ENUNCIADO. [Ejercicio 7 de la página 237]
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
viernes, 17 de abril de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Cálculo de áreas y volúmenes. Pirámide recta de base cuadrada.
INDICACIÓN. Leed las páginas 234, 235, 236 y 237 de la Unidad 12 del libro base
ENUNCIADO. [Ejercicio 7 de la página 237]
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
ENUNCIADO. [Ejercicio 7 de la página 237]
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
martes, 14 de abril de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Composición de movimientos en el plano. Caso de la composición de dos reflexiones de ejes paralelos
ENUNCIADO. Si aplicas al punto $P(2,-6)$ una reflexión con respecto de una recta $r$ que pasa por los puntos $A(1,2)$ y $B(1,5)$; y, a continuación, a la imagen resultante, $P'$, le aplicas otra reflexión, pero esta vez, con respecto de la recta $s$ que pasa por los puntos $C(4,-2)$ y $D(4,6)$, se pide:
a) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto $P''$ que se obtiene ? ¿ A qué otro movimiento directo equivale la composición de las dos reflexiones ?
b) Halla las coordenadas del vector de traslación mediante el cual puede trasladarse el punto $P$ al punto $P''$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto $P''$ que se obtiene ? ¿ A qué otro movimiento directo equivale la composición de las dos reflexiones ?
b) Halla las coordenadas del vector de traslación mediante el cual puede trasladarse el punto $P$ al punto $P''$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Traslaciones. Vector de traslación.
ENUNCIADO. Se aplica al punto $A(4,-6)$ una traslación de vector (de traslación) $\vec{u}=(-3,2)$. Calcula las coordenadas del punto imagen ( resultante de la traslación ).
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se trata de encontrar las coordenadas del punto $A'$, $x_A'$ e $y_A'$, resultado de aplicar al punto $A(4,-6)$ la traslación representada por el vector $\vec{u}$. Sabemos que
$$x_A'=x_A+x_t$$
$$y_A'=y_A+y_t$$
con lo cual
$$x_A'=4+(-3)=1$$
$$y_A'=-6+2=-4$$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se trata de encontrar las coordenadas del punto $A'$, $x_A'$ e $y_A'$, resultado de aplicar al punto $A(4,-6)$ la traslación representada por el vector $\vec{u}$. Sabemos que
$$x_A'=x_A+x_t$$
$$y_A'=y_A+y_t$$
con lo cual
$$x_A'=4+(-3)=1$$
$$y_A'=-6+2=-4$$
domingo, 5 de abril de 2020
viernes, 3 de abril de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril - Movimientos en el plano. Simetría axial. Composición de simetrías axiales de ejes paralelos.
ENUNCIADO: el del ejercicio 17 de la página 221
INDICACIÓN. Lee las páginas 220 y 221 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
COMENTARIO. Como se hace evidente en el ejercicio, la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos equivale a una traslación
INDICACIÓN. Lee las páginas 220 y 221 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
COMENTARIO. Como se hace evidente en el ejercicio, la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos equivale a una traslación
Ejercicio 5 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril - Movimientos en el plano. Simetría axial. Cambio de quiralidad
ENUNCIADO: el del ejercicio 15 de la página 221
INDICACIÓN. Lee las páginas 220 y 221 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
INDICACIÓN. Lee las páginas 220 y 221 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
miércoles, 1 de abril de 2020
Ejercicio 4 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril - Movimientos en el plano. Simetría central
Ejercicio 9 (ligeramente modificado) de la página 219 del libro base
ENUNCIADO. Aplica al cuadrado de la figura una simetría central ( puntual ) de centro el punto O
INDICACIÓN. Lee las páginas 218 y 219 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Aplica al cuadrado de la figura una simetría central ( puntual ) de centro el punto O
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril - Movimientos en el plano. Giros
Ejercicio 7 (ligeramente modificado) de la página 219 del libro base
ENUNCIADO. Aplica al rombo de la figura un giro en el sentido de las agujas del reloj de 90º de amplitud angular, con respecto del punto O.
INDICACIÓN. Lee las páginas 218 y 219 de la Unidad 11 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
CORRECCIÓN DE ERROR DE DICCIÓN. Al final del vídeo, llamo por error "triángulo" al rombo. Es evidente que, por las pegas del directo, este tipo de errores a veces ocurren. Disculpas.
ENUNCIADO. Aplica al rombo de la figura un giro en el sentido de las agujas del reloj de 90º de amplitud angular, con respecto del punto O.
INDICACIÓN. Lee las páginas 218 y 219 de la Unidad 11 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
CORRECCIÓN DE ERROR DE DICCIÓN. Al final del vídeo, llamo por error "triángulo" al rombo. Es evidente que, por las pegas del directo, este tipo de errores a veces ocurren. Disculpas.
martes, 31 de marzo de 2020
lunes, 30 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Movimientos en el plano. Traslaciones. Vectors de traslación
Ejercicio 5 de la página 217, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Calcula las coordenadas del vector de traslación que transforma el trapecio $ABCD$, de vértices $A(1,5)$,$B(8,5)$,$C(4,10)$ y $D(1,10)$, en el trapecio $A'B'C'D'$, de vértices
$A'(12,1)$,$B'(19,1)$,$C'(15,6)$ y $D'(12,6)$
INDICACIÓN. Lee las páginas 216 y 217, Unidad 11, del libro base
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en el tamaño natural )
COMENTARIO. El gráfico es esquemático, hecho a mano alzada, porque lo interesante del ejercicio es obtener las coordenadas del vector de traslación y relacionarlas con las diferencias de las primeras coordenadas/respectivamente segundas coordenadas.
ENUNCIADO. Calcula las coordenadas del vector de traslación que transforma el trapecio $ABCD$, de vértices $A(1,5)$,$B(8,5)$,$C(4,10)$ y $D(1,10)$, en el trapecio $A'B'C'D'$, de vértices
$A'(12,1)$,$B'(19,1)$,$C'(15,6)$ y $D'(12,6)$
INDICACIÓN. Lee las páginas 216 y 217, Unidad 11, del libro base
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en el tamaño natural )
COMENTARIO. El gráfico es esquemático, hecho a mano alzada, porque lo interesante del ejercicio es obtener las coordenadas del vector de traslación y relacionarlas con las diferencias de las primeras coordenadas/respectivamente segundas coordenadas.
Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Movimientos en el plano. Traslaciones. Vectores de traslación
Ejercicio 1 de la página 217, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa en ellos los siguientes vectores de forma que el origen de cada vector sea el origen de coordenadas:
a) $\vec{u}=(5,4)$
b) $\vec{v}=(-3,6)$
c) $\vec{w}=(0,-5)$
d) $\vec{x}=(-2,-3)$
INDICACIÓN. Lee las páginas 216 y 217, Unidad 11, del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
COMENTARIO. El gráfico es esquemático, realizado a mano alzada, pues lo que interesa aquí es poner de manifiesto el valor de las coordenadas de los vectores
ENUNCIADO. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa en ellos los siguientes vectores de forma que el origen de cada vector sea el origen de coordenadas:
a) $\vec{u}=(5,4)$
b) $\vec{v}=(-3,6)$
c) $\vec{w}=(0,-5)$
d) $\vec{x}=(-2,-3)$
INDICACIÓN. Lee las páginas 216 y 217, Unidad 11, del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
COMENTARIO. El gráfico es esquemático, realizado a mano alzada, pues lo que interesa aquí es poner de manifiesto el valor de las coordenadas de los vectores
jueves, 26 de marzo de 2020
Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - área de un rombo
Ejercicio número 21 de la página 203
ENUNCIADO. Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 y 10 centímetros, respectivamente.
INDICACIÓN. Lee las páginas 202 y 203 del libro base.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 y 10 centímetros, respectivamente.
INDICACIÓN. Lee las páginas 202 y 203 del libro base.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Área de un romboide
Ejercicio número 22 de la página 203
ENUNCIADO. Calcula el área de un romboide cuya base mide 12 metros y su altura 5 metros.
INDICACIÓN. Lee las páginas 202 y 203 del libro base.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula el área de un romboide cuya base mide 12 metros y su altura 5 metros.
INDICACIÓN. Lee las páginas 202 y 203 del libro base.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
lunes, 23 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - área latera de un tronco de cono
ENUNCIADO. Calcula el área lateral de un tronco de cono. La altura del mismo es de 1 metro, y los radios de las bases son de 60 centímetros y 40 centímetros, respectivamente.
INDICACIÓN. Imagina un cono completo y córtalo por un plano paralelo a una de las bases, obtendrás el tronco de cono. Piensa ahora en el desarrollo plano del cono completo; al área lateral de éste, réstale el área lateral del desarrollo plano del cono que cortas del cono completo.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
INDICACIÓN. Imagina un cono completo y córtalo por un plano paralelo a una de las bases, obtendrás el tronco de cono. Piensa ahora en el desarrollo plano del cono completo; al área lateral de éste, réstale el área lateral del desarrollo plano del cono que cortas del cono completo.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - volumen de un tronco de cono
ENUNCIADO. Calcula el volumen de un depósito que tiene forma de tronco de cono. La altura del mismo es de 1 metro, y los radios de las bases son de 60 centímetros y 40 centímetros, respectivamente.
