Quan resolem equacions de 2n grau, sovint ens podem trobar amb casos més senzills que el de la forma completa ( $a\,x^2+b\,x+c=0$ ). En aquests casos, el procés de resolució (trobar el valor o valors de la variable x que compleixen la igualtat) presenta poca dificultat. El cas general de l'equació de 2n grau completa el tractaré al final de l'article, exposant i justificant l'expressió de la solució seva solució general. Comentaré també algunes propietats interessants que fan referència a la relació entre els valors de la solució i els coeficients $a$, $b$ i $c$. Vegem, primer de tot, els casos més senzills:
1.
$a\,x^2 - c=0$
Solució:
$a\,x^2=c$
$x^2=\dfrac{c}{a}$
$x=\pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}$
Exemple: $3\,x^2 - 4=0$
Solució:
$3\,x^2=4$
$x^2=\dfrac{4}{3}$
$x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
$=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
2.
$(m\,x-n)(p\,x-q)=0$
Solució:
$(m\,x-n)(p\,x-q)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\,x-n=0 \Rightarrow x=\dfrac{n}{m}\\\vee\\p\,x-q=0 \Rightarrow x=\dfrac{q}{p}\end{matrix}\right.$
Exemple: $(5\,x-3)(4\,x-7)=0$
Solució:
$(5\,x-3)(4\,x-7)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\,x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{5}\\\vee\\4\,x-7=0 \Rightarrow x=\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$
3.
$ax^2-bx=0$
Solució:
$x\,(a\,x-b)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\a\,x-b=0\Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.$
Exemple: $8\,x^2-160\,x=0$
Solució:
$8\,x\,(x-20)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\x-20=0\Rightarrow x=20\end{matrix}\right.$
4.
$(m\,x-n)^2-p=0$
Solució:
$(m\,x-n)^2=p$
$m\,x-n=\pm \sqrt{p}$
$m\,x=n \pm \sqrt{p}$
$=\dfrac{n \pm \sqrt{p}}{m}$
Exemple: $(m\,x-n)^2-p=0$
Solució:
$(2\,x-7)^2=5$
$2\,x-7=\pm \sqrt{5}$
$2\,x=7 \pm \sqrt{5}$
$=\dfrac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$
A continuació, i amb la finalitat d'animar a fer ús d'estratègies "enraonades" per resoldre equacions de 2n grau, exposaré (justificaré) l'expressió general de la solució d'una equació general (completa) $ax^2+bx+c=0$, on tots els terme ( el de segon grau, el de primer grau i el terme independent o numèric ) són no nuls.
Resolució d'una equació de 2n grau completa ( del tipus $ax^2+bx+c=0$ ) trobant prèviament l'expressió en una forma equivalent i més compacta del tipus $(x+r)^2+s=0$
Entre els casos més o menys immediats ( més senzills ) exposats a la introducció, en especial, l'expressió d'una equació de 2n grau de la forma $(x+r)^2+s=0$ – que sempre és possible escriure - té molta importància, perquè, serveix per justificar la fórmula (que s'ensenya repetidament) dels valors de x que compleixen l'equació de 2n grau expressada de la forma $ax^2+bx+c=0$, és a dir, la fórmula
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
A continuació, prescindirem de la fórmula per trobar la solució d'una equació donada en forma completa i ho farem donant valors concrets als coeficients (vegeu l'exemple de sota). Els passos que seguirem, fàcilment, es poden generalitzar fent ús dels identificadors “a”, “b” i “c”, enlloc de valors concrets, obtenint la fórmula esmentada que molts alumnes aprenen de memòria sense entendre-la.
