Repartos. Polipastos ...

No cal recordar la importància que prenen els sistemes de desmultiplicació de forces. En aquestes notes, repassaré alguns dels conceptes més importants. Fig. 1 Una corda és en medi continu: una tensió es transmet per igual a tots els altres punts. A la figura 1 es mostra un acoblament de politges (polipast) que serveix per mantenir en equilibri un pes P (a la dreta) estirant del tram de corda a l'extrem esquerra amb una força més petita que P. Per simple aritmètica de repartiment de forces, si analitzem el sistema, partint del pes que penja i seguint de baix a dalt i de dreta a esquerra, trobem que la força es divideix per dos cada vegada que ens trobem amb una nova politja; arribem, doncs, a la conclusió que només caldrà fer una força igual a 1/16 del pes del cos per mantenir el sistema en equilibri. És per això que parlem d'un sistema reductor (o desmultiplicador) amb una relació nominal 1:16 Els següent polipast té una relació nominal 1:4 (figura 2). Els 100 N es reparteixen per igual entre cadascun dels quatre trams que connecten la politja superior (fixa) i el quadernal (la politja mòbil). Fig. 2 Polipast de relació nominal 1:4 (font: Wikipedia)http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Polispasto4.jpg La imatge següent (Figura 3.) mostra diversos tipus de polipastos que s'utilizen sovint en velers. A la part superior de cada un hi anatada la relació nominal. Fig. 3 (font de la imatge: C. Wing, Cómo funcionan las cosas de los barcos, Tutor, 2005)

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

El segundo término de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El segon terme d'una successió aritmètica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$. Calculeu el valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.

Resolució:
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2+4\,d$
(on $d$ representa la diferència de la successió aritmètica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4+4\,d$

d'on obtenim

$d=-\dfrac{1}{4}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer i del vintè terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2-d=4-(-\dfrac{1}{4})=\ldots=\dfrac{17}{4}$

i, com que $a_n=a_1+(n-1)\,d$, podem calcular el valor de $a_{20}$

$a_{20}=\dfrac{17}{4}+19 \cdot \bigg(-\dfrac{1}{4} \bigg) = \ldots = -\dfrac{1}{2}$

Llavors la suma demanda és igual a
$s_{20}=\dfrac{a_1+a_{20}}{2} \cdot 20 = \ldots = \dfrac{75}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les projececcions sobre la hipotenusa dels catets $a$ i $b$ del triangle rectangle $\triangle \; ABC$ mesuren $1 \; \text{m}$ i $2 \; \text{m}$, respectivament. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{(2+1) \cdot h}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $h$ farem ús del teorema de l'altura
    $h^2=2\cdot 1$ i, per tant, $h=\sqrt{2} \, \text{m}$
Llavors, substituint aquest resultat a l'expressió (1)
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \, \text{m}^2$
que, aproximant per arrodoniment
    $\mathcal{A} \approx 2 \, \text{m}^2$
$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=3+a+b \quad \quad (2)$

Calcularem $a$ i $b$ fent ús del teorema del catet:

$a^2=1 \cdot (2+1)$
i, per tant,
$a=\sqrt{3} \, \text{m}$

$b^2=2 \cdot (2+1)$
llavors,
$b=\sqrt{6} \, \text{m}$

Substituint aquests resultats a l'expressió (2), trobem
$\mathcal{P}=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \, \text{m}$
que, aproximant per arrodoniment, queda
$\mathcal{P} \approx 7 \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Algunas propiedades sobre las áreas de las figuras construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Aquestes propietats sobre les àrees de les figures regulars construïdes sobre els costats d'un triangle rectangle ja van ser recopilades per Euclides (c. 365 – 275 aC) a els Elements (Llibre VI , Proposició número 31). A les dues figures següents es mostren dos exemples; en la primera figura, les figures construïdes sobre els costats són semicercles (primera figura) i, en la segona, pentàgons (regulars).