INDICACIÓN. Imagina un cono completo y córtalo por un plano paralelo a una de las bases, obtendrás el tronco de cono, el volumen del cual es igual a la diferencia entre el volumen del cono completo y el del cono que separas de éste. Tendrás que utilizar el teorema de Tales para calcular las alturas del cono completo y del cono que separas en el corte.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
INDICACIÓN. Imagina un cono completo y córtalo por un plano paralelo a una de las bases, obtendrás el tronco de cono, el volumen del cual es igual a la diferencia entre el volumen del cono completo y el del cono que separas de éste. Tendrás que utilizar el teorema de Tales para calcular las alturas del cono completo y del cono que separas en el corte.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 20 de marzo de 2020
jueves, 19 de marzo de 2020
Ejercicio 8 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - ángulos
Ejercicio número 6 de la página 209 del libro base
ENUNCIADO. Uniendo el centro con dos vértices consecutivos de un pentágono regular se obtiene un triángulo isósceles. Calcula el valor de los ángulos interiores de dicho triángulo.
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Uniendo el centro con dos vértices consecutivos de un pentágono regular se obtiene un triángulo isósceles. Calcula el valor de los ángulos interiores de dicho triángulo.
SOLUCIÓN.
Ejercicio 7 de la semana del 16 al 22 de marzo - ángulos de un triángulo
ENUNCIADO. De los siguientes triángulos di cuál es acutángulo, rectángulo y oblicuángulo:
a) x = 6 m, y = 8 m, z = 10 m
b) x = 2 m, y = 3 m, z = 4 m
a) x = 5 m, y = 6 m, z = 8 m
SOLUCIÓN.
a) x = 6 m, y = 8 m, z = 10 m
b) x = 2 m, y = 3 m, z = 4 m
a) x = 5 m, y = 6 m, z = 8 m
SOLUCIÓN.
miércoles, 18 de marzo de 2020
URGENTE. - Por favor, utilizad el aula virtual durante este periodo de confinamiento por el Covid19
Estimada madre y estimado padre:
Las tareas de Matemáticas de todos mis cursos para mis alumnos y alumnas están organizadas en el Aula Virtual del curso que les corresponda:
2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=57
RMT - 2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=63
3.º de ESO ( grupos A y B&C: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=58
4.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=60
Desde la misma, tu hijo/hija - con tus apellidos no deduzco de quién se trata - puede comunicarse conmigo a través de la mensajería interna ( del aula ). Tal como se explica en el plan de trabajo que está colgado en la página web del instituto, es necesario que los alumnos y alumnas se automatriculen en el aula virtual, identificándose primero en el sistema, con el nombre de usuario/a y contraseña proporcionada por EducaMadrid a través del instituto; si tu hijo/a no tiene dicha acreditación, tienes que telefonear al instituto para que te la proporcionen y guardarla a buen recaudo. Por otra parte, y como medida de emergencia para paliar la eventualidad de no disponer de credenciales, el aula está abierta a visitantes, los cuales pueden visualizar todos los contenidos de la misma, si bien no pueden participar activamente en los foros de dudas y ejercicios, cuestionarios, envío de tareas, etcétera; en tal caso, tampoco podrían participar en otras actividades evaluables que se realicen a distancia. Por ello - insisto - es inprescindble automatricularse ( no se necesita clave de aula para ello ) y es muy sencillo; en el aula virtual, en "Novedades" he colgado un vídeo explicativo, para que no haya ninguna duda de cómo hacerlo.
El trabajo está organizado por semanas. La exposición de contenidos la estoy haciendo mediante vídeos de mi canal de vídeo didácticod [ https://www.youtube.com/c/Cuadernosdematematicas ]. Las tareas están en los foros de ejercicios y dudas. Los alumnos y alumnas tienen que realizar en sus cuadernos de clase ( bolígrafo y papel ) los ejercicios que se van proponiendo en los hilos (de los foros) respectivos. Cada hilo ( ejercicio ) enlaza a una entrada del blog de Matemáticas de la asignatura que corresponda a tu hijo/a:
2.º de ESO: https://cdme2.blogspot.com/
3.º de ESO: https://cdme3.blogspot.com/
4.º de ESO: https://cdme4.blogspot.com/
Desde luego, los alumnos y alumnas pueden (deben) participar activamente en los foros de ejercicios y dudas, exponiendo dudas e interviniendo en los debates que se generen, lo cual también es evaluable. Después de un plazo de 48 horas como máximo de haber propuesto cada ejercicio, añado la solución debajo del enunciado, en la misma entrada del blog -- todo esto se explica concienzudamente en las indicaciones que he ido colgando hasta el momento --. Una vez haya aparecido la solución ( resolución y comentarios ) de cada ejercicio -- los alumnos/as tienen que preocuparse de consultar otra vez dicha entrada del blog ( enlazada en el ejercicio del foro semanal )- y corregir lo que proceda en sus cuadernos, en color rojo -- tal como se viene haciendo en las clases presenciales desde inicio de curso -. Cuando sea posible volver al instituto, por supuesto, revisaré los cuadernos.
En la cabecera del aula virtual encontrarás un foro de "Novedades", que es muy importante consultar, pues desde dicho foro voy informando y estableciendo las eventuales indicaciones e instrucciones concretas que puedan sobrevenir sobre el trabajo en mi aula virtual de Matemáticas de 3.º de ESO A y B&C.
Probablemente, y a efectos de evaluación, tu hijo/hija también tendrá que enviar algún trabajo y responder a cuestionarios en línea (desde el aula virtual), que, de momento, todavía no he habilitado. Todo ello se hará conforme a las instrucciones que vayan apareciendo en el aula virtual. Por ello, vuelvo a insistir: es de primera necesidad que tu hijo/a acceda al aula virtual y se automatricule en la misma.
Todos los viernes tenemos sesión de tutoría de 3.º de ESO A, de 13:35 a 14:30 ( en regimen normal de clases ). Para suplirla durante el tiempo que dure la emergencia sanitaria, he habilitado una sala de conversación ( 'chat' ) en la misma aula virtual de Matemáticas, que se encuentra en la cabecera del aula virtual. La sala de conversación estará abierta todos los viernes a esta hora. Para consultas privadas de tutoría, utiliza, por favor, este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
He dispuesto dos correos para comunicaciones de emergencia ( previendo el caso que se colapsen los servidores de las aulas virtuales ): fscymtmcs@gmail.com ( para la asignatura de Matemáticas ) y joan.aranes@educa.madrid.org ( para mi tutoría de 3.º de ESO )
Si tienes cualquier otra duda acerca de la organización en mi asignatura y en mi tutoría durante el periodo de emergencia sanitaria, por favor, utiliza este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
Salud
Joan
Ejercicio 6 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020. Área de un segmento circular
Ejercicio 65 de la página 207 del libro base
ENUNCIADO. Calcula el área del segmento circular, sabiendo que el radio de la circunferencia es de 5 cm y que el ángulo central de los extremos de su arco es de 90º
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula el área del segmento circular, sabiendo que el radio de la circunferencia es de 5 cm y que el ángulo central de los extremos de su arco es de 90º
SOLUCIÓN.
Ejercicio 5 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020. Semejanza
Ejercicio 12 de la página 199 del libro base
ENUNCIADO. Sara está en una foto con su padre Ismael; y, en ella, la altura de Sara es de 3 cm y la de Ismael 3,5 cm. Si en la realidad Ismael mide 1,75 m, ¿ cuánto mide Sara en la realidad ?.
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Sara está en una foto con su padre Ismael; y, en ella, la altura de Sara es de 3 cm y la de Ismael 3,5 cm. Si en la realidad Ismael mide 1,75 m, ¿ cuánto mide Sara en la realidad ?.
SOLUCIÓN.
martes, 17 de marzo de 2020
Ejercicio 4 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
Ejercicio número 45 de la página 206 del libro base
ENUNCIADO. Calcula la longitud de la apotema de un hexágono regular que tiene un lado de 12 metros de longitud.
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula la longitud de la apotema de un hexágono regular que tiene un lado de 12 metros de longitud.
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020
Ejercicio número 55 de la página 206 del libro base
ENUNCIADO. Uno de los ángulo internos de un cierto rombo mide $60^\circ$, ¿cuánto miden los otros tres ángulos internos?
NOTA. Si visualizas este blog con un smarthphone haz clic en "visualizar como página web" para poder ver la tipografía matemática
SOLUCIÓN.
Los ángulos interiores de un rombo son iguales dos a dos, luego hay otro ángulo de 60º. Como la suma de los cuatro ángulos es igual a 360º, el valor de los otros dos ángulos iguales es de 120º; en efecto
$$2(x+60)=360 \Rightarrow x+60=360/2 \Rightarrow x=180-60=120$$
$\square$
ENUNCIADO. Uno de los ángulo internos de un cierto rombo mide $60^\circ$, ¿cuánto miden los otros tres ángulos internos?
NOTA. Si visualizas este blog con un smarthphone haz clic en "visualizar como página web" para poder ver la tipografía matemática
SOLUCIÓN.
Los ángulos interiores de un rombo son iguales dos a dos, luego hay otro ángulo de 60º. Como la suma de los cuatro ángulos es igual a 360º, el valor de los otros dos ángulos iguales es de 120º; en efecto
$$2(x+60)=360 \Rightarrow x+60=360/2 \Rightarrow x=180-60=120$$
$\square$
lunes, 16 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
Ejercicio número 86 de la página 208 del libro base
ENUNCIADO. Halla la generatriz de un tronco cono de 6,2 m de altura y cuyos radios miden 5,2 y 3,8 m, respectivamente.
ENUNCIADO. Halla la generatriz de un tronco cono de 6,2 m de altura y cuyos radios miden 5,2 y 3,8 m, respectivamente.
Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
Ejercicio 76 de la página 208 del libro base
ENUNCIADO. Calcula la diagonal del ortoedro cuyas aristas miden 4, 6 y 14 centímetros, respectivamente
ENUNCIADO. Calcula la diagonal del ortoedro cuyas aristas miden 4, 6 y 14 centímetros, respectivamente
Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo
ENUNCIADO. En un día soleado, medimos la longitud de la sombra que da un árbol sobre un prado horizontal ( el árbol es perpendicular al suelo del prado ) y resulta ser de 12 metros. En el mismo instante, medimos la longitud de la sombra de da un bastón de 2 metros de alto, vertical al suelo, siendo ésta de 2,5 metros. ¿ Cuánto mide la altura del árbol ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 12 al 15 de marzo
ENUNCIADO. Al trazar la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de longitudes 4 y 5 decímetros, respectivamente. Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
domingo, 15 de marzo de 2020
Justificación y aplicaciones del teorema de Tales
Aclaraciones: En el primer vídeo de la lista de reproducción, en el que se justifica el teorema de Tales, quizá no quede claro que las áreas de $\triangle\,ABB'$ y $\triangle\,AA'B'$ son iguales; lo son, puesto que ambos triángulos tienen la misma base $|BB'|$ y la misma altura $\text{distancia}(u,v)$, si bien en el cálculo explícito del área de cada uno de ellos se utilice otra base y otra altura del mismo triángulo.
Por otra parte, también son iguales las áreas de $\triangle\,OAB'$ y $\triangle\,OBA'$. Ésto es así porque el área de $\triangle\,OAB'$ es la de $\triangle\,OBB'$ menos la de $\triangle\,ABB'$,y el área de $\triangle\,OBA'$ es la de $\triangle\,OBB'$ menos la de $\triangle\,A'BB'$; pero, como hemos visto, el área de $\triangle\,ABB'$ es la misma que la de $\triangle\,A'BB'$, luego las áreas de $\triangle\,OAB'$ y $\triangle\,OBA'$ son iguales.
jueves, 12 de marzo de 2020
miércoles, 11 de marzo de 2020
Teletrabajo y emergencia sanitaria por el Covid19
COMUNICADO IMPORTANTE
Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en el aula virtual de esta asignatura de nuestro IES.
Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre ( temas 5,6,7,8 y 9). Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 10 ( Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras ) y 11 ( Movimientos en el plano ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del lateral derecho ( del aula virtual ), por hubiese algún cambio en las fechas.
He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. Los dos grupos, A y B&C, estáis en la misma aula virtual. Si fuse necesario, que no lo creo ahora, os organizaría internamente en dos grupos (de aula virtual).
En el aula virtual encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.
Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).
Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.
Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).
Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan
Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en el aula virtual de esta asignatura de nuestro IES.
Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre ( temas 5,6,7,8 y 9). Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 10 ( Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras ) y 11 ( Movimientos en el plano ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del lateral derecho ( del aula virtual ), por hubiese algún cambio en las fechas.
He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. Los dos grupos, A y B&C, estáis en la misma aula virtual. Si fuse necesario, que no lo creo ahora, os organizaría internamente en dos grupos (de aula virtual).
En el aula virtual encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.
Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).
Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.
Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).
Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan
jueves, 5 de marzo de 2020
La técnica de marcaje y recaptura para estimar el número total de individuos de una población
La técnica de marcaje y recaptura se suele emplear en ecología para estimar el número total de individuos, N, de una cierta especie que habitan en un área delimitada, y consiste en extraer una primera muestra de tamañó n, marcando con algún tipo de señal todos los individuos de la misma y liberar dichos individuos. Pasado un tiempo razonable, al objeto de que la población se redistribuya de manera homogénea, se extrae una segunda muestra de m individuos, de los cuales, se espera que encontaremos entre ellos m' individuos marcados ( que ya formaban parte de la primera muestra ). Entonces, teniendo en cuenta que la razón aritmética entre el número de individuos marcados y el número total de individuos en cada muestra debería ser aproximadamente constante, tandrá que cumplirse de manera aproximada la siguiente proporción:
m'/m ~ n/N, y por tanto, el número total de individuos de dicha especie en el área en la que realizamos el estudio será N ~ nm/m'
Ejemplo [Referencia: Yates, K., Los números de la vida, Blackie Books, 2020]. Queremos estimar el número de caracoles que hay en un jardín. Para ello, capturamos ( en una primera muestra ) 23 individuos ( n:=23 ) y los marcamos pegándoles una discreta etiqueta adhesiva en la concha antes de soltarlos. Unos días después, realizamos capturamos otro grupo de caracoles, esta vez fueron 18 (m:=18), de los cuales 3 tenían la marca que pusimos a los individuos de la primera muestra (m':=3). Estimemos el número de caracoles, N, que hay en el jardín: como
3/18 ~ 23/N, de donde se obtiene que N ~ 23·18/3 = 138 caracoles.
m'/m ~ n/N, y por tanto, el número total de individuos de dicha especie en el área en la que realizamos el estudio será N ~ nm/m'
Ejemplo [Referencia: Yates, K., Los números de la vida, Blackie Books, 2020]. Queremos estimar el número de caracoles que hay en un jardín. Para ello, capturamos ( en una primera muestra ) 23 individuos ( n:=23 ) y los marcamos pegándoles una discreta etiqueta adhesiva en la concha antes de soltarlos. Unos días después, realizamos capturamos otro grupo de caracoles, esta vez fueron 18 (m:=18), de los cuales 3 tenían la marca que pusimos a los individuos de la primera muestra (m':=3). Estimemos el número de caracoles, N, que hay en el jardín: como
3/18 ~ 23/N, de donde se obtiene que N ~ 23·18/3 = 138 caracoles.
jueves, 16 de enero de 2020
Un ejemplo sencillo de demostración deductiva en teoría elemental de números.
ENUNCIADO. Demuéstrese que, dados dos números enteros cualesquiera $a$ y $b$, y un número entero $c\neq 0$, entonces si $c$ divide a $a$ y $c$ divide a $b$, se cumple que $c$ divide a $a+b$
SOLUCIÓN.
Si $c\neq 0$ divide a $a$, entonces puede encontrarse un número entero $m$ de tal manera que $a=m\,c$ (y, por tanto, el resto de la división $a \div c$ es $0$); de manera análoga, como $c\neq 0$ divide a $b$, entonces existe un número entero $n$ tal que $b=n\,c$. Por tanto, $a\,b = m\,c+n\,c=(m+n)\,c$, y como $k:=m+n$ es obviamente un número entero, $a\,b=k\,c$, de donde concluimos que $c$ divide a $a+b$. $\square$
-oOo- COMENTARIO (acerca de la notación al uso). En teoría de números, para expresar que un número entero $\ell$ divide a otro número entero $p$ suele ser habitual la siguiente notación $\ell|p$. En otros ejercicios que seguirán a éste se utilizará esta notación. Por cierto, al dividir $\ell$ a $p$, $p$ es múltiplo de $\ell$, lo cual se expresa de la forma $p=(\dot{\ell})$.
SOLUCIÓN.
Si $c\neq 0$ divide a $a$, entonces puede encontrarse un número entero $m$ de tal manera que $a=m\,c$ (y, por tanto, el resto de la división $a \div c$ es $0$); de manera análoga, como $c\neq 0$ divide a $b$, entonces existe un número entero $n$ tal que $b=n\,c$. Por tanto, $a\,b = m\,c+n\,c=(m+n)\,c$, y como $k:=m+n$ es obviamente un número entero, $a\,b=k\,c$, de donde concluimos que $c$ divide a $a+b$. $\square$
martes, 14 de enero de 2020
Un ejercicio básico de proporcionalidad
ENUNCIADO. Carmen, que trabaja en un taller de electrónica, necesita $1\,600$ euros al mes para cubrir sus gastos básicos. De su sueldo, tiene que descontar un 7% en concepto de impuestos. ¿ Cuál debería ser la cuantía mínima de su sueldo ?.
SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
Denotemos por $x$ la cuantía de dicho sueldo. Entonces, según el enunciado, podemos escribir la siguiente ecuación, $$x-\dfrac{7}{100}\,x = 1\,600$$ esto es $$\dfrac{93}{100}\,x= 1\,1600$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{1\,600\cdot 100}{93} \approx 1\,720,43\,\text{euros}$$
Procedimiento II.
Recogiendo los datos en la siguiente tabla, podemos plantear la proporción directa que lleva a la solución del problema.
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
Denotemos por $x$ la cuantía de dicho sueldo. Entonces, según el enunciado, podemos escribir la siguiente ecuación, $$x-\dfrac{7}{100}\,x = 1\,600$$ esto es $$\dfrac{93}{100}\,x= 1\,1600$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{1\,600\cdot 100}{93} \approx 1\,720,43\,\text{euros}$$
Procedimiento II.
Recogiendo los datos en la siguiente tabla, podemos plantear la proporción directa que lleva a la solución del problema.
+================================+ | sueldo bruto | sueldo neto | +================================+ | 100 | 100-7 | +----------------|---------------+ | x | 1600 | +--------------------------------+$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1600}{100-7} \Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1600}{93}\approx 1\,720,43\,\text{euros}$, aproximando al céntimo de euro.
$\square$
miércoles, 8 de enero de 2020
lunes, 2 de diciembre de 2019
Media proporcional
ENUNCIADO. Calcúlese la media proporcional de $8$ y $2$
SOLUCIÓN. $$\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x^2=2\cdot 8 \Rightarrow x = |\sqrt{16}|=4$$
$\square$
SOLUCIÓN. $$\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x^2=2\cdot 8 \Rightarrow x = |\sqrt{16}|=4$$
$\square$
Aumentos y descuentos en el precio de un artículo
ENUNCIADO. Un vendedor de electrodomésticos aumenta el precio de un frigorífico, que es de 200 euros, en un 20%, la semana anterior a la semana de rebajas, en la que hará un descuento de un 20% sobre el precio de todos los productos. ¿ Cuánto costará dicha nevera en la semana de rebajas ?
SOLUCIÓN.