Exemple:
Suposem que volem resoldre l'equació $x^2+5x+6=0$. Primer de tot, l'expressem de la forma indicada al paràgraf anterior:
$(x+\dfrac{5}{2})^2 – \dfrac{25}{4} + 6 = 0$
Per justificar aquest pas, tan sols cal tenir en compte el desenvolupament del quadrat d'un binomi mitjançant la identitat: $(w+v)^2 = w^2+2wv+v^2$. Per això, comencem a escrivint el binomi al quadrat que reprodueix el terme de grau dos $x^2$ i el terme de grau u $5x$; com que, segons la identitat, apareix just el doble de '5', escriurem $(x+5/2)^2$, però cal, a més a més, compensar l'afegit del quadrat de 5/2 (que no figura a l'expressió original) restant precisament aquesta quantitat i, per acabar, afegir el terme independent (el '6') que és el valor que falta per acabar d'ajustar l'expressió. Finalment, operem i extraiem l'arrel quadrada per desfer el quadrat:
$x+5/2 = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$
és a dir, obtenim dos valors diferents
$x_1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
i
$x_2 = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
que fent les sumes
$x_1= -2$
i
$x_2 = -3$
Observacions i comentaris
Val a dir que alguns alumnes que entenen bé aquests passos s'estimen més prescindir de l'aplicació de la fórmula general que a continuació obtindrem i resoldre una equació completa de forma ràpida i segura (a efecte d'evitar errors de signes, sobre tot). A més, cas que l'equació plantejada no tingui solució, de seguida se'n adonen (trobant-se ràpidament amb una arrel quadrada d'argument negatiu). I si l'equació donada té un sol valor com a solució, encara es fa més ràpida la resolució, ja que ens estalviem els ajustos posteriors a la configuració del binomi al quadrat, quedant igualat aquest a zero.
Justificació de la fórmula general que dóna la solució d'una equació de 2n grau expressada en forma completa: $ax^2+bx+c=0$
Donada l'equació $ax^2+bx+c=0$, dividirem ambdós membres per a amb la finalitat de partir d'una forma equivalent que tingui coeficient del terme de 2n grau igual a $1$
$x^2 + \dfrac{b}{a}\,x + \dfrac{c}{a} = 0$
A partir, d'aquí, repetint els passos de l'exemple, trobem expressions equivalents fins poder aïllar la variable:
$(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4\,a^2} + \dfrac{c}{a}$
$(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$
reduïm a comú denominador el segon membre i trobem
$(x + b/(2a))^2 = \dfrac{b^2-4\,ac}{4\,a^2}$
extraiem l'arrel quadrada a tots dos costats de la igualtat per desfer el quadrat del primer membre i arribem a
$x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
I, tenint en compte, els dos possibles signes que aporta l'arrel quadrada,
$x =-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
i atès que el denominador és el mateix
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
Classificació de les equacions de 2n grau (donada l'expressió general(completa)) ax^2+bx+c=0
La classificació es fa segons el valor de $b^2-4\,ac$ (el radicand del radical que apareix a l'expressió de la solució general) que anomenarem discriminant i designarem amb la lletra $\Delta$. Observem que:
1. Si el discriminant $\Delta$ és negatiu, no podem trobar cap nombre real com a solució de l'equació
2. Si el discriminant $\Delta$ és positiu, trobarem dos valors diferents com a solució
Propietat 1.: Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució, llavors:
i) $r_{1}+r_{2}=-b$
ii) $r_{1} \cdot r_{2}=c$
Exemple: Els dos valors de la solució de $x^2+5x+6=0$ ( $b=5$ i $c=6$ ) són $-2$ i $-3$. Es pot comprovar fàcilment que:
i) $(-2)+(-3)=-5$, que és igual a $-b$
ii) $(-2) \cdot (-3)=6$, que és igual a $c$
3. Si el discriminant $\Delta$ és igual a zero trobarem un sol valor, que es repeteix dues vegades.
Propietat 2.: Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució de l'equació $a\,x^2+b\,x+c=0$, llavors el primer membre de l'equació ( és a dir, l'expressió $a\,x^2+b\,x+c$ ) es pot escriure en forma factoritzada:
$a\,(x-r_1)(x-r_2)$
Exemple: Els dos valors de la solució de $3\,x^2+2\,x-1=0$ són
-1 i 1/3
i es pot comprovar fàcilment que
$3\,x^2+2\,x-1$
es pot escriure de la forma
$3\,\big(x-(-1)\big)\big(x-\dfrac{1}{3}\big)$
[ per fer-ho, només cal que fem el producte dels dos binomis, agrupant els termes semblants, i multiplicant el resultat per $3$ ].
$\square$
jueves, 30 de abril de 2015
Ecuaciones polinómicas de segundo grado
domingo, 26 de abril de 2015
Resolver la ecuación
Enunciado:
Estudiar la ecuación
$x^2+1=-(2-x^2)$
Solución:
$x^2+1=-(2-x^2)$
$x^2+1=x^2-2$
i d'aquí
$x^2-x^2=-2-1$
llegando a una contradicción
$0 =-3$
con lo cual concluimos que la ecuación es incompatible (no tiene solución).