[nota del autor]

Una demostración del Teorema de Pitágoras ... ( Artículo escrito en catalán )

El Teorema de Pitàgores expressa la propietat següent:
  L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
  Dit d'una manera simbòlica i d'acord amb la notació de la Figura 1:
                                                $b^2=a^2+c^2$

Demostració:
Fent un cop d'ull a la figura de sota, observem que d'acord amb el Teorema d'invariància de l'àrea d'un paral·lelogram [ Si es deforma un paral·lelogram mantenint el valor de la longitud del segment perpendicular entre les bases (l'altura) i la longitud de la base, el valor de l'àrea con canvia ], l'àrea del quadrat ABDE (en verd) és igual a la del paral·lelogram ABIL (en gris, superposat sobre el quadrat verd); semblantment, l'àrea del quadrat BCFG (en color rosa) és igual a l'àrea del paral·lelogram BCHI (en rosa pujat de to).

Per altra banda, i per la mateixa raó, l'àrea de ABIL és igual a l'àrea de AKNM (una part de l'àrea de ACJK, el quadrat sobre la hipotenusa), i l'àrea de BCHI és igual a de CMNJ (fent servir altre cop la mateixa propietat d'invariància d'àrees) que és la part que falt per cobrir l'àrea de ACJK. I, dit això, queda demostrat que
l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
$\square$

[nota del autor]

Consideremos una disolución de alcohol ...

Enunciado:
Consideremos una disolución de alcohol en agua, al $96 \, \%$ ( tanto por ciento de alcohol en volumen ). Si mezclamos $1 \, \text{L}$ de dicha disolución con $0,5 \, \text{L}$ de agua, ¿ cuál es la graduación de la disolución resultante ?.

Solución:
La graduación es la razón aritmética del volum de alcohol puro y el volumen total de la disolución; por tanto el grado de la disolución resultante es
    $\dfrac{0,96}{1+0,5}\cdot 100 = 64 \, \%$
$\square$

[nota del autor]

División entera por defecto y por exceso. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Umprant la divisió per defecte y la divisió per excés, determineu el valor del quocient $q$ i del residu $r$, donats els següents valors del dividend $D$ i del divisor $d$:
    a) $D=5$ i $d=2$
    b) $D=-5$ i $d=2$
    c) $D=5$ i $d=-2$
    d) $D=-5$ i $d=-2$

Solució:
El Teorema de la divisió euclidiana [ dit també de la divisió dels nombres enters], que és el punt de partida per resoldre l'exercici, enuncia que:

  Donats dos nombres enters qualssevol $D$ ( que anomenem dividend) i $d \neq 0$ ( que anomenem divisor ), llavors existeixen dos nombres enters $q,r$ (únics), que compleixen les següents condicions:
    $D=d\cdot q +r$
    $0\le r \prec \left|d\right|$

a) $q=2$ i $r=1$
b) $q=-3$ i $r=1$
c) $q=-2$ i $r=1$
d) $q=3$ i $r=1$

Observació:

Les calculadores científiques i els programes de càlcul incorporen una funció per calcular el valor del residu d'una divisió entera ( efectuant-la per defecte, si el divisor és un nombre positiu però, per excés, si el divisor és un nombre negatiu ).

Aquesta funció rep la designació MOD(D,d), on D (el valor del dividend) i d (el valor del divisor) en són els arguments; i s'ha de fer servir, doncs, concretant el valor del primer argument, D, i del segon argument, d.

Per exemple, podem comprovar que teclejant mod(5,2) obtenim 1 com a resultat del càlcul del residu; teclejant mod(-5,2), obtindrem 1 com a resultat; si teclegem, però, mod(5,-2) obtindrem -1 (que és el que li correspon al residu fent la divisió per excés); i teclejant mod(-5,-2), obtindrem també -1 com a resultat (fa la divisió per defecte). Cal, per tant, anar amb compte quan fem ús de calculadores o bé de programes de càlcul i tenir en consideració això.

Dos pintores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos pintors igualment eficients i treballant en paral·lel tarden $30 \; \text{min}$ a pintar un pany de paret de $6\; \text{m}^2$. Quant de temps trigaran tres pintors igualment hàbils per pintar un pany de paret de $25 \; \text{m}^2$ ?

Solució:
Intervenen en aquest problema tres magnituds: a) el temps emprat a pintar; b) l'àrea de paret a pintar; i c) el nombre de pintors que treballen en paral·lel.

En intervenir més de dues mangnituds, tenim un problema de proporcionalitat composta entre els següents parells de magnituds: i) el temps emprat i el nombre de pintors (que és una relació de p. inversa); i ii) el temps emprat i l'àrea de paret a pintar (que és una relació de p. directa).