Al aumentar un 20% el precio de venta del frigorífico, éste costará $200\cdot \dfrac{100+20}{100}$ -- multiplicando el precio nominal por el índice de variación que corresponde al aumento -- justo antes de que empiecen las rebajas. Y, durante las rebajas, al aplicar el descuento del 20%, costará $\left(200\cdot \dfrac{100+20}{100}\right) \cdot \dfrac{100-20}{100}$, esto es, $192$ euros, donde se ha multiplicado la cantidad calculada al hacer el descuento por el índice de variación (correspondiente al descuento).
-oOo-
Nota. Como se puede ver con toda claridad, es un error el pensar que pueden restarse los porcentajes de aumento y descuento, y plantear la situación como si no se hiciese ni el uno ni el otro. Al aplicar pues varios descuentos/recargos hay que hacerlo de manera encadenada, multiplicando la cantidad nominal por todos y cada uno de los índices de variación.
$\square$
SOLUCIÓN.
Al aumentar un 20% el precio de venta del frigorífico, éste costará $200\cdot \dfrac{100+20}{100}$ -- multiplicando el precio nominal por el índice de variación que corresponde al aumento -- justo antes de que empiecen las rebajas. Y, durante las rebajas, al aplicar el descuento del 20%, costará $\left(200\cdot \dfrac{100+20}{100}\right) \cdot \dfrac{100-20}{100}$, esto es, $192$ euros, donde se ha multiplicado la cantidad calculada al hacer el descuento por el índice de variación (correspondiente al descuento).
Nota. Como se puede ver con toda claridad, es un error el pensar que pueden restarse los porcentajes de aumento y descuento, y plantear la situación como si no se hiciese ni el uno ni el otro. Al aplicar pues varios descuentos/recargos hay que hacerlo de manera encadenada, multiplicando la cantidad nominal por todos y cada uno de los índices de variación.
$\square$
Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?
ENUNCIADO. Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?
SOLUCIÓN.
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de piezas producidadas, tiemplo empleado ( en minutos ), y número de máquinas
$$\dfrac{t}{10}=\dfrac{1/1}{1/10}\cdot \dfrac{1}{10} \Rightarrow t=10\cdot \dfrac{10}{10}\,\text{minutos}=10\,\text{minutos}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de piezas producidadas, tiemplo empleado ( en minutos ), y número de máquinas
+ ================================================================+ | tiempo ( min ) | número de máquinas | número de piezas | + ================================================================+ | 10 | 10 | 10 | +-----------------------------------------------------------------+ | t | 1 | 1 | + ================================================================+La relación entre el número de máquinas y el tiempo empleado es inversa ( cuántos más máquinas, menos tiempo se tarda en producir un cierto número de piezas ) y la relación entre el número de piezas fabricado y el tiempo empleado es directa ( a más piezas fabricadas más tiempo se necesitará para fabricarlas ), entonces:
$$\dfrac{t}{10}=\dfrac{1/1}{1/10}\cdot \dfrac{1}{10} \Rightarrow t=10\cdot \dfrac{10}{10}\,\text{minutos}=10\,\text{minutos}$$
$\square$
jueves, 28 de noviembre de 2019
lunes, 18 de noviembre de 2019
Transimisión del movimiento de giro entre dos ruendas dentadas
ENUNCIADO. Se consideran dos ruedas dentadas, A y B, que están engranadas. La rueda A tiene 40 dientes y da 12 vueltas cada 5/2 minutos. ¿Cuántas vueltas da la rueda B en 7 minutos, teniendo ésta 60 dientes?
SOLUCIÓN.
I)
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de vueltas, tiemplo empleado ( en minutos ), número de dientes
$\dfrac{n}{12}=\dfrac{7}{5/2}\cdot \dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow n=\dfrac{12 \cdot 2\cdot 7 \cdot 40}{5 \cdot 60}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )
-oOo- II)
Otra manera de plantear el problema consiste en establecer una proporción simple entre el número de dientes y la velocidad de giro ( vueltas/minuto ), la cual es inversa, pues a mayor número de dientes, menos velocidad de giro. La velocidad de giro de la rueda A es $\dfrac{12}{5/2}$ vueltas/minuto, y, la de B, $\dfrac{n}{7}$ vueltas/minuto. Así:
$\dfrac{n/7}{12/(5/2)}=\dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow \dfrac{5n}{12\cdot 2 \cdot 7}=\dfrac{40}{60} \Rightarrow n=\dfrac{2\cdot 12\cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )
-oOo-
NOTA: La razón entre la velocidad de giro de la rueda a la que se transmite el movimiento y la velocidad de giro de la rueda motriz, $\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}$, se denomina relación de transmisión. Y teniendo en cuenta que, por la proporción inversa que liga la magnitud velocidad de giro con la magnitud número de dientes, podemos escribir: $$\text{relación de transmisión}=\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}=\dfrac{z_{\text{motriz}}}{z_\text{trnsmitida}}$$, que, en el problema que nos ocupa, tiene el siguiente valor:
relación de transmisión=$\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$, lo cual puede indicarse también de la forma: $$\text{relación de transmisión}=2:3$$ lo cual quiere decir que por cada $3$ vueltas que da la rueda motriz, la rueda transmitida da $2$ vueltas.
$\square$
SOLUCIÓN.
I)
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de vueltas, tiemplo empleado ( en minutos ), número de dientes
| ================================================================ | número de vueltas | tiempo empleado ( min ) | número de dientes | ===| ================================================================ A | 12 | 5/2 | 40 | ---|----------------------------------------------------------------- B | n | 7 | 60 | ===| ================================================================La relación entre el número de dientes y el número de vueltas es inversa ( cuántos más dientes, menos vueltas da ) y la relación entre el tiempo empleado y el número de vueltas es directa ( cuánto más tiempo esté girando más vueltas da ), entonces:
$\dfrac{n}{12}=\dfrac{7}{5/2}\cdot \dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow n=\dfrac{12 \cdot 2\cdot 7 \cdot 40}{5 \cdot 60}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )
Otra manera de plantear el problema consiste en establecer una proporción simple entre el número de dientes y la velocidad de giro ( vueltas/minuto ), la cual es inversa, pues a mayor número de dientes, menos velocidad de giro. La velocidad de giro de la rueda A es $\dfrac{12}{5/2}$ vueltas/minuto, y, la de B, $\dfrac{n}{7}$ vueltas/minuto. Así:
| ==================================================== | número de dientes | velocidad de giro ( vueltas/min)| ===| ==================================================== A | 40 | 12/(5/2) | ---|------------------------------------------------------ B | 60 | n/7 | ===| =====================================================Así, al ser dicha relación inversa, escribiremos:
$\dfrac{n/7}{12/(5/2)}=\dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow \dfrac{5n}{12\cdot 2 \cdot 7}=\dfrac{40}{60} \Rightarrow n=\dfrac{2\cdot 12\cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )
NOTA: La razón entre la velocidad de giro de la rueda a la que se transmite el movimiento y la velocidad de giro de la rueda motriz, $\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}$, se denomina relación de transmisión. Y teniendo en cuenta que, por la proporción inversa que liga la magnitud velocidad de giro con la magnitud número de dientes, podemos escribir: $$\text{relación de transmisión}=\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}=\dfrac{z_{\text{motriz}}}{z_\text{trnsmitida}}$$, que, en el problema que nos ocupa, tiene el siguiente valor:
relación de transmisión=$\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$, lo cual puede indicarse también de la forma: $$\text{relación de transmisión}=2:3$$ lo cual quiere decir que por cada $3$ vueltas que da la rueda motriz, la rueda transmitida da $2$ vueltas.
$\square$
viernes, 15 de noviembre de 2019
Sueldo bruto y sueldo neto
ENUNCIADO. Calcúlese el valor del sueldo bruto de una trabajadora sabiendo que tras retenerle el 7% en concepto de IRPF ( Impuesto sobre la Renta para las Personas Físicas ) percibe una cantidad neta de $1\,300$ euros.
SOLUCIÓN. Denotaremos por $x$ el sueldo neto y teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el sueldo bruto y el sueldo neto
$$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1\,300}{97}\Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1\,300}{93}\approx 1\,397,85\,\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotaremos por $x$ el sueldo neto y teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el sueldo bruto y el sueldo neto
============================= cantidad neta | cantidad bruta ============================== 1\,300 | x ------------------------------ 100-7=93 | 100 ==============================Entonces,
$$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1\,300}{97}\Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1\,300}{93}\approx 1\,397,85\,\text{euros}$$
$\square$
lunes, 11 de noviembre de 2019
domingo, 10 de noviembre de 2019
viernes, 8 de noviembre de 2019
Acerca de la tasa de variación y del índice de variación
Bien es sabido que la tasa de variación de una magnitud que cambia su valor de $x_i$ a $x_f$, en tanto por unidad, se define como $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}$$ que también puede expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por cien: $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}\cdot 100\,\%$$
Dicho ésto, recordemos que el llamado índice de variación se define de la siguiente manera: $$\text{IV}=\dfrac{|x_f|}{|x_i|}\cdot 100$$ Así, vemos que la relación que liga la tasa de variación con el índice de variación es $$\text{IV}=100\pm\,\text{TV}$$
donde, en el segundo miembro, sumaremos si la variación corresponde a un incremento, y restaremos si ésta corresponde a un decremento.
EJEMPLO. El coste actual de un servicio de transporte ha aumentado un $1,5\,\%$ en relación al año anterior. Se pide:
a) El valor del índice de variación
b) Si el coste actual es de $1,25$ euros, ¿ cuál fue el coste del servicio en el año anterior al actual ?
SOLUCIÓN.