$\square$
Estudiar las ecuaciones ...
Enunciado:
Estudiar las siguientes ecuaciones según sus soluciones:
a) $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
b) $3-2\,x=2\,(1-x)+1$
c) $5\,x+6=x$
Solución:
a) $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
$3\,x+2=5-3+3\,x$
$3\,x-3\,x=5-3-2$
$0 \cdot x=0$
$0 =0 \rightarrow \text{ e. compatible indeterminada}$
( todos los números son solución )
b) $3-2\,x=2\,(1-x)-1$
$3-2\,x=2-2\,x-1$
$-2\,x+2\,x=2-1-3$
$0\cdot x =-2$
$0 = -2 \rightarrow \text{ e. incompatible}$
( por haber llegado a una contradicción )
c) $5\,x+6=x$
$5\,x-x=-6$
$4\,x=-6$
$x=\dfrac{-6}{4}$
$x=-\dfrac{3}{2} \rightarrow \text{ e. compatible determinada} ( la solución es única )$
$\square$
La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
La diagonal d'un rectangle mesura $10 \; \text{dm}$ i el perímetre val $28 \; \text{dm}$. Calculeu l'àrea del rectangle.
Solució:
Desginem per $x$ i $y$ les longituds dels costats desiguals del rectangle. Llavors, d'acord amb la informació de l'enunciat podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix}x+y=14 \\ \\x^2+y^2=10^2 \\ \end{matrix}\right\}$
on la primera expressa el valor del semiperímetre i la segona, pel teorema de Pitàgores, relaciona les longituds dels catets i la de la hipotenusa (la diagonal del rectangle configura un triangle rectangle). Aquest sistema d'equacions, malgrat no sigui lineal (la segona equació no l'és), el podem resoldre aïllant una de les incògnites de la primera equació i substituint l'expressió resultant (que depèn de l'altra incògnita) a la segona equació, obtenint així una equació de 2n grau, que ja sabem resoldre.
De la primera equació
$y=14-x$
i posant això a la segona
$x^2+(14-x)^2=10^2$
és a dir
$2\,x^2-28\,x+96=0$
dividint ambdós membres per $2$ podem escriure l'equació equivalent
$x^2-14\,x+48=0$
equació general completa que té com a solució els següents valors
$x=\dfrac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^2-4\cdot 1 \cdot (48)}}{2\cdot 1}$
$=\dfrac{14\pm \sqrt{4}}{2}$
$=\dfrac{14\pm 2}{2}=\left\{\begin{matrix}
8 & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
Per tant
si $x=6 \;\text{dm}$, llavors $y=8 \;\text{dm}$
o de forma equivalent
si $x=8 \;\text{dm}$, llavors $y=6 \;\text{dm}$
És a dir, la grandària del rectangle és de $8 \times 6$ ( $\text{dm}$ )
$\square$
sábado, 25 de abril de 2015
La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
La diagonal d'un rectangle fa deu centímetres. Trobeu-ne les dimensions sabent un dels costats fa dos centímetres menys que l'altre.
Solució:
La diagonal del rectangle el divideix en dos triangles rectangles iguals. Considerem un d'aquests triangles rectangles i anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per $x-2$. Els catets són, és clar, els costats desiguals del rectangle, i, la diagonal del rectangle és la hipotenusa del triangle rectangle, que mesura $10 \, \text{cm}$.
Llavors, pel teorema de Pitàgores podem plantejar
$x^2+(x-2)^2=10^2$
expandint el binomi al quadrat
$x^2+x^2-4\,x+4=100$
i agrupant els termes semblants al primer membre
$2\,x^2-4\,x-96=0$
que és una equació de segon grau completa
$a\,x^2+b\,x+c=0$
Dividint, ara, pel màxim comú múltiple dels tres coeficients, que és igual a $2$, obtenim una equació equivalent més senzilla
$x^2-2\,x-48=0$
de coeficients $a=1$, $b=-2$ i $c=48$
per tant la solució és
$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
i pels valors concrets dels coeficients que tenim
$x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}=\ldots =\left\{\begin{matrix}8\\ \\-7 \end{matrix}\right.$
El segon valor de la solució de l'equació no té sentit en el context del problema perquè, donat que estem cercant longituds, no és possible acceptar valors negatius; per tant, l'únic valor coherent amb el significat del problema és $x=8 \, \text{cm}$. I sí aquesta és la longitud del catet de major longitud, la del més petit ( dos centímetres més petit ) és igual a $6 \, \text{cm}$. Hem acabat.
