El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Enunciado:
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Resolución:
Conociendo el valor del área ( $20\,\text{dm}^2$ ) y el valor de uno de los lados desiguales ( $a=4\,\text{dm}$ ) del rectángulo, podemos calcular la longitud del otro ( a la que llamamos $b$ ), de manera bien sencilla, pues, $20=4\,b$; de aquí, $b=20/4=5\,\text{dm}$. Y, como la diagonal del rectángulo ( que denotamos por $d$ ) divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$d=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\,\text{dm}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).

Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$

Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Resolución:
Tomando $b$ como base del triángulo, y, por tanto, $h$ como su altura, podemos calcular el área del triángulo de la forma $$\text{Área}=\dfrac{b\cdot h}{2}$$
con lo cual deberemos calcular el valor de $b$ y el valor de $h$, cosa que llevaremos a cabo teniendo en cuenta que $\triangle{\{A,B,C\}}$ es, según la figura ( uno de los ángulos del triángulo es un a. recto: el a. de vértice $B$ ), un triángulo rectángulo.

Por el Teorema del Cateto: $a^2=b \cdot \overline{PC}$, y con los datos del problema, $4^2=2\,b$; de aquí deducimos $b=8\,\text{cm}$

Teniendo en cuenta, ahora, el Teorema de la Altura: $\overline{AP} \cdot \overline{PC}=h^2$. Poniendo, ahora, los datos del problema, nos queda: $6 \cdot 2 = h^2$. De aquí, deducimos $h=\sqrt{12}=2\,\sqrt{3} \,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del área, encontramos $\text{Área}=\dfrac{b \cdot h}{2}=\dfrac{(6+2) \cdot 2\,\sqrt{3} }{2}=8\,\sqrt{3}\,\text{cm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Resolución:

Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.

Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.


Nota ( Ampliación ):   Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Enunciado:
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Resolución:
Por comodidad, denotamos por $x$ el segmento $\overline{OA}$, y por $y$ el segmento $\overline{AB}$. Entonces, teniendo en cuenta el Teorema de Tales ( los triángulos $\triangle{\{O,A,A'\}}$ y $\triangle{\{O,B,B'\}}$ ) podemos escribir la siguiente proporción entre los segmentos correspondientes:
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+y}{3+2,2}$$
y teniendo en cuenta que $x+y=6,5$
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{6,5}{5,2}$$
y, resolviendo la ecuación,
$$x=3,75 \, \text{cm}$$
luego
$$y=6,5-3,75=2,75 \, \text{cm}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).

Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).

Ayuda: Escribir, primero, la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ como una potencia ( de base $x$ ) con exponente fraccionario; a continuación, en esta expresión algebraica en forma de potencia, sustituir $x$ por el valor dado de dicha variable, y, a partir de la expresión numérica que se obtiene, usar la calculadora para encontrar el valor numérico pedido. Finalmente, hacer la aproximación.}


Resolución:
$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}=4^{2/3} \underset{(1)}{\approx} 2,5$

(1) utilizando la calculadora científica ( " 4 ^ 2 / 3 = " ) y aproximando la cantidad que aparece en pantalla por redondeo simétrico hasta las décimas

$\blacksquare$

[nota del autor]

Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:

    $\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro

    $\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación:
$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$

Resolución:
Multiplicando cada miembro de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes ( que es igual a $12$ ), podemos escribir la siguiente ecuación equivalente:
$$12\cdot \dfrac{x}{2}-12\cdot \dfrac{5}{6}=12\cdot\dfrac{1}{12}-12\cdot\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
y simplificando, queda
$$6\,x-10=1-8\,(x-1)$$
es decir
$$6\,x-10=1-8\,x+8$$
y agrupando términos semjantes
$$6\,x+8\,x=1+8+10$$
con lo cual
$$14\,x=19$$
luego
$$x=\dfrac{19}{14}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.

Enunciado:
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.

Resolución:
Sean $x$ ( número de pintores ), $y$ ( área a pintar ) y $z$ ( tiempo empleado ), las magnitudes que intervienen en este problema de proporcionalidad compuesta. Es evidente que $x$ e $y$ están en proporción directa, mientras que $y$ y $z$ están en proporción inversa, luego, podemos escribir la proporción compuesta de la forma:

$$\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2} \quad \quad (1)$$

y siendo:
  $x_1=4$ pintores
  $x_2=3$ pintores
  $y_1=32\,\text{m}^2$
  $y_2=15\,\text{m}^2$
  $z_1=90\,\text{min}$
  $z_2$ ( incógnita del problema )

con lo cual, despejando la incógnita de (1):
$$z_2=z_1 \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot \dfrac{x_1}{x_2}$$


o, si se prefiere, poniendo directamente los datos en (1):
$$\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{33}{15}=\dfrac{90}{z_2}$$
y despejando la incógnita,
$$z_2=90\cdot \dfrac{15}{32}\cdot \dfrac{4}{3}$$
obteniendo
$$z_2=\dfrac{225}{4}=56\,\text{min}\,15\,\text{s}$$

$\square$

Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$

Enunciado:
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$

Resolución:
$P(3)=3^3-3^2+3-1=27-9+3-1=18+3-1=21-1=20$
$\blacksquare$

[nota del autor]

El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.

Enunciado:
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.

