Enunciado:
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?
Resolución:
Al aplicar al rectángulo de origen una homotecia de razón $r$, la longitud de cada uno de los lados del rectángulo resultante es $r$ veces mayor, luego el área de dicho rectángulo - que, como es sabido, se calcula multiplicando sus dos lados desiguales -, resulta ser igual a $(r\,a)\cdot (r\,b)$, es decir, $r^2 \cdot a\,b $; en otras palabras, el área, $\text{Área}^{'}$, del rectángulo - y, de hecho, de cualquier otra figura plana - que resulta de aplicar una homotecia de razón $r$ a la figura original ( de área $\text{Área}=a\cdot b$ ) es $\text{Área}^{'}=r^2 \cdot \text{Área}$. Así, pues, en nuestro caso, al ser $r=2$, $\text{Área}^{'}=2^2 \cdot 5 = 20 \, \text{cm}^2$
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domingo, 2 de marzo de 2014
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?
Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.
Enunciado:
Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.
Resolución:
A partir del gráfico, medimos el valor de las coordenadas de los puntos imágenes: $A'(3\,,\,9)$, $B'(6\,,\,6)$ y $C'(6\,,\,9)$
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El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
Enunciado:
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
Resolución:
Conociendo el valor del área ( $20\,\text{dm}^2$ ) y el valor de uno de los lados desiguales ( $a=4\,\text{dm}$ ) del rectángulo, podemos calcular la longitud del otro ( a la que llamamos $b$ ), de manera bien sencilla, pues, $20=4\,b$; de aquí, $b=20/4=5\,\text{dm}$. Y, como la diagonal del rectángulo ( que denotamos por $d$ ) divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$d=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\,\text{dm}$$
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Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$
Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$
Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).
Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$
Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$
Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$
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Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$
Enunciado:
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$
Resolución:
Tomando $b$ como base del triángulo, y, por tanto, $h$ como su altura, podemos calcular el área del triángulo de la forma $$\text{Área}=\dfrac{b\cdot h}{2}$$
con lo cual deberemos calcular el valor de $b$ y el valor de $h$, cosa que llevaremos a cabo teniendo en cuenta que $\triangle{\{A,B,C\}}$ es, según la figura ( uno de los ángulos del triángulo es un a. recto: el a. de vértice $B$ ), un triángulo rectángulo.
Por el Teorema del Cateto: $a^2=b \cdot \overline{PC}$, y con los datos del problema, $4^2=2\,b$; de aquí deducimos $b=8\,\text{cm}$
Teniendo en cuenta, ahora, el Teorema de la Altura: $\overline{AP} \cdot \overline{PC}=h^2$. Poniendo, ahora, los datos del problema, nos queda: $6 \cdot 2 = h^2$. De aquí, deducimos $h=\sqrt{12}=2\,\sqrt{3} \,\text{cm}$
Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del área, encontramos $\text{Área}=\dfrac{b \cdot h}{2}=\dfrac{(6+2) \cdot 2\,\sqrt{3} }{2}=8\,\sqrt{3}\,\text{cm}^2$
$\blacksquare$
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.
Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.
Resolución:
Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.
Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.
Nota ( Ampliación ): Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.
$\blacksquare$
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$
Enunciado:
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$
Resolución:
Por comodidad, denotamos por $x$ el segmento $\overline{OA}$, y por $y$ el segmento $\overline{AB}$. Entonces, teniendo en cuenta el Teorema de Tales ( los triángulos $\triangle{\{O,A,A'\}}$ y $\triangle{\{O,B,B'\}}$ ) podemos escribir la siguiente proporción entre los segmentos correspondientes:
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+y}{3+2,2}$$
y teniendo en cuenta que $x+y=6,5$
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{6,5}{5,2}$$
y, resolviendo la ecuación,
$$x=3,75 \, \text{cm}$$
luego
$$y=6,5-3,75=2,75 \, \text{cm}$$
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sábado, 22 de febrero de 2014
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Ayuda: Escribir, primero, la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ como una potencia ( de base $x$ ) con exponente fraccionario; a continuación, en esta expresión algebraica en forma de potencia, sustituir $x$ por el valor dado de dicha variable, y, a partir de la expresión numérica que se obtiene, usar la calculadora para encontrar el valor numérico pedido. Finalmente, hacer la aproximación.}
Resolución:
$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}=4^{2/3} \underset{(1)}{\approx} 2,5$
(1) utilizando la calculadora científica ( " 4 ^ 2 / 3 = " ) y aproximando la cantidad que aparece en pantalla por redondeo simétrico hasta las décimas
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Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:
$\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro
$\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro
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Resolver la siguiente ecuación: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación:
$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
Resolución:
Multiplicando cada miembro de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes ( que es igual a $12$ ), podemos escribir la siguiente ecuación equivalente:
$$12\cdot \dfrac{x}{2}-12\cdot \dfrac{5}{6}=12\cdot\dfrac{1}{12}-12\cdot\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
y simplificando, queda
$$6\,x-10=1-8\,(x-1)$$
es decir
$$6\,x-10=1-8\,x+8$$
y agrupando términos semjantes
$$6\,x+8\,x=1+8+10$$
con lo cual
$$14\,x=19$$
luego
$$x=\dfrac{19}{14}$$
$\blacksquare$