Resoldrem el problema mitjançant dos passos encadenats (dues proporcions enllaçades). Plantejarem, doncs, aquestes dues proporcions:

  i)     Calculem el temps que tardarien $3$ pintors (en comptes de $2$ pintors ) a pintar la mateixa àrea de paret ( $6\; \text{m}^2$ ):

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
i d'aquí trobem que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     Fet això, calculem quant de temps tardarien els tres pintors a pintar $25 \; \text{m}^2$

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalment, tenint en compte [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, substituïm aquest resultat parcial en (2) i trobem
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $=1\; \text{h}\;\;23\;\text{min}\;\;20\;\text{s}$

$\blacksquare$

Observació: Si canviem l'odre d'aplicació de les proporcions s'obtindrà, com és ben evident, el mateix resultat.

[nota del autor]

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Quan resolem equacions de 2n grau, sovint ens podem trobar amb casos més senzills que el de la forma completa ( $a\,x^2+b\,x+c=0$ ). En aquests casos, el procés de resolució (trobar el valor o valors de la variable x que compleixen la igualtat) presenta poca dificultat. El cas general de l'equació de 2n grau completa el tractaré al final de l'article, exposant i justificant l'expressió de la solució seva solució general. Comentaré també algunes propietats interessants que fan referència a la relació entre els valors de la solució i els coeficients $a$, $b$ i $c$. Vegem, primer de tot, els casos més senzills:

    1.
      $a\,x^2 - c=0$
      Solució:
        $a\,x^2=c$
        $x^2=\dfrac{c}{a}$
        $x=\pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}$

          Exemple:     $3\,x^2 - 4=0$
            Solució:
                  $3\,x^2=4$
                  $x^2=\dfrac{4}{3}$
                  $x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
                    $=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

    2.
      $(m\,x-n)(p\,x-q)=0$
      Solució:
        $(m\,x-n)(p\,x-q)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\,x-n=0 \Rightarrow x=\dfrac{n}{m}\\\vee\\p\,x-q=0 \Rightarrow x=\dfrac{q}{p}\end{matrix}\right.$

          Exemple:     $(5\,x-3)(4\,x-7)=0$
                Solució:
                $(5\,x-3)(4\,x-7)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\,x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{5}\\\vee\\4\,x-7=0 \Rightarrow x=\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$

    3.
      $ax^2-bx=0$
      Solució:
        $x\,(a\,x-b)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\a\,x-b=0\Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.$

          Exemple:     $8\,x^2-160\,x=0$
                Solució:
        $8\,x\,(x-20)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\x-20=0\Rightarrow x=20\end{matrix}\right.$

    4.
      $(m\,x-n)^2-p=0$
      Solució:
        $(m\,x-n)^2=p$
        $m\,x-n=\pm \sqrt{p}$
        $m\,x=n \pm \sqrt{p}$
        $=\dfrac{n \pm \sqrt{p}}{m}$

          Exemple:     $(m\,x-n)^2-p=0$
              Solució:
                $(2\,x-7)^2=5$
                $2\,x-7=\pm \sqrt{5}$
               $2\,x=7 \pm \sqrt{5}$
                $=\dfrac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

A continuació, i amb la finalitat d'animar a fer ús d'estratègies "enraonades" per resoldre equacions de 2n grau, exposaré (justificaré) l'expressió general de la solució d'una equació general (completa) $ax^2+bx+c=0$, on tots els terme ( el de segon grau, el de primer grau i el terme independent o numèric ) són no nuls.

Resolució d'una equació de 2n grau completa ( del tipus $ax^2+bx+c=0$ ) trobant prèviament l'expressió en una forma equivalent i més compacta del tipus $(x+r)^2+s=0$
Entre els casos més o menys immediats ( més senzills ) exposats a la introducció, en especial, l'expressió d'una equació de 2n grau de la forma $(x+r)^2+s=0$ – que sempre és possible escriure - té molta importància, perquè, serveix per justificar la fórmula (que s'ensenya repetidament) dels valors de x que compleixen l'equació de 2n grau expressada de la forma $ax^2+bx+c=0$, és a dir, la fórmula
    $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
A continuació, prescindirem de la fórmula per trobar la solució d'una equació donada en forma completa i ho farem donant valors concrets als coeficients (vegeu l'exemple de sota). Els passos que seguirem, fàcilment, es poden generalitzar fent ús dels identificadors “a”, “b” i “c”, enlloc de valors concrets, obtenint la fórmula esmentada que molts alumnes aprenen de memòria sense entendre-la.