Resolución:
Un polinomio es primo si no tiene raíces en el conjunto de los números reales. Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, busquemos valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea igual a cero:
$x^2+4=0 \Leftrightarrow x^2=-4 \Leftrightarrow x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$, luego el polinomio dado no tiene raíces, luego es un polinomio primo.
$\blacksquare$

Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos: $$2\,x^3-8\,x^2$$

Enunciado:
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos:
$$2\,x^3-8\,x^2$$

Resolución:
Teniendo en cuenta que $\text{m.c.d}(2,8)=2$ y que $x^3=x^2\,x$, podemos escribir:
    $2\,x^3-8\,x^2=2\,x^2\,(x-4)$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Proporcionalidad compuesta

Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:

    Caso I   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$

    Caso II   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    Caso III   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$


    Caso IV   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    [ Ejemplo 1 ]

$\square$

[nota del autor]

Matemáticas de 3.º de ESO. Resolución de los ejercicios del segundo examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del segundo examen del primer trimestre

[nota del autor]

Proporcionalidad compuesta ( problema de muestra )

Enunciado:
Dos pintores, igualmente eficientes y trabajando a la vez, tardan $30 \; \text{min}$ en pintar un muro $6\; \text{m}^2$. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igual de hábiles ) en pintar un muro de $25 \; \text{m}^2$ ?

Resolución:
Intervienen en este problema tres magnitudes: a) el tiempo empleado en hacer la tarea; b) el àrea del muro que se quiere pintar; y, c) el número de pintores que realizan la tarea ( sin entorpecerse unos a otros ).

Al intervenir más de dos magnitudes proporcionales, se nos plantea un problema de propocinalidad compuesta entre los siguientes pares de magnitudes: i) el timepo empleado y el n úmero de pintores (que es una relación p. inversa); y, ii) el tiempo empleado y el área a pintar (que és una relació de p. directa).

Resolveremos el problema mediante dos pasos encadenados (dos proporciones enlazadas), que son las siguientes:

  i)     Primero, calculamos el tiempo, $t_1$, que tardarían $3$ pintors (en lugar de $2$ pintores ) en pintar $6\; \text{m}^2$ de muro:

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
y, de aquí, vemos que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     A continuación, calculamos cuánto tiempo tardarían tres pintores ( en lugar de dos ) en pintar $25 \; \text{m}^2$ ( en lugar de $25 \; \text{m}^2$ )

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalmente, teniendo en cuenta [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, sustituimos este primer resultado en (2) y encontramos que
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $\approx 1\; \text{h}\;\;24\;\text{min}$

$\blacksquare$

Observación: Tipeo/esquema de resolución de la proporción compuesta:

Nota:     Una forma de notar el inverso de un número $a$ es $\text{inv}(a)=\dfrac{1}{a}$, que también se puede escribir de la forma $a^{-1}$. Ambas notaciones las hemos utilizado en este problema.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de operaciones combinadas con fracciones

Enunciado:
Operar:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solución:
Primero, simplificamos las fracciones reducibles
    $\dfrac{60}{5}=12$
con lo cual la expresión a calcular puede escribirse así
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuación, respetando la prioridad de les operaciones, procedemos a realizar las que quedan dentro del paréntesis, por tanto efectuamos, en primer lugar, la división
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Poniendo este resultado en la línea principal del cálculo, podemos escribir
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuación, seguimos haciendo las operaciones del paréntesis, que son sumas y restas, para lo cual reducimos a común denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) y llegamos a
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Y escribiendo ésto en la línea principal del cálculo,
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
$\square$

[nota del autor]

Calcúlense las longitudes los los lados de un triángulo rectángulo tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle, sabent que són tres nombres parells consecutius.

Resolució:
En un triangle rectangle s'ha de complir el teorema de Pitàgores: el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadratas de les longituds del catets.

Si anomenem $n$ a la longitud de la hipotenusa (un nombre parell), designarem les longituds dels dos catets de la forma $n-2$   i   $n-4$, respectivament (tenim en compte tota la informació de l'enunciat: totes tres longituds són nombres positius i parells - nombres naturals, doncs; i, a més, són parells consecutius).

Pel teorema de Pitàgores
$n^2=(n-2)^2+(n-4)^2$
desenvolupant les potències dels binomis
$n^2=n^2-4n+4+n^2-8n+16+(n-4)^2$
agrupant en un mateix membre i simplificant
$n^2-12n+20=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$ax^2+bx+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-12$
$c=20$
tenim
$x=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 2\\ \\10\\ \end{matrix}\right.$

El primer valor no té sentit per al problema que volem resoldre, perquè representant $n$ la longitud de la hipotenusa, portaria als les següents longituds dels catets (nombres parells precedents): $0$ i $-2$ (longitud negativa !), que, és clar que no té cap sentit.

El segon valor és el bo: si $n=10 \, \text{m}$, llavors les longituds dels dos catets són $8 \, \text{m}$ i $6 \, \text{m}$, respectivament.

$\square$

[nota del autor]

Encontrando los divisores de un número natural

    Si us agrada programar una mica és un bon exercici escriure una senzilla línia d'instruccions amb MAXIMA per escriure la llista de nombres divisors d'un nombre natural donat:
    (%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
    (%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452

I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:

    (%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$


Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:

    (%i4) troba_divisors(235456);

Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456

Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:


    (%i5) divisors(235456);

    (%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}

[autoría]