$\square$
viernes, 24 de abril de 2015
Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.
Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
$h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
$1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
$2^2=n\,(n+m)$
és a dir
$4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
$4=n^2+1$
i d'aquí
$n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
$n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
$m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
$\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
$= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
$\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
$\approx 1 \,\text{cm}^2$
$\square$
Sea un triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
D'un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$, sabem que la longitud del catet $c$ és igual a $4\,\text{cm}$, i, que la projecció sobre la hipotenusa de l'altre catet, $a$, té una longitud de $3\, \text{cm}$. Calculeu-ne l'àrea.
Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
$h^2=3\,m \quad \quad (1)$
on $h$ és la longitud del segment $BP$ i $m$ és la projecció de l'altre catet ( de longitud $4 \, \text{cm}$ ) sobre la hipotenusa $b$ de $\triangle{ABC}$. Per altra banda, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$ podem escriure
$h^2+m^2=4^2 \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), i simplificant, arribem a
$m=\dfrac{4}{\sqrt{10}} \, \text{cm}$
i, posant aquest resultat a (1) i desfent el quadrat (extraient l'arrel quadrada), trobem
$h=\sqrt{3\cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}}} = \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}} \, \text{cm}$
Ara, doncs, ja podem calcular l'àrea:
$\mathcal{A}=\dfrac{(m+3)\,h}{2}$
$= \dfrac{1}{2}\,\bigg(\dfrac{4}{\sqrt{10}}+3\bigg)\cdot \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}}$
i, operant i simplificant, queda
$\mathcal{A}\approx 4\, \text{cm}^2$
Nota: prenem el resultat de les arrels quadrades en valor absolut
$\square$
Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.
Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
$\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
$\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
$s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
$s_2=s$
$s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
$x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
$\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
$\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
$s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
$\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$
jueves, 23 de abril de 2015
Aplicamos a un punto del plano dos traslaciones sucesivas ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Apliquem al punt del pla $P(2,-3)$ dues translacions successives, de vectors respectius $\vec{t}_1=(-3,7)$ i $\vec{t}_2=(5,-1)$. Calculeu les coordenades del punt imatge $P^{'}$.
Solució:
L'aplicació successiva de les dues translacions es pot expressar amb una sola, de vector de translació igual a la suma $\vec{t}=\vec{t}_1+\vec{t}_2$ que té les següents components $(-3,7)+(5,-1)=\big(-3+5,7+(-1)\big)=(2,6)$
Llavors, les coordenades del punt resultant de la translació es calculen fent la suma de vectors
$\vec{OP^{'}}=\vec{OP}+\vec{t}=(2,-3)+(2,6)=(2+2,-3+6)=(4,3)$
on
$\vec{OP}$ és el vector de posició del punt objecte $P$
$\vec{OP^{'}}$ és el vector de posició del punt imatge $P^{'}$
És a dir,
$P^{'}_x=4$
$P^{'}_y=3$
$\square$
Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.
Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.
Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
$h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$
Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
$2\,m= h^2$
és a dir
$2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
$2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
$b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$
Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
$=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
$\approx 5 \,\text{cm}^2$
Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
$\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$
Fet això, tenim que
$\mathcal{P}=a+b+c$
$=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
$=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
$\approx 11 \,\text{cm}$
$\square$
miércoles, 22 de abril de 2015
Un trapecio circular de radios ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un trapezi circular de radis $2\,\text{dm}$ i $3\,\text{dm}$ és abastat per un angle central de $36^{\circ}$. Calculeu l'àrea d'aquest sector circular.