Por lo dicho anteriormente, $0,015=\dfrac{1,25-x_i}{x_i} \Rightarrow 0,015\,x_i=1,25-x_i \Rightarrow 1,015\,x_i=$
$=1,25 \Rightarrow x_i=\dfrac{1,25}{1,015}\approx 1,23$ euros ( aproximando al céntimo )
$\square$
Dicho ésto, recordemos que el llamado índice de variación se define de la siguiente manera: $$\text{IV}=\dfrac{|x_f|}{|x_i|}\cdot 100$$ Así, vemos que la relación que liga la tasa de variación con el índice de variación es $$\text{IV}=100\pm\,\text{TV}$$
donde, en el segundo miembro, sumaremos si la variación corresponde a un incremento, y restaremos si ésta corresponde a un decremento.
EJEMPLO. El coste actual de un servicio de transporte ha aumentado un $1,5\,\%$ en relación al año anterior. Se pide:
a) El valor del índice de variación
b) Si el coste actual es de $1,25$ euros, ¿ cuál fue el coste del servicio en el año anterior al actual ?
SOLUCIÓN.
Por lo dicho anteriormente, $0,015=\dfrac{1,25-x_i}{x_i} \Rightarrow 0,015\,x_i=1,25-x_i \Rightarrow 1,015\,x_i=$
$=1,25 \Rightarrow x_i=\dfrac{1,25}{1,015}\approx 1,23$ euros ( aproximando al céntimo )
$\square$
viernes, 4 de octubre de 2019
Adecuación del resultado de un cálculo al número de cifras significativas que corresponda, según la precisión de los datos ( afectados de error )
ENUNCIADO. Se han medido las tres aristas, $a,b$ y $c$, de un prisma recto de base rectangular, obteniéndose:
$a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$b\approx \bar{b}=252,6\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (3 c.s.), 1 de las cuales es de la parte decimal (1 c.d.s.)
$c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)
Calcula el área del desarrollo plano de dicho cuerpo geométrico, adecuando el resultado al número razonable de cifras significativas conforme a la precisión de los datos
SOLUCIÓN.
Nota preliminar:
Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:
i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
-oOo-
En primer lugar, trabajaremos con unidades homogéneas, expresando las medidas obtenidas en milímetros; de esta manera, evitaremos operar con decimales:
$a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$b\approx \bar{b}=2\,526\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)
Como es bien sabido, el área del desarrollo plano es igual a $2\cdot ( \bar{a}\,\bar{b}+ \bar{a}\,\bar{c} + \bar{b}\,\bar{c})$. Sustituyendo los datos: $\mathcal{A}=2\cdot ( 1\,202\cdot 2\,525+1\,202\cdot 900 + 2\,525\cdot 900)=12\,782\,904\,\text{mm}^2 \overset{1 c.s.}{\approx} 10\,000\,000 \,\text{mm}^2$, esto es, $1\,000\,\text{cm}^2$, ya que al haber multiplicaciones en esta operación combinada, por el criterio expuesto ( ii ), limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra significativa ); por consiguiente, hemos aproximado por redondeo simétrico a 1 cifra significativa, sustituyendo las otras cifras ( que no son cifras significativas en el resultado ) por ceros.
Nota:
La cifra menos significativa de un número entero es la cifra distinta de cero, que, por su posición, tiene el menor valor, es decir, la de las unidades, la que está situada más a la derecha; así, por ejemplo, la cifra menos significativa del número $234$ es el «4», ya que es la que está más a la derecha y es distinta de cero (la cifra de las unidades en este caso); sin embargo, la cifra menos significativa del número $520$ es el «2» (la de las decenas, en este caso), por ser cero la última cifra a la derecha. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si el número es decimal el cero a la derecha de la parte decimal, de haberlo, sí que cuenta también como cifra significativa; así, por ejemplo, diremos que la cifra menos significativa del número $2,680$ es el «0» (cifra de las milésimas, en este caso).
$\square$
$a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$b\approx \bar{b}=252,6\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (3 c.s.), 1 de las cuales es de la parte decimal (1 c.d.s.)
$c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)
Calcula el área del desarrollo plano de dicho cuerpo geométrico, adecuando el resultado al número razonable de cifras significativas conforme a la precisión de los datos
SOLUCIÓN.
Nota preliminar:
Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:
i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
En primer lugar, trabajaremos con unidades homogéneas, expresando las medidas obtenidas en milímetros; de esta manera, evitaremos operar con decimales:
$a \approx \bar{a}=1\,202\,\text{mm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$b\approx \bar{b}=2\,526\,\text{cm}$; con 4 cifras significativs (4 c.s.)
$c\approx \bar{b}=900\,\text{mm}$; con 1 cifra significativs (1 c.s.)
Como es bien sabido, el área del desarrollo plano es igual a $2\cdot ( \bar{a}\,\bar{b}+ \bar{a}\,\bar{c} + \bar{b}\,\bar{c})$. Sustituyendo los datos: $\mathcal{A}=2\cdot ( 1\,202\cdot 2\,525+1\,202\cdot 900 + 2\,525\cdot 900)=12\,782\,904\,\text{mm}^2 \overset{1 c.s.}{\approx} 10\,000\,000 \,\text{mm}^2$, esto es, $1\,000\,\text{cm}^2$, ya que al haber multiplicaciones en esta operación combinada, por el criterio expuesto ( ii ), limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra significativa ); por consiguiente, hemos aproximado por redondeo simétrico a 1 cifra significativa, sustituyendo las otras cifras ( que no son cifras significativas en el resultado ) por ceros.
Nota:
La cifra menos significativa de un número entero es la cifra distinta de cero, que, por su posición, tiene el menor valor, es decir, la de las unidades, la que está situada más a la derecha; así, por ejemplo, la cifra menos significativa del número $234$ es el «4», ya que es la que está más a la derecha y es distinta de cero (la cifra de las unidades en este caso); sin embargo, la cifra menos significativa del número $520$ es el «2» (la de las decenas, en este caso), por ser cero la última cifra a la derecha. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si el número es decimal el cero a la derecha de la parte decimal, de haberlo, sí que cuenta también como cifra significativa; así, por ejemplo, diremos que la cifra menos significativa del número $2,680$ es el «0» (cifra de las milésimas, en este caso).
$\square$
viernes, 20 de septiembre de 2019
Números racionales. Acerca del producto de fracciones, el inverso de una fracción, y el cociente de fracciones
Consideremos un número racional $\delta = \dfrac{m}{n} \neq 0$. El inverso de $\delta$, que notaremos $\text{inverso}(\delta)$, es el número racional tal que $\delta \cdot \text{inverso}(\delta) = 1$ ya que $1$ es el neutro de la operación multiplicación o producto de números racionales, con lo cual es claro que $\text{inverso}(\delta)=\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\frac{m}{n}}=\dfrac{n}{m}$, pues el resultado de dicho producto es $1$ tan solo si $\dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{n}{m}=1$
Ejemplo de cálculo del inverso de una fracción
$\displaystyle \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{1}{\frac{5}{7}}=\dfrac{7}{5}$, ya que $\dfrac{5}{7}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=1 \Leftrightarrow \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{7}{5}$
Hablemos ahora del cociente de dos fracciones $\alpha \div \beta$ ( o lo que es lo mismo, $\dfrac{\alpha}{\beta}$ ), siendo $\alpha=\dfrac{a}{b}$ y $\beta =\dfrac{c}{d}$, donde $\beta \neq 0$ ( y por tanto, con $c \neq 0$ ). Podemos entender dicho cociente $\dfrac{\alpha}{\beta}$ como la operación combinada $\alpha \cdot \text{inverso}(\beta)$, esto es, como otra fracción de números enteros ( otra fracción o número racional ) $\gamma$, esto es $$\gamma=\displaystyle \dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$$
Ejemplo de cálculo de un cociente de fracciones $$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{7} = \displaystyle \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{3\cdot 7}{4 \cdot 5}=\dfrac{21}{20}$$
$\square$
Ejemplo de cálculo del inverso de una fracción
$\displaystyle \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{1}{\frac{5}{7}}=\dfrac{7}{5}$, ya que $\dfrac{5}{7}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=1 \Leftrightarrow \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{7}{5}$
Hablemos ahora del cociente de dos fracciones $\alpha \div \beta$ ( o lo que es lo mismo, $\dfrac{\alpha}{\beta}$ ), siendo $\alpha=\dfrac{a}{b}$ y $\beta =\dfrac{c}{d}$, donde $\beta \neq 0$ ( y por tanto, con $c \neq 0$ ). Podemos entender dicho cociente $\dfrac{\alpha}{\beta}$ como la operación combinada $\alpha \cdot \text{inverso}(\beta)$, esto es, como otra fracción de números enteros ( otra fracción o número racional ) $\gamma$, esto es $$\gamma=\displaystyle \dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{1}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$$
Ejemplo de cálculo de un cociente de fracciones $$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{7} = \displaystyle \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}}=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{3\cdot 7}{4 \cdot 5}=\dfrac{21}{20}$$
$\square$
miércoles, 12 de junio de 2019
Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra
ENUNCIADO. Un número entero positivo de tres cifras verifica:
i) Es múltiplo de 9
ii) La cifra de las decenas es 5
iii) Si permutamos las cifras delas centenas y las unidades, el número disminuye en 297
¿ Cuál esl el producto de sus cifras ?
SOLUCIÓN.
