Estadística descriptiva

ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:

Se pide:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos

SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.

La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$

El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):

Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.

$\square$

Ejercicio con una función cuadrática

ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función

SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$

b)

c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $

$\square$

Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$

SOLUCIÓN.

a)

b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.

c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.


Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.

d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.

$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen final del tercer trimestre ( temas 6 y 7 ), realizado el Jueves 09/06/2016

Primera parte ( recuperación del tema 6 ): [ 1 | 2 ]
Segunda parte ( tema 7 ): [ 3 | 4 ]

Diagrama de tallo y hojas

ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:

Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y el de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).

SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$

Estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:

Se pide:\par
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos

SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:

Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.

Parámetros y sumas:

Diagrama de puntos:

Diagrama de barras:

Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:

Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$

Un ejercicio sobre funciones cuadráticas

ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:

Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?

SOLUCIÓN.

En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$

Gráfica de la función:

a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.

b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$

c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$

d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).

$\square$

Un ejercicio sobre funciones lineales afines

ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$

SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$

Precisión en las mediciones

ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.

SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.

Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$

Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$

Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del 2.º trimestre de 3.º de ESO ( E. Aplicadas ), temas 4 y 5, realizado el día 1/04/2016

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Diferencia de longitud geográfica y diferencia horaria

ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=3^{\circ}\,50'\,\text{W}$ y $L_B=12^{\circ}\,40'\,\text{E}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando en $A$ son las $13:10:20$ horas ?.

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
$\square$

Hallar la capacidad de una caja de embalaje que tiene forma de ...

ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $2$, $3$ y $4$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje

SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).

b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$

c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
$\square$

Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...

ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono

SOLUCIÓN.

a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$

b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$

c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$

d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$

$\square$

Homotecias: razón de las áreas y razón de los perímetros ...

ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un cuadrado de $4\,\text{cm}^2$ de área, con un factor de ampliación del $150\,\%$ ( razón de homotecia igual a $1,5$ ). Se pide:
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado

SOLUCIÓN.

a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$

b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$

c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$

d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$

$\square$

Construir el giro de un segmento ...

ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(-1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(4,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.

SOLUCIÓN.

$\square$

Hallar la altura del árbol a partir de la sombra del mismo y de la sombra de otro árbol ...

ENUNCIADO. Dos árboles están plantados ( perpendicularmente al suelo ) en un claro del bosque cuyo suelo es horizontal. El pequeño mide $4$ metros y del más alto desconocemos su altura. En un cierto momento del día ( que es soleado ) medimos las longitudes de las sombras: la que da el pequeño es de $5$ metros, y la que da el más alto es de $15$ metros. Calcular la altura del árbol más alto.

SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
$\square$

Ejercicios resueltos de los temas 4 y 5 ( 11/03/2016 )

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Diferencia horaria

ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=4^{\circ}\,20'\,\text{E}$ y $L_B=24^{\circ}\,50'\,\text{W}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando la hora en $A$ es $18:30:00$ horas ?.

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativa para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=+4^{\circ}\,20'$ ( por estar al este del meridiano cero ) y $L_B=-24^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|+4^{\circ}\,20'-(-24^{\circ}\,50')\right|=29^{\circ}\,10'=1750'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{1750}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{1750}{900}=1\;\text{h}\quad 56\;\text{min}\quad 40\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ menos ( $B$ está al oeste de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A-\Delta\,t=18:30:00-1:56:40=16:33:20$$
$\square$

Prisma recto de base rectangular

ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $1$, $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje

SOLUCIÓN.
a) Aplicando el teorema de Pitágoras dos veces ( cada una en el correspondiente triángulo rectángulo ), obtenemos la longitud de la diagonal: $d=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\; \text{dm}$

b) El volumen de la caja ( que tiene forma de prisma recto de base rectangular ) es igual a $V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \; \text{dm}^3$. Luego, tiendo en cuenta la equivalencia $1\; \text{L} = 1 \; \text{dm}^3$, la capacidad de la caja es de $6 \; \text{L}$

c) El desarrollo plano está formado por seis rectángulos ( iguales dos a dos ), cuyos lados tienen como longitudes las de las aristas del prisma, así $$A=2\,(2\cdot 3+ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 )=22 \; \text{dm}^2$$
$\square$