Solució:
L'àrea de la corona circular completa és igual a la diferència de les àres dels cercles
$\mathcal{A}_{360^{\circ}}=\pi\,3^2-\pi\,2^2$
Plantejant, ara, la proporció directa entre àrea i amplitud angular
$\dfrac{\mathcal{A}_{36^{\circ}}}{36}=\dfrac{\mathcal{A}_{360^{\circ}}}{360}$
per tant
$\dfrac{\mathcal{A}_{36^{\circ}}}{36}=\dfrac{\pi\,3^2-\pi\,2^2}{360}$
$\mathcal{A}_{36^{\circ}}=\dfrac{36}{360}\cdot (\pi \,3^2-\pi\,2^2)$
$=\dfrac{1}{10}\cdot \pi (9-4)$
$=\dfrac{5}{10}\cdot \pi $
$=\dfrac{\pi}{2}\, \text{dm}^2$
$\square$
Una pecera tiene forma de paralelepípedo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Una peixera té forma de prisma recte, de base rectangular. Les longituds de les arestes mesuren $2\,\text{m}$, $3\,\text{m}$ i $4\,\text{m}$. Si un peix es mou en línia recta, quina és la màxima distància que es pot desplaçar sense canviar de direcció ni canviar de sentit ?.
Solució:
El camí que dóna la màxima distància és el de la diagonal del prisma $d$, i, tal i com és ben sabut, aplicant el teorema de Pitàgores dos cops, sobre els triangles rectangles que es configuren (dibuixeu vosaltres la figura), aquesta longitud és igual a $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} \, \text{m} \approx 5 \, \text{m} $
$\square$
Queremos repartir de forma directamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser directament proporcional a l'edat.
Solució:
Anomenem:
$p$ a la quantitat que li correspon al petit
$m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
$g$ a la quantitat que li correspon al gran
És evident que haurem de trobar que $p \le m \le g$. I s'haurà de complir que
$\dfrac{p}{4}=\dfrac{m}{5}=\dfrac{g}{6}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat directa, $k_d$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
$\dfrac{p+m+g}{4+5+6}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que ( operant i simplificant ) aquesta la constant de proporcionalitat directa, $k_d$, té el següent valor
$k_d=\dfrac{10}{3}$
Per tant,
$\dfrac{p}{4}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow p \approx 33,33 \,\text{euros}$
$\dfrac{m}{5}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow m \approx 16,67 \,\text{euros}$
$\dfrac{g}{6}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow p = 20 \,\text{euros}$
$\square$
Queremos repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser inversament proporcional a l'edat.
Solució:
Anomenem:
$p$ a la quantitat que li correspon al petit
$m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
$g$ a la quantitat que li correspon al gran
És evident que haurem de trobar que $p \ge m \ge g$. I s'haurà de complir que
$\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat inversa, $k_i$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
$\dfrac{\;p+m+g\;}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que aquesta la constant de proporcionalitat inversa ( operant i simplificant ) té el següent valor
$k_i=\dfrac{3000}{37}$
Per tant,
$\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow p \approx 20,27 \,\text{euros}$
$\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow m \approx 16,22 \,\text{euros}$
$\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow g \approx 13,51 \,\text{euros}$
$\square$
martes, 21 de abril de 2015
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \, \text{cm}$, i, la seva projecció sobre la hipotenusa, $2\,\text{cm}$. Dibuixeu un esquema del triangle i calculeu l'àrea i el perímetre.
Solució:
Àrea:
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,h\,(2+m) \quad \quad (1)$
Perímetre:
$\mathcal{P}=3+(2+m)+b \quad \quad (2)$
Cal, doncs, calcular $h$, $m$ i $b$:
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
$h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h = \sqrt{5} \, \text{cm}$
Aplicant el teorema de l'altura al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
$5=2\,m \Rightarrow m=\dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
per tant, la hipotenusa d'aquest triangle té una longitud de
$\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$
Calcularem $b$ aplicant el teorema del catet al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
&bnsp $b^2=\dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{5}{2} \Rightarrow b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}\,\text{cm}$
I, finalment
de (1):
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2} \,\sqrt{5} $
$=\dfrac{9}{4}\,\sqrt{5} \,\text{cm}^2 $
$\approx 5 \,\text{cm}^2 $
de (2):
$\mathcal{P}=3+\dfrac{9}{2}+\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}$
$=\dfrac{15}{2}+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} $
$=\dfrac{3}{2}\,\big(5+ \sqrt{5}\big) \, \text{cm} $
$\approx 11 \,\text{cm}$
$\square$
Un cono tiene una altura de ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un con té una altura igual a $4\, \text{m}$, i, el radi de la base mesura $2\, \text{m}$. Calculeu l'angle que abasta el sector circular corresponent a la superfície lateral del desenvolupament pla. Calculeu també l'àrea de la superfície lateral del con.