Sean u, d y c las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas, respectivamente, que, desde luego, son números naturales. Entonces:
i) $u+d+c=9k$, siendo $k\in \mathbb{N}$
ii) $d=5$
iii) $(100c+10d+u)-(100u+10d+c)=297$
Esto no lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}u+d+c=9\,k \\ d=5 \\ c-u=3\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $d$ en las ecuaciones primera y tercera podemos escribir $$\left\{\begin{matrix}u+c=9\,k-5 \\ d=5 \\ -u+c=3\end{matrix}\right.$$ y sumándolas, obtenemos la siguiente ecuación compatible con dichas ecuaciones $$2c=9k-2$$ Descartamos los valores de $k:=0$ y $k:=1$ por proporcionar valores de $c$ que no corresponden a números naturales; así que el menor valor de $k$ coherente con la naturaleza de estos números es $k:=2$, para el cual $$c=\dfrac{9\cdot 2-2}{2}=8$$
Y sustituyendo este resultado en la tercera ecuación, determinamos el valor de las unidades $$u=c-3=8-3=5$$
Por consiguiente, el número de tres cifres del que se está hablando es $855$, luego el producto de sus cifras que se ha pedido es $8\cdot 5 \cdot 5 = 50 \cdot 5 = 200$
$\square$
i) Es múltiplo de 9
ii) La cifra de las decenas es 5
iii) Si permutamos las cifras delas centenas y las unidades, el número disminuye en 297
¿ Cuál esl el producto de sus cifras ?
SOLUCIÓN.
Sean u, d y c las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas, respectivamente, que, desde luego, son números naturales. Entonces:
i) $u+d+c=9k$, siendo $k\in \mathbb{N}$
ii) $d=5$
iii) $(100c+10d+u)-(100u+10d+c)=297$
Esto no lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}u+d+c=9\,k \\ d=5 \\ c-u=3\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo el valor de $d$ en las ecuaciones primera y tercera podemos escribir $$\left\{\begin{matrix}u+c=9\,k-5 \\ d=5 \\ -u+c=3\end{matrix}\right.$$ y sumándolas, obtenemos la siguiente ecuación compatible con dichas ecuaciones $$2c=9k-2$$ Descartamos los valores de $k:=0$ y $k:=1$ por proporcionar valores de $c$ que no corresponden a números naturales; así que el menor valor de $k$ coherente con la naturaleza de estos números es $k:=2$, para el cual $$c=\dfrac{9\cdot 2-2}{2}=8$$
Y sustituyendo este resultado en la tercera ecuación, determinamos el valor de las unidades $$u=c-3=8-3=5$$
Por consiguiente, el número de tres cifres del que se está hablando es $855$, luego el producto de sus cifras que se ha pedido es $8\cdot 5 \cdot 5 = 50 \cdot 5 = 200$
$\square$
martes, 19 de marzo de 2019
Un ejercicio de aplicación del teorema del resto
ENUNCIADO. Calcúlese el resto de la siguiente división: $$(x^{42}+x^{30}+x^2+1)\div (x-1)$$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta el teorema del resto, el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio dividendo en $x=1$. Obtenemos así el siguiente resultado: $1^{42}+1^{30}+1^{2}+1=1+1+1+1=4$
$\square$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta el teorema del resto, el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio dividendo en $x=1$. Obtenemos así el siguiente resultado: $1^{42}+1^{30}+1^{2}+1=1+1+1+1=4$
$\square$
miércoles, 13 de febrero de 2019
Los teoremas de la altura y del cateto como casos de una media proporcional
En un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$ se cumple el teorema de la altura, el del cateto y el de Pitágoras. Sea $c$ la hipotenusa y denotemos por $h$ la altura sobre la misma. La intersección de la altura con la hipotenusa $c$ ( llamemos $P$ a ese punto ) divide a la hipotenusa en dos segmentos, $[P,B]$ de longitud $m$ ( proyección del cateto $a$ sobre $c$ ) y $[P,A]$, de longitud $n$ (proyección del cateto $b$ sobre $c$ ).
Los teoremas del cateto y de la altura son casos de media proporcional. En efecto, como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,P,C)$, se tiene que $\dfrac{h}{m}=\dfrac{n}{h}$, y, por tanto, $h=\sqrt{m\cdot n}$
Por otra parte ( teorema del cateto ) como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,B,C)$, podemos plantear $\dfrac{a}{m}=\dfrac{c}{a}$, y por tanto, $a^2=m\,c$; y, teniendo en cuenta que $\triangle(A,P,C) \sim \triangle(A,B,C)$, tenemos que $\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{b}$, con lo cual $b^2=n\,c$
$\square$
Los teoremas del cateto y de la altura son casos de media proporcional. En efecto, como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,P,C)$, se tiene que $\dfrac{h}{m}=\dfrac{n}{h}$, y, por tanto, $h=\sqrt{m\cdot n}$
Por otra parte ( teorema del cateto ) como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,B,C)$, podemos plantear $\dfrac{a}{m}=\dfrac{c}{a}$, y por tanto, $a^2=m\,c$; y, teniendo en cuenta que $\triangle(A,P,C) \sim \triangle(A,B,C)$, tenemos que $\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{b}$, con lo cual $b^2=n\,c$
$\square$
viernes, 18 de enero de 2019
Aumentos porcentuales sucesivos
ENUNCIADO. Una cantidad aumenta un 25%, ¿ En qué porcentaje debe aumentar la cantidad que resulta para que se doble la cantidad inicial ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
$\square$
Disminuciones porcentuales sucesivas de una cierta cantidad
ENUNCIADO. El precio de un coche disminuye un 12% cada seis meses. Si en la actualidad vale 6000 euros, ¿ cuánto costaba hace 1 año ?
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
miércoles, 9 de enero de 2019
Proporción áurea en la división de un segmento en dos partes
Consideremos un segmento $[P,Q]$ y coloquemos un punto $X$ entre los extremos $P$ y $Q$. De esta manera, el segmento queda dividido en dos partes desiguales, $[P,X]$ y $[X,Y]$, y a cuyas longitudes denominaremos $a$ y $b$, respectivamente, siendo $a \succ b$. Diremos que la colocación de $X$ es tal que la división del segmento en esas dos partes cumple la proporción áurea si se cumple que $$\dfrac{a+b}{\text{máx}(a,b)}=\dfrac{\text{máx}(a,b)}{\text{mín}(a,b)}$$ que, según lo establecido aquí, es $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y que podemos escribir de la forma
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
$\square$
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
$\square$
jueves, 20 de diciembre de 2018
Un problema de álgebra: números que cumplen ciertas condiciones
ENUNCIADO. Encontrar las parejas de números enteros positivos, distintos uno del otro, tales que la diferencia entre el mayor y el menor dé $6$, y al dividir ( división entera ) el mayor entre el menor se obtenga cociente igual a $1$ y resto igual a $6$.
SOLUCIÓN. Denotemos por $(n,m)$ cualquiera de esas parejas, donde $n \succ m$. Entonces, transcribiendo las dos condiciones a las respectivas ecuaciones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}n-m=6\\ n=1\cdot m +6\end{matrix}\right\}$$
Sin embargo, la segunda ecuación es idéntica a la primera, luego el sistema es compatible indeterminado, y una de las dos incógnitas, pongamos que $m$, depende de la otra, de la forma: $m=n-6$ para $n \ge 13$ ( para $n \prec 13$ se cumple la primera condición pero no la segunda ).
En consecuencia, el conjunto de parejas que constituyen la solución al problema es
$$\{(13,7)\,(14,8),(15,9),(16,10)\ldots\}$$
esto es
$$\{(n,n-6): n \in \mathbb{Z}^{+} \; \text{;} \; n \ge 13 \}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $(n,m)$ cualquiera de esas parejas, donde $n \succ m$. Entonces, transcribiendo las dos condiciones a las respectivas ecuaciones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}n-m=6\\ n=1\cdot m +6\end{matrix}\right\}$$
Sin embargo, la segunda ecuación es idéntica a la primera, luego el sistema es compatible indeterminado, y una de las dos incógnitas, pongamos que $m$, depende de la otra, de la forma: $m=n-6$ para $n \ge 13$ ( para $n \prec 13$ se cumple la primera condición pero no la segunda ).
En consecuencia, el conjunto de parejas que constituyen la solución al problema es
$$\{(13,7)\,(14,8),(15,9),(16,10)\ldots\}$$
esto es
$$\{(n,n-6): n \in \mathbb{Z}^{+} \; \text{;} \; n \ge 13 \}$$
$\square$
miércoles, 31 de octubre de 2018
Otro problema con porcentajes
ENUNCIADO. En una reunión hay el doble de hombres que de mujeres. Una de cada tres mujeres es pelirroja, y dos de cada cinco hombres son pelirrojos. ¿ Qué fracción de personas pelirrojas hay en la reunión ?
SOLUCIÓN. La fracción pedida es la razón entre el número de personas pelirrojas y el número de personas que hay en la reunión. (1)
Denotemos por $h$ y $m$ los números de hombres y mujeres, que hay en la reunión. Sabemos que $h=2m$, luego el número de personas que hay en la reunión es $m+2m$ esto es $3m$. (2)
El número de hombres pelirrojos es $\dfrac{2}{5}\,m = \dfrac{2}{5}\cdot 2m = \dfrac{4}{5}\,m$, y el número de mujeres pelirrojas es $\dfrac{1}{3}\,m$, luego el número de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{4}{5}\,m+\dfrac{1}{3}\,m = \dfrac{17}{15}\,m$. (3)
Así pues, teniendo en cuenta (1), (2) y (3), la fracción de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{(17/15)\,m}{3m}$ y simplificando ( se cancela $m$ entre el numerador y el denominador ) nos queda $\dfrac{17}{45}$.
