Enunciado:
Calcúlese el área del desarrollo plano de un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden $1\,\text{dm}$, $2\,\text{dm}$ y $3\,\text{dm}$, respectivamente.
Resolución:
Al tener un prisma recto de base rectangular $6$ caras rectangulares iguales dos a dos, el área del desarrollo plano es la suma de las áreas de los seis rectángulos que corresponden a las caras, y, por tanto $A=2\,(1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3)=2\cdot 11 = 22 \, \text{dm}^2$
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viernes, 14 de marzo de 2014
Calcúlese el área del desarrollo plano de un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden $1\,\text{dm}$, $2\,\text{dm}$ y $3\,\text{dm}$, respectivamente.
Determinar el volumen y el área de la superficie de una esfera de $2\,\text{m}$ de radio.
Enunciado:
Determinar el volumen y el área de la superficie de una esfera de $2\,\text{m}$ de radio.
Resolución:
(a) Volumen:
$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3=\dfrac{4}{3}\,\pi\,2^3=\dfrac{32}{3}\,\pi\,\text{m}^3$
(b) Área de la superficie:
$\mathcal{A}=4\,\pi\,r^2=4\,\pi\,2^2=16\,\pi\,\text{m}^2$
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Hallar la capacidad - en litros - de un depósito en forma de prisma recto, de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $10\,\text{cm}$, $20\,\text{cm}$ y $30\,\text{cm}$, respectivamente.
Enunciado:
Hallar la capacidad - en litros - de un depósito en forma de prisma recto, de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $10\,\text{cm}$, $20\,\text{cm}$ y $30\,\text{cm}$, respectivamente.
Resolución:
Expresando las longitudes de las aristas en decímetros ( $10\,\text{cm}=\text{dm}$, $20\,\text{cm}=2\,\text{dm}$ y $30\,\text{cm}=3\,\text{dm}$ ) y calculando el volumen del paralelepípedo ( prisma de base rectangular ), obtenemos: $V=1\cdot 2\cdot 3 =6\,\text{dm}^3$, luego por la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen ( $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$ ), la capacidad del depósito es de $6\,\text{L}$
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Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.
Enunciado:
Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.
Resolución:
Sea $x$ la diagonal de una cara, entonces $x^2=1^2+1^2=2$ ( por el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal de una cara del cubo ). Por otra parte, al trazar la diagonal del cubo, se configura otro triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud $1$ y $x=\sqrt{2}$, y de diagonal $d$, luego
$d=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{3}\,\text{m}$
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Calcular la capacidad - en litros - de un depósito cilíndrico de $100\,\text{cm}$ de radio de la base y $100\,\text{cm}$ de altura.
Enunciado:
Calcular la capacidad - en litros - de un depósito cilíndrico de $100\,\text{cm}$ de radio de la base y $100\,\text{cm}$ de altura.
Resolución:
Al pedirnos que expresemos la capacidad en litros, comenzaremos expresando los datos ( el radio y la altura ) en decímetros: $r=100\,\text{cm}=10\,\text{dm}$ y $h=100\,\text{cm}=10\,\text{dm}$, atendiendo la equivalencia entre volumen y capacidad ( $1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3$ ). El volumen es pues $V=\pi\,r^2\,h=10\cdot 10\,\pi = 100\pi\,\text{dm}^3$, luego la capacidad de dicho depósito cilíndrico es $100\,\pi\,\text{L}$
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Hállese el valor del área lateral del desarrollo plano de un cilindro de $7\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Hállese el valor del área lateral del desarrollo plano de un cilindro de $7\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
Imaginemos la deconstrucción de un cilindro ( por ejemplo, cortando la generatriz y el contorno de las bases de un cilindro de cartulina y desplegando la superficie lateral ). Al desenrollarse dicha superficie lateral de los contornos de las bases, que son circunferencias, obtenemos un rectángulos de lados $2\,\pi\,r$ y $h$, respectivamente, luego $A_{lateral}=( 2\,\pi\,r ) \cdot h$, y, como en un cilindro recto la $g=h=7\,\text{dm}$, llegamos a $A_{lateral}=( 2\cdot 7\, \pi) \cdot 2=28\,\pi\,\text{dm}^2$
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Calcular el volumen - expresado en decímetros cúbicos - de un cilindro recto de $70\,\text{cm}$ de generatriz y $20\,\text{cm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen - expresado en decímetros cúbicos - de un cilindro recto de $70\,\text{cm}$ de generatriz y $20\,\text{cm}$ de radio de la base.
