLUCIÓN.
a)
Extrayendo factor común, podemos escribir $24\,x^3-18\,x^2=6x^2\,(4x-3)$, con lo cual el polinomio pedido queda ya factorizado.
b)
Extrayendo factor común, podemos escribir $2\,x^3+12\,x^2+18\,x=2x\,(x^2+6x+9)$; y, como el segundo factor ( por la identidad notable del cuadrado del binomio ) es igual a $(x+3)^2$, el polinomio factorizado queda de la forma $2x\,(x+3)^2$
c)
Calculando las raíces del polinomio: $9\,x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$, luego, por el teorema del factor: $9\,x^2-4=9\,(x-2/3)(x+2/3)$
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - Profundizando en los polinomios
Ejercicio 62 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un triángulo rectángulos cuyos catetos miden $2x+1$ y $x$ ( metros ), respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo cuyos lados son los catetos de dicho triángulo rectángulo, luego el área pedida es $A(x)=\dfrac{1}{2}\,x\,(2x+1)$, viene expresada en $\text{m}^2$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 80 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un trapecio equilátero cuyas bases miden $x+1$ y $x-1$ ( metros ) y su altura ( distancia perpendicular entre las bases ) es $x$ ( metros ).
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura ( distancia perpendicular entre ellas ), luego $A(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}\,x$, que podemos simplificar de la forma $A(x)=x^2$ ( expresado en metros cuadrados ). $\square$
-oOo-
Ejercicio 69 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Observa la gráfica de la ecuación $P(x)=0$, donde $P(x)=x^2-4$ - te sugiero que utilices GeoGebra para ver la gráfica - y escribe las raíces de dicho polinomio a la vista de dicha gráfica.
Ejercicio 72 de la página 99 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Se construye una caja de envalaje a partir de una cartulina rectangular cuyos lados tienen longitudes de $6$ metros y $10$ metros, respectivamente. Para ello, recortamos un cuadrado en cada esquina de $x$ metros de lado y así, haciendo cuatro dobleces para elevar las caras laterales, pegamos después dichos cortes. Calcula el área del desarrollo plano de la caja y también su capacidad ( expresada en litros ).
-oOo-
Ejercicio 68 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el polinomio que da el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual es $x$ ( en metros ) y de altura igual a $x+5$ metros.
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un triángulo es igual al producto del lado que tomamos como base por la longitud de su altura y dividido todo ello entre $2$, por tanto $A(x)=\dfrac{x\,(x+5)}{2}$ expresado en unidades de longitud al cuadrado, que, en este caso, es en $\text{m}^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 67 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea igual a $7$: $(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$
SOLUCIÓN
Por el teorema del resto sabemos que el resto pedido es igual al valor del polinomio dividendo para $x:=-1$ ( que es el término independiente del polinomio divisor, $x-k$, de grado 1, y siendo $x+1=x-(-1))$, éste es $-1$, luego $7=P(-1)=(-1)^4+k\,(-1)^2-5\cdot (-1)+6$, con lo cual, $7=1+k+5+6 \Rightarrow k=-5$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un triángulo rectángulos cuyos catetos miden $2x+1$ y $x$ ( metros ), respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo cuyos lados son los catetos de dicho triángulo rectángulo, luego el área pedida es $A(x)=\dfrac{1}{2}\,x\,(2x+1)$, viene expresada en $\text{m}^2$.
$\square$
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un trapecio equilátero cuyas bases miden $x+1$ y $x-1$ ( metros ) y su altura ( distancia perpendicular entre las bases ) es $x$ ( metros ).
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura ( distancia perpendicular entre ellas ), luego $A(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}\,x$, que podemos simplificar de la forma $A(x)=x^2$ ( expresado en metros cuadrados ). $\square$
ENUNCIADO.
Observa la gráfica de la ecuación $P(x)=0$, donde $P(x)=x^2-4$ - te sugiero que utilices GeoGebra para ver la gráfica - y escribe las raíces de dicho polinomio a la vista de dicha gráfica.
Ejercicio 72 de la página 99 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Se construye una caja de envalaje a partir de una cartulina rectangular cuyos lados tienen longitudes de $6$ metros y $10$ metros, respectivamente. Para ello, recortamos un cuadrado en cada esquina de $x$ metros de lado y así, haciendo cuatro dobleces para elevar las caras laterales, pegamos después dichos cortes. Calcula el área del desarrollo plano de la caja y también su capacidad ( expresada en litros ).
ENUNCIADO.
Halla el polinomio que da el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual es $x$ ( en metros ) y de altura igual a $x+5$ metros.
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un triángulo es igual al producto del lado que tomamos como base por la longitud de su altura y dividido todo ello entre $2$, por tanto $A(x)=\dfrac{x\,(x+5)}{2}$ expresado en unidades de longitud al cuadrado, que, en este caso, es en $\text{m}^2$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea igual a $7$: $(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$
SOLUCIÓN
Por el teorema del resto sabemos que el resto pedido es igual al valor del polinomio dividendo para $x:=-1$ ( que es el término independiente del polinomio divisor, $x-k$, de grado 1, y siendo $x+1=x-(-1))$, éste es $-1$, luego $7=P(-1)=(-1)^4+k\,(-1)^2-5\cdot (-1)+6$, con lo cual, $7=1+k+5+6 \Rightarrow k=-5$
$\square$
ESO3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Ejercicio 19, apartado a, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}2\,x-y=0\\x+y=3\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos una ecuación compatible que no depende de $y$, esto es $3x=3$, de donde se desprende que $x=1$; por tanto, sustituyendo este resultado en cualesquiera de las dos ecuaciones originales ( pongamos que en la primera ) se calcula el valor que le corresponde a la otra incógnita: $2\cdot 1-y=0 \Rightarrow y=2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 20, apartado e, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\6\,x+4\,y=6\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación podemos escribir el sistema de la forma: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\3\,x+2\,y=3\end{matrix}\right.$$ y al encontrarnos con que las dos ecuaciones son las mismas, el sistema equivalente se reduce a una única ecuación con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado: existen infinitos pares de valores $(x,y)$ como solución: $$\{\left(x,\dfrac{3(1-x)}{2}\right): \,\text{para cualquier valor de x} \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 21 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Manuel compra 2 kilogramos de manzanas y 3 kilogramos de plátanos, y paga $11,5$ euros. En la misma frutería, Andrea compra $3$ kilogramos de manzanas y $2$ kilogramos de plátanos, y paga $11$ euros. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer el precio ( euros por kilogramo ) de cada tipos de fruta.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $m$ al precio ( coste por kilogramo ) de las manzanas, y por $p$ al precio de los plátanos. Entonces, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}2m+3p=11,5 \\ 3m+2p=11\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 23 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Las edades de Carlos y Lucía suman $24$ años. Si a la edad de Carlos le restaras $5$ años y se los añadieses a la edad de Lucía, entonces la edad de Lucía sería el doble de la de Carlos. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolvíendolo, permite conocer la edad que tiene cada uno.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ la edad de Carlos y por $\ell$ la edad de Lucía. Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}c+\ell=24 \\ \ell+5 = 2\,(c-5)\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 28 de la página 96 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Una empresa envasa $3\,600$ kilogramos de jabón para lavadores en recipientes de $3$ kilogramos y de $8$ kilogramos. Si se han utilizado en total $700$ recipientes. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer cuántos envases de cada tipos se han utilizado.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de envases de $3$ kilogramos y por $y$ el número de envases de $8$ kilogramos.Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}x+y=700 \\ 3x+8y=3\,600\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 30 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Escribe el sistema de ecuaciones mediante el cual ( resolviéndolo ) podemos determinar la longitud de las diagonales de un rombo, sabiendo que difieren en $4$ unidades y su razón es $\dfrac{3}{4}$
SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ dichas diagonales, donde $x \succ y$. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir: $\left\{\begin{matrix}x-y=4 \\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}2\,x-y=0\\x+y=3\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos una ecuación compatible que no depende de $y$, esto es $3x=3$, de donde se desprende que $x=1$; por tanto, sustituyendo este resultado en cualesquiera de las dos ecuaciones originales ( pongamos que en la primera ) se calcula el valor que le corresponde a la otra incógnita: $2\cdot 1-y=0 \Rightarrow y=2$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\6\,x+4\,y=6\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación podemos escribir el sistema de la forma: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\3\,x+2\,y=3\end{matrix}\right.$$ y al encontrarnos con que las dos ecuaciones son las mismas, el sistema equivalente se reduce a una única ecuación con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado: existen infinitos pares de valores $(x,y)$ como solución: $$\{\left(x,\dfrac{3(1-x)}{2}\right): \,\text{para cualquier valor de x} \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
ENUNCIADO.
Manuel compra 2 kilogramos de manzanas y 3 kilogramos de plátanos, y paga $11,5$ euros. En la misma frutería, Andrea compra $3$ kilogramos de manzanas y $2$ kilogramos de plátanos, y paga $11$ euros. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer el precio ( euros por kilogramo ) de cada tipos de fruta.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $m$ al precio ( coste por kilogramo ) de las manzanas, y por $p$ al precio de los plátanos. Entonces, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}2m+3p=11,5 \\ 3m+2p=11\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Las edades de Carlos y Lucía suman $24$ años. Si a la edad de Carlos le restaras $5$ años y se los añadieses a la edad de Lucía, entonces la edad de Lucía sería el doble de la de Carlos. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolvíendolo, permite conocer la edad que tiene cada uno.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ la edad de Carlos y por $\ell$ la edad de Lucía. Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}c+\ell=24 \\ \ell+5 = 2\,(c-5)\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Una empresa envasa $3\,600$ kilogramos de jabón para lavadores en recipientes de $3$ kilogramos y de $8$ kilogramos. Si se han utilizado en total $700$ recipientes. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer cuántos envases de cada tipos se han utilizado.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de envases de $3$ kilogramos y por $y$ el número de envases de $8$ kilogramos.Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}x+y=700 \\ 3x+8y=3\,600\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Escribe el sistema de ecuaciones mediante el cual ( resolviéndolo ) podemos determinar la longitud de las diagonales de un rombo, sabiendo que difieren en $4$ unidades y su razón es $\dfrac{3}{4}$
SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ dichas diagonales, donde $x \succ y$. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir: $\left\{\begin{matrix}x-y=4 \\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$
$\square$
ESO3A ( e. aplicadas ) - Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Elige una de las siguientes opciones. Tienes que enviar únicamente el trabajo de la opción que hayas elegido.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 79 de la página 101 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
En una prueba tipo test hay $20$ preguntas. Por cada respuesta correcta se obtienen $1$ punto. Si la respuesta es incorrecta se disminuye la nota en $0,2$ puntos. La calificación de Alejandro ha sido de $12,8$ puntos, ¿ cuántas preguntas ha respondido correctamente y cuántas ha fallado ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $c$ el número de preguntas que se han contestado correctamente, y por $i$ al número de preguntas que se han contestado incorrectamente. Entonces: $c+i=20 \Rightarrow i=20-c \quad \quad (1)$ y, por otra parte, $c-0,2\,i=12,8 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $c-0,2\,(20-c)=12,8$, esto es $c-4+0,2\,c=12,8$, con lo cual $1,2\,c=16,8 \Rightarrow c=\dfrac{16,8}{1,2}=14$ (preguntas contestadas correctamente), y por tanto $i=20-14=6$ ( preguntas contestadas incorrectamente ).
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 2.
Ejercicio 91 de la página 102 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla la nota que han obtenido Lucas y Andrea sabiendo que entre los dos suman $13$ puntos y que, si Lucas hubiese obtenido un $20\,\%$ menos de la nota y Andrea un $28\,\%$ más, los dos habrían obtenido la misma nota.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\ell$ la nota de Lucas y por $a$ la nota de Andrea, entonces: $\ell+a=13 \Rightarrow \ell=13-a \quad \quad (1)$; y, por otra parte $\dfrac{100-20}{100}\,\ell = \dfrac{100+28}{100}\,a$, que es lo mismo que $80\,\ell=128\,a \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $80\,(13-a)=128\,a$, esto es $1040-80\,a=128\,a$ con lo cual $1040=208\,a \Rightarrow a = \dfrac{1040}{208}=5$ puntos, y por tanto $\ell=13-5=8$ puntos.
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 79 de la página 101 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
En una prueba tipo test hay $20$ preguntas. Por cada respuesta correcta se obtienen $1$ punto. Si la respuesta es incorrecta se disminuye la nota en $0,2$ puntos. La calificación de Alejandro ha sido de $12,8$ puntos, ¿ cuántas preguntas ha respondido correctamente y cuántas ha fallado ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $c$ el número de preguntas que se han contestado correctamente, y por $i$ al número de preguntas que se han contestado incorrectamente. Entonces: $c+i=20 \Rightarrow i=20-c \quad \quad (1)$ y, por otra parte, $c-0,2\,i=12,8 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $c-0,2\,(20-c)=12,8$, esto es $c-4+0,2\,c=12,8$, con lo cual $1,2\,c=16,8 \Rightarrow c=\dfrac{16,8}{1,2}=14$ (preguntas contestadas correctamente), y por tanto $i=20-14=6$ ( preguntas contestadas incorrectamente ).
$\square$
OPCIÓN 2.
Ejercicio 91 de la página 102 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla la nota que han obtenido Lucas y Andrea sabiendo que entre los dos suman $13$ puntos y que, si Lucas hubiese obtenido un $20\,\%$ menos de la nota y Andrea un $28\,\%$ más, los dos habrían obtenido la misma nota.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\ell$ la nota de Lucas y por $a$ la nota de Andrea, entonces: $\ell+a=13 \Rightarrow \ell=13-a \quad \quad (1)$; y, por otra parte $\dfrac{100-20}{100}\,\ell = \dfrac{100+28}{100}\,a$, que es lo mismo que $80\,\ell=128\,a \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $80\,(13-a)=128\,a$, esto es $1040-80\,a=128\,a$ con lo cual $1040=208\,a \Rightarrow a = \dfrac{1040}{208}=5$ puntos, y por tanto $\ell=13-5=8$ puntos.
$\square$
ESO 3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 1 de la página 86 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Investiga si $x=1$, e $y=6$ son valores que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+4\,=27$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable por dichos valores, encontramos: $3\cdot 1+4=7\neq 27$, luego $1$ no es solución de la ecuación; por otra parte, $3\cdot 6+4=22\neq 27$, luego $6$ tampoco es solución de la ecuación.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 3 de la página 86 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla cuatro parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+y=18$.
SOLUCIÓN.
Despejando $y$ en la ecuación dada, podemos escribir $y=18-3x$; así que dando cuatro valores arbitrarios a $x$, pongamos que $0$, $1$, $2$ y $3$, y calculando el valor de $y$ que les corresponde, encontramos: $(0,18)$, $(1,15)$, $(2,12)$ y $(3,9)$. Obviamente, de esta manera, podemos encontrar infinitas parejas de números, por lo que decimos que la solución de la ecuación pedida está formada por infinitos pares de valores "x" e "y".$\square$
-oOo-
Ejercicio 8 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible determinado que tenga como solución $x=-3$ e $y=7$, y explica cómo has razonado.
SOLUCIÓN.
Si el sistema del que estamos hablando es compatible determinado, su solución, que es un punto del plano cartesiano, viene dado por la intersección de dos rectas que se cortan. Hay un número infinito de rectas que se cortan en el mismo punto. A continuación, vamos a encontrar únicamente una de éstas.
Supongamos una recta $r\equiv y=mx+k$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ 1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=8/3\\ k=1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $r$ es $y=\dfrac{8}{3}\,x+1$, que podemos expresar también de la forma $8x-3y=-3$
Supongamos ahora otra recta $s\equiv y=m'x+k'$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,-1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ -1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=2\\ k=-1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $s$ es $y=2\,x-1$, que podemos expresar también de la forma $2x-y=1$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 9 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible indeterminado y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas equivale a una sola ecuación ( con esas dos incógnitas ); pongamos que dicha ecuación sea $x+y=1$ ( que recordemos que representa una recta en el plano cartesiano ). Entonces, cualquier otra ecuación que describa la misma recta, formará con la primera un sistema compatible indeterminado; una ecuación tal, puede ser, por ejemplo, $3(x+y)=3\cdot 1$, esto es $3x+3y=3$; así, un sistema compatible indeterminado es: $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\3x+3y=3\end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 10 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistma incompatible y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema es incompatible ( carece de solución ) si sus ecuaciones son contradictorias; así por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x-y=2\end{matrix}\right.$ es incompatible, pues de él se desprende una contradicción, esto es, algo absurdo: $1=2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 12, apartado b, de la página 90 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones ( por sustitución ): $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2}+y=2 \\ \\ x-y=10\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando las dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a la siguiente ecuación: $x+\dfrac{1}{2}\,x=12$, que es compatible con las dos ecuaciones originales, luego $\dfrac{3}{2}\,x=12 \Rightarrow x=8$, y, por tanto, como $y=x-10$, se tiene que el valor que le corresponde a $y=x-10$ (despejándola de la segunda ecuación original) es $y=8-10=-2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 17, apartado c, de la página 91 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema ( por reducción ): $$\left\{\begin{matrix}x-6\,y=16 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Multiplicando por $2$ ambos miembros de la primera ecuación, podemos escribir el siguiente sistema equivalente $\left\{\begin{matrix}2x-12\,y=32 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$, y, sumando miembro a miembros ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las ecuaciones originales $5x=20$, de donde se obtiene $x=4$. Sustituyendo ahora este resultado en la primera ecuación original: $5-6y=16$, con lo cual $6y=-11 \Rightarrow y=-\dfrac{11}{6}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Investiga si $x=1$, e $y=6$ son valores que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+4\,=27$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable por dichos valores, encontramos: $3\cdot 1+4=7\neq 27$, luego $1$ no es solución de la ecuación; por otra parte, $3\cdot 6+4=22\neq 27$, luego $6$ tampoco es solución de la ecuación.
$\square$
ENUNCIADO.
Halla cuatro parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+y=18$.
SOLUCIÓN.