$\square$
SOLUCIÓN. La fracción pedida es la razón entre el número de personas pelirrojas y el número de personas que hay en la reunión. (1)
Denotemos por $h$ y $m$ los números de hombres y mujeres, que hay en la reunión. Sabemos que $h=2m$, luego el número de personas que hay en la reunión es $m+2m$ esto es $3m$. (2)
El número de hombres pelirrojos es $\dfrac{2}{5}\,m = \dfrac{2}{5}\cdot 2m = \dfrac{4}{5}\,m$, y el número de mujeres pelirrojas es $\dfrac{1}{3}\,m$, luego el número de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{4}{5}\,m+\dfrac{1}{3}\,m = \dfrac{17}{15}\,m$. (3)
Así pues, teniendo en cuenta (1), (2) y (3), la fracción de personas pelirrojas que hay en la reunión es $\dfrac{(17/15)\,m}{3m}$ y simplificando ( se cancela $m$ entre el numerador y el denominador ) nos queda $\dfrac{17}{45}$.
$\square$
martes, 30 de octubre de 2018
Un problema de porcentajes
ENUNCIADO. En una clase el $40\,\%$ de los alumnos han aprobado y en otra, en la que había el doble de alumnos, el porcentaje de aprobados ha sido del $50\,\%$. ¿ Cuál ha sido el porcentaje de aprobados tomando las dos clases en conjunto ?.
SOLUCIÓN. Si $n$ es el número de alumnos de la primera clase, el número de aprobados de ésta es de $0,4\cdot n$; por otra parte, el de la segunda clase el número de alumnos es $2n$, luego el número de aprobados en la misma es $0,5\cdot 2 n$. Así pues, el número de aprobados de las dos clases es $0,4\,n +0,5\cdot 2n$, esto es $1,4\,n$ luego el porcentaje de aprobados tomando las dos clases en conjunto es $\dfrac{1,4\,n}{n+2n}$ es decir $\dfrac{1,4}{3} \approx 0,47 = 47\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN. Si $n$ es el número de alumnos de la primera clase, el número de aprobados de ésta es de $0,4\cdot n$; por otra parte, el de la segunda clase el número de alumnos es $2n$, luego el número de aprobados en la misma es $0,5\cdot 2 n$. Así pues, el número de aprobados de las dos clases es $0,4\,n +0,5\cdot 2n$, esto es $1,4\,n$ luego el porcentaje de aprobados tomando las dos clases en conjunto es $\dfrac{1,4\,n}{n+2n}$ es decir $\dfrac{1,4}{3} \approx 0,47 = 47\,\%$
$\square$
lunes, 8 de octubre de 2018
¿ Cuánto mide la altura de la mesa ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $t$ la altura de la mesa; por $g$, la del gato, y por $u$ la de la tortuga. Entonces, según la figura:
$$\left.\begin{matrix}t-u+g=170 \\ t-g+u=130\end{matrix}\right\}$$ Sumando ambas ecuaciones, miembro a miembro, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las dos originales: $$2t=300$$ de donde $$t=150\,\text{cm}$$
$\square$
domingo, 23 de septiembre de 2018
Un problema de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. En la fiesta del vals, ahora, una tecera parte de los chicos están bailando con dos quintas partes de las chicas ( NOTA 1: definimos aquí una pareja de baila como aquella formado por un chico y una chica ). ¿ Qué fracción de personas no está bailando ? ( NOTA 2: Se supone que la mitad de los asistentes a la fiesta del vals son chicas y la otra mitad, chicos ).
SOLUCIÓN. Denotemos por $m$ el número de chicas que asisten a la fiesta, y, por $h$, al nombre de chicos que asisten a la fiesta. Según el enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad ( que representa la mitad del número de personas que están bailando ): $$\dfrac{1}{3}\,h = \dfrac{2}{5}\,m \quad \quad (1)$$ por consiguiente, el número de personas que están bailando ( cada pareja de baile está formada por dos personas ) es igual a $2\cdot \dfrac{2}{5}\,m$ ( o lo que es lo mismo, $2\cdot \dfrac{1}{3}\,h$ )
De (1) se deduce que $$h=\dfrac{6}{5}\,m$$ Así que el número de personas que asisten a la fiesta es $$m+\dfrac{6}{5}\,m$$ es decir $$\dfrac{11}{5}\,m$$ y, por tanto, el número de personas que están bailando con respecto del total ( fracción de personas que están bailando ) es igual a $$\dfrac{2\cdot (2/5)\,m}{(11/5)\,m}$$ es decir $$\dfrac{4}{11}\,\text{partes del total de asistentes}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $m$ el número de chicas que asisten a la fiesta, y, por $h$, al nombre de chicos que asisten a la fiesta. Según el enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad ( que representa la mitad del número de personas que están bailando ): $$\dfrac{1}{3}\,h = \dfrac{2}{5}\,m \quad \quad (1)$$ por consiguiente, el número de personas que están bailando ( cada pareja de baile está formada por dos personas ) es igual a $2\cdot \dfrac{2}{5}\,m$ ( o lo que es lo mismo, $2\cdot \dfrac{1}{3}\,h$ )
De (1) se deduce que $$h=\dfrac{6}{5}\,m$$ Así que el número de personas que asisten a la fiesta es $$m+\dfrac{6}{5}\,m$$ es decir $$\dfrac{11}{5}\,m$$ y, por tanto, el número de personas que están bailando con respecto del total ( fracción de personas que están bailando ) es igual a $$\dfrac{2\cdot (2/5)\,m}{(11/5)\,m}$$ es decir $$\dfrac{4}{11}\,\text{partes del total de asistentes}$$
$\square$
Manejo de un conjunto de condiciones para llegar a la solución
ENUNCIADO. En una sala de cine hay $100$ butacas, y menos de $70$ están vacías. Sabemos también que: dos terceras partes de los espectadores son mujeres, y que cinco octavas partes de los espectadores están llorando; por otra parte, también se sabe que los que no están llorando son un número impar. ¿ Cuántas personas hay en el cine ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\} $, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.
Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.
Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\} $, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.
Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.
Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
$\square$
Un ejercicio de proporcionalidad directa
ENUNCIADO. Un excursionista asciende por la ledera de una montaña, de pendiente constante, a una velocidad constante. A las 14:00 ha realizado $1/6$ del recorrido, a las 16:00 ha realizado $3/4$ del recorrido. ¿ Qué fracción del recorrido ha realizado a las 15:00 ?
SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
$\square$
Cálculos por inducción
ENUNCIADO. Calcúlese el resultado de la siguiente operación $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdot \, \ldots \, \cdot \left(1+\dfrac{1}{99}\right)$$
SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
$\square$
SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
$\square$
jueves, 20 de septiembre de 2018
Un ejercicio de mezclas
ENUNCIADO. En una jarra mezclamos naranja y limón ( exprimidos ) a partes iguales. Una tercera parte del contenido de dicha jarra la ponemos en una segunda jarra ( inicialmente vacía ), idéntica a la primera; y la acabamos de llenar con limón exprimido. ¿ Cuántas partes de naranja sobre el total de la misma tiene la segunda jarra ? ¿ Cuántas partes de limón tiene ?
SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
$\square$
SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
$\square$
lunes, 10 de septiembre de 2018
Ángulo que forman las agujas del reloj (horaria y minutera) a una hora dada
ENUNCIADO. Calcúlese el ángulo que forman la aguja horaria y la minutera en el instante en que un reloj marca las 15:40:00
SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
$\square$
SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
$\square$
domingo, 17 de junio de 2018
Un ejercicio de reparto de escaños en unas eleccciones
ENUNCIADO. En unas elecciones, el partido $A$ ha obtenido $600$ votos; el partido $B$, $400$ votos; el partido $C$, $200$ votos, y el partido $D$ $50$ votos. Distribúyanse $15$ escaños entre los cuatro partidos, empleando el procedimiento d'Hondt.
SOLUCIÓN.
Aproximación al problema de reparto de escaños:
Si, repartimos el número de escaños de manera directamente proporcional al número de votos obtenido por cada partido, nos toparemos con el problema de negociar los decimales. Así, por ejemplo, con los datos del ejercicio ( los votos registrados suman un total de $1250$ ), obtendríamos los siguientes resultados al realizar el reparto:
$\dfrac{600}{1250}\cdot 15 = 7,2$ ( par $A$ )
$\dfrac{400}{1250}\cdot 15 = 4,8$ ( par $B$ )
$\dfrac{200}{1250}\cdot 15 = 2,4$ ( par $C$ )
$\dfrac{50}{1250}\cdot 15 = 0,6$ ( par $D$ )
El procedimiento d'Hondt:
El procedimiento de reparto de escaños d'Hondt se considera también como un método de reparto proporcional de escaños, pero con algunos matices, entre los cuales cabe subrayar que si bien resuelve el problema de los decimales los resultados que se obtienen van en detrimento de los partidos menos votados.
El algoritmo del procedimiento d'Hondt para asignar escaños consiste en comenzar anotando los votos obtenidos en la primera fila de una tabla, con tantas columnas como partidos haya y tantas filas como escaños haya que distribuir. El primer escaño se asigna al partido más votado y se señala dicho partido; a continuación, en la segunda fila se sustituye la cantidad de votos que dio lugar a asignar el escaño en el primer paso por el número que resulta de dividir el número de votos original por el número de escaños que ya tiene asignados más una unidad -- en el caso de que varios partidos tengan la misma cantidad en un determinado paso, se da el escaño al partido más votado --. Y se sigue así, hasta haber asignado todos los escaños. La siguiente figura muestra los resultados con los datos del ejercicio, y las celdas coloreadas indican el propietario del escaño.
Así, en el caso que nos ocupa, corresponden $8$ escaños al partido $A$, $5$ escaños a $B$ y $2$ escaños a $C$. Nota: el partido $C$ se queda sin representación.