Resolución:
Empecemos expresando los datos ( radio y generatriz en decímetros, pues nos piden que demos el volumen en decímetros cúbicos: $r=20\,\text{cm}=2\,\text{dm}$, $g=70\,\text{cm}=7\,\text{dm}$ ). Sabemos que el volumen de un cilindro se calcula de la forma $V=\pi\,r^2\,h$, y, como en un cilindro recto $h=r$, nos queda $V=\pi\,2^2\cdot 7 = 28\,\pi\,\text{dm}^3$
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Hallar el área lateral - en decímetros cuadrados - de un cono de $50\,\text{cm}$ de generatriz y $40\,\text{cm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Hallar el área lateral —en decímetros cuadrados— de un cono de $50\,\text{cm}$ de generatriz y $40\,\text{cm}$ de radio de la base.
Resolución:
El área lateral de un cono es el área del sector circular de radio $g$, que, una vez recortado, debe enrollarse alrededor del contorno del círculo de la base, que tiene longitud $2\,\pi\,r$, luego planteando la proporción $\dfrac{A_{lateral}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g}$, y, de aquí, $A_{lateral}=\pi\,r\,g$; teniendo en cuenta que $g=50\,\text{cm}=5\,\text{dm}$ y $r=40\,\text{cm}=4\,\text{dm}$ , obtenemos $A_{lateral}=\pi\cdot 4 \cdot 5=20\,\pi\,\text{dm}^2$
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Calcúlese el ángulo del sector circular que hay que dibujar y recortar ( en una cartulina ) para obtener ( doblándolo y pegando los bordes ) un cono ( sin la tapa ) de $3\,\text{dm}$ de altura y siendo $4\,\text{dm}$ el radio de la circunferencia del borde de la base.
Enunciado:
Calcúlese el ángulo del sector circular que hay que dibujar y recortar ( en una cartulina ) para obtener ( doblándolo y pegando los bordes ) un cono ( sin la tapa ) de $3\,\text{dm}$ de altura y siendo $4\,\text{dm}$ el radio de la circunferencia del borde de la base.
Resolución:
Tal como se recuerda en el enunciado, el ángulo, $\alpha$, del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral del cono es el ángulo del sector circular que, al ser recortado y enrollado alrededor del contorno del círculo de la base da lugar a la superficie lateral del cono, luego el valor de dicho ángulo se obtiene de la proporción $\dfrac{\alpha}{2\,\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\,g}$, y, de aquí, $\alpha=360^{\circ}\,\dfrac{r}{g}$. Teniendo en cuenta que $g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{dm}$, obtenemos $\alpha=360^{\circ}\,\dfrac{4}{5}=288^{\circ}$
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Calcular el volumen de un cono de $10\,\text{dm}$ de generatriz y $6\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen de un cono de $10\,\text{dm}$ de generatriz y $6\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
El volumen de un cono se calcula de la forma $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$. Conocemos el valor del radio y el de la altura, pero no el de la altura; ahora bien, mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma al cortar el cono por un plano diametral: $h^2=g^2-r^2=10^2-6^2=64$, luego $h=\sqrt{64}=8\,\text{dm}$. Así, pues, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,6^2\cdot 8=96\,\pi\,\text{dm}^3$
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lunes, 10 de marzo de 2014
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.
Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.
Resolución:
Después de construir el giro ( figura ) observamos que: $P'(0,3)$ y $Q'(-1,3)$, y el vértice $O(0,0)$, al coincidir con el centro de giro, es invariante.
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El área de un cierto triángulo es $24\,\text{cm}^2$ y su perímetro es $24\,\text{cm}$. Se aplica a dicho triángulo una homotecia de razón $r=10$, obteniéndose así un triángulo {\sl semejante} al triángulo original. Calcúlese: a) el área b) el perímetro
Enunciado:
El área de un cierto triángulo es $24\,\text{cm}^2$ y su perímetro es $24\,\text{cm}$. Se aplica a dicho triángulo una homotecia de razón $r=10$, obteniéndose así un triángulo {\sl semejante} al triángulo original. Calcúlese:
a) el área
b) el perímetro
Resolución:
El perímetro del triángulo resultante es igual al perímetro del triángulo original multiplicado por la razón de la homotecia, esto es, $24\cdot 10 = 240\,\text{cm}$.
El área del triángulo resultante es igual al área del triángulo original multiplicada por el cuadrado de la razón de la homotecia, es decir, $24\cdot 10^2 = 2\,400\,\text{cm}^2$
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Sean los vectores $\vec{u}=(-1,2)$ y $\vec{v}=(3,5)$. Se pide: a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en el origen de coordenadas, $O(0,0)$, y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$ b) Medir el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( con el transportador de ángulos ): $\angle \{ \vec{u}\,,\, \vec{v}\}$ c) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Enunciado:
Sean los vectores $\vec{u}=(-1,2)$ y $\vec{v}=(3,5)$. Se pide:
a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en el origen de coordenadas, $O(0,0)$, y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$
b) Medir el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( con el transportador de ángulos ): $\angle \{ \vec{u}\,,\, \vec{v}\}$
c) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Resolución:
La siguiente figura ilustra una resolución suficiente del problema
Nota:
También podemos determinar las coordenadas del vector suma de forma algebraica: $\vec{u}+\vec{v}=(-1\,,\,2)+(3\,,\,5)=(-1+3\,,\,2+5)=(2\,,\,7)$
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Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática (...)
Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:
Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $\overline{PB}=4 \,\text{cm}$ y $\overline{PA}=25\,\text{cm}$, ¿ cuál es su área ?.
Resolución:
Por el Teorema de Pitágora, la altura correspondiente al lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos, esto es: $h=\sqrt{4\cdot 25}=10$. Luego el área del triángulo es igual a $\dfrac{(25+4)\cdot 10}{2}=145\,\text{m}^2$
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Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.
Enunciado:
Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.
Resolución:
La figura ilustra la construcción de la traslación del segmento $a$ dado por los puntos $A$ y $B$
En el propio gráfico podemos leer las coordenadas de los puntos extremos del segmento que resultan de la traslación: $A'(6,5)$ y $B'(5,6)$.
Nota:
Podemos también conocer las coordenadas de $A'$ y $B'$ sin hacer la construcción, recurriendo al método algebraico: $x'_A=x_A+t_x$ e $y'_B=y_B+t_y$; esto es, $x'_A=1+5=6$ e $y'_B=0+5=5$
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Sea el triángulo de vértices: $A(0,1)$, $B(1,2)$ y $C(-1,2)$. Se pide: a) Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano b) Construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=4$ c) ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante ?.
Enunciado:
Sea el triángulo de vértices: $A(0,1)$, $B(1,2)$ y $C(-1,2)$. Se pide:
a) Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano
b) Construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=4$
c) ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante ?.
Resolución:
La siguiente figura da respuesta a los tres apartados
Las coordenadas de los puntos $A'$, $B'$ y $C'$ las leemos en el diagrama cartesiano, obteniendo: $A'(0,4)$, $B'(4,8)$ y $C'(-4,8)$
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A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=10\,\text{cm}$ y $c=8\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Enunciado:
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=10\,\text{cm}$ y $c=8\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Resolución:
Por el Teorema de Pitágoras, $b=\sqrt{10^2-8^2}=6\,\text{cm}$, luego el perímetro del triángulo es igual a $10+8+6 = 24\,\text{cm}$, y, el valor del área es $\dfrac{6\cdot 8}{2}=24\,\text{cm}^2$
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domingo, 2 de marzo de 2014
Sea el punto $B(3,3)$. ¿ Cuales son las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.
Enunciado:
Sea el punto $B(3,3)$. Determínense las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.
Resolución:
(a)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de ordenadas, $Oy$, da el punto $B'(-x_B,y_B)$, es decir, mantiene la ordenada del punto original pero cambia la abscisa del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,3)$
(b)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de abscisas, $Ox$, da el punto $B^{''}(x_B,-y_B)$, es decir, mantiene la abscisa del punto original pero cambia la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(3,-3)$
(c)
La simetría de $B(x_B,y_B)$ central, respecto de $O(0,0)$, da el punto $B^{'''}(-x_B,-y_B)$, es decir, cambia la abscisa del punto original por el opuesto de dicho valor y cambia también la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,-3)$. Observemos que, en general, la simetría central respecto a un centro cualquiera equivale a un giro horario ( o antihorario, indistintamente ) con centro en el centro de simetría y amplitud de giro de $180^{\circ}$
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.
Enunciado:
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.
Resolución:
Observemos que las coordenadas de $A'$ son $A'(x_A+t_x\,,\,y_A+t_y)$, es decir $A'(-1+2\,,\,2+(-4))$, y, operando, $A'(1\,,\,-2)$
y, por tanto, lo mismo ocurre con todos los otros puntos; así, pues, las coordenadas de $B'$ son $B'(x_B+t_x\,,\,y_B+t_y)$, es decir $B'(1+2\,,\,2+(-4))$ , y, operando, $B'(3\,,\,-2)$
Nota: Se dará también por buen proceder el anotar, simplemente, la lectura de las coordenadas del los puntos resultantes, $A'$ y $B'$, leyendo/midiendo sobre el diagrama después de construir la traslación con regla y compás; sin embargo, merece mucho el esfuerzo de comprender la relación apuntada arriba, que, naturalmente, se generaliza a todas las traslaciones.
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Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide ...
Enunciado:
Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide:
a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en cualquier punto del plano y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$
b) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Resolución:
(a)
(b)
Podemos leer las coordenadas en el gráfico o, mejor aún, realizar la suma algebraica de los vectores: $$\vec{u}+\vec{v}=(1,3)+(4,2)=(1+4,3+2)=(5,5)$$
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