Despejando $y$ en la ecuación dada, podemos escribir $y=18-3x$; así que dando cuatro valores arbitrarios a $x$, pongamos que $0$, $1$, $2$ y $3$, y calculando el valor de $y$ que les corresponde, encontramos: $(0,18)$, $(1,15)$, $(2,12)$ y $(3,9)$. Obviamente, de esta manera, podemos encontrar infinitas parejas de números, por lo que decimos que la solución de la ecuación pedida está formada por infinitos pares de valores "x" e "y".$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible determinado que tenga como solución $x=-3$ e $y=7$, y explica cómo has razonado.
SOLUCIÓN.
Si el sistema del que estamos hablando es compatible determinado, su solución, que es un punto del plano cartesiano, viene dado por la intersección de dos rectas que se cortan. Hay un número infinito de rectas que se cortan en el mismo punto. A continuación, vamos a encontrar únicamente una de éstas.
Supongamos una recta $r\equiv y=mx+k$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ 1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=8/3\\ k=1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $r$ es $y=\dfrac{8}{3}\,x+1$, que podemos expresar también de la forma $8x-3y=-3$
Supongamos ahora otra recta $s\equiv y=m'x+k'$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,-1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ -1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=2\\ k=-1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $s$ es $y=2\,x-1$, que podemos expresar también de la forma $2x-y=1$
$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible indeterminado y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas equivale a una sola ecuación ( con esas dos incógnitas ); pongamos que dicha ecuación sea $x+y=1$ ( que recordemos que representa una recta en el plano cartesiano ). Entonces, cualquier otra ecuación que describa la misma recta, formará con la primera un sistema compatible indeterminado; una ecuación tal, puede ser, por ejemplo, $3(x+y)=3\cdot 1$, esto es $3x+3y=3$; así, un sistema compatible indeterminado es: $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\3x+3y=3\end{matrix}\right.$
$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistma incompatible y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema es incompatible ( carece de solución ) si sus ecuaciones son contradictorias; así por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x-y=2\end{matrix}\right.$ es incompatible, pues de él se desprende una contradicción, esto es, algo absurdo: $1=2$
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ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones ( por sustitución ): $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2}+y=2 \\ \\ x-y=10\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando las dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a la siguiente ecuación: $x+\dfrac{1}{2}\,x=12$, que es compatible con las dos ecuaciones originales, luego $\dfrac{3}{2}\,x=12 \Rightarrow x=8$, y, por tanto, como $y=x-10$, se tiene que el valor que le corresponde a $y=x-10$ (despejándola de la segunda ecuación original) es $y=8-10=-2$
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ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema ( por reducción ): $$\left\{\begin{matrix}x-6\,y=16 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Multiplicando por $2$ ambos miembros de la primera ecuación, podemos escribir el siguiente sistema equivalente $\left\{\begin{matrix}2x-12\,y=32 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$, y, sumando miembro a miembros ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las ecuaciones originales $5x=20$, de donde se obtiene $x=4$. Sustituyendo ahora este resultado en la primera ecuación original: $5-6y=16$, con lo cual $6y=-11 \Rightarrow y=-\dfrac{11}{6}$
$\square$
domingo, 25 de octubre de 2020
ESO3B ( e. académicas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 26 de octubre al 1 de noviembre
Tienes que elegir entre una de las siguientes opciones. Solamente puedes enviar una de las dos.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 78 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Ocho obreros trabajan $12$ días para hacer una obra y cobran $3\,600$ euros. ¿Cuánto ganarán seis obreros si hacen en $10$ días el mismo trabajo ?.
SOLUCIÓN.
La relación entre el número de obreros y el coste es directa; también lo es la relación entre el número de días de trabajo y el coste, por lo que, denominando $x$ a la coste pedido, podemos plantear la siguiente proporción compuesta: : $$\dfrac{x}{3\,600}=\dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{6}{8} \Rightarrow x=\dfrac{10\cdot 6 \cdot 3\,600}{12 \cdot 8}=2\,250\,\text{euros}$$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 86 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la amplitud de los ángulos de un cierto triángulo sabiendo que dichos ángulos son directamente proporcionales a $2$, $3$ y $5$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a dichos ángulos. Sabemos que en un triángulo $x+y+z=180º$, luego $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{180º}{2+3+5}=18º$. Así pues:
$\dfrac{x}{2}=18º\Rightarrow x=2\cdot 18º=36º$
$\dfrac{y}{3}=18º\Rightarrow y=3\cdot 18º=54º$
$\dfrac{z}{5}=18º\Rightarrow x=5\cdot 18º=90º$
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 75 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una persona ha realizado $1/3$ de una obra en $6$ días trabajando $8$ horas diarias. Si hubiera trabajado $2$ horas más cada día, ¿ en cuántos días habría terminado la obra ?.
SOLUCIÓN.
La relación entre el número de horas de trabajo diarias y el número de días empleados para realizar una tarea es inversa, mientrs que es directa la relación entre la parte del trabajo a realizar y el número de días necesarios para ello. Así, denotando por $x$, el número de días necesarios para terminar la obra en las condiciones indicadas, podemos plantear la siguiente proporción compuesta: $\dfrac{x}{6}=\left( \dfrac{10}{8} \right)^{-1}\cdot \dfrac{1}{1/3} \Rightarrow x=\dfrac{72}{5}=14,4$ días, esto es $14$ días, $9$ horas y $36$ minutos.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 82 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se reparte una cantidad entre tres personas en partes directamente proporcioanales a $3$, $5$ y $7$. Si a la segunda persona le corresponden $2\,200$ euros, calcula cuánto le corresponde a cada una y la cantidad total repartida.
SOLUCIÓN.
Denotando por $x$ y $z$ a las cantidades que les corresponde a la primera y a la tercera persona, respectivamente, podemos escribir $\dfrac{x}{3}=\dfrac{2000}{5}=\dfrac{z}{7}$. Entonces:
$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2000}{5}=400 \Rightarrow x=3\cdot 400=1\,200$ euros
$\dfrac{z}{7}=\dfrac{2000}{5}=400 \Rightarrow z=7\cdot 400=2\,800$ euros
Así que la cantidad total repartida es igual a $1\,200+2\,000+1\,800=5\,000$ euros.
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 78 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Ocho obreros trabajan $12$ días para hacer una obra y cobran $3\,600$ euros. ¿Cuánto ganarán seis obreros si hacen en $10$ días el mismo trabajo ?.
SOLUCIÓN.
La relación entre el número de obreros y el coste es directa; también lo es la relación entre el número de días de trabajo y el coste, por lo que, denominando $x$ a la coste pedido, podemos plantear la siguiente proporción compuesta: : $$\dfrac{x}{3\,600}=\dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{6}{8} \Rightarrow x=\dfrac{10\cdot 6 \cdot 3\,600}{12 \cdot 8}=2\,250\,\text{euros}$$
$\square$
Ejercicio 86 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la amplitud de los ángulos de un cierto triángulo sabiendo que dichos ángulos son directamente proporcionales a $2$, $3$ y $5$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a dichos ángulos. Sabemos que en un triángulo $x+y+z=180º$, luego $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{180º}{2+3+5}=18º$. Así pues:
$\dfrac{x}{2}=18º\Rightarrow x=2\cdot 18º=36º$
$\dfrac{y}{3}=18º\Rightarrow y=3\cdot 18º=54º$
$\dfrac{z}{5}=18º\Rightarrow x=5\cdot 18º=90º$
$\square$
OPCIÓN 1.
Ejercicio 75 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una persona ha realizado $1/3$ de una obra en $6$ días trabajando $8$ horas diarias. Si hubiera trabajado $2$ horas más cada día, ¿ en cuántos días habría terminado la obra ?.
SOLUCIÓN.
La relación entre el número de horas de trabajo diarias y el número de días empleados para realizar una tarea es inversa, mientrs que es directa la relación entre la parte del trabajo a realizar y el número de días necesarios para ello. Así, denotando por $x$, el número de días necesarios para terminar la obra en las condiciones indicadas, podemos plantear la siguiente proporción compuesta: $\dfrac{x}{6}=\left( \dfrac{10}{8} \right)^{-1}\cdot \dfrac{1}{1/3} \Rightarrow x=\dfrac{72}{5}=14,4$ días, esto es $14$ días, $9$ horas y $36$ minutos.
$\square$
Ejercicio 82 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se reparte una cantidad entre tres personas en partes directamente proporcioanales a $3$, $5$ y $7$. Si a la segunda persona le corresponden $2\,200$ euros, calcula cuánto le corresponde a cada una y la cantidad total repartida.
SOLUCIÓN.
Denotando por $x$ y $z$ a las cantidades que les corresponde a la primera y a la tercera persona, respectivamente, podemos escribir $\dfrac{x}{3}=\dfrac{2000}{5}=\dfrac{z}{7}$. Entonces:
$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2000}{5}=400 \Rightarrow x=3\cdot 400=1\,200$ euros
$\dfrac{z}{7}=\dfrac{2000}{5}=400 \Rightarrow z=7\cdot 400=2\,800$ euros
Así que la cantidad total repartida es igual a $1\,200+2\,000+1\,800=5\,000$ euros.
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre
Ejercicio número 19 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Reparte $15\,000$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $5$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+5}=1\,500$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=1\,500 \Rightarrow x=2\cdot 1\,500=3\,000$ euros
$\dfrac{y}{3}=1\,500 \Rightarrow x=3\cdot 1\,500=4\,500$ euros
$\dfrac{z}{5}=1\,500 \Rightarrow x=5\cdot 1\,500=7\,500$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 20 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Reparte $11\,050$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $4$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+4}=\dfrac{5\,000}{3}$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=2\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 3\,333,33$ euros
$\dfrac{y}{3}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=3\cdot \dfrac{5\,000}{3}=5\,000$ euros
$\dfrac{z}{4}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=4\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 6\,666,67$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 21 de la página 73 del libro de texto base ( ATENCIÓN: El enunciado está modificado y corregido - había un error en el enunciado del libro -)
ENUNCIADO.
A una trabajadora le descuentan mensualmente de su nómina el $5\,\%$ para un seguro que asciende a $140$ euros. ¿ A cuánto asciende su sueldo bruto ?.
SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ al sueldo bruto, entonces $\dfrac{100}{5}=\dfrac{x}{140}\Rightarrow x=\dfrac{140\cdot 100}{5}=2\,800$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 22 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En la factura de un taller aplican un $21\,\%$ de IVA sobre un importe de $168$ euros. ¿ Cuánto se paga en total ?.
SOLUCIÓN.
Se pagará en total $168+\dfrac{21}{100}\cdot 168 = 1,21\cdot 168 = 203,28$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 23 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En una mezcla de $500$ gramos de café, $100$ gramos son de torrefacto y el resto es de café natural. ¿ Qué porcentaje de café torrefacto lleva la mezcala ?.
SOLUCIÓN.
Para calcular el porcentaje, $t$ ( tanto por ciento ), de café torrefacto podemos plantear la siguiente proporción: $\dfrac{t}{100}=\dfrac{100}{500} \Rightarrow t=\dfrac{100}{5}\,\%=20\,\%$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 24 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado para que se entienda mejor )
ENUNCIADO.
En una factura por una cantidad nominaal de $350$ euros nos aplican un $20\,\%$ de descuento y un $21\,\%$ de IVA. Calcula el importe total de la factura.
SOLUCIÓN.
El importe total de la factura es igual a $350\cdot \dfrac{100-20}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100}=\dfrac{350\cdot 80\cdot 121}{100\cdot 100}=338,8$ euros, esto es, $338$ euros y $80$ céntimos de euro. $\square$
-oOo-
Ejercicio número 25 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
En una tienda compramos un televisor con una regaja del $20\,\%$ y nos cobran el $21\,\%$ de IVA. Si pagamos $232$ euros por él, ¿ cuál era el precio nominal del televisor ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ al precio nominal, entonces $\left(\dfrac{100-20}{100}\right)\cdot \left(\dfrac{100+21}{100}\right)\,x=232$, luego $x=\dfrac{232\cdot 100\cdot 100}{80\cdot 121}\approx 239,67$ euros $\square$
-oOo-
Ejercicio número 31 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Las ruedas delanteras de un tractor tienen un diámetro de $0,9$ metros y las traseras tienen un diámetro de $1,2$ metros. Si en un trayecto las ruedas delanteras han dado $250$ vueltas, ¿ cuántas vueltas habrán dado las traseras ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ el número de vueltas pedido. Como la proporción es inversa, $0,9\cdot 250=1,2\,x \Rightarrow x=\dfrac{0,9\cdot 250}{1,2}=187,5$ vueltas
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 32 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Con $100$ kilogramos de harina se hacen $120$ kilogramos de pan. Calcula la cantidad de harina necesaria para elaborar un pan de $120$ gramos.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ la cantidad de harina pedida ( expresada en gramos ). Como la proporción es directa, $\dfrac{100\,000}{120\,000}=\dfrac{x}{120} \Rightarrow x=100$ gramos
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 33 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un grifo vierte $25$ litros por minuto y tarda $2$ horas en llenar un depósito. ¿ Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito otro grifo que vierte $40$ litros por minuto ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $t$ el tiempo pedido. Entonces, como la proporción es inversa: $25\cdot 2=40\,t \Rightarrow t=\dfrac{25\cdot 2}{40}=\dfrac{50}{40}=1,25$ horas, esto es, $1$ hora y $1/4$ de hora más = $1$ hora y $15$ minutos. $\square$
-oOo-
Ejercicio número 37 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una familia de $4$ miembros puede manenerse durante $8$ meses con $5\,000$ euros. ¿ Cuántas personas podrían mantenerse durante $15$ meses con $30\,0000$ euros ?.
SOLUCIÓN.
Ordenemos los datos en una tabla:
La relación entre el tiempo y el número de personas es inversa; y, la relación entre la cantidad de ingresos y el número de personas es directa. Así pues, denotando por $x$ al número de personas pedido, podemos escribir la proporción compuesta de la forma $\dfrac{x}{4}=\left(\dfrac{15}{8}\right)^{-1}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}$, esto es $\dfrac{x}{4}=\dfrac{8}{15}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}\Rightarrow x=\dfrac{4\cdot 8\cdot 30\,000}{15\cdot 5\,000}\approx 12$ personas ( aproximando por defecto a la cifra de las unidades ).
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Reparte $15\,000$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $5$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+5}=1\,500$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=1\,500 \Rightarrow x=2\cdot 1\,500=3\,000$ euros
$\dfrac{y}{3}=1\,500 \Rightarrow x=3\cdot 1\,500=4\,500$ euros
$\dfrac{z}{5}=1\,500 \Rightarrow x=5\cdot 1\,500=7\,500$ euros
$\square$
Ejercicio número 20 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Reparte $11\,050$ euros en partes directametne proporcionales a $2$, $3$ y $4$, respectivamente.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x,y$ y $z$ a dichas partes, entonces $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{15\,000}{2+3+4}=\dfrac{5\,000}{3}$, con lo cual:
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=2\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 3\,333,33$ euros
$\dfrac{y}{3}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=3\cdot \dfrac{5\,000}{3}=5\,000$ euros
$\dfrac{z}{4}=\dfrac{5\,000}{3} \Rightarrow x=4\cdot \dfrac{5\,000}{3}\approx 6\,666,67$ euros
$\square$
Ejercicio número 21 de la página 73 del libro de texto base ( ATENCIÓN: El enunciado está modificado y corregido - había un error en el enunciado del libro -)
ENUNCIADO.
A una trabajadora le descuentan mensualmente de su nómina el $5\,\%$ para un seguro que asciende a $140$ euros. ¿ A cuánto asciende su sueldo bruto ?.
SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ al sueldo bruto, entonces $\dfrac{100}{5}=\dfrac{x}{140}\Rightarrow x=\dfrac{140\cdot 100}{5}=2\,800$ euros
$\square$
Ejercicio número 22 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En la factura de un taller aplican un $21\,\%$ de IVA sobre un importe de $168$ euros. ¿ Cuánto se paga en total ?.
SOLUCIÓN.
Se pagará en total $168+\dfrac{21}{100}\cdot 168 = 1,21\cdot 168 = 203,28$ euros
$\square$
Ejercicio número 23 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En una mezcla de $500$ gramos de café, $100$ gramos son de torrefacto y el resto es de café natural. ¿ Qué porcentaje de café torrefacto lleva la mezcala ?.
SOLUCIÓN.
Para calcular el porcentaje, $t$ ( tanto por ciento ), de café torrefacto podemos plantear la siguiente proporción: $\dfrac{t}{100}=\dfrac{100}{500} \Rightarrow t=\dfrac{100}{5}\,\%=20\,\%$
$\square$
Ejercicio número 24 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado para que se entienda mejor )
ENUNCIADO.
En una factura por una cantidad nominaal de $350$ euros nos aplican un $20\,\%$ de descuento y un $21\,\%$ de IVA. Calcula el importe total de la factura.
SOLUCIÓN.
El importe total de la factura es igual a $350\cdot \dfrac{100-20}{100}\cdot \dfrac{100+21}{100}=\dfrac{350\cdot 80\cdot 121}{100\cdot 100}=338,8$ euros, esto es, $338$ euros y $80$ céntimos de euro. $\square$
Ejercicio número 25 de la página 73 del libro de texto base ( enunciado ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
En una tienda compramos un televisor con una regaja del $20\,\%$ y nos cobran el $21\,\%$ de IVA. Si pagamos $232$ euros por él, ¿ cuál era el precio nominal del televisor ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ al precio nominal, entonces $\left(\dfrac{100-20}{100}\right)\cdot \left(\dfrac{100+21}{100}\right)\,x=232$, luego $x=\dfrac{232\cdot 100\cdot 100}{80\cdot 121}\approx 239,67$ euros $\square$
Ejercicio número 31 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Las ruedas delanteras de un tractor tienen un diámetro de $0,9$ metros y las traseras tienen un diámetro de $1,2$ metros. Si en un trayecto las ruedas delanteras han dado $250$ vueltas, ¿ cuántas vueltas habrán dado las traseras ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ el número de vueltas pedido. Como la proporción es inversa, $0,9\cdot 250=1,2\,x \Rightarrow x=\dfrac{0,9\cdot 250}{1,2}=187,5$ vueltas
$\square$
Ejercicio número 32 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Con $100$ kilogramos de harina se hacen $120$ kilogramos de pan. Calcula la cantidad de harina necesaria para elaborar un pan de $120$ gramos.