Cono

ENUNCIADO. Considerar un cono de $8$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $6$ decímetros. Se pide:
a) la longitud de la generatriz
b) el volumen del cono
c) el área lateral
d) el área de la base

SOLUCIÓN.

a) Tomando una generatriz, podemos configurar un triángulo rectángulo, con la altura del cono y el radio de extremos el pie de la altura y el pie de la generatriz; entonces, por el teorema de Pitágoras, $g=\sqrt{h^2+r^2}$, y, con los datos del problema, $g=\sqrt{8^2+6^2}=10\; \text{cm}$

b) El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2 \cdot 8 = 96\,\pi \; \text{cm}^3$

c) El área lateral del cono ( del desarrollo plano de la misma es un sector circular de radio $g$ y ángulo proporcional a la longitud de su arco ) viene dado por $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \; \text{cm}^2$

d) El área de la base del cono ( de base circular ) viene dada por $A_{\text{base}}=\pi\,r^2=\pi\cdot 6^2 = 36\,\pi \; \text{cm}^2$

$\square$

Hemos hecho una fotocopia ampliada ...

ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un rectángulo de $6\,\text{cm}^2$, con un factor de ampliación del $250\,\%$ ( razón de homotecia igual a $2,5$ ). Se pide:
a) Si el perímetro del rectángulo original es igual a $10\,\text{cm}$, ¿ cuál es el perímetro del rectángulo ampliado ?
b) ¿ Cuál es la razón aritmética entre el área del rectángulo ampliado y el área del rectángulo original ?
c) Calcular el área del rectángulo de la fotocopia ampliada

SOLUCIÓN.
a) La homotecia nos da una imagen semejante al rectángulo original. Sea $P'$ el perímetro de la imagen ( fotocopia ) y $P$ el del rectángulo original, entonces la razón de la homotecia ( que es la de la semejanza ) es igual a $r=\dfrac{P'}{P}$, esto es, $2,5=\dfrac{P'}{10}$; de donde, despejando $P'$, obtenemos $P'=2,5 \cdot 10 = 25 \; \text{cm}$

b) La razón aritmética entre las áreas, $A$ y $A'$, de las figuras objeto e imagen, que son semejantes ( por la homotecia ), es igual al cuadrado de la razón de semejanza: $r^2=2,5^2=6,25$

c) Por lo dicho en el apartado anterior, $r^2=\dfrac{A'}{A}$, lugo $6,25=\dfrac{A'}{6}$, con lo cual $A'=6\cdot 6,25 = 37,5 \; \text{cm}^2$
$\square$

Aplicar un giro al segmento ...

ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(3,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.

SOLUCIÓN.

Del gráfico, vemos que las coordenadas de los puntos resultantes del giro son $A'(3,3)$ y $B'(4,2)$
$\square$

Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un llano del parque y en un día soleado, medimos la longitud de la sombra que da una farola y, a la vez, un ayudante mide la longitud de la sombra que da una persona cuya estatura es de $170$ centímetros. La longitud de la sombra de la farola ha resultado ser de $10$ metros; y, la longitud de la sombra de la persona ( que está de pie ), de $190$ centímetros. Con estos datos, calcular la altura de la farola.

SOLUCIÓN.
La sombras del árbol ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del árbol ) y del bastón ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del palo ), a la misma hora del día, conforman un dos triángulos semejantes; entonces, llamando $x$ a la altura del árbol, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{170}{190}$$ donde los datos vienen expresados en centímetros. Despejando $x$ obtenemos $$x=\dfrac{17 \cdot 1000}{19} \approx 895 \; \text{cm}$$. $\square$

Cuerpos geométricos en el espacio. Problemas métricos.

Ejercicios resueltos y comentados del examen del tema 4 ( realizado del día 12/02/2016 )

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ]

Situación de un número racional en la recta numérica

Bosquejo de cómo situar un número racional en la recta numérica

Semejanza

ENUNCIADO. Sea un cuadrado de $4$ centímetros de lado. Considerar, ahora, otro cuadrado que sea semejante al primero y que tenga $12$ centímetros de lado. ¿ Cuál es la razón de semejanza del segundo con respecto del primero ? ¿ Cuál es la razón entre las áreas del mayor y del menor ?.

SOLUCIÓN. La razón de semejanza es $k=\dfrac{12}{4}=3$, y la razón entre las áreas es $k^2$, esto es, $3^2=9$
$\square$

Construir la homotecia con centro en el punto ...