Exemple:
Suposem que volem resoldre l'equació $x^2+5x+6=0$. Primer de tot, l'expressem de la forma indicada al paràgraf anterior:
    $(x+\dfrac{5}{2})^2 – \dfrac{25}{4} + 6 = 0$
Per justificar aquest pas, tan sols cal tenir en compte el desenvolupament del quadrat d'un binomi mitjançant la identitat: $(w+v)^2 = w^2+2wv+v^2$. Per això, comencem a escrivint el binomi al quadrat que reprodueix el terme de grau dos $x^2$ i el terme de grau u $5x$; com que, segons la identitat, apareix just el doble de '5', escriurem $(x+5/2)^2$, però cal, a més a més, compensar l'afegit del quadrat de 5/2 (que no figura a l'expressió original) restant precisament aquesta quantitat i, per acabar, afegir el terme independent (el '6') que és el valor que falta per acabar d'ajustar l'expressió. Finalment, operem i extraiem l'arrel quadrada per desfer el quadrat:
    $x+5/2 = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$
és a dir, obtenim dos valors diferents
$x_1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
i
$x_2 = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
que fent les sumes
$x_1= -2$
i
$x_2 = -3$

Observacions i comentaris
Val a dir que alguns alumnes que entenen bé aquests passos s'estimen més prescindir de l'aplicació de la fórmula general que a continuació obtindrem i resoldre una equació completa de forma ràpida i segura (a efecte d'evitar errors de signes, sobre tot). A més, cas que l'equació plantejada no tingui solució, de seguida se'n adonen (trobant-se ràpidament amb una arrel quadrada d'argument negatiu). I si l'equació donada té un sol valor com a solució, encara es fa més ràpida la resolució, ja que ens estalviem els ajustos posteriors a la configuració del binomi al quadrat, quedant igualat aquest a zero.

Justificació de la fórmula general que dóna la solució d'una equació de 2n grau expressada en forma completa: $ax^2+bx+c=0$
Donada l'equació $ax^2+bx+c=0$, dividirem ambdós membres per a amb la finalitat de partir d'una forma equivalent que tingui coeficient del terme de 2n grau igual a $1$
    $x^2 + \dfrac{b}{a}\,x + \dfrac{c}{a} = 0$
A partir, d'aquí, repetint els passos de l'exemple, trobem expressions equivalents fins poder aïllar la variable:
    $(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4\,a^2} + \dfrac{c}{a}$
    $(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$
reduïm a comú denominador el segon membre i trobem
    $(x + b/(2a))^2 = \dfrac{b^2-4\,ac}{4\,a^2}$
extraiem l'arrel quadrada a tots dos costats de la igualtat per desfer el quadrat del primer membre i arribem a
    $x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
I, tenint en compte, els dos possibles signes que aporta l'arrel quadrada,
    $x =-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
i atès que el denominador és el mateix
    $x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$

Classificació de les equacions de 2n grau (donada l'expressió general(completa)) ax^2+bx+c=0

  La classificació es fa segons el valor de $b^2-4\,ac$ (el radicand del radical que apareix a l'expressió de la solució general) que anomenarem discriminant i designarem amb la lletra $\Delta$. Observem que:
    1. Si el discriminant $\Delta$ és negatiu, no podem trobar cap nombre real com a solució de l'equació
    2. Si el discriminant $\Delta$ és positiu, trobarem dos valors diferents com a solució
      Propietat 1.:     Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució, llavors:
        i) $r_{1}+r_{2}=-b$
        ii) $r_{1} \cdot r_{2}=c$
          Exemple:     Els dos valors de la solució de $x^2+5x+6=0$ ( $b=5$ i $c=6$ ) són $-2$ i $-3$. Es pot comprovar fàcilment que:
            i) $(-2)+(-3)=-5$, que és igual a $-b$
            ii) $(-2) \cdot (-3)=6$, que és igual a $c$
    3. Si el discriminant $\Delta$ és igual a zero trobarem un sol valor, que es repeteix dues vegades.