SOLUCIÓN.
Designemos por $x$ la cantidad de harina pedida ( expresada en gramos ). Como la proporción es directa, $\dfrac{100\,000}{120\,000}=\dfrac{x}{120} \Rightarrow x=100$ gramos
$\square$
Ejercicio número 33 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un grifo vierte $25$ litros por minuto y tarda $2$ horas en llenar un depósito. ¿ Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito otro grifo que vierte $40$ litros por minuto ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $t$ el tiempo pedido. Entonces, como la proporción es inversa: $25\cdot 2=40\,t \Rightarrow t=\dfrac{25\cdot 2}{40}=\dfrac{50}{40}=1,25$ horas, esto es, $1$ hora y $1/4$ de hora más = $1$ hora y $15$ minutos. $\square$
Ejercicio número 37 de la página 76 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una familia de $4$ miembros puede manenerse durante $8$ meses con $5\,000$ euros. ¿ Cuántas personas podrían mantenerse durante $15$ meses con $30\,0000$ euros ?.
SOLUCIÓN.
Ordenemos los datos en una tabla:
-----------------------------------------------------------------
número de personas | tiempo ( en meses ) | ingresos ( en euros )
-----------------------------------------------------------------
4 | 8 | 5000
-----------------------------------------------------------------
x | 15 | 30000
-----------------------------------------------------------------
La relación entre el tiempo y el número de personas es inversa; y, la relación entre la cantidad de ingresos y el número de personas es directa. Así pues, denotando por $x$ al número de personas pedido, podemos escribir la proporción compuesta de la forma $\dfrac{x}{4}=\left(\dfrac{15}{8}\right)^{-1}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}$, esto es $\dfrac{x}{4}=\dfrac{8}{15}\cdot \dfrac{30\,000}{5\,000}\Rightarrow x=\dfrac{4\cdot 8\cdot 30\,000}{15\cdot 5\,000}\approx 12$ personas ( aproximando por defecto a la cifra de las unidades ).
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre
Ejercicio número 1 de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula las razones aritméticas entres las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
a) $3,5$ kilogramos de naranjas cuestan $6,3$ euros
b) Un coche recorre en $5$ horas $400$ kilómetros
c) $12$ metros de tela cuestan $90$ euros
d) En $7$ días se consumen $3,5$ kilogramaos de fruta.
SOLUCIÓN.
a)
El precio de las naranjas es de $\dfrac{6,3}{3,5}\,\dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$, esto es de $1,80\,\dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$
b)
La velocidad a la que se desplaza el coche es de $\dfrac{400}{5}\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, esto es de $80\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
c)
El precio de la tela ( bobina de ancho constante ) es de $\dfrac{90}{12}\,\dfrac{\text{euro}}{\text{m}}$, esto es de $7,50\,\dfrac{\text{euro}}{\text{m}}$
d)
El ritmo al que se consume la fruta es de $\dfrac{3,7}{7}\,\dfrac{\text{kg}}{\text{día}}$, esto es de $0,5\,\dfrac{\text{kg}}{\text{día}}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 2 de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula las razones aritméticas entres las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
a) Una finca mide $120$ hectáreas, y otra, $180$ hectáreas
b) Juan mide $160$ centímetros, y María, $168$ centímetros
c) Un tren se desplaza a una velocidad de $120$ kilómetros por hora, y otro, a $180$ kilómetros por hora
d) Una botella tiene una capacidad de $2$ litros, y otra, $1,5$ litros.
SOLUCIÓN.
a)
Una finca es $\dfrac{180}{120}=1,5$ veces mayor que la otra
b)
María es $\dfrac{168}{160}=1,05$ veces más alta que Juan
c)
Uno de los trenes es $\dfrac{180}{120}=1,5$ veces más rápido que el otro
d)
La botella grande tiene $\dfrac{2}{1,5}\approx 1,33$ más capacidad que la pequeña
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 4, apartado a, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la cuarta proporcional:
a) $\dfrac{x}{8}=\dfrac{5}{2}$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{8}=\dfrac{5}{2} \Rightarrow x=\dfrac{8\cdot 5}{2}=20$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 5, apartado b, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la media proporcional:
a) $\dfrac{2,5}{x}=\dfrac{x}{6,4}$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{2,5}{x}=\dfrac{x}{6,4} \Rightarrow 2,5\cdot 6,4 = x^2 \Rightarrow x=\sqrt{2,5\cdot 6,4}=\sqrt{16}=\pm\,4$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 9 de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Cuatro amigos se reparten el alquiler de un apartamento de verano. Cada uno paga $375$ euros. Si se uniesen dos amigos más, ¿ cuánto pagaría cada uno ?.
SOLUCIÓN.
La relación ( de proporcionalidad ) entre la mangnitud "número de personas que comparte el gasto del piso" y la magnitud "cantidad que paga cada uno" es inversa, luego podemos plantear: $\dfrac{375}{1/4}=\dfrac{x}{1/(4+2)}$, esto es $374\cdot 4=6x \Rightarrow x=\dfrac{375\cdot 4}{6}=250$ euros.
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 10 de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un coche recorre un trayecto en $1$ hora y media, desplazándose a una velocidad de $65$ kilómetros por hora. Si desea tardar $75$ minutos, ¿ a qué velocidad deberá recorrer el mismo trayecto ?.
SOLUCIÓN.
La relación ( de proporcionalidad ) entre la velocidad y el tiempo empleado es inversa, luego podemos plantear: $\dfrac{65}{1/90}=\dfrac{v}{1/75}$, esto es $90\cdot 65=75\,v \Rightarrow v=\dfrac{90\cdot 65}{75}=78\,\dfrac{\text{km}}{h}$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 14 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una persona lee $2$ horas diarias a razón de $5$ páginas por hora, y tarda $15$ días en leer un libro. Si leyese $3$ horas diárias a razón de $8$ páginas por hora, ¿ cuántos días tardaría en leer el mismo libro ?.
SOLUCIÓN.
En este problema intervienen tres magnitudes ( X: el número de horas de lectura diaria, Y: el número de página que se leen por hora, y Z: el número de días necesarios para acabar el libro ) . La relación entre X y Z es inversa, al igual que lo es la relación entre Y y Z. Luego podemos plantear: $\dfrac{z}{15}=\left(\dfrac{8}{5}\right)^{-1}\cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$, esto es $\dfrac{z}{15}=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{2}{3} \Rightarrow z=\dfrac{5\cdot 2 \cdot 15}{8\cdot 3}=6,25\,\text{días}=6\,\text{días y}\,1/4\,\text{día}=6\,\text{días y}\,6\,\text{horas}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 16 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ Qué capital se debe depositar a una tasa de interés anual del $2,5\,\%$ para que después de $2$ años produzca $400$ euros de intereses ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $400=C\cdot 0,025 \cdot 2 \Rightarrow C=\dfrac{400}{0,025\cdot 2}=8\,000\,\text{euros}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 17 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ A qué rédito ( tasa de interés anual ) se debe depositar un capital de $6\,500$ euros al $1,5\,\%$ para que produzca un interés de $526,50$ euros en $18$ meses ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $526,50=6\,500\cdot \dfrac{18}{12}\,i \Rightarrow i=\dfrac{526,50}{6\,500 \cdot (18/12)}=0,054=5,4\,\%$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 18 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ Cuántos meses se deben tener depositados $25\,000$ euros al $1,5\,\%$ para que produzcan unos intereses de $562,50$ euros ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $562,50=25\,000\cdot 0,015 \cdot t \Rightarrow t=\dfrac{562,50}{25\,000\cdot 0,015}=1,5\,\text{años}=18\,\text{meses}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Calcula las razones aritméticas entres las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
a) $3,5$ kilogramos de naranjas cuestan $6,3$ euros
b) Un coche recorre en $5$ horas $400$ kilómetros
c) $12$ metros de tela cuestan $90$ euros
d) En $7$ días se consumen $3,5$ kilogramaos de fruta.
SOLUCIÓN.
a)
El precio de las naranjas es de $\dfrac{6,3}{3,5}\,\dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$, esto es de $1,80\,\dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$
b)
La velocidad a la que se desplaza el coche es de $\dfrac{400}{5}\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, esto es de $80\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
c)
El precio de la tela ( bobina de ancho constante ) es de $\dfrac{90}{12}\,\dfrac{\text{euro}}{\text{m}}$, esto es de $7,50\,\dfrac{\text{euro}}{\text{m}}$
d)
El ritmo al que se consume la fruta es de $\dfrac{3,7}{7}\,\dfrac{\text{kg}}{\text{día}}$, esto es de $0,5\,\dfrac{\text{kg}}{\text{día}}$
$\square$
Ejercicio número 2 de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula las razones aritméticas entres las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
a) Una finca mide $120$ hectáreas, y otra, $180$ hectáreas
b) Juan mide $160$ centímetros, y María, $168$ centímetros
c) Un tren se desplaza a una velocidad de $120$ kilómetros por hora, y otro, a $180$ kilómetros por hora
d) Una botella tiene una capacidad de $2$ litros, y otra, $1,5$ litros.
SOLUCIÓN.
a)
Una finca es $\dfrac{180}{120}=1,5$ veces mayor que la otra
b)
María es $\dfrac{168}{160}=1,05$ veces más alta que Juan
c)
Uno de los trenes es $\dfrac{180}{120}=1,5$ veces más rápido que el otro
d)
La botella grande tiene $\dfrac{2}{1,5}\approx 1,33$ más capacidad que la pequeña
$\square$
Ejercicio número 4, apartado a, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la cuarta proporcional:
a) $\dfrac{x}{8}=\dfrac{5}{2}$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{8}=\dfrac{5}{2} \Rightarrow x=\dfrac{8\cdot 5}{2}=20$
$\square$
Ejercicio número 5, apartado b, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la media proporcional:
a) $\dfrac{2,5}{x}=\dfrac{x}{6,4}$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{2,5}{x}=\dfrac{x}{6,4} \Rightarrow 2,5\cdot 6,4 = x^2 \Rightarrow x=\sqrt{2,5\cdot 6,4}=\sqrt{16}=\pm\,4$
$\square$
Ejercicio número 9 de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Cuatro amigos se reparten el alquiler de un apartamento de verano. Cada uno paga $375$ euros. Si se uniesen dos amigos más, ¿ cuánto pagaría cada uno ?.
SOLUCIÓN.
La relación ( de proporcionalidad ) entre la mangnitud "número de personas que comparte el gasto del piso" y la magnitud "cantidad que paga cada uno" es inversa, luego podemos plantear: $\dfrac{375}{1/4}=\dfrac{x}{1/(4+2)}$, esto es $374\cdot 4=6x \Rightarrow x=\dfrac{375\cdot 4}{6}=250$ euros.
$\square$
Ejercicio número 10 de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un coche recorre un trayecto en $1$ hora y media, desplazándose a una velocidad de $65$ kilómetros por hora. Si desea tardar $75$ minutos, ¿ a qué velocidad deberá recorrer el mismo trayecto ?.
SOLUCIÓN.
La relación ( de proporcionalidad ) entre la velocidad y el tiempo empleado es inversa, luego podemos plantear: $\dfrac{65}{1/90}=\dfrac{v}{1/75}$, esto es $90\cdot 65=75\,v \Rightarrow v=\dfrac{90\cdot 65}{75}=78\,\dfrac{\text{km}}{h}$.
$\square$
Ejercicio número 14 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una persona lee $2$ horas diarias a razón de $5$ páginas por hora, y tarda $15$ días en leer un libro. Si leyese $3$ horas diárias a razón de $8$ páginas por hora, ¿ cuántos días tardaría en leer el mismo libro ?.
SOLUCIÓN.
En este problema intervienen tres magnitudes ( X: el número de horas de lectura diaria, Y: el número de página que se leen por hora, y Z: el número de días necesarios para acabar el libro ) . La relación entre X y Z es inversa, al igual que lo es la relación entre Y y Z. Luego podemos plantear: $\dfrac{z}{15}=\left(\dfrac{8}{5}\right)^{-1}\cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$, esto es $\dfrac{z}{15}=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{2}{3} \Rightarrow z=\dfrac{5\cdot 2 \cdot 15}{8\cdot 3}=6,25\,\text{días}=6\,\text{días y}\,1/4\,\text{día}=6\,\text{días y}\,6\,\text{horas}$
$\square$
Ejercicio número 16 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ Qué capital se debe depositar a una tasa de interés anual del $2,5\,\%$ para que después de $2$ años produzca $400$ euros de intereses ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $400=C\cdot 0,025 \cdot 2 \Rightarrow C=\dfrac{400}{0,025\cdot 2}=8\,000\,\text{euros}$
$\square$
Ejercicio número 17 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ A qué rédito ( tasa de interés anual ) se debe depositar un capital de $6\,500$ euros al $1,5\,\%$ para que produzca un interés de $526,50$ euros en $18$ meses ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $526,50=6\,500\cdot \dfrac{18}{12}\,i \Rightarrow i=\dfrac{526,50}{6\,500 \cdot (18/12)}=0,054=5,4\,\%$
$\square$
Ejercicio número 18 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
[ Interés simple ] ¿ Cuántos meses se deben tener depositados $25\,000$ euros al $1,5\,\%$ para que produzcan unos intereses de $562,50$ euros ?. SOLUCIÓN.
A partir de la fórmula explicada en clase, $I=C\,i\,t$ ( donde $C$ es el capital, $i$ la tasa de interés anual en tanto por uno, y $t$ el tiempo en años ), podemos escribir: $562,50=25\,000\cdot 0,015 \cdot t \Rightarrow t=\dfrac{562,50}{25\,000\cdot 0,015}=1,5\,\text{años}=18\,\text{meses}$
$\square$
ESO3A ( e. aplicadas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 26 de octubre al 1 de noviembre
Tienes que elegir entre una de las siguientes opciones. Solamente puedes enviar una de las dos.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 97 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Para elaborar un queso, hemos mezclado leche de vaca a $0,80$ euros el litro con leche de oveja a $1,10$ euros el litro, obteniendo $200$ litros de mezcla a $0,85$ euros el litro. ¿ Qué cantidad de cada tipo de leche hemos utilizado ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad de leche de vaca ( en litros ), entonces, según la información del enunciado, en cuanto al coste de la mezcla de las dos clases de leche podemos escribir: $0,8x+(200-x)\cdot 1,1=200\cdot 0,85$. Resolviendo esta ecuación, llegamos a $x=\dfrac{1,1-0,85}{1,1-0,8}\cdot 200 \approx 167\,\text{litros de leche de vaca}$, y, por tanto, la cantidad de leche de oveja ha de ser igual a $200-167=33$ litros. $\square$
-oOo-
Ejercicio 99 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla un número sabiendo que si se suma ese número al numerador y al denominador de $\dfrac{89}{117}$ se obtiene una fracción equivalente a la que resulta de aumentar los dos términos de $\dfrac{17}{24}$ en ese mismo número.
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 95 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
A las $3$ de la tarde, Juan sale de Sevilla con su coche a una velocidad de $80$ kilómetros por hora. Dos horas más tarde, Paula sale a una velocidad de $120$ kilómetros por hora para darle alcance. ¿ A qué hora alcanzará Paula a Juan ? ¿ A qué distancia de Sevilla lo alcanzará ?.
-oOo-
Ejercicio 103 de la página 80 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Sobre los lados de un triángulo equilátero se han dibujado sendas semicircunferencias. Si se suman las longitudes de las tres semicircunferencias y los tres lados del triángulo resulta un valor de $47,1$ centímetros. Calcula el área del triángulo.
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 97 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Para elaborar un queso, hemos mezclado leche de vaca a $0,80$ euros el litro con leche de oveja a $1,10$ euros el litro, obteniendo $200$ litros de mezcla a $0,85$ euros el litro. ¿ Qué cantidad de cada tipo de leche hemos utilizado ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad de leche de vaca ( en litros ), entonces, según la información del enunciado, en cuanto al coste de la mezcla de las dos clases de leche podemos escribir: $0,8x+(200-x)\cdot 1,1=200\cdot 0,85$. Resolviendo esta ecuación, llegamos a $x=\dfrac{1,1-0,85}{1,1-0,8}\cdot 200 \approx 167\,\text{litros de leche de vaca}$, y, por tanto, la cantidad de leche de oveja ha de ser igual a $200-167=33$ litros. $\square$
Ejercicio 99 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla un número sabiendo que si se suma ese número al numerador y al denominador de $\dfrac{89}{117}$ se obtiene una fracción equivalente a la que resulta de aumentar los dos términos de $\dfrac{17}{24}$ en ese mismo número.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 95 de la página 80 del libro de texto base
ENUNCIADO.
A las $3$ de la tarde, Juan sale de Sevilla con su coche a una velocidad de $80$ kilómetros por hora. Dos horas más tarde, Paula sale a una velocidad de $120$ kilómetros por hora para darle alcance. ¿ A qué hora alcanzará Paula a Juan ? ¿ A qué distancia de Sevilla lo alcanzará ?.
Ejercicio 103 de la página 80 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Sobre los lados de un triángulo equilátero se han dibujado sendas semicircunferencias. Si se suman las longitudes de las tres semicircunferencias y los tres lados del triángulo resulta un valor de $47,1$ centímetros. Calcula el área del triángulo.
ESO3A ( e. aplicadas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre
Ejercicio 29 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dos ciudades A y B distan $120$ kilómetros. A las $8$ de la mañana sle un coche de cada ciudad y los dos van por la misma carretera, recta y llana, y en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 kilómetros por hora, y el que sale de B, a 60 kilómetros por hora. ¿ A qué hora el más rápido dará alcance al más lento ?.
