domingo, 19 de noviembre de 2017
lunes, 16 de octubre de 2017
Adecuación del resultado final de un cálculo al número de cifras significativas que le corresponde, atendiendo a la precisión de los datos
ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ y del área $\bar{A}$ que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema.
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
miércoles, 28 de junio de 2017
Exámenes realizados durante el curso, resueltos y comentados
Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].
lunes, 26 de junio de 2017
Cálculo de la capacidad de un depósito en forma de tronco de cono
ENUNCIADO. Calcular la capacidad ( en litros ) de un depósito que tiene forma de tronco de cono. Sabiendo que el radio de la base mayor es de $3$ metros; el radio de la base menor es de $2$ metros, y la distancia perpendicular entre ambas bases de de $1$ metro.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo
ENUNCIADO. Considerar el siguiente triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $3$ decímetros y uno de los segmentos en que ésta queda dividida al trazar la altura (que pasa por el vértice opuesto a la misma) tiene una longitud de $1$ decímetro. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
Error absoluto y error relativo en una aproximación dada
ENUNCIADO. Se ha aproximado el número $4235$ por $4200$. Se pide:
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método gráfico
ENUNCIADO. Resolver de forma gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&=&1 \\ x&+&y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
Resolviendo un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y comprobar el resultados obtenido: $$\left\{\begin{matrix}2\,x&-&5\,y&=&3 \\ 3\,x&+&2\,y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
Un ejercicio de estadística básica
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
domingo, 18 de junio de 2017
Homotecias en el plano. El pantógrafo.
El pantógrafo es un mecanismo articulado que sirve para copiar la forma de un objeto, aumentando o disminuyendo su tamaño. El siguiente vídeo muestra la realización de un pantógrafo con GeoGebra. Para experimentar con la construcción del pantógrafo, podéis seguir [ este enlace ]:
domingo, 11 de junio de 2017
Un ejercicio de estadística descriptivo de una variable con valores no agrupados en intervalos
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
X f F
--- --- ---
1 2 2
2 10 12
3 20 32
4 12 44
5 1 45
---
N=45
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
domingo, 4 de junio de 2017
Estadística descriptiva. Histogramas con intervalos de distinta amplitud
ENUNCIADO. En la recogida de datos de un estudio estadístico de una cierta característica ( variable ) $X$, agrupando los valores en intervalos se ha obtenido lo siguiente:
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
$\square$
intervalo frecuencia --------- ---------- [10,30) 10 [30,40) 20 [40,45) 15 [45,60) 30 [60,70) 8
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
intervalo amplitud frecuencia altura --------- ---------- ---------- -------------- [10,30) 20 10 10/(20·0,5)=1 [30,40) 10 20 20/(10·0,5)=4 [40,45) 5 15 15/(5·0,5)=6 [45,60) 15 30 30/(15·0,5)=4 [60,70) 10 8 8/(10·0,5)=1,6
$\square$
lunes, 29 de mayo de 2017
Averiguando si un cierto valor de una variable estadística es atípico
ENUNCIADO. Hemos hecho un estudio estadístico de una cierta característica ( variable estadística ), obteniendo los siguientes valores para los cuartiles primero, segundo y tercero: $Q_1=12$, $Q_2=M=13$ y $Q_3=16$. Decir razonadamente si algunos de los datos (de dicha variable estadística) que damos a continuación pueden ser considerados atípicos: $5, 12, 23, 3, 15$
SOLUCIÓN. Decimos que un cierto valor $k$ de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ).
En nuestro caso, $\text{RIQ}=\left|16-12\right|=4$; entonces $I=(12-1,5\cdot 4\,,\, 16+1,5 \cdot 4 )= ( 6\,,\, 22)$. Vemos pues que $3$, $5$ y $23$ no pertenecen a dicho intervalo, luego debemos considerar dichos valores como atípicos, a diferencia de $12$ y $15$ que sí están en ese intervalo.
A continuación, se representa del digrama de caja y bigotes ( o diagrama de Tukey ) en el que se muestran los valores atípicos con un símbolo de rombo ( suele emplearse también un asterisco ):
$\square$
SOLUCIÓN. Decimos que un cierto valor $k$ de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ).
En nuestro caso, $\text{RIQ}=\left|16-12\right|=4$; entonces $I=(12-1,5\cdot 4\,,\, 16+1,5 \cdot 4 )= ( 6\,,\, 22)$. Vemos pues que $3$, $5$ y $23$ no pertenecen a dicho intervalo, luego debemos considerar dichos valores como atípicos, a diferencia de $12$ y $15$ que sí están en ese intervalo.