Solució:
Per calcular l'angle $\alpha$ del sector circular (que és l'àrea lateral del desenvolupament pla), que te radi igual a la generatriu del con, cal plantejar una proporció directa entre l'amplitud angular i la longitud de l'arc:
$\dfrac{\alpha}{2\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\pi\,g} \Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ} \quad \quad (1)$
Caldrà, doncs, calcular la longitud de la generatriu, $g$, que, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que es configura en tallar el con per un pla diametral, s'escriu
$g^2=r^2+h^2$ ( $h$ és l'altura del con )
és a dir
$g^2=2^2+4^2 \Rightarrow g=2\,\sqrt{5}$
Llavors, de (1)
$\alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ}$
$ = \dfrac{2}{2\,\sqrt{5}}\,360^{\circ}\approx 80^{\circ}$
Per calcular l'àrea de la superfície lateral del con ( del sector circular de la figura ) tornarem a fer ús de la relació de proporcionalitat directa entre la longitud d'arc i l'àrea:
$\dfrac{\mathcal{A}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g} \Rightarrow \mathcal{A}=\pi\,r\,g$
I, donades les dades del problema, el seu valor és
$\mathcal{A}=\pi \, 2 \cdot 2\,\sqrt{5}$
$=4\,\sqrt{5}\,\pi \, \text{m}^2$
$\approx 29\, \text{m}^2$
$\square$
Consideremos dos polígonos semejantes tal que la razón de sus perímetros es $3$ ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dos polígons semblants. La raó dels seus perímetres és igual a $3$. L'àrea del més petit és igual a $5\,\text{m}^2$. Quant val l'àrea del més gran ?.
Enunciat:
Si la raó dels seus perímetres és $3$, la raó de semblança, $r$, és també igual a $3$; per tant, la raó aritmètica entre les àrees és igual a $r^2$, que és $3^2=9$.
És a dir, de
$\dfrac{\mathcal{A}_{gran}}{\mathcal{A}_{petit}}=r^2$
obtenim
$\mathcal{A}_{gran}=3^2\cdot 5$
$=45 \, \text{m}^2$
$\square$
Sean dos esferas; el radio de la primera es el triple que el de la segunda ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dues esferes $E_1$ i $E_2$. El radi $r_1$ de la primera és tres vegades més gran que el radi $r_2$ de la segona. Quantes vegades és més gran el volum de le primera que el de la segona ? Quantes vegades és més gran l'àrea de la superfície de la primera que la de la segona ?.
Solució:
El volum d'una esfera de radi $r$ es calcula de la següent manera
$\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$
i l'àrea de la superfície d'una esfera es calcula fent
$\mathcal{A}=4\pi\,r^2$
Tenint en compte que
$\dfrac{r_1}{r_2}=3$
veiem que la raó aritmètica entre els volums és igual a ( simplificant les expressions )
$\dfrac{\mathcal{V}_1}{\mathcal{V}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^3=3^3=27$
és a dir, el volum de la primera esfera és $27$ vegades més gran que el de la segona.
I, pel que fa a la raó aritmètica entre les àrees,
$\dfrac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^2=3^2=9$
per tant, veiem que l'àrea de la primera esfera és $9$ vegades més gran que el de la segona.
$\square$
Un ciclista ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Observem un ciclista en una bicicleta de muntanya ( el diàmetre de les rodes és de $26 \,\text{polzades}$ - encara avui és habitual fer servir les imperial units quan parlem del diàmetre de les rodes de les bicicletes - , és a dir, $660\,\text{mm}$ en el sistema mètric ) i veiem que fa $1$ pedalada cada segon, en un terreny horitzontal ( sense pujades ni baixades ), sempre al mateix ritme i, per tant, a velocitat constant. Sabem que al canvi de la seva bicicleta, el ciclista ha seleccionat un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents [ com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere ]. Us demanem:
a) A quina velocitat es desplaça aquest ciclista ?
b) Quant de temps li caldrà per completar un recorregut de $15\,\text{km}$ pel mateix tipus de terreny ( sense pujades ni baixades, mantenint el ritme de les pedalades ) ?.