-oOo-
Ejercicio 30 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un autocar sale de una ciudad a 80 kilómetros por hora. Una hora más tarde sale de la misma ciudad un motorista a 120 kilómetros por hora. ¿ Cuánto tardará el motorista en alcanzar el autocar ? ¿ A qué distancia de la ciudad de partida lo alcanzará ?.
-oOo-
Ejercicio 69 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La diferencia entre la edad de una madre y la de su hija es de $24$ años. Hace diez años, la edad de la madre era el quíntuplo de la edad de la hija. ¿ Cuál es la edad actual de cada una ?.
-oOo-
Ejercicio 77 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un grifo tarda $5$ horas en llenar en llenar un depósito y otro lo hace en $3$ horas. ¿ Cuánto itempo tardarán los dos grifos juntos ?.
-oOo-
Ejercicio 80 de la página 79 del libro de texto base ( modificado )
ENUNCIADO.
El área de un trapecio equilátero es de $96$ metros cuadrados. Se sabe que las bases miden $x-6$ y $x+6$ metros, respectivamente, y que la altura mide $8$ metros. Calcula el perímetro de dicho trapecio.
-oOo-
Ejercicio 82 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Marta, Carlos y Andrés se reparten $504$ euros, de manera que la cantidad que le corresponde a Carlos es una tercera parte de la que le corresponde a Marta, mientras que Andrés tiene que recibir las dos quintas partes de lo que reciben Marta y Carlos juntos. ¿ Cuánto corresponde a cada parsona ?.
-oOo-
SOLUCIONES. ( Lista de reproducción de vídeos )
ENUNCIADO.
Dos ciudades A y B distan $120$ kilómetros. A las $8$ de la mañana sle un coche de cada ciudad y los dos van por la misma carretera, recta y llana, y en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 kilómetros por hora, y el que sale de B, a 60 kilómetros por hora. ¿ A qué hora el más rápido dará alcance al más lento ?.
Ejercicio 30 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un autocar sale de una ciudad a 80 kilómetros por hora. Una hora más tarde sale de la misma ciudad un motorista a 120 kilómetros por hora. ¿ Cuánto tardará el motorista en alcanzar el autocar ? ¿ A qué distancia de la ciudad de partida lo alcanzará ?.
Ejercicio 69 de la página 78 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La diferencia entre la edad de una madre y la de su hija es de $24$ años. Hace diez años, la edad de la madre era el quíntuplo de la edad de la hija. ¿ Cuál es la edad actual de cada una ?.
Ejercicio 77 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un grifo tarda $5$ horas en llenar en llenar un depósito y otro lo hace en $3$ horas. ¿ Cuánto itempo tardarán los dos grifos juntos ?.
Ejercicio 80 de la página 79 del libro de texto base ( modificado )
ENUNCIADO.
El área de un trapecio equilátero es de $96$ metros cuadrados. Se sabe que las bases miden $x-6$ y $x+6$ metros, respectivamente, y que la altura mide $8$ metros. Calcula el perímetro de dicho trapecio.
Ejercicio 82 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Marta, Carlos y Andrés se reparten $504$ euros, de manera que la cantidad que le corresponde a Carlos es una tercera parte de la que le corresponde a Marta, mientras que Andrés tiene que recibir las dos quintas partes de lo que reciben Marta y Carlos juntos. ¿ Cuánto corresponde a cada parsona ?.
SOLUCIONES. ( Lista de reproducción de vídeos )
ESO3A ( e. aplicadas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre
Ejercicio número 12, apartados b y f, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
b) $11-x=3x-5$
f) $6x+21=-11-2x$
SOLUCIÓN.
b)
$11-x=3x-5$
$11+5=3x+x$
$16=4x$
$x=\dfrac{16}{4}=4$
f)
$6x+21=-11-2x$
$6x+2x=-11-21$
$8x=-32$
$x=\dfrac{-32}{8}=-4$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 14, apartados a y c, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
a) $\dfrac{x+6}{9}+\dfrac{x}{3}=6$
c) $\dfrac{4x+1}{3}-\dfrac{x+2}{8}=17$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x+6}{9}+\dfrac{x}{3}=6$ $9\cdot \dfrac{x+6}{9}+9\cdot \dfrac{x}{3}=9\cdot 6$
$x+6+3\,x=54$
$x+3\,x=54-6$
$4x=48$
$x=\dfrac{48}{4}=12$
a)
$\dfrac{4x+1}{3}-\dfrac{x+2}{8}=17$
$24\cdot \dfrac{4x+1}{3}-24\cdot \dfrac{x+2}{8}=24\cdot 17$
$8\cdot (4x+1)-3\cdot (x+2)=408$
$32x+8-3x-6=408$
$32x-3x=408-8+6$
$29x=406$
$x=\dfrac{406}{29}=14$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 17, apartados d, e y f, de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
d) $x^2-11x+18=0$
e) $x^2-15x+54=0$
f) $x^2-2x+2=0$
SOLUCIÓN.
La expresión de la solución de la ecuación cuadrática escrita en forma general $ax^2+bx+c=0$ es $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, por lo que en todos los ejercicios que siguen aplicaremos dicha fórmula:
d) $x^2-11x+18=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot 1\cdot 18}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right.$
e) $x^2-15x+54=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-15)\pm\sqrt{(-15)^2-4\cdot 1\cdot 54}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right.$
f) $x^2-2x+2=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-4}}{2} \notin \mathbb{R}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 18, apartados d y f, de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
d) $2x\,(x-4)+5x\,(1-x)=3\,(x+1)$
f) $(2x-3)^2=11-10x$
SOLUCIÓN.
d) $2x\,(x-4)+5x\,(1-x)=3\,(x+1)$
$2x^2 -8x+5x -5x^2=3x+3$
$3x^2+6x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3}=-1$
f) $(2x-3)^2=11-10x$
$4x^2-12x+9=11-10x$
$4x^2-2x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 4\cdot (-2)}}{2\cdot 4}=\left\{\begin{matrix}1\\-1/2\end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 22, apartados c y g, de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
c) $(x+5)(x-9)=0$
g) $(x+8)(x-8)=0$
SOLUCIÓN.
c) $(x+5)(x-9)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+5=0\Rightarrow x=-5 \\ x-9=0\Rightarrow x=9 \end{matrix}\right.$
g) $(x+8)(x-8)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+8=0\Rightarrow x=-8 \\ x-8=0\Rightarrow x=8 \end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 24, apartados a y b, de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe de forma factorizada, si es posible:
a) $x^2-12x+11=0$
b) $x^2+x-56=0$
SOLUCIÓN.
a) $x^2-12x+11=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot 11}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^2-12x+11=(x-1)(x-11)=0$
b) $x^2+x-56=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-56)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^2-12x+11=(x-7)(x-(-8))=(x-7)(x+8)=0$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
b) $11-x=3x-5$
f) $6x+21=-11-2x$
SOLUCIÓN.
b)
$11-x=3x-5$
$11+5=3x+x$
$16=4x$
$x=\dfrac{16}{4}=4$
f)
$6x+21=-11-2x$
$6x+2x=-11-21$
$8x=-32$
$x=\dfrac{-32}{8}=-4$
$\square$
Ejercicio número 14, apartados a y c, de la página 67 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
a) $\dfrac{x+6}{9}+\dfrac{x}{3}=6$
c) $\dfrac{4x+1}{3}-\dfrac{x+2}{8}=17$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x+6}{9}+\dfrac{x}{3}=6$ $9\cdot \dfrac{x+6}{9}+9\cdot \dfrac{x}{3}=9\cdot 6$
$x+6+3\,x=54$
$x+3\,x=54-6$
$4x=48$
$x=\dfrac{48}{4}=12$
a)
$\dfrac{4x+1}{3}-\dfrac{x+2}{8}=17$
$24\cdot \dfrac{4x+1}{3}-24\cdot \dfrac{x+2}{8}=24\cdot 17$
$8\cdot (4x+1)-3\cdot (x+2)=408$
$32x+8-3x-6=408$
$32x-3x=408-8+6$
$29x=406$
$x=\dfrac{406}{29}=14$
$\square$
Ejercicio número 17, apartados d, e y f, de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
d) $x^2-11x+18=0$
e) $x^2-15x+54=0$
f) $x^2-2x+2=0$
SOLUCIÓN.
La expresión de la solución de la ecuación cuadrática escrita en forma general $ax^2+bx+c=0$ es $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, por lo que en todos los ejercicios que siguen aplicaremos dicha fórmula:
d) $x^2-11x+18=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot 1\cdot 18}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right.$
e) $x^2-15x+54=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-15)\pm\sqrt{(-15)^2-4\cdot 1\cdot 54}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right.$
f) $x^2-2x+2=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-4}}{2} \notin \mathbb{R}$
$\square$
Ejercicio número 18, apartados d y f, de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
d) $2x\,(x-4)+5x\,(1-x)=3\,(x+1)$
f) $(2x-3)^2=11-10x$
SOLUCIÓN.
d) $2x\,(x-4)+5x\,(1-x)=3\,(x+1)$
$2x^2 -8x+5x -5x^2=3x+3$
$3x^2+6x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3}=-1$
f) $(2x-3)^2=11-10x$
$4x^2-12x+9=11-10x$
$4x^2-2x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 4\cdot (-2)}}{2\cdot 4}=\left\{\begin{matrix}1\\-1/2\end{matrix}\right.$
$\square$
Ejercicio número 22, apartados c y g, de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Hallar la solución de estas ecuaciones:
c) $(x+5)(x-9)=0$
g) $(x+8)(x-8)=0$
SOLUCIÓN.
c) $(x+5)(x-9)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+5=0\Rightarrow x=-5 \\ x-9=0\Rightarrow x=9 \end{matrix}\right.$
g) $(x+8)(x-8)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+8=0\Rightarrow x=-8 \\ x-8=0\Rightarrow x=8 \end{matrix}\right.$
$\square$
Ejercicio número 24, apartados a y b, de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe de forma factorizada, si es posible:
a) $x^2-12x+11=0$
b) $x^2+x-56=0$
SOLUCIÓN.
a) $x^2-12x+11=0\Rightarrow x=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot 11}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^2-12x+11=(x-1)(x-11)=0$
b) $x^2+x-56=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-56)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^2-12x+11=(x-7)(x-(-8))=(x-7)(x+8)=0$
$\square$
domingo, 18 de octubre de 2020
Grupo B ( e. académicas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre
Tienes que elegir únicamente una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicio número 93 de la página 60 del libro de texto base
ENUNCIADO. De un vaso de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿ qué parte de agua contiene el vaso ?.
SOLUCIÓN.
Los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de leche son:
$\ell_1=1$
$\ell_2=\dfrac{1}{2}$
$\ell_3=\dfrac{1}{4}$
$\ell_4=\dfrac{1}{8}$
$\ldots$
Es una s. geométrica de razón $r=\dfrac{1}{2}$, luego $\ell_6=\ell_1\,r^{6-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{1}{32}$
Y los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de agua son:
$a_1=0$
$a_2=1-\ell_1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$a_3=1-\ell_2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$a_4=1-\ell_3=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
$\ldots$ con lo cual, $a_6=1-\ell_6=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}$
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 2: Ejercicio número 92 de la página 60 del libro de texto base
ENUNCIADO. La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es $6$, y la suma de sus dos primeros términos es $\dfrac{16}{3}$. Calcula el valor del primer término.
SOLUCIÓN.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r} \quad \quad (1)$. Por otra parte, $a_1+a_2=\dfrac{13}{6}=a_1+a_{1}\,r=a_1\,(1+r) \Rightarrow a_1=\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{1}{1+r}=\dfrac{13}{6\,(1+r)} \quad \quad (2)$, luego sustituyendo en (1) el valor de la suma así como la expresión del primer término: $$6=\dfrac{\dfrac{13}{6\,(1+r)}}{1-r} \Rightarrow 36\,(1-r)(1+r)=13 \Rightarrow 1-r^2=\dfrac{13}{36} \Rightarrow r^2=1-\dfrac{13}{36}=\dfrac{23}{36} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow r=\dfrac{|\sqrt{23}|}{6}$$ Finalmente, sustituyendo en (2) llegamos a $a_1=\dfrac{13}{6\,(1+|\sqrt{23}|/6)}=\dfrac{13}{6+|\sqrt{23}|}$
$\square$
OPCIÓN 1: Ejercicio número 93 de la página 60 del libro de texto base
ENUNCIADO. De un vaso de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿ qué parte de agua contiene el vaso ?.
SOLUCIÓN.
Los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de leche son:
$\ell_1=1$
$\ell_2=\dfrac{1}{2}$
$\ell_3=\dfrac{1}{4}$
$\ell_4=\dfrac{1}{8}$
$\ldots$
Es una s. geométrica de razón $r=\dfrac{1}{2}$, luego $\ell_6=\ell_1\,r^{6-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{1}{32}$
Y los seis primeros términos de la sucesión del contenido en partes de agua son:
$a_1=0$
$a_2=1-\ell_1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
$a_3=1-\ell_2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$a_4=1-\ell_3=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
$\ldots$ con lo cual, $a_6=1-\ell_6=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}$
$\square$
ENUNCIADO. La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es $6$, y la suma de sus dos primeros términos es $\dfrac{16}{3}$. Calcula el valor del primer término.
SOLUCIÓN.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica decreciente es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r} \quad \quad (1)$. Por otra parte, $a_1+a_2=\dfrac{13}{6}=a_1+a_{1}\,r=a_1\,(1+r) \Rightarrow a_1=\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{1}{1+r}=\dfrac{13}{6\,(1+r)} \quad \quad (2)$, luego sustituyendo en (1) el valor de la suma así como la expresión del primer término: $$6=\dfrac{\dfrac{13}{6\,(1+r)}}{1-r} \Rightarrow 36\,(1-r)(1+r)=13 \Rightarrow 1-r^2=\dfrac{13}{36} \Rightarrow r^2=1-\dfrac{13}{36}=\dfrac{23}{36} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow r=\dfrac{|\sqrt{23}|}{6}$$ Finalmente, sustituyendo en (2) llegamos a $a_1=\dfrac{13}{6\,(1+|\sqrt{23}|/6)}=\dfrac{13}{6+|\sqrt{23}|}$
$\square$
Grupo A ( e. aplicadas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre
Tienes que elegir únicamente una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicio número 102 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Deduce de la figura el desarrollo de $(x+y+z)^2$
SOLUCIÓN.
La suma de las áreas de los rectángulos y de los dos cuadrados interiores ha de ser igual al área del cuadrado que los contine, puesto que éste está particionado. Entonces, $(x+y+z)^2=x^2+2\,xy+2\,xz+2\,yz+z^2$ $\square$
OPCIÓN 2: Ejercicio número 103 de la página 58 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Para construir una caja sin tapa, recortamos las cuatro esquinas de una carulina rectangular, de $18\,\text{cm}$ de largo y $12\,\text{cm}$ de ancho, y doblamos por las líneas de puntos que se muestran en la figura ( que no está dibujada a escala ):
a) Halla los polinomios que proporcionan el área y la capacidad de la caja según el lado $x$ de los cuadrados que recortamos.
b) Calcula el área y la capacidad para $x:=3\,\text{cm}$
SOLUCIÓN.
a) Sumando el área de la base ( rectángulo central ) y el área de las cuatro caras laterales obtenemos el área de las cinco caras de la caja:
$A(x)=(18-2x)(12-2x)+2\cdot (18-2x)+2\cdot (12-2x)=\ldots=216-4x^2$ ( expresado en centímetros al cuadrado ). Nota: si $x:=0$ se obtiene el área del rectángulo exterior, $12\cdot 18=216\,\text{cm}^2$, como debe ser.
El volumen de la caja (cerrada ) es igual $V(x)=(12-2x)\,(18-2x)\,x=\ldots=4\,x^3-60\,x^2+216\,x$ ( expresado en centímetros cúbicos ). Nota: Observemos que si $x:=0$, el volumen es igual a $0$, como debe ser.
b) Sustituyendo el valor del dato en la expresión polinómica del área, se obtiene: $A(3)=216-4\cdot 3^2 = 180\,\text{cm}^2$, y sustituyéndolo en la expresión polinómica del volumen: $V(3)=4\cdot 3^3-60\cdot 3^2+216\cdot 3 = 216\,\text{cm}^3$
$\square$
OPCIÓN 1: Ejercicio número 102 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Deduce de la figura el desarrollo de $(x+y+z)^2$
SOLUCIÓN.
La suma de las áreas de los rectángulos y de los dos cuadrados interiores ha de ser igual al área del cuadrado que los contine, puesto que éste está particionado. Entonces, $(x+y+z)^2=x^2+2\,xy+2\,xz+2\,yz+z^2$ $\square$
OPCIÓN 2: Ejercicio número 103 de la página 58 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Para construir una caja sin tapa, recortamos las cuatro esquinas de una carulina rectangular, de $18\,\text{cm}$ de largo y $12\,\text{cm}$ de ancho, y doblamos por las líneas de puntos que se muestran en la figura ( que no está dibujada a escala ):
b) Calcula el área y la capacidad para $x:=3\,\text{cm}$
SOLUCIÓN.
a) Sumando el área de la base ( rectángulo central ) y el área de las cuatro caras laterales obtenemos el área de las cinco caras de la caja:
$A(x)=(18-2x)(12-2x)+2\cdot (18-2x)+2\cdot (12-2x)=\ldots=216-4x^2$ ( expresado en centímetros al cuadrado ). Nota: si $x:=0$ se obtiene el área del rectángulo exterior, $12\cdot 18=216\,\text{cm}^2$, como debe ser.
El volumen de la caja (cerrada ) es igual $V(x)=(12-2x)\,(18-2x)\,x=\ldots=4\,x^3-60\,x^2+216\,x$ ( expresado en centímetros cúbicos ). Nota: Observemos que si $x:=0$, el volumen es igual a $0$, como debe ser.
b) Sustituyendo el valor del dato en la expresión polinómica del área, se obtiene: $A(3)=216-4\cdot 3^2 = 180\,\text{cm}^2$, y sustituyéndolo en la expresión polinómica del volumen: $V(3)=4\cdot 3^3-60\cdot 3^2+216\cdot 3 = 216\,\text{cm}^3$
$\square$
Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre
Ejercicio número 19 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
En un depósito de una entidad financiera ofrecen un $1,5\,\%$ de interés simple anual. Se se depositan $7\,500$ euros durante $2$ años y Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses al finalizar el plazo, calcula el capital acumulado.
SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=7\,500\cdot (1+0,015)^{2}=7\,7226,69$ euros
Interereses brutos: $7\,7226,69-7\,500=226,69$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 226,69=47,60$ euros
Capital acumulado neto: $7\,7226,69-47,60=7\,679,09$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 22 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Se depositan $6\,500$ euros al $1,5\,\%$ de interés compuesto anual, retirándose el capital y los intereses al cabo de $4$ años. Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses cuando se recupera el capital, calcula el capital final si los intereses se abonan anualmente.
SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=6\,500\cdot (1+0,015)^{4}=6\,898,86$ euros ( aproximando al céntimo )
Interereses brutos: $6\,898,86-6\,500=398,86$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 398,86=83,76$ euros
( aproximando al céntimo )
Capital acumulado neto: $6\,898,86-83,76=6\,815,10$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 24 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $2\,\%$, y con periodos de capitalización anuales, se acumule un capital final de $13\,530,40$ euros al cabo de $4$ años ?.
SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado: $13\,530,40=c\,(1+0,02)^4 \Rightarrow c=\dfrac{13\,530,40}{1,02^4}\approx 12\,500,00$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 52 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario tener depositado para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $3\,\%$, y con periodos de capitalización mensuales, se acumule un capital final de $23\,232,34$ al cabo de $5$ años ?.
SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado (final): $23\,232,34=c\,(1+0,03)^5 \Rightarrow c=\dfrac{23\,232,34}{1,03^5}=20\,040,42$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 56, apartado a, de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el primer término y la diferencia en las progresiones aritméticas siguientes, en las que:
a) $a_3=70$ y $a_6=115$
b) $b_5=6$ y $b_9=7$
SOLUCIÓN.
a)
$a_6=a_3+(6-3)\cdot d$, luego $115=70+3d \Rightarrow d=\dfrac{115-70}{3}=15$. Por otra parte $a_3=a_1+(3-1)\cdot d$, esto es $70=a_1+2\cdot 15 \Rightarrow a_1=70-30=40$
b)
$b_9=b_5+(9-5)\,d$, luego $7=5+4d \Rightarrow d=\dfrac{7-5}{5}=\dfrac{1}{4}$. Por otra parte $b_5=b_1+(5-1)\cdot d$, esto es $6=b_1+4\cdot \dfrac{1}{4} \Rightarrow b_1=6-1=5$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 49 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el capital que hay que depositar para que al cabo de $2$ años, con una tasa de interés simple anual del $1,5\%$, para que se generen unos interesos netos de $592,50$ euros, sabiendo que Hacienda descuenta (de los intereses brutos ) un $21\,\%$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ el capital a depositar. Entonces:
Interereses brutos: $2\cdot 0,015\,c$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot (2\cdot 0,015\,c)$ euros
Intereses netos: $(1-0,21)\cdot 2\cdot 0,015\,c=592,50 \Rightarrow c=\dfrac{592,50}{0,79\cdot 0,030}=\dfrac{592,50}{0,0237}=25\,000$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 72 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un dependiente recibe el prime día de trabajo una gratificación de $10$ euros. En los días sucesivos, esta gratificación va aumentando en $1,50$ euros, de manera que, en su última jornada, cobra $143,50$ euros. ¿ Cuántos días trabajó y cuánto cobró en total por las gratificaciones ?.
SOLUCIÓN.
Como la cantidad que percibe crece según una sucesión aritmética, podemos escribir que $143,50=10+(n-1)\cdot 1,50$, donde $n$ es el número de días que trabajó. Despejando $n$ de dicha ecuación, encontramos: $n-1=\dfrac{143,50-10}{1,50}$, con lo cual, $n=\dfrac{143,50-10}{1,50}+1=90$ días.
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
En un depósito de una entidad financiera ofrecen un $1,5\,\%$ de interés simple anual. Se se depositan $7\,500$ euros durante $2$ años y Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses al finalizar el plazo, calcula el capital acumulado.
SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=7\,500\cdot (1+0,015)^{2}=7\,7226,69$ euros
Interereses brutos: $7\,7226,69-7\,500=226,69$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 226,69=47,60$ euros
Capital acumulado neto: $7\,7226,69-47,60=7\,679,09$ euros
$\square$
Ejercicio número 22 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Se depositan $6\,500$ euros al $1,5\,\%$ de interés compuesto anual, retirándose el capital y los intereses al cabo de $4$ años. Hacienda retiene el $21\,\%$ de los intereses cuando se recupera el capital, calcula el capital final si los intereses se abonan anualmente.
SOLUCIÓN.
Capital acumulado bruto: $C=6\,500\cdot (1+0,015)^{4}=6\,898,86$ euros ( aproximando al céntimo )
Interereses brutos: $6\,898,86-6\,500=398,86$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot 398,86=83,76$ euros
( aproximando al céntimo )
Capital acumulado neto: $6\,898,86-83,76=6\,815,10$ euros
$\square$
Ejercicio número 24 de la página 53 del libro de texto base (ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $2\,\%$, y con periodos de capitalización anuales, se acumule un capital final de $13\,530,40$ euros al cabo de $4$ años ?.
SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado: $13\,530,40=c\,(1+0,02)^4 \Rightarrow c=\dfrac{13\,530,40}{1,02^4}\approx 12\,500,00$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).
$\square$
Ejercicio número 52 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
¿ Qué capital inicial es necesario tener depositado para que, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $3\,\%$, y con periodos de capitalización mensuales, se acumule un capital final de $23\,232,34$ al cabo de $5$ años ?.
SOLUCIÓN.
Por la fórmula del capital acumulado (final): $23\,232,34=c\,(1+0,03)^5 \Rightarrow c=\dfrac{23\,232,34}{1,03^5}=20\,040,42$ euros ( aproximando el resultado final al céntimo ).
$\square$
Ejercicio número 56, apartado a, de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el primer término y la diferencia en las progresiones aritméticas siguientes, en las que:
a) $a_3=70$ y $a_6=115$
b) $b_5=6$ y $b_9=7$
SOLUCIÓN.
a)
$a_6=a_3+(6-3)\cdot d$, luego $115=70+3d \Rightarrow d=\dfrac{115-70}{3}=15$. Por otra parte $a_3=a_1+(3-1)\cdot d$, esto es $70=a_1+2\cdot 15 \Rightarrow a_1=70-30=40$
b)
$b_9=b_5+(9-5)\,d$, luego $7=5+4d \Rightarrow d=\dfrac{7-5}{5}=\dfrac{1}{4}$. Por otra parte $b_5=b_1+(5-1)\cdot d$, esto es $6=b_1+4\cdot \dfrac{1}{4} \Rightarrow b_1=6-1=5$
$\square$
Ejercicio número 49 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el capital que hay que depositar para que al cabo de $2$ años, con una tasa de interés simple anual del $1,5\%$, para que se generen unos interesos netos de $592,50$ euros, sabiendo que Hacienda descuenta (de los intereses brutos ) un $21\,\%$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ el capital a depositar. Entonces:
Interereses brutos: $2\cdot 0,015\,c$ euros
Retención de intereses: $0,21\cdot (2\cdot 0,015\,c)$ euros
Intereses netos: $(1-0,21)\cdot 2\cdot 0,015\,c=592,50 \Rightarrow c=\dfrac{592,50}{0,79\cdot 0,030}=\dfrac{592,50}{0,0237}=25\,000$ euros
$\square$
Ejercicio número 72 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un dependiente recibe el prime día de trabajo una gratificación de $10$ euros. En los días sucesivos, esta gratificación va aumentando en $1,50$ euros, de manera que, en su última jornada, cobra $143,50$ euros. ¿ Cuántos días trabajó y cuánto cobró en total por las gratificaciones ?.
SOLUCIÓN.
Como la cantidad que percibe crece según una sucesión aritmética, podemos escribir que $143,50=10+(n-1)\cdot 1,50$, donde $n$ es el número de días que trabajó. Despejando $n$ de dicha ecuación, encontramos: $n-1=\dfrac{143,50-10}{1,50}$, con lo cual, $n=\dfrac{143,50-10}{1,50}+1=90$ días.
$\square$
Grupo A ( e. aplicadas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre
Ejercicio número 24 de la página 52 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla:
$$(2\,x-5)^2+(3\,x^2-4\,x^3)^2+(2\,x^3-5\,x^2)^2$$
SOLUCIÓN.
Omito los cálculos rutinarios. El resultado (hechas todas las simplificaciones) es: $$20\,x^6-44\,x^5+34\,x^4+4\,x^2-20\,x+25$$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 25 de la página 52 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Observa la figura y las medidas en ella reseñadas y di cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde al área del cuadrado interior:
A. $a^2-4\,b^2$
B. $a^2-4\,a\,b+4\,b^2$
C. $a^2-2\,ab+b^2$
SOLUCIÓN.
Restando al área del cuadrado exterior las áreas de los cuatro cuadrados de las respectivas esquinas, obtenemos: $a^2-4\,b^2$ ( respuesta A )
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 26, apartado c, de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Efecúa el siguiente producto de binomios:
c) $(x^2-1)(x^2+1)$
SOLUCIÓN.
$(x^2-1)(x^2+1)=$
$=(x^2)^2-x^2+x^2+1\cdot (-1)$
$=x^{2\cdot 2}-1$
$=x^4-1$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 28 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Utiliza el producto de la suma por la diferencia para desarrollar el siguiente procto de binomios:
$$(a+b+c)(a+b-c)$$
SOLUCIÓN.
$(a+b+c)(a+b-c)=$
$=\left((a+b)+c\right)\left((a+b)-c\right)$
$=(a+b)^2-c^2$
$=a^2+2\,ab+b^2-c^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 79 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es la mitad que la altura.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura; así pues, y denotando por $a$ la altura del triángulo, la expresión pedida es $\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)\cdot a$, que, simplificada, queda $\dfrac{a^2}{4}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 87 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que determina el valor del área de la parte coloreada en función del lado $x$:
SOLUCIÓN.
Restando el área del recángulo interior del área del rectángulo exterior, podemos escribir:
$2x\cdot x-\left((2x-2\cdot 5)(x-2\cdot 3)\right)$, y simplificando:
$2x^2-\left(2\,(x-5)(x-6)\right)$
$2x^2-2\,(x^2-6x-5x+30)$
$2x^2-2\,(x^2-11x+30)$
$2x^2-2x^2+22x-60$
$22x-60$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 90 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
El precio del alquiler de un coche es de $55$ euros al día y $0,12$ euros por kilómetro recorrido.
a) Si $x$ es el número de kilómetros recorridos, escribe la expresión que nos proporciona el coste total de alquilar un coche durante $2$ días, en función de $x$.
b) Calcula el coste total de alquilar un coche durante $2$ días si hemos recorrido $340$ kilómetros.
SOLUCIÓN.
a) Coste del alquiler: $55\cdot 2+0,12\,x$ euros, que es lo mismo que $110+0,12\,x$ euros
b) $55\cdot 2+0,12\cdot 340$, esto es, $150,80$ euros.
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Desarrolla:
$$(2\,x-5)^2+(3\,x^2-4\,x^3)^2+(2\,x^3-5\,x^2)^2$$
SOLUCIÓN.
Omito los cálculos rutinarios. El resultado (hechas todas las simplificaciones) es: $$20\,x^6-44\,x^5+34\,x^4+4\,x^2-20\,x+25$$
$\square$
Ejercicio número 25 de la página 52 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Observa la figura y las medidas en ella reseñadas y di cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde al área del cuadrado interior:
B. $a^2-4\,a\,b+4\,b^2$
C. $a^2-2\,ab+b^2$
SOLUCIÓN.
Restando al área del cuadrado exterior las áreas de los cuatro cuadrados de las respectivas esquinas, obtenemos: $a^2-4\,b^2$ ( respuesta A )
$\square$
Ejercicio número 26, apartado c, de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Efecúa el siguiente producto de binomios:
c) $(x^2-1)(x^2+1)$
SOLUCIÓN.
$(x^2-1)(x^2+1)=$
$=(x^2)^2-x^2+x^2+1\cdot (-1)$
$=x^{2\cdot 2}-1$
$=x^4-1$
$\square$
Ejercicio número 28 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Utiliza el producto de la suma por la diferencia para desarrollar el siguiente procto de binomios:
$$(a+b+c)(a+b-c)$$
SOLUCIÓN.
$(a+b+c)(a+b-c)=$
$=\left((a+b)+c\right)\left((a+b)-c\right)$
$=(a+b)^2-c^2$
$=a^2+2\,ab+b^2-c^2$
$\square$
Ejercicio número 79 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es la mitad que la altura.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura; así pues, y denotando por $a$ la altura del triángulo, la expresión pedida es $\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)\cdot a$, que, simplificada, queda $\dfrac{a^2}{4}$
$\square$
Ejercicio número 87 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que determina el valor del área de la parte coloreada en función del lado $x$:
SOLUCIÓN.
Restando el área del recángulo interior del área del rectángulo exterior, podemos escribir:
$2x\cdot x-\left((2x-2\cdot 5)(x-2\cdot 3)\right)$, y simplificando:
$2x^2-\left(2\,(x-5)(x-6)\right)$
$2x^2-2\,(x^2-6x-5x+30)$
$2x^2-2\,(x^2-11x+30)$
$2x^2-2x^2+22x-60$
$22x-60$
$\square$
Ejercicio número 90 de la página 58 del libro de texto base
ENUNCIADO.
El precio del alquiler de un coche es de $55$ euros al día y $0,12$ euros por kilómetro recorrido.
a) Si $x$ es el número de kilómetros recorridos, escribe la expresión que nos proporciona el coste total de alquilar un coche durante $2$ días, en función de $x$.
b) Calcula el coste total de alquilar un coche durante $2$ días si hemos recorrido $340$ kilómetros.
SOLUCIÓN.
a) Coste del alquiler: $55\cdot 2+0,12\,x$ euros, que es lo mismo que $110+0,12\,x$ euros
b) $55\cdot 2+0,12\cdot 340$, esto es, $150,80$ euros.
$\square$
Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre
Ejercicio número 2, apartados b y d, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones:
b) $1,1,2,3,5,8,\ldots$
d) $1,-2,4,-8,\ldots$
SOLUCIÓN.
b) $1,1,2,3,5,8,13,21,34,35$ Esta sucesión se conoce con el nombre de s. de Fibonacci. El término actual es igual a la suma de los dos términos precedentes )
d) $1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,-512$
Esta sucesión es una s. geométrica de razón igual a $-2$. Como la razón es un número negativo, los términos se van alternando en cuanto a su signo.
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 4 de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los cuatro primeros términos positivos de las siguientes sucesiones y escribe la expresión algebraica del término general:
a) sucesión de los números pares
b) sucesión de los números impares
c) sucesión de los múltiplos de 5
d) sucesión de los cubos
SOLUCIÓN.
a) $2,4,6,8,\ldots$, término general: $a_n=2\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$. Nota: sólo se piden los pares positivos, pero no olvidéis que $0$ también es par, y, desde luego, los opuestos de los que hemos escrito (los negativos), también lo son.
b) $1,3,5,7,\ldots$, término general: $b_n=2\,n+1$, donde $n=1,2,3,\ldots$
c) $5,10,15,20,\ldots$, término general: $c_n=5\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$
d) $1,8,27,64,\ldots$, término general: $d_n=n^3$, donde $n=1,2,3,\ldots$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 5, apartados b y d, de la página 49 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el término general de las siguientes sucesiones aritméticas:
b) $6,3,0,-3,\ldots$
d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$
SOLUCIÓN.
b) $6,3,0,-3,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=3$, luego su término general - cuya expresión es $b_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $b_n=6+3\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$
d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=1/2$, luego su término general - cuya expresión es $d_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$, que podemos simplificar escribiéndola de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}\,n$ , donde $n=1,2,3,\ldots$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 13, apartado b, de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la lsuma de los infinitos términos de la siguiente sucesión:
b) $3,2,4/3,8/9,16/27,\ldots$
SOLUCIÓN.
Esta sucesión es geométrica; el primer término es $a_1=3$ y la razón es $r=\dfrac{2}{3}$. Hemos visto ya que al ser la razón menor que $1$, el valor de los términos decrece paulatinamente ad infinitum, por lo que la suma de los infinitos términos será un número, que es el que tenemos que calcular. De la expresión de la suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, tenemos que, en ésta, al pensar $n$ como infinito, sucede que $r^{\infty} \rightarrow 0$, luego $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$, y, en el caso concreto que nos ocuapa, $S_{\infty}=\dfrac{3}{1-2/3}=9$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 15 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Encuentra el valor de la razón de la progresión geométrica que tiene $a_4=135$ y $a_6=1\,215$
SOLUCIÓN.
Como $a_6=a_5\,r=a_4\,r^2$, podemos escribir $1\,215=135\,r^2 \Rightarrow r^2=\dfrac{1\,215}{135}=9 \Rightarrow r=3
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 17 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica es $6$ y su primer término es $4$. Halla el valor de la razón misma.
SOLUCIÓN.
Por lo que hemos dicho en el problema 13: $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$. Y con los datos de este problema, $\dfrac{4}{1-r}=6 \Rightarrow 6\,(1-r)=4 \Rightarrow 6-4=6\,r \Rightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, que es menor que $1$ ( como debe ser ).
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 18 de la página 51 del libro de texto base ( modificado con una segunda pregunta añadida )
ENUNCIADO.
Si en un cuadrado de $8$ metros cuadrados de área se unen los puntos medios, se obtiene otro cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la sucesión de las áreas de dichos cuadrados. ¿ Qué tipo de sucesión es ? ¿ Cuál es el valor de la suma de las áreas de esta sucesión infinita ?.
SOLUCIÓN.