A continuación, se representa del digrama de caja y bigotes ( o diagrama de Tukey ) en el que se muestran los valores atípicos con un símbolo de rombo ( suele emplearse también un asterisco ):
$\square$
jueves, 11 de mayo de 2017
Funciones cuadráticas. Parábolas
ENUNCIADO. Sea la función cuadrática $f(x)=x^2+2x-3$, cuya gráfica es una parábola. Se pide:
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?
SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$
b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$
c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$
$\square$
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?
SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$
b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$
c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$
$\square$
miércoles, 10 de mayo de 2017
Rectas en el plano
ENUNCIADO. Dada la recta cuya ecuación en forma general es $$r:2\,x+3\,y+1=0$$ Se pide:
a) La gráfica de dicha función en un diagrama cartesiano
b) Escribir la ecuación de dicha recta en forma explícita
c) ¿ Cuál es el valor de la pendiente de esa recta ?
d) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
SOLUCIÓN.
a) La gráfica de dicha función en un diagrama cartesiano
b) Escribir la ecuación de dicha recta en forma explícita
c) ¿ Cuál es el valor de la pendiente de esa recta ?
d) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
SOLUCIÓN.
Dominio de definición y conjunto imagen de una función. Ejemplo.
ENUNCIADO. Determínese el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$, definida de $\mathbb{R}$ ( conjunto de partida ) en $\mathbb{R}$ ( conjunto de llegada ).
SOLUCIÓN. Los números negativos no tienen raíz cuadrada definida, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Por otra parte el valor absoluto $\left|\,\sqrt{.}\,\right|$ no permite números negativos como valores de función, luego $\text{Im}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. $\square$
SOLUCIÓN. Los números negativos no tienen raíz cuadrada definida, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Por otra parte el valor absoluto $\left|\,\sqrt{.}\,\right|$ no permite números negativos como valores de función, luego $\text{Im}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. $\square$
martes, 9 de mayo de 2017
Puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas
ENUNCIADO. Hállense las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de coordenadas cartesianas de las gráficas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=4\,x+5$
b) $g(x)=x^2-x-2$
c) $h(x)=\dfrac{2\,x+3}{x}$
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=4\,x+5$
b) $g(x)=x^2-x-2$
c) $h(x)=\dfrac{2\,x+3}{x}$
SOLUCIÓN.
Curvas que no corresponden a funciones
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a la unidad. ¿ Puede decirse que dicha gráfica corresponde a una función ? Razonar la respuesta de acuerdo con la definición de función.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Funciones periódicas
ENUNCIADO. Esbozar la gráfica de una función periódica que tenga período igual a $2$
SOLUCIÓN.
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es periódica si existe un número real $T$ ( período de $f$ ) tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo $x$ del dominio de definición de la función.
Ejemplo:
SOLUCIÓN.
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es periódica si existe un número real $T$ ( período de $f$ ) tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo $x$ del dominio de definición de la función.
Ejemplo:
Dibujar la gráfica de la función lineal afín a partir de la raíz y de la ordenada en el origen
ENUNCIADO. Dibújese la gráfica de la función lineal afín tal que $3$ sea raíz de dicha función y que la ordenada en el origen tenga el valor $4$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Estudio de la incidencia de rectas en el plano
ENUNCIADO. Sea el siguiente par de rectas:
$r:\,y=x-1$
$s:y=-x+1$
Teniendo en cuenta el valore de la pendiente y el de la ordenada en el origen de cada una de las rectas, estúdiese la incidencia de las mismas. Si procediese, calcúlense las coordenadas del punto de intersección de las mismas.
SOLUCIÓN. Las pendientes son $m_r=1$ y $m_s=-1$; como $m_r \neq m_s$, las rectas no son paralelas, luego son secantes, luego se intersecan en un punto del plano $I$.
Vamos a calcular ahora las coordenadas del punto de intersección; para ello, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación ( equivalente a cualquiera de las dos ) $2\,y=0$ y por tanto $y_I=0$. Sustituyendo ahora en una de las dos ecuaciones originales, pongamos que en la primera, encontramos $0=x-1$, cuya solución es $x=1$, esto es, $x_I=1$. Por consiguiente, el punto de intersección de las dos rectas es $I(1,0)$. $\square$
$r:\,y=x-1$
$s:y=-x+1$
Teniendo en cuenta el valore de la pendiente y el de la ordenada en el origen de cada una de las rectas, estúdiese la incidencia de las mismas. Si procediese, calcúlense las coordenadas del punto de intersección de las mismas.
SOLUCIÓN. Las pendientes son $m_r=1$ y $m_s=-1$; como $m_r \neq m_s$, las rectas no son paralelas, luego son secantes, luego se intersecan en un punto del plano $I$.