      Propietat 2.:     Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució de l'equació $a\,x^2+b\,x+c=0$, llavors el primer membre de l'equació ( és a dir, l'expressió $a\,x^2+b\,x+c$ ) es pot escriure en forma factoritzada:
                    $a\,(x-r_1)(x-r_2)$

          Exemple:     Els dos valors de la solució de $3\,x^2+2\,x-1=0$ són
                                                -1   i   1/3
i es pot comprovar fàcilment que
$3\,x^2+2\,x-1$
es pot escriure de la forma
$3\,\big(x-(-1)\big)\big(x-\dfrac{1}{3}\big)$
[ per fer-ho, només cal que fem el producte dels dos binomis, agrupant els termes semblants, i multiplicant el resultat per $3$ ].
$\square$

[nota del autor]

Resolver la ecuación

Enunciado:
Estudiar la ecuación
      $x^2+1=-(2-x^2)$

Solución:
      $x^2+1=-(2-x^2)$
      $x^2+1=x^2-2$
i d'aquí
      $x^2-x^2=-2-1$
llegando a una contradicción
      $0 =-3$
con lo cual concluimos que la ecuación es incompatible (no tiene solución).
$\square$

[nota del autor]

Estudiar las ecuaciones ...

Enunciado:
Estudiar las siguientes ecuaciones según sus soluciones:
    a)   $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
    b)   $3-2\,x=2\,(1-x)+1$
    c)   $5\,x+6=x$

Solución:
    a)   $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
          $3\,x+2=5-3+3\,x$
          $3\,x-3\,x=5-3-2$
          $0 \cdot x=0$
          $0 =0 \rightarrow \text{ e. compatible indeterminada}$
                ( todos los números son solución )

    b)   $3-2\,x=2\,(1-x)-1$
          $3-2\,x=2-2\,x-1$
          $-2\,x+2\,x=2-1-3$
          $0\cdot x =-2$
          $0 = -2 \rightarrow \text{ e. incompatible}$
                ( por haber llegado a una contradicción )

    c)   $5\,x+6=x$
          $5\,x-x=-6$
          $4\,x=-6$
          $x=\dfrac{-6}{4}$
          $x=-\dfrac{3}{2} \rightarrow \text{ e. compatible determinada} ( la solución es única )$
$\square$

[nota del autor]

La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La diagonal d'un rectangle mesura $10 \; \text{dm}$ i el perímetre val $28 \; \text{dm}$. Calculeu l'àrea del rectangle.

Solució:
Desginem per $x$ i $y$ les longituds dels costats desiguals del rectangle. Llavors, d'acord amb la informació de l'enunciat podem plantejar el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}x+y=14 \\ \\x^2+y^2=10^2 \\ \end{matrix}\right\}$
on la primera expressa el valor del semiperímetre i la segona, pel teorema de Pitàgores, relaciona les longituds dels catets i la de la hipotenusa (la diagonal del rectangle configura un triangle rectangle). Aquest sistema d'equacions, malgrat no sigui lineal (la segona equació no l'és), el podem resoldre aïllant una de les incògnites de la primera equació i substituint l'expressió resultant (que depèn de l'altra incògnita) a la segona equació, obtenint així una equació de 2n grau, que ja sabem resoldre.
De la primera equació
    $y=14-x$
i posant això a la segona
    $x^2+(14-x)^2=10^2$
és a dir
    $2\,x^2-28\,x+96=0$
dividint ambdós membres per $2$ podem escriure l'equació equivalent
    $x^2-14\,x+48=0$
equació general completa que té com a solució els següents valors
    $x=\dfrac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^2-4\cdot 1 \cdot (48)}}{2\cdot 1}$
      $=\dfrac{14\pm \sqrt{4}}{2}$
      $=\dfrac{14\pm 2}{2}=\left\{\begin{matrix}
8 & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
Per tant
si $x=6 \;\text{dm}$, llavors $y=8 \;\text{dm}$
o de forma equivalent
si $x=8 \;\text{dm}$, llavors $y=6 \;\text{dm}$
És a dir, la grandària del rectangle és de $8 \times 6$ ( $\text{dm}$ )
$\square$

[nota del autor]

La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La diagonal d'un rectangle fa deu centímetres. Trobeu-ne les dimensions sabent un dels costats fa dos centímetres menys que l'altre.

Solució:
La diagonal del rectangle el divideix en dos triangles rectangles iguals. Considerem un d'aquests triangles rectangles i anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per $x-2$. Els catets són, és clar, els costats desiguals del rectangle, i, la diagonal del rectangle és la hipotenusa del triangle rectangle, que mesura $10 \, \text{cm}$.