El lado del cuadrado de partida es $\ell_1=|\sqrt{8}|=2\,|\sqrt{2}|$ metros, y el lado $\ell_2$ del segundo cumple el teorema de Pitágoras aplicado cualquiera de los cuatro triángulos rectángulos isósceles en que se descompone, por lo que $\ell_2^{2}=(|\sqrt{2}|)^2+(|\sqrt{2}|)^2 \Rightarrow \ell_2=|\sqrt{2+2}|=|\sqrt{4}|=2$, y así sucesivamente. Se forma pues una sucesión geométrica con los lados, de razón $r=\dfrac{\ell_2}{\ell_1}=\dfrac{2\,|\sqrt{2}|}{2}=|\sqrt{2}$, con lo cual, la sucesión de las áreas es también geométrica y su razón es igual a $r^2=2$. Como el área del primer cuadrado es igual $8$ metros cuadrados, el término general de la sucesión de las aréas se escribe de la forma $a_n=8\,2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$. Y la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se generan es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}=\dfrac{8}{1-2}=8\,\text{m}^2$.
$\square$
ENUNCIADO.
Halla los diez primeros términos de las siguientes sucesiones:
b) $1,1,2,3,5,8,\ldots$
d) $1,-2,4,-8,\ldots$
SOLUCIÓN.
b) $1,1,2,3,5,8,13,21,34,35$ Esta sucesión se conoce con el nombre de s. de Fibonacci. El término actual es igual a la suma de los dos términos precedentes )
d) $1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,-512$
Esta sucesión es una s. geométrica de razón igual a $-2$. Como la razón es un número negativo, los términos se van alternando en cuanto a su signo.
$\square$
Ejercicio número 4 de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los cuatro primeros términos positivos de las siguientes sucesiones y escribe la expresión algebraica del término general:
a) sucesión de los números pares
b) sucesión de los números impares
c) sucesión de los múltiplos de 5
d) sucesión de los cubos
SOLUCIÓN.
a) $2,4,6,8,\ldots$, término general: $a_n=2\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$. Nota: sólo se piden los pares positivos, pero no olvidéis que $0$ también es par, y, desde luego, los opuestos de los que hemos escrito (los negativos), también lo son.
b) $1,3,5,7,\ldots$, término general: $b_n=2\,n+1$, donde $n=1,2,3,\ldots$
c) $5,10,15,20,\ldots$, término general: $c_n=5\,n$, donde $n=1,2,3,\ldots$
d) $1,8,27,64,\ldots$, término general: $d_n=n^3$, donde $n=1,2,3,\ldots$
$\square$
Ejercicio número 5, apartados b y d, de la página 49 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el término general de las siguientes sucesiones aritméticas:
b) $6,3,0,-3,\ldots$
d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$
SOLUCIÓN.
b) $6,3,0,-3,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=3$, luego su término general - cuya expresión es $b_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $b_n=6+3\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$
d) $1/2,1,3/2,2,\ldots$, es una sucesión aritmética de diferencia $d=1/2$, luego su término general - cuya expresión es $d_n=a_1+(n-1)\,d$ - se concreta de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\,(n-1)$, donde $n=1,2,3,\ldots$, que podemos simplificar escribiéndola de la forma $d_n=\dfrac{1}{2}\,n$ , donde $n=1,2,3,\ldots$
$\square$
Ejercicio número 13, apartado b, de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula la lsuma de los infinitos términos de la siguiente sucesión:
b) $3,2,4/3,8/9,16/27,\ldots$
SOLUCIÓN.
Esta sucesión es geométrica; el primer término es $a_1=3$ y la razón es $r=\dfrac{2}{3}$. Hemos visto ya que al ser la razón menor que $1$, el valor de los términos decrece paulatinamente ad infinitum, por lo que la suma de los infinitos términos será un número, que es el que tenemos que calcular. De la expresión de la suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, tenemos que, en ésta, al pensar $n$ como infinito, sucede que $r^{\infty} \rightarrow 0$, luego $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$, y, en el caso concreto que nos ocuapa, $S_{\infty}=\dfrac{3}{1-2/3}=9$
$\square$
Ejercicio número 15 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Encuentra el valor de la razón de la progresión geométrica que tiene $a_4=135$ y $a_6=1\,215$
SOLUCIÓN.
Como $a_6=a_5\,r=a_4\,r^2$, podemos escribir $1\,215=135\,r^2 \Rightarrow r^2=\dfrac{1\,215}{135}=9 \Rightarrow r=3
$\square$
Ejercicio número 17 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica es $6$ y su primer término es $4$. Halla el valor de la razón misma.
SOLUCIÓN.
Por lo que hemos dicho en el problema 13: $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$. Y con los datos de este problema, $\dfrac{4}{1-r}=6 \Rightarrow 6\,(1-r)=4 \Rightarrow 6-4=6\,r \Rightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, que es menor que $1$ ( como debe ser ).
$\square$
Ejercicio número 18 de la página 51 del libro de texto base ( modificado con una segunda pregunta añadida )
ENUNCIADO.
Si en un cuadrado de $8$ metros cuadrados de área se unen los puntos medios, se obtiene otro cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la sucesión de las áreas de dichos cuadrados. ¿ Qué tipo de sucesión es ? ¿ Cuál es el valor de la suma de las áreas de esta sucesión infinita ?.
SOLUCIÓN.
El lado del cuadrado de partida es $\ell_1=|\sqrt{8}|=2\,|\sqrt{2}|$ metros, y el lado $\ell_2$ del segundo cumple el teorema de Pitágoras aplicado cualquiera de los cuatro triángulos rectángulos isósceles en que se descompone, por lo que $\ell_2^{2}=(|\sqrt{2}|)^2+(|\sqrt{2}|)^2 \Rightarrow \ell_2=|\sqrt{2+2}|=|\sqrt{4}|=2$, y así sucesivamente. Se forma pues una sucesión geométrica con los lados, de razón $r=\dfrac{\ell_2}{\ell_1}=\dfrac{2\,|\sqrt{2}|}{2}=|\sqrt{2}$, con lo cual, la sucesión de las áreas es también geométrica y su razón es igual a $r^2=2$. Como el área del primer cuadrado es igual $8$ metros cuadrados, el término general de la sucesión de las aréas se escribe de la forma $a_n=8\,2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$. Y la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se generan es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}=\dfrac{8}{1-2}=8\,\text{m}^2$.
$\square$
Grupo A ( e. aplicadas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre
Ejercicio número 1 de la página 44 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Responde con una expresíon algebraicas:
a) Ana tiene $x$ años, ¿ cuántos años tendrá detrno de $6$ años ?.
b) Si una caja de $40$ bombones cuesta $x$ euros, ¿ cuánto cuesta cada bombón ?.
c) Rafael tenía $350$ euros en el banco y ha retirado $x$ euros. ¿ Cuál es el saldo actual de su cuenta ?.
d) Un pizza se divide en $x$ trozos y Manuel se come $2$ trozos. ¿ Qué parte ( fracción ) de la pizza se ha comido ?.
SOLUCIÓN.
a) $x+6$ años
b) $\dfrac{40}{x}$ euros/bombón
c) $350-x$ euros
d) $\dfrac{2}{x}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 2 de la página 44 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Instalar moqueta en un salón cuesta $x$ euros por metro cuadrado. Los demás materiales y la mano de obra ascienden a $150$ euros. Expresa algebraicamente el coste total, sabiendo que el salón, que es rectangular, mide $6$ metros de ancho y $8$ metros de largo.
SOLUCIÓN.
El área del salón es $6\cdot 8=48\,\text{m}^2$ años, luego el coste de la moqueta es $48\,x$ euros. Y, por tanto, el coste total ( sumando a esa cantidad la mano de obra y el coste de los demás materiales ) es $48\,x+150$ euros
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 3 de la página 44 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para $x:=2$, $y:=3$ y $z:=1$:
a) $2\,x+y^2-11\,z$
b) $\dfrac{x^2-5\,z}{3\,y+1}$
c) $(x-y+z)^2$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo los valores de cada una de las variables y calculando la expresión numérica resultante, encontramos:
a) $2\cdot 2+3^2-11\cdot 1 = 4+9-11=2$
b) $\dfrac{2^2-5\cdot 1}{3\cdot 3 +1}=\dfrac{4-5}{9+1}=\dfrac{-1}{10}=-\dfrac{1}{10}$
c) $(2-3+1)^2=0^2=0$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 15, apartado c, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Comprueba si los siguientes valores de $x$, $x:=1$ y $x:=3$, son raíces del polinomio $P(x)$:
c) $P(x)=2\,x^3-4\,x^2-10\,x+12$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo cada uno de los tres valores de la indeterminada/variable en el polinomio, obtendremos el valor numérico del mismo; si dicho valor es nulo, el valor que hemos dado a $x$ es una raíz del polinomio. Veámoslo:
$P(1)=2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-10\cdot 1+12$
$=2\cdot 1-4\cdot 1-10+12$
$=2-4-10+12$
$=0$ luego $1$ es una raíz de $P(x)$
$P(3)=2\cdot 3^3-4\cdot 3^2-10\cdot 3+12$
$=2\cdot 27-4\cdot 9-30+12$
$=54-36-30+12$
$=18-30+12$
$=-12+12$
$=-12+12=0$ luego $3$ es también una raíz de $P(x)$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 16, apartado c, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Expresa en función del parámetro $m$ el valor numérico del polinomio $P(x)$ para $x:=2$
c) $P(x)=m\,x+3\,x^2+5$
SOLUCIÓN.
$P(2)=m\cdot 2 +3\cdot 2^2+5$
$=m\cdot 2 +3\cdot 4+5$
$=m\cdot 2+12+5$
$=2\,m+17$
$\square$
-oOo-
Ejercicio número 18, apartado f, de la página 50 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dados los polinomios $P(x)=5\,x^3+11\,x^2-6\,x+8$, $Q(x)=-x^3+3\,x^2-4\,x+3$ y $R(x)=x^3+4\,x^2+1$, efctúa:
f) $P(x)\cdot \left( Q(x)-R(x)\right)$
SOLUCIÓN.
$P(x)\cdot \left( Q(x)-R(x)\right)$
$= \left(5\,x^3+11\,x^2-6\,x+8\right)\left( -x^3+3\,x^2-4\,x+3 \right)-\left(x^3+4\,x^2+1\right)$
$= \left( -5x^6+4x^5+19x^4-55x^3+81x^2-50x+24 \right)-\left(x^3+4\,x^2+1\right)$
$= -5x^6+4x^5+19x^4-56x^3+77x^2-50x+23$
$\square$
Ejercicio número 22, apartado c, de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la siguiente potencia de binomio:
c) $\left( x+\sqrt{2}\right)^2$
ENUNCIADO.
Responde con una expresíon algebraicas:
a) Ana tiene $x$ años, ¿ cuántos años tendrá detrno de $6$ años ?.
b) Si una caja de $40$ bombones cuesta $x$ euros, ¿ cuánto cuesta cada bombón ?.
c) Rafael tenía $350$ euros en el banco y ha retirado $x$ euros. ¿ Cuál es el saldo actual de su cuenta ?.
d) Un pizza se divide en $x$ trozos y Manuel se come $2$ trozos. ¿ Qué parte ( fracción ) de la pizza se ha comido ?.
SOLUCIÓN.
a) $x+6$ años
b) $\dfrac{40}{x}$ euros/bombón
c) $350-x$ euros
d) $\dfrac{2}{x}$
$\square$
Ejercicio número 2 de la página 44 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Instalar moqueta en un salón cuesta $x$ euros por metro cuadrado. Los demás materiales y la mano de obra ascienden a $150$ euros. Expresa algebraicamente el coste total, sabiendo que el salón, que es rectangular, mide $6$ metros de ancho y $8$ metros de largo.
SOLUCIÓN.
El área del salón es $6\cdot 8=48\,\text{m}^2$ años, luego el coste de la moqueta es $48\,x$ euros. Y, por tanto, el coste total ( sumando a esa cantidad la mano de obra y el coste de los demás materiales ) es $48\,x+150$ euros
$\square$
Ejercicio número 3 de la página 44 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para $x:=2$, $y:=3$ y $z:=1$:
a) $2\,x+y^2-11\,z$
b) $\dfrac{x^2-5\,z}{3\,y+1}$
c) $(x-y+z)^2$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo los valores de cada una de las variables y calculando la expresión numérica resultante, encontramos:
a) $2\cdot 2+3^2-11\cdot 1 = 4+9-11=2$
b) $\dfrac{2^2-5\cdot 1}{3\cdot 3 +1}=\dfrac{4-5}{9+1}=\dfrac{-1}{10}=-\dfrac{1}{10}$
c) $(2-3+1)^2=0^2=0$
$\square$
Ejercicio número 15, apartado c, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Comprueba si los siguientes valores de $x$, $x:=1$ y $x:=3$, son raíces del polinomio $P(x)$:
c) $P(x)=2\,x^3-4\,x^2-10\,x+12$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo cada uno de los tres valores de la indeterminada/variable en el polinomio, obtendremos el valor numérico del mismo; si dicho valor es nulo, el valor que hemos dado a $x$ es una raíz del polinomio. Veámoslo:
$P(1)=2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-10\cdot 1+12$
$=2\cdot 1-4\cdot 1-10+12$
$=2-4-10+12$
$=0$ luego $1$ es una raíz de $P(x)$
$P(3)=2\cdot 3^3-4\cdot 3^2-10\cdot 3+12$
$=2\cdot 27-4\cdot 9-30+12$
$=54-36-30+12$
$=18-30+12$
$=-12+12$
$=-12+12=0$ luego $3$ es también una raíz de $P(x)$
$\square$
Ejercicio número 16, apartado c, de la página 47 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Expresa en función del parámetro $m$ el valor numérico del polinomio $P(x)$ para $x:=2$
c) $P(x)=m\,x+3\,x^2+5$
SOLUCIÓN.
$P(2)=m\cdot 2 +3\cdot 2^2+5$
$=m\cdot 2 +3\cdot 4+5$
$=m\cdot 2+12+5$
$=2\,m+17$
$\square$
Ejercicio número 18, apartado f, de la página 50 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dados los polinomios $P(x)=5\,x^3+11\,x^2-6\,x+8$, $Q(x)=-x^3+3\,x^2-4\,x+3$ y $R(x)=x^3+4\,x^2+1$, efctúa:
f) $P(x)\cdot \left( Q(x)-R(x)\right)$
SOLUCIÓN.
$P(x)\cdot \left( Q(x)-R(x)\right)$
$= \left(5\,x^3+11\,x^2-6\,x+8\right)\left( -x^3+3\,x^2-4\,x+3 \right)-\left(x^3+4\,x^2+1\right)$
$= \left( -5x^6+4x^5+19x^4-55x^3+81x^2-50x+24 \right)-\left(x^3+4\,x^2+1\right)$
$= -5x^6+4x^5+19x^4-56x^3+77x^2-50x+23$
$\square$
Ejercicio número 22, apartado c, de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la siguiente potencia de binomio:
c) $\left( x+\sqrt{2}\right)^2$
lunes, 12 de octubre de 2020
Grupo B - Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre
Ejercicio 77 de la página 40 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de $200$ gibibytes, sabiendo que: $1$ kibibyte = $2^{10}$ bytes; $1$ mebibyte = $2^{10}$ kibibytes; $1$ gibibyte = $2^{10}$ mebibytes
SOLUCIÓN.
$200$ gibibytes = $200\cdot 1024$ mebibytes = $( 200 \cdot 1024 ) \cdot 1024 $ kibibytes = $\left(( 200 \cdot 1024 ) \cdot 1024 \right) \cdot 1024 $ bytes $\sim 2\cdot 10^{11}$ bytes
$\square$
-oOo-
Ejercicio 78 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. La masa de la Tierra es $5,98\cdot 10^{24}$ kg y la masa de Neptuno es $17$ veces la de la Tierra. Calcula la masa de Neptuno.
SOLUCIÓN.
La masa de Neptuno es igual a $17\cdot 5,98\cdot 10^{24}$ kg $= 101,66\cdot 10^{24}$ kg = $1,0166\cdot 10^{22}$ kg $\approx 1,02\cdot 10^{22}$ kg
$\square$
-oOo-
Ejercicio 82 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Tenemos un bloque de hielo de $1$ metro de largo, $20$ centímetros de ancho y $20$ centímetros de alto. Lo cortamos en cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide $2$ centímetros de largo, $2$ centímetros de ancho y $2$ centímetros de alto, y en cada refresco ponemos dos cubitos. ¿ Para cuántos refrescos tendremos ?.
SOLUCIÓN.
Dividiendo el volumen del bloque de hielo por el volumen de un cubito, obtenemos el número de cubitos que podemos obtener del bloque de hielo, que es igual a $\dfrac{100\cdot 20 \cdot 20}{2\cdot 2 \cdot 2 }\,\,\dfrac{\text{cm}^3\, \text{de hielo}}{\text{cm}^3/\text{cubito}} = 5000$ cubitos. Entonces, si por cada refresco necesitamos $2$ cubitos, el número de refrescos que podemos servir ( cada uno con dos cubitos ) es igual a $\dfrac{5000}{2}\,\dfrac{\text{cubitos}}{\text{cubitos/refresco}}=2500$ refrescos.
$\square
$\square$
-oOo-
Ejercicio 85 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Queremos poner baldosas cuadradas( iguales todas ellas ) en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben $13$ baldosas. Si cada baldosa cuesta $1,50$ euros, ¿ cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos ?.
SOLUCIÓN.
El número de baldosas necesarias es igual a $13\cdot 13 = 169$ baldosas. Luego el coste de dichas baldosas es $169\,\text{baldosas}\cdot 1,50 \dfrac{\text{euro}}{\text{baldosa}}=253,50$ euros.
$\square$
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Ejercicio 86 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una finca es cuadrada y tiene un área de $1\,369$ metros cuadrados. ¿ Cuánto mide un lado ?.
BR>SOLUCIÓN.
Denominando $\ell$ al lado de la finca (cuadrada), entonces $\ell^2=1\,369 \Rightarrow \ell=\sqrt{1\,369}=37\,\text{m}$
$\square$
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Ejercicio 87 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Un bloque de casas tiene $x$ plantas, y en cada planta hay $x$ viviendas. Si viven $x$ personas de media en cada vivienda, calcula el valor de $x$ sabiendo que en la casa viven $64$ personas.