Vamos a calcular ahora las coordenadas del punto de intersección; para ello, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación ( equivalente a cualquiera de las dos ) $2\,y=0$ y por tanto $y_I=0$. Sustituyendo ahora en una de las dos ecuaciones originales, pongamos que en la primera, encontramos $0=x-1$, cuya solución es $x=1$, esto es, $x_I=1$. Por consiguiente, el punto de intersección de las dos rectas es $I(1,0)$. $\square$
Puntos de la gráfica de una función
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=6\,x+7$. Averíguese si los siguientes puntos están en la gráfica de dicha función: $A(\frac{1}{2},10)$, $B(-2,-4)$, $C(-\frac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
SOLUCIÓN.
$f(x_A)=f(\frac{1}{2})=6 \cdot \dfrac{1}{2}+7=3+7=10=y_A$, luego $A$ está en la gráfica de $f$
$f(x_B)=f(-2)=6 \cdot (-2)+7=-12+7=-5\neq -4=y_B$, luego $B$ no está en la gráfica de $f$
$f(x_C)=f(-\frac{1}{3})=6 \cdot (-\dfrac{1}{3})+7=-2+7= 5\neq \dfrac{1}{2}=y_C$, luego $C$ no está en la gráfica de $f$
$\square$
SOLUCIÓN.
$f(x_A)=f(\frac{1}{2})=6 \cdot \dfrac{1}{2}+7=3+7=10=y_A$, luego $A$ está en la gráfica de $f$
$f(x_B)=f(-2)=6 \cdot (-2)+7=-12+7=-5\neq -4=y_B$, luego $B$ no está en la gráfica de $f$
$f(x_C)=f(-\frac{1}{3})=6 \cdot (-\dfrac{1}{3})+7=-2+7= 5\neq \dfrac{1}{2}=y_C$, luego $C$ no está en la gráfica de $f$
$\square$
Funciones pares, impares y ni de un tipo ni del otro
ENUNCIADO. Averiguar si las siguientes funciones son pares o impares:
a) $f(x)=x^3+x$
b) $g(x)=x^4+1$
c) $h(x)=x^2+x$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función es par si $\ell(x)=\ell(-x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del eje de ordenadas ); y se dice impar si $\ell(-x)=-\ell(x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del origen de coordenadas ). Desde luego, hay funciones que no son pares ni impares. Veamos qué sucede con las funciones propuestas.
a)
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$, luego $f$ es impar
b)
$g(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=g(x)$, luego $g$ es par
c)
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq f(x)$, luego $f$ no es par
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq -f(x)$, luego $f$ no es impar
$\square$
a) $f(x)=x^3+x$
b) $g(x)=x^4+1$
c) $h(x)=x^2+x$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función es par si $\ell(x)=\ell(-x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del eje de ordenadas ); y se dice impar si $\ell(-x)=-\ell(x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del origen de coordenadas ). Desde luego, hay funciones que no son pares ni impares. Veamos qué sucede con las funciones propuestas.
a)
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$, luego $f$ es impar
b)
$g(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=g(x)$, luego $g$ es par
c)
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq f(x)$, luego $f$ no es par
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq -f(x)$, luego $f$ no es impar
$\square$
jueves, 4 de mayo de 2017
miércoles, 26 de abril de 2017
Cálculo de diversas magnitudes en un triángulo rectángulo, empleando los siguientes teoremas: de Pitágoras, de la altura, y del cateto
ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $1$ y $2$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
Cálculo de la diferencia horaria entre dos puntos de la superficie de la Tierra de distinta longitud
ENUNCIADO. En un punto $A$ de la superficie de la Tierra cuya coordenada de longitud es $3^{\circ}\, 40^{'}\,\text{W}$ son las $09:25$ horas. ¿ Qué hora es ( en ese mismo instante ) en otro punto $B$ de longitud $21^{\circ}\, 26^{'}\,\text{E}$ ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Volumen y área del desarrollo plano de un cono. Trazado del desarrollo plano de un cono.
ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $3$ decímetros, y generatriz igual a $5$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
d) El área total del desarrollo plano de dicho cono
e) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
ENUNCIADO.
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
d) El área total del desarrollo plano de dicho cono
e) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
ENUNCIADO.
lunes, 24 de abril de 2017
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIDO. El valor del primer término de una sucesión aritmética es $3$ y el valor del cuarto término es $-6$. Se pide:
a) El valor del décimo término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) El valor del décimo término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
Un ejercicio sobre sucesiones geométricas
ENUNCIADO.
El valor del tercer término de una sucesión geométrica es $8$ y el del quinto término es $32$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN.