Llavors, pel teorema de Pitàgores podem plantejar
    $x^2+(x-2)^2=10^2$
expandint el binomi al quadrat
    $x^2+x^2-4\,x+4=100$
i agrupant els termes semblants al primer membre
    $2\,x^2-4\,x-96=0$
que és una equació de segon grau completa
    $a\,x^2+b\,x+c=0$
Dividint, ara, pel màxim comú múltiple dels tres coeficients, que és igual a $2$, obtenim una equació equivalent més senzilla
    $x^2-2\,x-48=0$
de coeficients $a=1$, $b=-2$ i $c=48$
per tant la solució és
    $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
i pels valors concrets dels coeficients que tenim
    $x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}=\ldots =\left\{\begin{matrix}8\\ \\-7 \end{matrix}\right.$
El segon valor de la solució de l'equació no té sentit en el context del problema perquè, donat que estem cercant longituds, no és possible acceptar valors negatius; per tant, l'únic valor coherent amb el significat del problema és $x=8 \, \text{cm}$. I sí aquesta és la longitud del catet de major longitud, la del més petit ( dos centímetres més petit ) és igual a $6 \, \text{cm}$. Hem acabat.
$\square$

[nota del autor]

Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
    $1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
    $2^2=n\,(n+m)$
és a dir
    $4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
    $4=n^2+1$
i d'aquí
    $n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
    $n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
    $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
        $=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
        $\approx 1 \,\text{cm}^2$

$\square$

[nota del autor]

Sea un triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
D'un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$, sabem que la longitud del catet $c$ és igual a $4\,\text{cm}$, i, que la projecció sobre la hipotenusa de l'altre catet, $a$, té una longitud de $3\, \text{cm}$. Calculeu-ne l'àrea.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=3\,m \quad \quad (1)$
on $h$ és la longitud del segment $BP$ i $m$ és la projecció de l'altre catet ( de longitud $4 \, \text{cm}$ ) sobre la hipotenusa $b$ de $\triangle{ABC}$. Per altra banda, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$ podem escriure
    $h^2+m^2=4^2 \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), i simplificant, arribem a
    $m=\dfrac{4}{\sqrt{10}} \, \text{cm}$
i, posant aquest resultat a (1) i desfent el quadrat (extraient l'arrel quadrada), trobem
    $h=\sqrt{3\cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}}} = \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}} \, \text{cm}$
Ara, doncs, ja podem calcular l'àrea:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+3)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\,\bigg(\dfrac{4}{\sqrt{10}}+3\bigg)\cdot \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}}$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}\approx 4\, \text{cm}^2$

Nota: prenem el resultat de les arrels quadrades en valor absolut
$\square$

[nota del autor]

Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.

Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
      $\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
    $\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
    $s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
    $s_2=s$
    $s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
    $x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
    $\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
    $\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
    $s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
    $\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$

[nota del autor]

Aplicamos a un punto del plano dos traslaciones sucesivas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Apliquem al punt del pla $P(2,-3)$ dues translacions successives, de vectors respectius $\vec{t}_1=(-3,7)$ i $\vec{t}_2=(5,-1)$. Calculeu les coordenades del punt imatge $P^{'}$.

Solució:
L'aplicació successiva de les dues translacions es pot expressar amb una sola, de vector de translació igual a la suma $\vec{t}=\vec{t}_1+\vec{t}_2$ que té les següents components $(-3,7)+(5,-1)=\big(-3+5,7+(-1)\big)=(2,6)$

Llavors, les coordenades del punt resultant de la translació es calculen fent la suma de vectors
    $\vec{OP^{'}}=\vec{OP}+\vec{t}=(2,-3)+(2,6)=(2+2,-3+6)=(4,3)$
on
    $\vec{OP}$ és el vector de posició del punt objecte $P$
    $\vec{OP^{'}}$ és el vector de posició del punt imatge $P^{'}$

És a dir,
    $P^{'}_x=4$
    $P^{'}_y=3$
$\square$

[nota del autor]

Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.

Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.

Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
    $h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$

Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
    $2\,m= h^2$
és a dir
    $2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
    $2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
    $b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$

Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
      $=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
      $\approx 5 \,\text{cm}^2$

Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
    $\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$

Fet això, tenim que
    $\mathcal{P}=a+b+c$
      $=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
      $=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
      $\approx 11 \,\text{cm}$

$\square$

[nota del autor]