SOLUCIÓN.
Según el enunciado, $64=x^3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{64}=8$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 89 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos/as que tiene cada persona y calcula el resultado.
SOLUCIÓN.
Cada persona tiene 4 abuelos/as, y cada abuelo/a tiene 4 bisabuelos/as, luego cada persona tiene un total de $4\cdot 4=2^4=16$ bisabuelos/as.
$\square$
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Ejercicio 92 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de $3,375$ metros cúbicos. Cálcula su superficie.
SOLUCIÓN.
Denotando por $a$ la arista del cubo y expresando ( por comodidad ) el volumen en decímetros cúbicos, calculamos su longitudo a partir de $a^3=3\,375 \Rightarrow a=\sqrt[3]{3\,375}=3\,375^{1/3}=15\,\text{dm}$. Luego la superficie del cubo ( tiene seis caras cuadradas ) es igual a $6 \,\text{caras} \cdot 15^2\, \dfrac{\text{dm}^2}{\text{cara}}= 1 \,350 \, \text{dm}^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 93 de la página 40 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Un año luz es la longitud de camino que recorre la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz ( en el vacío ) es aproximadamente igual a $300\,000$ kilómetros por segundo, expresa en kilómetros y en notación científica el valor de $1$ año luz.
SOLUCIÓN.
Sabemos que $1\,\text{año}= 365,25 \cdot 24\cdot 60\cdot 60 \,\text{s}=31\,557\,600 \,\text{s}$; luego, de acuerdo con la información del enunciado, en $1$ año la luz recorre $300\,000\,\dfrac{\text{km}}{\text{s}}\cdot 31\,557\,600 \,\text{s} \approx 10^{13}\,\text{km}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO. Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de $200$ gibibytes, sabiendo que: $1$ kibibyte = $2^{10}$ bytes; $1$ mebibyte = $2^{10}$ kibibytes; $1$ gibibyte = $2^{10}$ mebibytes
SOLUCIÓN.
$200$ gibibytes = $200\cdot 1024$ mebibytes = $( 200 \cdot 1024 ) \cdot 1024 $ kibibytes = $\left(( 200 \cdot 1024 ) \cdot 1024 \right) \cdot 1024 $ bytes $\sim 2\cdot 10^{11}$ bytes
$\square$
Ejercicio 78 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. La masa de la Tierra es $5,98\cdot 10^{24}$ kg y la masa de Neptuno es $17$ veces la de la Tierra. Calcula la masa de Neptuno.
SOLUCIÓN.
La masa de Neptuno es igual a $17\cdot 5,98\cdot 10^{24}$ kg $= 101,66\cdot 10^{24}$ kg = $1,0166\cdot 10^{22}$ kg $\approx 1,02\cdot 10^{22}$ kg
$\square$
ENUNCIADO. Tenemos un bloque de hielo de $1$ metro de largo, $20$ centímetros de ancho y $20$ centímetros de alto. Lo cortamos en cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide $2$ centímetros de largo, $2$ centímetros de ancho y $2$ centímetros de alto, y en cada refresco ponemos dos cubitos. ¿ Para cuántos refrescos tendremos ?.
SOLUCIÓN.
Dividiendo el volumen del bloque de hielo por el volumen de un cubito, obtenemos el número de cubitos que podemos obtener del bloque de hielo, que es igual a $\dfrac{100\cdot 20 \cdot 20}{2\cdot 2 \cdot 2 }\,\,\dfrac{\text{cm}^3\, \text{de hielo}}{\text{cm}^3/\text{cubito}} = 5000$ cubitos. Entonces, si por cada refresco necesitamos $2$ cubitos, el número de refrescos que podemos servir ( cada uno con dos cubitos ) es igual a $\dfrac{5000}{2}\,\dfrac{\text{cubitos}}{\text{cubitos/refresco}}=2500$ refrescos.
$\square
$\square$
ENUNCIADO. Queremos poner baldosas cuadradas( iguales todas ellas ) en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben $13$ baldosas. Si cada baldosa cuesta $1,50$ euros, ¿ cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos ?.
SOLUCIÓN.
El número de baldosas necesarias es igual a $13\cdot 13 = 169$ baldosas. Luego el coste de dichas baldosas es $169\,\text{baldosas}\cdot 1,50 \dfrac{\text{euro}}{\text{baldosa}}=253,50$ euros.
$\square$
ENUNCIADO. Una finca es cuadrada y tiene un área de $1\,369$ metros cuadrados. ¿ Cuánto mide un lado ?.
BR>SOLUCIÓN.
Denominando $\ell$ al lado de la finca (cuadrada), entonces $\ell^2=1\,369 \Rightarrow \ell=\sqrt{1\,369}=37\,\text{m}$
$\square$
ENUNCIADO. Un bloque de casas tiene $x$ plantas, y en cada planta hay $x$ viviendas. Si viven $x$ personas de media en cada vivienda, calcula el valor de $x$ sabiendo que en la casa viven $64$ personas.
SOLUCIÓN.
Según el enunciado, $64=x^3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{64}=8$.
$\square$
ENUNCIADO. Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos/as que tiene cada persona y calcula el resultado.
SOLUCIÓN.
Cada persona tiene 4 abuelos/as, y cada abuelo/a tiene 4 bisabuelos/as, luego cada persona tiene un total de $4\cdot 4=2^4=16$ bisabuelos/as.
$\square$
ENUNCIADO. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de $3,375$ metros cúbicos. Cálcula su superficie.
SOLUCIÓN.
Denotando por $a$ la arista del cubo y expresando ( por comodidad ) el volumen en decímetros cúbicos, calculamos su longitudo a partir de $a^3=3\,375 \Rightarrow a=\sqrt[3]{3\,375}=3\,375^{1/3}=15\,\text{dm}$. Luego la superficie del cubo ( tiene seis caras cuadradas ) es igual a $6 \,\text{caras} \cdot 15^2\, \dfrac{\text{dm}^2}{\text{cara}}= 1 \,350 \, \text{dm}^2$
$\square$
ENUNCIADO. Un año luz es la longitud de camino que recorre la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz ( en el vacío ) es aproximadamente igual a $300\,000$ kilómetros por segundo, expresa en kilómetros y en notación científica el valor de $1$ año luz.
SOLUCIÓN.
Sabemos que $1\,\text{año}= 365,25 \cdot 24\cdot 60\cdot 60 \,\text{s}=31\,557\,600 \,\text{s}$; luego, de acuerdo con la información del enunciado, en $1$ año la luz recorre $300\,000\,\dfrac{\text{km}}{\text{s}}\cdot 31\,557\,600 \,\text{s} \approx 10^{13}\,\text{km}$
$\square$
Grupo B - Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre
Ejercicio 50 de la página 38 del libro de texto base
ENUNCIADO. Simplifica los radicales:
a) $\sqrt[6]{7^2}$
b) $\sqrt[15]{7^{12}}$
c) $\sqrt[20]{7^{12}}$
d) $\sqrt[30]{7^{18}}$
SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[6]{7^2}=7^{2/6}=7^{1/3}=\sqrt[3]{7}$
b)
$\sqrt[15]{7^{12}}=7^{12/15}=7^{4/5}=\sqrt[5]{7^4}$
c)
$\sqrt[20]{7^{12}}=7^{12/20}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$
d)
$\sqrt[30]{7^{18}}=7^{18/30}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 56 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:
a) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$
b) $\sqrt{45} \div \sqrt{5}$
c) $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}$
d) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$ SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3^3} \cdot \sqrt{3}=(3^3)^{1/2} \cdot 3^{1/2}=\left(3^{3}\cdot 3\right)^{1/2}=(3^4)^{1/2}=3^{4/2}=3^2=9$
b)
$\sqrt{45} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^{2}\cdot 5} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{5}\div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}=3$
c)
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4\cdot 16}=\sqrt[3]{4\cdot 4^2}=\sqrt[3]{4^3}=4$
d)
$\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=\sqrt[5]{\sqrt{2^{10}}}=\left((2^{10})^{1/2}\right)^{1/5}=(2^{10})^{(1/2)\cdot(1/5)}=(2^{10})^{(1/10}=2^{10/10}=2^1=2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguientes casos:
a) $2^x=32$
b) $3^4=x$
c) $x^3=125$
d) $x^3=-8$
SOLUCIÓN.
a)
$2^x=32$
$2^x=2^5 \Rightarrow x=5$
b)
$3^4=x$
$x=3^4=81$
c)
$x^3=125$
$x^3=5^3 \Rightarrow x=5$
d)
$x^3=-8$
$x^3=(-2)^3 \Rightarrow x=-2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 64 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula:
a) $5^{-1}$
b) $(-5)^{-1}$
c) $2^{2^3}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-1}=\text{inverso}(5)=\dfrac{1}{5}$
b)
$(-5)^{-1}=\text{inverso}(-5)=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}$
c)
$2^{2^3}=2^8=256$
d)
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\text{inverso}(-1/3)=3/(-1)=-3$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Expresa en forma de una sola potencia:
a) $5^{-3}\cdot 5^{-4}$
b) $3^{-4}\div 3^{-7}$
c) $(7^{-3})^{-5}$
d) $13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-3}\cdot 5^{-4}=5^{-3+(-4)}=5^{-7}$
b)
$3^{-4}\div 3^{-7}=3^{-4-(-7)}=3^{-4+7}=3^3$
c)
$(7^{-3})^{-5}=7^{-3\cdot (-5)}=7^{15}$
d)
$13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}=13^{-2+(-3)+(-4)}=13^{-9}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 67 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula sin utilizar la calculadora:
a) $\sqrt[3]{125}$
b) $\sqrt[3]{-125}$
c) $\sqrt[3]{0,001}$
d) $\sqrt[3]{-0,008}$
SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=(5^3)^{1/3}=5^{3/3}=5^1=5$
b)
$\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{-5^3}=\sqrt[3]{(-5)^3}=(-5)^{3/3}=(-5)^1=5=-5$
c)
$\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{1/1000}=\sqrt[3]{1/10^3}=\sqrt[3]{10^{-3}}=(10^{-3})^{1/3}=10^{-3/3}=10^{-1}=1/10=0,1$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 69 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Introduce dentro del radical los factores que están fuera:
a) $3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}$
b) $2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}$
c) $3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10ab^{3}c^{2}}$
d) $2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}$
SOLUCIÓN.
a)
$3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}=\sqrt{(3^{2}ab^{3}c)^2\cdot 5ab}=\sqrt{(3^2)^{2}\cdot 5\,a^2\,(b^3)^2\,c^2\,a\,b}=$
$=\sqrt{(3^{2\cdot 2})\cdot 5\,a^{2+1}\,(b^{3\cdot 2+1})\,c^2}=\sqrt{3^{4}\cdot 5\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}=\sqrt{405\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}$
b)
$2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}=\sqrt[3]{(2^3\,a^2\,b^5\,c^2)^3\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{(2^3)^{3}\,(a^2)^{3}\,(b^5)^{3}\,(c^2)^{3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=$
$=\sqrt[3]{2^{3\cdot 3}\,a^{2\cdot 3}\,b^{5\cdot 3}\,c^{2\cdot 3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2^{9}\cdot 5\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2560\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=$
$=\sqrt[3]{2560\,a^{6+2}\,b^{15+1}\,c^{6+2}}=\sqrt[3]{2560\,a^{8}\,b^{16}\,c^{8}}$
c)
$3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^{2}ab^{3}c^{4})^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^2)^{4}\,a^4\,(b^3)^{4}\,(c^4)^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=$
$=\sqrt[4]{3^{2\cdot 4}\,a^4\,b^{3\cdot 4}\,c^{4\cdot 4}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\,a^4\,b^{12}\,c^{16}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\cdot 10\,\,a^{4+1}\,b^{12+3}\,c^{16+2}}=$
$=\sqrt[4]{65\,610\,\,a^{5}\,b^{15}\,c^{18}}$
d)
$2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3}a^{2}bc^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3})^{5}\,(a^{2})^{5}\,b^5\,(c^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=$
$=\sqrt[5]{2^{3\cdot 5}\,a^{2\cdot 5}\,b^5\,c^{4\cdot 5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{2^{15}\cdot 15\,a^{10}\,b^5\,c^{20}\,a^{4}bc^{2}}=$
$=\sqrt[5]{491\,520\,a^{10+4}\,b^{5+1}\,c^{20+2}}=\sqrt[5]{491\,520\,a^{14}\,b^{6}\,c^{22}}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 70 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguienes casos:
a) $\sqrt{x}=\pm 5$
b) $\sqrt{49}=x$
c) $\sqrt[3]{x}=5$
d) $\sqrt[x]{32}=2$
SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{x}=\pm 5 \Rightarrow ( \sqrt{x} )^2=(\pm 5)^2 \Rightarrow x = 25$
b) $\sqrt{49}=x$, luego $x=(7^2)^{1/2} = 7^{2/2}=7^1=7$
c) $\sqrt[3]{x}= 5$
$x^{1/3}=5$
$(x^{1/3})^3=5^3$
$x^{3/3}=125$
$x^1=125$
$x=125$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 71 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula descomponiendo en factores primos:
a) $\sqrt[3]{216}$
b) $\sqrt[3]{729}$
c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}$
d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}$
SOLUCIÓN.
a) $\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{(2\cdot 3)^3}=\sqrt[3]{6^3}=(6^3)^{1/3}=6^{3/3}=6^1=6$
b) $\sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{3^6}=(3^6)^{1/3}=6^{6/3}=6^2=36$
c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}=\sqrt[3]{\dfrac{2^3}{5^3}}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{2}{5}\right)^3} = \left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^{1/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^1=\dfrac{2}{5}$
d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}=\sqrt[5]{\dfrac{3^5}{2^5}}=\sqrt[5]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^5} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^5\right)^{1/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^1=\dfrac{3}{2}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO. Simplifica los radicales:
a) $\sqrt[6]{7^2}$
b) $\sqrt[15]{7^{12}}$
c) $\sqrt[20]{7^{12}}$
d) $\sqrt[30]{7^{18}}$
SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[6]{7^2}=7^{2/6}=7^{1/3}=\sqrt[3]{7}$
b)
$\sqrt[15]{7^{12}}=7^{12/15}=7^{4/5}=\sqrt[5]{7^4}$
c)
$\sqrt[20]{7^{12}}=7^{12/20}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$
d)
$\sqrt[30]{7^{18}}=7^{18/30}=7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}$
$\square$
Ejercicio 56 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:
a) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$
b) $\sqrt{45} \div \sqrt{5}$
c) $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}$
d) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$ SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3^3} \cdot \sqrt{3}=(3^3)^{1/2} \cdot 3^{1/2}=\left(3^{3}\cdot 3\right)^{1/2}=(3^4)^{1/2}=3^{4/2}=3^2=9$
b)
$\sqrt{45} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^{2}\cdot 5} \div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{5}\div \sqrt{5}=\sqrt{3^2}=3$
c)
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4\cdot 16}=\sqrt[3]{4\cdot 4^2}=\sqrt[3]{4^3}=4$
d)
$\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=\sqrt[5]{\sqrt{2^{10}}}=\left((2^{10})^{1/2}\right)^{1/5}=(2^{10})^{(1/2)\cdot(1/5)}=(2^{10})^{(1/10}=2^{10/10}=2^1=2$
$\square$
Ejercicio 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguientes casos:
a) $2^x=32$
b) $3^4=x$
c) $x^3=125$
d) $x^3=-8$
SOLUCIÓN.
a)
$2^x=32$
$2^x=2^5 \Rightarrow x=5$
b)
$3^4=x$
$x=3^4=81$
c)
$x^3=125$
$x^3=5^3 \Rightarrow x=5$
d)
$x^3=-8$
$x^3=(-2)^3 \Rightarrow x=-2$
$\square$
ENUNCIADO. Calcula:
a) $5^{-1}$
b) $(-5)^{-1}$
c) $2^{2^3}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-1}=\text{inverso}(5)=\dfrac{1}{5}$
b)
$(-5)^{-1}=\text{inverso}(-5)=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}$
c)
$2^{2^3}=2^8=256$
d)
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\text{inverso}(-1/3)=3/(-1)=-3$
$\square$
ENUNCIADO. Expresa en forma de una sola potencia:
a) $5^{-3}\cdot 5^{-4}$
b) $3^{-4}\div 3^{-7}$
c) $(7^{-3})^{-5}$
d) $13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}$
SOLUCIÓN.
a)
$5^{-3}\cdot 5^{-4}=5^{-3+(-4)}=5^{-7}$
b)
$3^{-4}\div 3^{-7}=3^{-4-(-7)}=3^{-4+7}=3^3$
c)
$(7^{-3})^{-5}=7^{-3\cdot (-5)}=7^{15}$
d)
$13^{-2}\cdot 13^{-3}\cdot 13^{-4}=13^{-2+(-3)+(-4)}=13^{-9}$
$\square$
ENUNCIADO. Calcula sin utilizar la calculadora:
a) $\sqrt[3]{125}$
b) $\sqrt[3]{-125}$
c) $\sqrt[3]{0,001}$
d) $\sqrt[3]{-0,008}$
SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=(5^3)^{1/3}=5^{3/3}=5^1=5$
b)
$\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{-5^3}=\sqrt[3]{(-5)^3}=(-5)^{3/3}=(-5)^1=5=-5$
c)
$\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{1/1000}=\sqrt[3]{1/10^3}=\sqrt[3]{10^{-3}}=(10^{-3})^{1/3}=10^{-3/3}=10^{-1}=1/10=0,1$
$\square$
ENUNCIADO. Introduce dentro del radical los factores que están fuera:
a) $3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}$
b) $2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}$
c) $3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10ab^{3}c^{2}}$
d) $2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}$
SOLUCIÓN.