-oOo-
También podemos dividir sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ tal como se muestra en la tabla de la siguiente figura. Basta con ordenar de mayor a menor las cantidades que resultan de la división de los votos por los divisores, hasta haber asignado un total de $15$ escaños. Las celdas de la tabla que aparecen coloreadas en color naranja, indican los números de escaños que corresponden a cada partido.
[ Haz clic aquí para ver la imagen ampliada ]
SOLUCIÓN.
Aproximación al problema de reparto de escaños:
Si, repartimos el número de escaños de manera directamente proporcional al número de votos obtenido por cada partido, nos toparemos con el problema de negociar los decimales. Así, por ejemplo, con los datos del ejercicio ( los votos registrados suman un total de $1250$ ), obtendríamos los siguientes resultados al realizar el reparto:
$\dfrac{600}{1250}\cdot 15 = 7,2$ ( par $A$ )
$\dfrac{400}{1250}\cdot 15 = 4,8$ ( par $B$ )
$\dfrac{200}{1250}\cdot 15 = 2,4$ ( par $C$ )
$\dfrac{50}{1250}\cdot 15 = 0,6$ ( par $D$ )
El procedimiento d'Hondt:
El procedimiento de reparto de escaños d'Hondt se considera también como un método de reparto proporcional de escaños, pero con algunos matices, entre los cuales cabe subrayar que si bien resuelve el problema de los decimales los resultados que se obtienen van en detrimento de los partidos menos votados.
El algoritmo del procedimiento d'Hondt para asignar escaños consiste en comenzar anotando los votos obtenidos en la primera fila de una tabla, con tantas columnas como partidos haya y tantas filas como escaños haya que distribuir. El primer escaño se asigna al partido más votado y se señala dicho partido; a continuación, en la segunda fila se sustituye la cantidad de votos que dio lugar a asignar el escaño en el primer paso por el número que resulta de dividir el número de votos original por el número de escaños que ya tiene asignados más una unidad -- en el caso de que varios partidos tengan la misma cantidad en un determinado paso, se da el escaño al partido más votado --. Y se sigue así, hasta haber asignado todos los escaños. La siguiente figura muestra los resultados con los datos del ejercicio, y las celdas coloreadas indican el propietario del escaño.
Así, en el caso que nos ocupa, corresponden $8$ escaños al partido $A$, $5$ escaños a $B$ y $2$ escaños a $C$. Nota: el partido $C$ se queda sin representación.
También podemos dividir sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ tal como se muestra en la tabla de la siguiente figura. Basta con ordenar de mayor a menor las cantidades que resultan de la división de los votos por los divisores, hasta haber asignado un total de $15$ escaños. Las celdas de la tabla que aparecen coloreadas en color naranja, indican los números de escaños que corresponden a cada partido.
[ Haz clic aquí para ver la imagen ampliada ]
jueves, 7 de junio de 2018
lunes, 28 de mayo de 2018
Estadística descriptiva. Un ejercicio acerca de la determinación de los cuartiles y de la elaboración del diagrama de caja y bigotes
ENUNCIADO.
Ordenando los valores de menor a mayor,
Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:
Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$
Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.
Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.
Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):
$\square$
Ordenando los valores de menor a mayor,
47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96
Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:
47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96
Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$
Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.
Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.
Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):
$\square$
martes, 22 de mayo de 2018
Valores atípicos en una distribución estadística unidimensional. Longitud de los bigotes del diagrama de caja y bigotes
Consideramos que un valor $X=k$ de una distribución estadística es atípico si se sitúa a mayor distancia que $1,5\cdot \text{RIQ}$ del tercer cuartil $Q_3$ o bien del primer cuartil $Q_1$, y se representa con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, $|Q_3-Q_1|$
Un valor $X=k$ es por tanto atípico si $k \succ Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$
Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es $31$. Justifíques el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN. Como $Q_3+1,5 \text{RIQ}=1,5\cdot 10+15=30 \prec 31$, $X=31$ es un valor atípico.
Observación:
Para dibujar los bigotes en un diagrama de caja y bigotes ( una vez dibujada la caja, con los cuartiles ) trazamos un segmento desde el tercer cuartil hasta el valor máximo no atípico, y otro segmento desde el primer cuartil hasta el valor mínimo no atípico, así quedan determinadas las longitudes de los bigotes.
$\square$
Un valor $X=k$ es por tanto atípico si $k \succ Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$
Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es $31$. Justifíques el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN. Como $Q_3+1,5 \text{RIQ}=1,5\cdot 10+15=30 \prec 31$, $X=31$ es un valor atípico.
Observación:
Para dibujar los bigotes en un diagrama de caja y bigotes ( una vez dibujada la caja, con los cuartiles ) trazamos un segmento desde el tercer cuartil hasta el valor máximo no atípico, y otro segmento desde el primer cuartil hasta el valor mínimo no atípico, así quedan determinadas las longitudes de los bigotes.
$\square$
lunes, 21 de mayo de 2018
Reparto de escaños mediante el procedimiento d'Hondt
ENUNCIADO. En unas elecciones, cuatro partidos políticos han obtenido los siguintes votos:
VOTOS
SOLUCIÓN.
Dividiendo sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ y $7$ el número de votos de cada partido y seleccionando los números mayores empezando por el vértice superior izquierdo ( que marcamos con un asterisco ) podremos contabilizar, fila a fila, el número de escaños que hay que asignar a cada partido.
SOLUCIÓN.
Notas: Si en un cierto paso hubiese empate en los resultados de las divisiones, se asigna el escaño al partido que cuenta con mayor número de votos.
ESCAÑOS:
Otra manera de implementar el algoritmo d'Hondt consiste en: asignar el primer escaño al partido más votado en cada paso ( organizaremos dichos pasos por filas ) y dividir el número de votos de éste por el número de escaños que tiene asignados más una unidad, siendo este resultado el nuevo número de votos a tener en cuenta para dicho partido en el siguiente paso. Repetiremos estas operaciones hasta haber asignados todos los escaños (*), tal como se muestra en la siguiente tabla:
VOTOS
--------------- | A | 900 | --------------- | B | 600 | -------------- | C | 300 | -------------- | D | 100 | --------------Se desea repartir $7$ escaños empleando el procedimiento d'Hondt ( Fuente: Wikipedia ).
SOLUCIÓN.
Dividiendo sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ y $7$ el número de votos de cada partido y seleccionando los números mayores empezando por el vértice superior izquierdo ( que marcamos con un asterisco ) podremos contabilizar, fila a fila, el número de escaños que hay que asignar a cada partido.
SOLUCIÓN.
-----------------------------------
divisores consecutivos
-----------------------------------
1 2 3 4 5 6 7
-----------------------------------
A 900 450* 300* 225* 180* 150 129
B 600 300* 200* 150 120 100 86
C 300 150* 100 75 60 50 43
D 100 50 33 25 20 17 14
Notas: Si en un cierto paso hubiese empate en los resultados de las divisiones, se asigna el escaño al partido que cuenta con mayor número de votos.
ESCAÑOS:
--------------- | A | 4 | --------------- | B | 2 | -------------- | C | 1 | -------------- | D | 0 | --------------
Otra manera de implementar el algoritmo d'Hondt consiste en: asignar el primer escaño al partido más votado en cada paso ( organizaremos dichos pasos por filas ) y dividir el número de votos de éste por el número de escaños que tiene asignados más una unidad, siendo este resultado el nuevo número de votos a tener en cuenta para dicho partido en el siguiente paso. Repetiremos estas operaciones hasta haber asignados todos los escaños (*), tal como se muestra en la siguiente tabla:
--------------------------------------------------------
A | B | C | D |
--------------------------------------------------------
900 (*) | 600 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
450 | 600 (*) | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
450 (*) | 300 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
300 (*) | 300 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
225 | 300 (*) | 300 (*) | 100 |
--------------------------------------------------------
225 (*) | 150 | 150 | 100 |
--------------------------------------------------------
$\square$
viernes, 18 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con amplitudes desiguales.
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con distintas amplitudes:
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en las siguientes clases ( intervalos ): $[9,13)$, $[13,17)$ y $[17,20]$, y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
--------------------------------------------
--------------------------------------------
i |intervalo | amplitud_i | n_i | N_i |
--------------------------------------------
1 | [9,13) | 13-9=4 | 4 | 4 |
--------------------------------------------
2 | [13,17) | 17-13=4 | 17 | 21 |
--------------------------------------------
3 | [17,20)] | 20-17=3 | 9 | 30 |
--------------------------------------------
| N=30 |
-------
A continuación, deberemos dibujar los histogramas, aunque sólo calcularemos lo necesario, aquí, para elaborar el de frecuencias absolutas del recuento ( de manera similar procederíamos para dibujar el histograma de frecuencias acumuladas ). Provistos de una hoja de papel milimitrado ( para mayor comodidad ), calcularemos la altura y la anchura de los tres rectángulos que formaran dicho histograma.Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
martes, 8 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de valores en intervalos ( clases ) de igual amplitud
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con igual amplitud:
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
$\square$
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en clases ( intervalos ) y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
-----------------------
i|intervalo | n_i |N_i|
-----------------------
1|8'5,10'5) | 1 |1 |
-----------------------
2|10'5,12'5)| 3 |4 |
-----------------------
3|12'5,14'5)| 5 |9 |
-----------------------
4|14'5,16'5)| 12 |21 |
-----------------------
5|16'5,18'5)| 7 |28 |
-----------------------
6|18'5,20'5)| 2 |30 |
-----------------------
|N=30 |
-------
$\square$
martes, 16 de enero de 2018
sábado, 13 de enero de 2018
domingo, 19 de noviembre de 2017
lunes, 16 de octubre de 2017
Adecuación del resultado final de un cálculo al número de cifras significativas que le corresponde, atendiendo a la precisión de los datos
ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ y del área $\bar{A}$ que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema.
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)