martes, 14 de junio de 2016
El problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Dejamos depositados $500$ euros, a un interés ( compuesto ) del $1\,\%$ anual, durante $10$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ?
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
Resolviendo ecuaciones ...
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
Elaboración de un diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO.
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Estadística descriptiva
ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Ejercicio con una función cuadrática
ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
domingo, 12 de junio de 2016
jueves, 9 de junio de 2016
Diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y el de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:\par
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
Un ejercicio sobre funciones cuadráticas
ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:
Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
Un ejercicio sobre funciones lineales afines
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
martes, 19 de abril de 2016
Precisión en las mediciones
ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
jueves, 7 de abril de 2016
lunes, 4 de abril de 2016
Diferencia de longitud geográfica y diferencia horaria
ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=3^{\circ}\,50'\,\text{W}$ y $L_B=12^{\circ}\,40'\,\text{E}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando en $A$ son las $13:10:20$ horas ?.
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
$\square$
Hallar la capacidad de una caja de embalaje que tiene forma de ...
ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $2$, $3$ y $4$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
$\square$
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
$\square$
Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...
ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
$\square$
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
$\square$
Homotecias: razón de las áreas y razón de los perímetros ...
ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un cuadrado de $4\,\text{cm}^2$ de área, con un factor de ampliación del $150\,\%$ ( razón de homotecia igual a $1,5$ ). Se pide:
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
$\square$
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
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Construir el giro de un segmento ...
ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(-1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(4,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\square$
Hallar la altura del árbol a partir de la sombra del mismo y de la sombra de otro árbol ...
ENUNCIADO. Dos árboles están plantados ( perpendicularmente al suelo ) en un claro del bosque cuyo suelo es horizontal. El pequeño mide $4$ metros y del más alto desconocemos su altura. En un cierto momento del día ( que es soleado ) medimos las longitudes de las sombras: la que da el pequeño es de $5$ metros, y la que da el más alto es de $15$ metros. Calcular la altura del árbol más alto.
SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
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