a)
$3^{2}ab^{3}c\,\sqrt{5ab}=\sqrt{(3^{2}ab^{3}c)^2\cdot 5ab}=\sqrt{(3^2)^{2}\cdot 5\,a^2\,(b^3)^2\,c^2\,a\,b}=$
$=\sqrt{(3^{2\cdot 2})\cdot 5\,a^{2+1}\,(b^{3\cdot 2+1})\,c^2}=\sqrt{3^{4}\cdot 5\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}=\sqrt{405\,a^{3}\,b^{7}\,c^2}$
b)
$2^{3}a^{2}b^{5}c^{2}\,\sqrt[3]{5a^{2}bc^{2}}=\sqrt[3]{(2^3\,a^2\,b^5\,c^2)^3\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{(2^3)^{3}\,(a^2)^{3}\,(b^5)^{3}\,(c^2)^{3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=$
$=\sqrt[3]{2^{3\cdot 3}\,a^{2\cdot 3}\,b^{5\cdot 3}\,c^{2\cdot 3}\cdot 5\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2^{9}\cdot 5\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=\sqrt[3]{2560\,a^{6}\,b^{15}\,c^{6}\,a^2\,b\,c^2}=$
$=\sqrt[3]{2560\,a^{6+2}\,b^{15+1}\,c^{6+2}}=\sqrt[3]{2560\,a^{8}\,b^{16}\,c^{8}}$
c)
$3^{2}ab^{3}c^{4}\,\sqrt[4]{10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^{2}ab^{3}c^{4})^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=\sqrt[4]{(3^2)^{4}\,a^4\,(b^3)^{4}\,(c^4)^{4}\cdot 10\,ab^{3}c^{2}}=$
$=\sqrt[4]{3^{2\cdot 4}\,a^4\,b^{3\cdot 4}\,c^{4\cdot 4}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\,a^4\,b^{12}\,c^{16}\cdot 10\,ab^{3}\,c^{2}}=\sqrt[4]{3^{8}\cdot 10\,\,a^{4+1}\,b^{12+3}\,c^{16+2}}=$
$=\sqrt[4]{65\,610\,\,a^{5}\,b^{15}\,c^{18}}$
d)
$2^{3}a^{2}bc^{4}\,\sqrt[5]{15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3}a^{2}bc^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{(2^{3})^{5}\,(a^{2})^{5}\,b^5\,(c^{4})^{5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=$
$=\sqrt[5]{2^{3\cdot 5}\,a^{2\cdot 5}\,b^5\,c^{4\cdot 5}\cdot 15a^{4}bc^{2}}=\sqrt[5]{2^{15}\cdot 15\,a^{10}\,b^5\,c^{20}\,a^{4}bc^{2}}=$
$=\sqrt[5]{491\,520\,a^{10+4}\,b^{5+1}\,c^{20+2}}=\sqrt[5]{491\,520\,a^{14}\,b^{6}\,c^{22}}$
$\square$
ENUNCIADO. Calcula el valor de $x$ en cada uno de los siguienes casos:
a) $\sqrt{x}=\pm 5$
b) $\sqrt{49}=x$
c) $\sqrt[3]{x}=5$
d) $\sqrt[x]{32}=2$
SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{x}=\pm 5 \Rightarrow ( \sqrt{x} )^2=(\pm 5)^2 \Rightarrow x = 25$
b) $\sqrt{49}=x$, luego $x=(7^2)^{1/2} = 7^{2/2}=7^1=7$
c) $\sqrt[3]{x}= 5$
$x^{1/3}=5$
$(x^{1/3})^3=5^3$
$x^{3/3}=125$
$x^1=125$
$x=125$
$\square$
ENUNCIADO. Calcula descomponiendo en factores primos:
a) $\sqrt[3]{216}$
b) $\sqrt[3]{729}$
c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}$
d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}$
SOLUCIÓN.
a) $\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{(2\cdot 3)^3}=\sqrt[3]{6^3}=(6^3)^{1/3}=6^{3/3}=6^1=6$
b) $\sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{3^6}=(3^6)^{1/3}=6^{6/3}=6^2=36$
c) $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}=\sqrt[3]{\dfrac{2^3}{5^3}}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{2}{5}\right)^3} = \left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^{1/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3/3}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^1=\dfrac{2}{5}$
d) $\sqrt[5]{\dfrac{243}{32}}=\sqrt[5]{\dfrac{3^5}{2^5}}=\sqrt[5]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^5} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^5\right)^{1/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5/5}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^1=\dfrac{3}{2}$
$\square$
Grupo A - Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre
Ejercicio 59 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones, expresando el resultado en notación científica:
a) $(2,34\cdot 10^{8})\cdot(3,81\cdot 10^{5})$
b) $(8,25\cdot 10^{6})\cdot(4,32\cdot 10^{4})$
c) $(5,4\cdot 10^{-4})\cdot(6,7\cdot 10^{15})$
d) $(1,1\cdot 10^{9})\div (8,8\cdot 10^{6})$
e) $(1,12\cdot 10^{12})\div (4,48\cdot 10^{8})$
f) $(4,3\cdot 10^{15})\div (2,1\cdot 10^{23})$
SOLUCIÓN.
Anoto solamente las soluciones pues se trata de un ejercicio con la calculadora científica:
a) $(2,34\cdot 10^{8})\cdot(3,81\cdot 10^{5})=8,9154\cdot 10^{13}$
b) $(8,25\cdot 10^{6})\cdot(4,32\cdot 10^{4})=3,564\cdot 10^{11}$
c) $(5,4\cdot 10^{-4})\cdot(6,7\cdot 10^{15})=3,618\cdot 10^{12}$
d) $(1,1\cdot 10^{9})\div (8,8\cdot 10^{6})=1,25\cdot 10^{2}$
e) $(1,12\cdot 10^{12})\div (4,48\cdot 10^{8})=2,5\cdot 10^{3}$
f) $(4,3\cdot 10^{15})\div (2,1\cdot 10^{23})\approx 2,0476\cdot 10^{-8}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 60 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Expresa en notación científica los términos y calcula:
a) $\dfrac{0,000\,023\cdot 210\,000}{30\,000\cdot 0,000\,000\,003}$
b) $\dfrac{0,000\,001\cdot 12\,000\,000}{0,003\cdot 0,000\,025\cdot 0,1}$
c) $\dfrac{(0,003\cdot 10^{-25})\cdot 200\cdot 10^5)}{(0,001\cdot 10^{21})\cdot 0,16}$
d) $\dfrac{(0,17\cdot 10^{-12})\cdot 0,02\cdot 10^8)}{(30\cdot 10^{7})\cdot (0,02\cdot 10^9)}$
SOLUCIÓN.
Pongo solamente la solución ( omito los cálculos, pues este ejercicio es muy rutinario y sencillo )
a) $\dfrac{0,000\,023\cdot 210\,000}{30\,000\cdot 0,000\,000\,003}=\ldots=5,3\overline{6}\cdot 10^4$
b) $\dfrac{0,000\,001\cdot 12\,000\,000}{0,003\cdot 0,000\,025\cdot 0,1}=\ldots=1,6\cdot 10^9$
c) $\dfrac{(0,003\cdot 10^{-25})\cdot 200\cdot 10^5)}{(0,001\cdot 10^{21})\cdot 0,16}=\ldots=3,75\cdot 10^{-38}$
d) $\dfrac{(0,17\cdot 10^{-12})\cdot 0,02\cdot 10^8)}{(30\cdot 10^{7})\cdot (0,02\cdot 10^9)}=\ldots=5,\overline{6}\cdot 10^{-23}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 61 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Un cierto organismo microscópico tiene una forma parecida a una esfera, y mide $0,\,000\,007$ metros de diámetro. Expresa esta medida en notación científica.
SOLUCIÓN.
$0,\,000\,007=7\cdot 10^{-6}\,\text{m}=7\,\mu\text{m}$
-oOo-
Ejercicio 62 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Nuestra galaxia, la Vía Láctea, contiene aproximadamente cien mil millones de estrellas. Escribe este número en notación científica.
SOLUCIÓN.
$100\,000\,000\,000$ estrellas $= 10^{11}$ estrellas
$\square$
-oOo-
Ejercicio 75 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Las gasolineras suelen expresar el precio del combustible con tres cifras decimales. En una cierta red de gasolineras, el precio de la gasolina es de $1,254$ euros por litro. Teniendo en cuenta que cada gasolinera de dicha red vende unos 2 millones de litros de gasolina al año y que dicha red se compone de $3\,000$ gasolineras, calcula:
a) ¿ Cuánto dinero ingresan al año ? Exprésalo en notación científica ?.
b) ¿ Cuál sería la diferencia en los ingresos anuales si el precio de la gasolina fuese de $1,25$ euros por litro ? ¿ Y si fuese de $1,26$ euros por litro ?
SOLUCIÓN.
a)
Dinero ingresado anualmente: $( 2\cdot 10^6 )\cdot 365 \cdot (3\cdot 10^4) \cdot 1,254 = 3\cdot 6\cdot 365 \cdot 1,254 \cdot 10^6=$
$= 8\,238,78\cdot \cdot 10^6 = 8,23878 \cdot 10^9 = 8\, 238\, 780\, 000$ euros
b)
Si el precio de la gasolina fuese de $1,25$ euros/L se ingresaría: $8\, 238\, 780\, 000\cdot \dfrac{1,25}{1,254}=8\,212\,500\,000$; así pues, la diferencia en relación al caso anterior es de $8\, 238\, 780\, 000 - 8\,212\,500\,000 = 26\,280\,000$ euros, y se ingresaría esta cantidad de menos. Y si el precio fuese de $1,26$ euros/L, se ingresaría $8\, 238\, 780\, 000\cdot \dfrac{1,26}{1,254}=8\,278\,200\,000$, con lo cual se ingresaría $8\,278\,200\,0000 - 8\, 238\, 780\, 000 = 39\,420\,000$ euros más que en el primer caso.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 77 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Si se envían una media de 17 millones de tuits cada minuto y sabiendo que Twitter tiene nunos $560$ millones de usuarios registrados, calcula:
a) ¿ Cuántos tuits envían al cabo de un año ?
b) Si cada tuit tiene 140 carácteres, ¿ cuántos carácteres envía cada usuario al año por término medio ?
SOLUCIÓN.
a)
El número de tuits pedidos es de $17\cdot 10^6\cdot 560\cdot 10^6 \cdot 365\cdot 24 \cdot 60 \approx 5\cdot 10^{21}$ tuits enviados en 1 año.
b)
El número de carácteres enviados en 1 años es igual a $140\cdot 5 \cdot 10^{21} = 7\cdot 10^{23}$ carácteres enviados en 1 año.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 78 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Suponiendo que una persona tiene aproximadamente $5,5$ litros de santre en su cuerpo y que el número de glóbulos blancos es de $7\,500$ por milímetro cúbico, averigua el número total aproximado de glóbulos blancos. Exprésalo en notación científica.
SOLUCIÓN.
La cantidad de sangre en un ser humano expresada en milímetros cúbicos es igual a $5,5\cdot 10^6$, ya que $1\,\text{L}$ de capacidad equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen, por lo que es igual a $10^6\,\text{mm}^3$, luego el número total de glóbulos blancos en un ser humano es pues $(5,5\cdot 10^6)\cdot 7\,500 \approx 4\cdot 10^{10}$.
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones, expresando el resultado en notación científica:
a) $(2,34\cdot 10^{8})\cdot(3,81\cdot 10^{5})$
b) $(8,25\cdot 10^{6})\cdot(4,32\cdot 10^{4})$
c) $(5,4\cdot 10^{-4})\cdot(6,7\cdot 10^{15})$
d) $(1,1\cdot 10^{9})\div (8,8\cdot 10^{6})$
e) $(1,12\cdot 10^{12})\div (4,48\cdot 10^{8})$
f) $(4,3\cdot 10^{15})\div (2,1\cdot 10^{23})$
SOLUCIÓN.
Anoto solamente las soluciones pues se trata de un ejercicio con la calculadora científica:
a) $(2,34\cdot 10^{8})\cdot(3,81\cdot 10^{5})=8,9154\cdot 10^{13}$
b) $(8,25\cdot 10^{6})\cdot(4,32\cdot 10^{4})=3,564\cdot 10^{11}$
c) $(5,4\cdot 10^{-4})\cdot(6,7\cdot 10^{15})=3,618\cdot 10^{12}$
d) $(1,1\cdot 10^{9})\div (8,8\cdot 10^{6})=1,25\cdot 10^{2}$
e) $(1,12\cdot 10^{12})\div (4,48\cdot 10^{8})=2,5\cdot 10^{3}$
f) $(4,3\cdot 10^{15})\div (2,1\cdot 10^{23})\approx 2,0476\cdot 10^{-8}$
$\square$
Ejercicio 60 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Expresa en notación científica los términos y calcula:
a) $\dfrac{0,000\,023\cdot 210\,000}{30\,000\cdot 0,000\,000\,003}$
b) $\dfrac{0,000\,001\cdot 12\,000\,000}{0,003\cdot 0,000\,025\cdot 0,1}$
c) $\dfrac{(0,003\cdot 10^{-25})\cdot 200\cdot 10^5)}{(0,001\cdot 10^{21})\cdot 0,16}$
d) $\dfrac{(0,17\cdot 10^{-12})\cdot 0,02\cdot 10^8)}{(30\cdot 10^{7})\cdot (0,02\cdot 10^9)}$
SOLUCIÓN.
Pongo solamente la solución ( omito los cálculos, pues este ejercicio es muy rutinario y sencillo )
a) $\dfrac{0,000\,023\cdot 210\,000}{30\,000\cdot 0,000\,000\,003}=\ldots=5,3\overline{6}\cdot 10^4$
b) $\dfrac{0,000\,001\cdot 12\,000\,000}{0,003\cdot 0,000\,025\cdot 0,1}=\ldots=1,6\cdot 10^9$
c) $\dfrac{(0,003\cdot 10^{-25})\cdot 200\cdot 10^5)}{(0,001\cdot 10^{21})\cdot 0,16}=\ldots=3,75\cdot 10^{-38}$
d) $\dfrac{(0,17\cdot 10^{-12})\cdot 0,02\cdot 10^8)}{(30\cdot 10^{7})\cdot (0,02\cdot 10^9)}=\ldots=5,\overline{6}\cdot 10^{-23}$
$\square$
Ejercicio 61 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Un cierto organismo microscópico tiene una forma parecida a una esfera, y mide $0,\,000\,007$ metros de diámetro. Expresa esta medida en notación científica.
SOLUCIÓN.
$0,\,000\,007=7\cdot 10^{-6}\,\text{m}=7\,\mu\text{m}$
Ejercicio 62 de la página 36 del libro de texto base
ENUNCIADO. Nuestra galaxia, la Vía Láctea, contiene aproximadamente cien mil millones de estrellas. Escribe este número en notación científica.
SOLUCIÓN.
$100\,000\,000\,000$ estrellas $= 10^{11}$ estrellas
$\square$
Ejercicio 75 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Las gasolineras suelen expresar el precio del combustible con tres cifras decimales. En una cierta red de gasolineras, el precio de la gasolina es de $1,254$ euros por litro. Teniendo en cuenta que cada gasolinera de dicha red vende unos 2 millones de litros de gasolina al año y que dicha red se compone de $3\,000$ gasolineras, calcula:
a) ¿ Cuánto dinero ingresan al año ? Exprésalo en notación científica ?.
b) ¿ Cuál sería la diferencia en los ingresos anuales si el precio de la gasolina fuese de $1,25$ euros por litro ? ¿ Y si fuese de $1,26$ euros por litro ?
SOLUCIÓN.
a)
Dinero ingresado anualmente: $( 2\cdot 10^6 )\cdot 365 \cdot (3\cdot 10^4) \cdot 1,254 = 3\cdot 6\cdot 365 \cdot 1,254 \cdot 10^6=$
$= 8\,238,78\cdot \cdot 10^6 = 8,23878 \cdot 10^9 = 8\, 238\, 780\, 000$ euros
b)
Si el precio de la gasolina fuese de $1,25$ euros/L se ingresaría: $8\, 238\, 780\, 000\cdot \dfrac{1,25}{1,254}=8\,212\,500\,000$; así pues, la diferencia en relación al caso anterior es de $8\, 238\, 780\, 000 - 8\,212\,500\,000 = 26\,280\,000$ euros, y se ingresaría esta cantidad de menos. Y si el precio fuese de $1,26$ euros/L, se ingresaría $8\, 238\, 780\, 000\cdot \dfrac{1,26}{1,254}=8\,278\,200\,000$, con lo cual se ingresaría $8\,278\,200\,0000 - 8\, 238\, 780\, 000 = 39\,420\,000$ euros más que en el primer caso.
$\square$
Ejercicio 77 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Si se envían una media de 17 millones de tuits cada minuto y sabiendo que Twitter tiene nunos $560$ millones de usuarios registrados, calcula:
a) ¿ Cuántos tuits envían al cabo de un año ?
b) Si cada tuit tiene 140 carácteres, ¿ cuántos carácteres envía cada usuario al año por término medio ?
SOLUCIÓN.
a)
El número de tuits pedidos es de $17\cdot 10^6\cdot 560\cdot 10^6 \cdot 365\cdot 24 \cdot 60 \approx 5\cdot 10^{21}$ tuits enviados en 1 año.
b)
El número de carácteres enviados en 1 años es igual a $140\cdot 5 \cdot 10^{21} = 7\cdot 10^{23}$ carácteres enviados en 1 año.
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Ejercicio 78 de la página 37 del libro de texto base
ENUNCIADO. Suponiendo que una persona tiene aproximadamente $5,5$ litros de santre en su cuerpo y que el número de glóbulos blancos es de $7\,500$ por milímetro cúbico, averigua el número total aproximado de glóbulos blancos. Exprésalo en notación científica.
SOLUCIÓN.
La cantidad de sangre en un ser humano expresada en milímetros cúbicos es igual a $5,5\cdot 10^6$, ya que $1\,\text{L}$ de capacidad equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen, por lo que es igual a $10^6\,\text{mm}^3$, luego el número total de glóbulos blancos en un ser humano es pues $(5,5\cdot 10^6)\cdot 7\,500 \approx 4\cdot 10^{10}$.
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