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Enunciado:
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Resolución:
Sean $x$ ( número de pintores ), $y$ ( área a pintar ) y $z$ ( tiempo empleado ), las magnitudes que intervienen en este problema de proporcionalidad compuesta. Es evidente que $x$ e $y$ están en proporción directa, mientras que $y$ y $z$ están en proporción inversa, luego, podemos escribir la proporción compuesta de la forma:
$$\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2} \quad \quad (1)$$
y siendo:
$x_1=4$ pintores
$x_2=3$ pintores
$y_1=32\,\text{m}^2$
$y_2=15\,\text{m}^2$
$z_1=90\,\text{min}$
$z_2$ ( incógnita del problema )
con lo cual, despejando la incógnita de (1):
$$z_2=z_1 \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot \dfrac{x_1}{x_2}$$
o, si se prefiere, poniendo directamente los datos en (1):
$$\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{33}{15}=\dfrac{90}{z_2}$$
y despejando la incógnita,
$$z_2=90\cdot \dfrac{15}{32}\cdot \dfrac{4}{3}$$
obteniendo
$$z_2=\dfrac{225}{4}=56\,\text{min}\,15\,\text{s}$$
$\square$
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Enunciado:
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Resolución:
$P(3)=3^3-3^2+3-1=27-9+3-1=18+3-1=21-1=20$
$\blacksquare$
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Enunciado:
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Resolución:
Un polinomio es primo si no tiene raíces en el conjunto de los números reales. Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, busquemos valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea igual a cero:
$x^2+4=0 \Leftrightarrow x^2=-4 \Leftrightarrow x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$, luego el polinomio dado no tiene raíces, luego es un polinomio primo.
$\blacksquare$
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos: $$2\,x^3-8\,x^2$$
Enunciado:
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos:
$$2\,x^3-8\,x^2$$
Resolución:
Teniendo en cuenta que $\text{m.c.d}(2,8)=2$ y que $x^3=x^2\,x$, podemos escribir:
$2\,x^3-8\,x^2=2\,x^2\,(x-4)$
$\blacksquare$
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$
$\blacksquare$
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
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viernes, 7 de febrero de 2014
Proporcionalidad compuesta
Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:
Caso I ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$
Caso II ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
Caso III ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$
Caso IV ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
[ Ejemplo 1 ]
$\square$
domingo, 24 de noviembre de 2013
miércoles, 6 de noviembre de 2013
Proporcionalidad compuesta ( problema de muestra )
Enunciado:
Dos pintores, igualmente eficientes y trabajando a la vez, tardan $30 \; \text{min}$ en pintar un muro $6\; \text{m}^2$. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igual de hábiles ) en pintar un muro de $25 \; \text{m}^2$ ?
Resolución:
Intervienen en este problema tres magnitudes: a) el tiempo empleado en hacer la tarea; b) el àrea del muro que se quiere pintar; y, c) el número de pintores que realizan la tarea ( sin entorpecerse unos a otros ).
Al intervenir más de dos magnitudes proporcionales, se nos plantea un problema de propocinalidad compuesta entre los siguientes pares de magnitudes: i) el timepo empleado y el n úmero de pintores (que es una relación p. inversa); y, ii) el tiempo empleado y el área a pintar (que és una relació de p. directa).
Resolveremos el problema mediante dos pasos encadenados (dos proporciones enlazadas), que son las siguientes:
i) Primero, calculamos el tiempo, $t_1$, que tardarían $3$ pintors (en lugar de $2$ pintores ) en pintar $6\; \text{m}^2$ de muro:
$\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
y, de aquí, vemos que
$t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$
ii) A continuación, calculamos cuánto tiempo tardarían tres pintores ( en lugar de dos ) en pintar $25 \; \text{m}^2$ ( en lugar de $25 \; \text{m}^2$ )
$\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$
Finalmente, teniendo en cuenta [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, sustituimos este primer resultado en (2) y encontramos que
$t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
$=83,\bar{3} \; \text{min}$
$\approx 1\; \text{h}\;\;24\;\text{min}$
$\blacksquare$
Observación: Tipeo/esquema de resolución de la proporción compuesta:
Nota: Una forma de notar el inverso de un número $a$ es $\text{inv}(a)=\dfrac{1}{a}$, que también se puede escribir de la forma $a^{-1}$. Ambas notaciones las hemos utilizado en este problema.
$\square$
miércoles, 25 de septiembre de 2013
Ejercicio de operaciones combinadas con fracciones
Enunciado:
Operar:
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$
Solución:
Primero, simplificamos las fracciones reducibles
$\dfrac{60}{5}=12$
con lo cual la expresión a calcular puede escribirse así
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuación, respetando la prioridad de les operaciones, procedemos a realizar las que quedan dentro del paréntesis, por tanto efectuamos, en primer lugar, la división
$\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Poniendo este resultado en la línea principal del cálculo, podemos escribir
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
$=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuación, seguimos haciendo las operaciones del paréntesis, que son sumas y restas, para lo cual reducimos a común denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) y llegamos a
$\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
$=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
$=\dfrac{25-14+40}{60}$
$=\dfrac{51}{60}$
$=\dfrac{17}{30}$
Y escribiendo ésto en la línea principal del cálculo,
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
$=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
$=17\cdot \dfrac{12}{20}$
$=17\cdot \dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{51}{5}$
$\square$