Sea el punto $B(3,3)$. ¿ Cuales son las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.

Enunciado:
Sea el punto $B(3,3)$. Determínense las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.

Resolución:

(a)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de ordenadas, $Oy$, da el punto $B'(-x_B,y_B)$, es decir, mantiene la ordenada del punto original pero cambia la abscisa del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,3)$


(b)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de abscisas, $Ox$, da el punto $B^{''}(x_B,-y_B)$, es decir, mantiene la abscisa del punto original pero cambia la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(3,-3)$



(c)
La simetría de $B(x_B,y_B)$ central, respecto de $O(0,0)$, da el punto $B^{'''}(-x_B,-y_B)$, es decir, cambia la abscisa del punto original por el opuesto de dicho valor y cambia también la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,-3)$. Observemos que, en general, la simetría central respecto a un centro cualquiera equivale a un giro horario ( o antihorario, indistintamente ) con centro en el centro de simetría y amplitud de giro de $180^{\circ}$

[nota del autor]

Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.


Resolución:

Observemos que las coordenadas de $A'$ son $A'(x_A+t_x\,,\,y_A+t_y)$, es decir $A'(-1+2\,,\,2+(-4))$, y, operando, $A'(1\,,\,-2)$
y, por tanto, lo mismo ocurre con todos los otros puntos; así, pues, las coordenadas de $B'$ son $B'(x_B+t_x\,,\,y_B+t_y)$, es decir $B'(1+2\,,\,2+(-4))$ , y, operando, $B'(3\,,\,-2)$

Nota:   Se dará también por buen proceder el anotar, simplemente, la lectura de las coordenadas del los puntos resultantes, $A'$ y $B'$, leyendo/midiendo sobre el diagrama después de construir la traslación con regla y compás; sin embargo, merece mucho el esfuerzo de comprender la relación apuntada arriba, que, naturalmente, se generaliza a todas las traslaciones.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide ...

Enunciado:
Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide:

  a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en cualquier punto del plano y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$

  b) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$

Resolución:
(a)

(b)
Podemos leer las coordenadas en el gráfico o, mejor aún, realizar la suma algebraica de los vectores: $$\vec{u}+\vec{v}=(1,3)+(4,2)=(1+4,3+2)=(5,5)$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?

Enunciado:
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?

Resolución:
Al aplicar al rectángulo de origen una homotecia de razón $r$, la longitud de cada uno de los lados del rectángulo resultante es $r$ veces mayor, luego el área de dicho rectángulo - que, como es sabido, se calcula multiplicando sus dos lados desiguales -, resulta ser igual a $(r\,a)\cdot (r\,b)$, es decir, $r^2 \cdot a\,b $; en otras palabras, el área, $\text{Área}^{'}$, del rectángulo - y, de hecho, de cualquier otra figura plana - que resulta de aplicar una homotecia de razón $r$ a la figura original ( de área $\text{Área}=a\cdot b$ ) es $\text{Área}^{'}=r^2 \cdot \text{Área}$. Así, pues, en nuestro caso, al ser $r=2$, $\text{Área}^{'}=2^2 \cdot 5 = 20 \, \text{cm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.

Enunciado:
Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.

Resolución:

A partir del gráfico, medimos el valor de las coordenadas de los puntos imágenes: $A'(3\,,\,9)$, $B'(6\,,\,6)$ y $C'(6\,,\,9)$
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[nota del autor]

El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Enunciado:
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Resolución:
Conociendo el valor del área ( $20\,\text{dm}^2$ ) y el valor de uno de los lados desiguales ( $a=4\,\text{dm}$ ) del rectángulo, podemos calcular la longitud del otro ( a la que llamamos $b$ ), de manera bien sencilla, pues, $20=4\,b$; de aquí, $b=20/4=5\,\text{dm}$. Y, como la diagonal del rectángulo ( que denotamos por $d$ ) divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$d=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\,\text{dm}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).

Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$

Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Resolución:
Tomando $b$ como base del triángulo, y, por tanto, $h$ como su altura, podemos calcular el área del triángulo de la forma $$\text{Área}=\dfrac{b\cdot h}{2}$$
con lo cual deberemos calcular el valor de $b$ y el valor de $h$, cosa que llevaremos a cabo teniendo en cuenta que $\triangle{\{A,B,C\}}$ es, según la figura ( uno de los ángulos del triángulo es un a. recto: el a. de vértice $B$ ), un triángulo rectángulo.

Por el Teorema del Cateto: $a^2=b \cdot \overline{PC}$, y con los datos del problema, $4^2=2\,b$; de aquí deducimos $b=8\,\text{cm}$

Teniendo en cuenta, ahora, el Teorema de la Altura: $\overline{AP} \cdot \overline{PC}=h^2$. Poniendo, ahora, los datos del problema, nos queda: $6 \cdot 2 = h^2$. De aquí, deducimos $h=\sqrt{12}=2\,\sqrt{3} \,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del área, encontramos $\text{Área}=\dfrac{b \cdot h}{2}=\dfrac{(6+2) \cdot 2\,\sqrt{3} }{2}=8\,\sqrt{3}\,\text{cm}^2$

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[nota del autor]

Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Resolución:

Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.

Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.


Nota ( Ampliación ):   Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.

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[nota del autor]

Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Enunciado:
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Resolución:
Por comodidad, denotamos por $x$ el segmento $\overline{OA}$, y por $y$ el segmento $\overline{AB}$. Entonces, teniendo en cuenta el Teorema de Tales ( los triángulos $\triangle{\{O,A,A'\}}$ y $\triangle{\{O,B,B'\}}$ ) podemos escribir la siguiente proporción entre los segmentos correspondientes:
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+y}{3+2,2}$$
y teniendo en cuenta que $x+y=6,5$
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{6,5}{5,2}$$
y, resolviendo la ecuación,
$$x=3,75 \, \text{cm}$$
luego
$$y=6,5-3,75=2,75 \, \text{cm}$$
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[nota del autor]

Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).

Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).

Ayuda: Escribir, primero, la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ como una potencia ( de base $x$ ) con exponente fraccionario; a continuación, en esta expresión algebraica en forma de potencia, sustituir $x$ por el valor dado de dicha variable, y, a partir de la expresión numérica que se obtiene, usar la calculadora para encontrar el valor numérico pedido. Finalmente, hacer la aproximación.}


Resolución:
$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}=4^{2/3} \underset{(1)}{\approx} 2,5$

(1) utilizando la calculadora científica ( " 4 ^ 2 / 3 = " ) y aproximando la cantidad que aparece en pantalla por redondeo simétrico hasta las décimas

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[nota del autor]

Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:

    $\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro

    $\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro

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[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación:
$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$

Resolución:
Multiplicando cada miembro de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes ( que es igual a $12$ ), podemos escribir la siguiente ecuación equivalente:
$$12\cdot \dfrac{x}{2}-12\cdot \dfrac{5}{6}=12\cdot\dfrac{1}{12}-12\cdot\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
y simplificando, queda
$$6\,x-10=1-8\,(x-1)$$
es decir
$$6\,x-10=1-8\,x+8$$
y agrupando términos semjantes
$$6\,x+8\,x=1+8+10$$
con lo cual
$$14\,x=19$$
luego
$$x=\dfrac{19}{14}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.

Enunciado:
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.

Resolución:
Sean $x$ ( número de pintores ), $y$ ( área a pintar ) y $z$ ( tiempo empleado ), las magnitudes que intervienen en este problema de proporcionalidad compuesta. Es evidente que $x$ e $y$ están en proporción directa, mientras que $y$ y $z$ están en proporción inversa, luego, podemos escribir la proporción compuesta de la forma:

$$\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2} \quad \quad (1)$$

y siendo:
  $x_1=4$ pintores
  $x_2=3$ pintores
  $y_1=32\,\text{m}^2$
  $y_2=15\,\text{m}^2$
  $z_1=90\,\text{min}$
  $z_2$ ( incógnita del problema )

con lo cual, despejando la incógnita de (1):
$$z_2=z_1 \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot \dfrac{x_1}{x_2}$$


o, si se prefiere, poniendo directamente los datos en (1):
$$\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{33}{15}=\dfrac{90}{z_2}$$
y despejando la incógnita,
$$z_2=90\cdot \dfrac{15}{32}\cdot \dfrac{4}{3}$$
obteniendo
$$z_2=\dfrac{225}{4}=56\,\text{min}\,15\,\text{s}$$

$\square$

Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$

Enunciado:
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$

Resolución:
$P(3)=3^3-3^2+3-1=27-9+3-1=18+3-1=21-1=20$
$\blacksquare$

[nota del autor]

El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.

Enunciado:
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.

Resolución:
Un polinomio es primo si no tiene raíces en el conjunto de los números reales. Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, busquemos valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea igual a cero:
$x^2+4=0 \Leftrightarrow x^2=-4 \Leftrightarrow x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$, luego el polinomio dado no tiene raíces, luego es un polinomio primo.
$\blacksquare$

Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos: $$2\,x^3-8\,x^2$$

Enunciado:
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos:
$$2\,x^3-8\,x^2$$

Resolución:
Teniendo en cuenta que $\text{m.c.d}(2,8)=2$ y que $x^3=x^2\,x$, podemos escribir:
    $2\,x^3-8\,x^2=2\,x^2\,(x-4)$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).

Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Proporcionalidad compuesta

Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:

    Caso I   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$

    Caso II   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    Caso III   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$


    Caso IV   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    [ Ejemplo 1 ]

$\square$

[nota del autor]