El valor del tercer término de una sucesión geométrica es $8$ y el del quinto término es $32$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN.
jueves, 23 de marzo de 2017
martes, 21 de marzo de 2017
Conos. Relaciones métricas.
ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $6$ decímetros, y generatriz igual a $10$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
Calculo de la diferencia horaria entre dos puntos de la Tierra de diferente longitud
ENUNCIADO. En un punto $A$ de la superficie de la Tierra de longitud $20^{\circ}\, 10^{'}\,\text{E}$ son las $11:15$ horas. ¿ Qué hora es ( en ese mismo instante ) en otro punto $B$ cuya longitud es $10^{\circ}\, 40^{'}\,\text{W}$ ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Triángulos rectángulos. Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto
ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
lunes, 20 de marzo de 2017
Cálculos en un prisma recto de base rectangular
ENUNCIADO. Considérese un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas de distinta longitud miden $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
Cálculo del volumen de un tronco de cono
ENUNCIADO. Considérese un depósito que tiene forma de tronco de cono, con los siguientes datos: radio de la base mayor ( circular ) igual a $2$ metros; radio de la base menor ( circular ) igual a $1$ metro, y distancia perpendicular entre las bases igual a $1$ metro. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
lunes, 6 de marzo de 2017
domingo, 5 de marzo de 2017
sábado, 4 de febrero de 2017
Una sencilla aplicación de las sucesiones aritméticas al problema del interés simple
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés simple durante $10$ años, con una tasa de interés anual del $1\,\%$. Se pide:
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
Un sencillo ejercicio sobre el problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés compuesto durante $5$ años, con una tasa de interés anual del $2\,\%$. Se pide:
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. El segundo término de una sucesión aritmética es $3$ y el cuarto término es $4$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
viernes, 3 de febrero de 2017
Un ejercicio con sucesiones geométricas
ENUNCIADO. El tercer término de una sucesión geométrica es $\dfrac{1}{2}$ y el quinto término es $\dfrac{1}{8}$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
Escribiendo términos consecutivos
ENUNCIADO. Escríbanse dos términos más de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
martes, 31 de enero de 2017
Un ejercicio sobre sucesiones geométricas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión geométrica se sabe que el valor del primer término es $\dfrac{1}{4}$ y el del quinto es $4$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
-oOo- Aquí tenéis también el texto de la solución:
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
Un ejercicio sobre sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión aritmética se sabe que el valor del primer término es $-1$ y el del séptimo es $1$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
lunes, 30 de enero de 2017
Rebotes
ENUNCIADO. Una pelota se deja caer, en vertical, desde $30$ metros de altura. Así que va rebotando en el suelo, subiendo y bajando, de manera que tras cada rebote ( en el suelo ) alcanza una altura igual a $4/5$ de la altura desde la que ha caído en la etapa anterior. Se pide:
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
lunes, 16 de enero de 2017
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
Comparando aproximaciones de varias cantidades según sus respectivas precisiones
ENUNCIADO. Se aproxima el número $16\,358$ por $16\,000$; y el número $1\,210$ por el número $1\,000$. Calcular el error absoluto y el error relativo de ambas aproximaciones. Decir razonadamente cuál de las dos aproximaciones es más precisa.
SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
$\square$
SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
$\square$
Resolviendo ecuaciones polinómicas
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que
$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$
b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:
$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir
$6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$
$3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$
$6-3\,x-2\,x -10=3-x$
$6-10-3=3\,x+2\,x-x$
$-7=4\,x$
$x=-\dfrac{7}{4}$
$\square$
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que
$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$
b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:
$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir
$6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$
$3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$
$6-3\,x-2\,x -10=3-x$
$6-10-3=3\,x+2\,x-x$
$-7=4\,x$
$x=-\dfrac{7}{4}$
$\square$
¿ Es o no es una raíz ?
ENUNCIADO. Averiguar si $x=-1$ es una raíz del polinomio $$P(x)=x^5+3x^4+4\,x^3+4\,x^2+3\,x+1$$
SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
$=-1+3-4+4-3+1$
$=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
$=-1+3-4+4-3+1$
$=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$
Resolviendo problemas mediante el álgebra
Plantear algebraicamente el siguiente problema y resolver el sistema de ecuaciones resultante:
ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?
Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
$\square$
ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?
Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
$\square$
Fracciones
ENUNCIADO. En la primera etapa de una excursión, Marta ha recorrido dos terceras partes del trayecto y en la segunda etapa una cuarta parte del resto. Para terminar la excursión aún le faltan $5$ kilómetros. ¿ Cuál es la longitud total del trayecto ?.
SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$
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