Solució:
a)
[a.1] Primer de tot, calcularem la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i, tal com s'ha explicat en d'altres problemes, les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra perquè la velocitat de gir d'una de les les dues rodes engranades per la cadena és tan més gran com més petit és el seu nombre de dents. Designem per $w_p$ la velocitat de gir del plat i per $w_c$ la velocitat de gir de la corona, i, anomenem $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona. Llavors, per la relació de proporcionalitat inversa podem platejar
$\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
$w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
$52 \cdot 1 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
$w_c= \dfrac{52 \cdot 1}{13} $
$= 4 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$
[a.2] A continuació, sabent quant val la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i coneixent també la mesura del diàmetre de les rodes, podem calcular la velocitat a la qual es desplaça: la velocitat lineal d'un punt de la circumferència d'una roda ha de ser igual a la velocitat de translació de la bicicleta, atès que, en bona lògica, suposem que el desplaçament es produeix sense que hi hagi lliscament.
Com que la longitud de la circumferència del contorn de la roda és igual a $\pi\cdot d$ ( on $d$ representa el diàmetre de la roda ), raonem de la manera següent: donat que en $1\,\text{s}$ les rodes completen $4$ voltes, i, per cada volta, la bicicleta es desplaça una longitud igual a
$\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
llavors, fent $4$ voltes de roda en aquest interval de temps, la bicicleta recorre
$4\,\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
que, donada la dada del diàmetre, és igual aproximadament a
$8\,294 \quad \text{mm}=8,294 \quad \text{m} \approx 8,294 \quad \text{km} $
és a dir, es desplaça a una velocitat de
$8,294 \; \dfrac{\text{km}}{s}$
que, expressada en quilòmetres per hora, és aproximadament igual a
$30 \; \dfrac{\text{km}}{h}$
b)
Sabent a quina velocitat es mou podem calcular, ara, el temps $t$ que tardarà a recórrer una longitud de $30\,\text{km}$; per això, plantejarem una senzill proporció que, ara, és directa ( entre les magnituds temps i longitud ) atès que quan el valor d'una d'aquestes augmenta ( disminueix, respectivament ) l'altra també augmenta ( disminueix, respectivament), és a dir, prenent el valor aproximat de la velocitat expressada en quilòmetres per hora, que hem calculat a l'apartat anterior, escriurem la següent proporció, que, donat que és directa hem decidit posar els valors de la longitud als denominadors i les quantitats de temps als numeradors ( d'un i altre membre)
$\dfrac{1}{30}=\dfrac{t}{15} \Rightarrow t = 0,5 \, \text{h}=30 \, \text{min}$
Nota: Observem que l'equació expressa la igualtat entre les dues raons aritmètiques ( de cada membre ), que representen les velocitats i que, naturalment, han de ser iguals.
$\square$
Interés simple y compuesto ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu el capital inicial $C_0$ i els interessos que dóna $I$ sabent que, aquest capital inicial invertit a una taxa d'interès anual $i$ del $5\,\%$, produeix en $4$ anys un capital final $C_n$ de $1\,500 \; \text{euros}$, tenint en compte que els càlculs es fan d'acord amb els següents models:
a) interès simple
b) interès compost
Solució:
a)
Segons el model d'interès simple,
$C_n=C_{0}\,n\,i+C_0$
expressió que també es posar així
$C_n=C_{0}\big(\,n\,i+1\big)$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
$1500=C_{0}\big(4\cdot 0,05+1\big)$
i resolent l'equació
$C_0=\dfrac{1500}{1,2} = 1250 \,\text{euros}$
Per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
$I=C_n-C_0$
$=1500-1250$
$=250 \, \text{euros}$
b)
Segons el model d'interès compost,
$C_n=C_{0}\,(1+i)^n$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
$1500=C_{0}\big(1+0,05\big)^4$
i resolent l'equació
$C_0 = \dfrac{1500}{1,05^4} \approx 1234,05 \,\text{euros}$
De la mateixa manera que en l'apartat anterior, per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
$I=C_n-C_0$
$=1500-1234,05$
$=265,95 \, \text{euros}$
$\square$