ENUNCIADO. Construir una homotecia de razón $2:1$ del triángulo cuyos vértices son $A(-1,0)$, $B(0,1)$ y $C(1,0)$.

Sugerencia: Tomar como centro de la homotecia el punto $O(0,0)$

SOLUCIÓN.

Construir un giro tal que ...

ENUNCIADO.
Construir un giro de centro el punto $P(3,0)$, de ángulo $180^{\circ}$, y en el sentido de las agujas del reloj del rectángulo cuyos vértices son los puntos $A(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(-1,1)$ y $D(1,1)$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos imagen $A',B',C'$ y $D'$ ?.

SOLUCIÓN.

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo tal que ...

ENUNCIADO.
Sea un rectángulo cuya diagonal mide $5$ decímetros, siendo uno de sus lados de longitud igual a $3$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho rectángulo.

SOLUCIÓN. La diagonal del rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales. Tomemos cualquiera de los dos; entonces, el lado de longitud conocida es uno de sus catetos, y, llamando $x$ al otro cateto ( que es el otro lado desigual del rectángulo ), por el teorema de Pitágoras podemos escribir $$5^2=3^2+x^2$$ de donde $$x=\left|\sqrt{5^2-3^2}\right|=4\;\text{dm}$$. Una vez conocidos los lados desiguales del rectángulo, podemos calcular su área fácilmente $$\text{Área}=3\cdot 4=12\; \text{dm}^2$$ Y, también, el perímetro del mismo $$\text{Perímetro}=2\,(3+4)=14\;\text{dm}$$
$\square$

Triángulos rectángulos. Toremas de Pitágoras, del cateto y de la altura.

ENUNCIADO.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto

Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.

Visitando el Museo del Romanticismo ( Madrid )

Máquina de sumar, restar, multiplicar y dividir, de la segunda mitad del siglo XIX ( Museo del Romanticismo, Madrid )

Demostración "china" del teorema de Pitágoras

Fijémonos en la siguiente figura

Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$

Resolver el siguiente problema de interés compuesto

ENUNCIADO. Dejamos depositados $200,00$ euros, a un interés ( compuesto ) del $3\,\%$ anual, durante $5$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ? ¿ Cuál será el beneficio ?.

SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
$\square$

Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver:
a) $x^2+x-2=0$
b) $x^2-3\,x=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+x-2=0$
  $1\cdot x^2+1\cdot x+(-2)=0$, luego $a=1$, $b=1$ y $c=-2$ en $ax^2+bx+c=0$. Por tanto, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=$
    $=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{matrix}\right.$

b)
$x^2-3\,x=0$
  $x(x-3)=0$, producto ( el del primer miembro ) que sólo es cero en dos casos: si $x=0$; o bien, si $x-3=0$, esto es, si $x=3$. Así, la solución de esta ecuación viene dada por el conjunto de números $\{0\,,\,3\}$
$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
b) $\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
c) $\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$

SOLUCIÓN.

a)
$2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
  $2x-2\cdot 1=2\cdot 3+2x$
    $2x-2=6+2x$
      $2x-2x=6+2$
        $0=8$, que es una contradicción, por lo que debemos concluir que esta ecuación es incompatible ( no tiene solución ).

b)
$\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $24$. Multiplicando, pues, por $24$ en ambos miembros, conseguiremos transformar la ecuación en otra equivalente, más sencilla.
  $24 \cdot \dfrac{x+1}{8}=24 \cdot\dfrac{1}{12}+24 \cdot\dfrac{x}{6}$
    $3\,(x+1)=2+4x$
      $3x+3\cdot 1=2+4x$
        $3x+3=2+4x$
          $3-2=4x-3x$
            $1=x$

c)
$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
Sumando, miembro a miembro, y término a término, las dos ecuaciones obtenemos otra ecuación, equivalente a cualquiera de las dos originales: $2x=3$. Despejando $x$, $x=\dfrac{3}{2}$. Y, sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones originales ( por ejemplo, en la primera ) llegamos a $\dfrac{3}{2}-y=1$; de donde, despejando, $y$, $y=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$
$\square$

Calcular el interés ( simple )

ENUNCIADO. Dejamos depositados $400,00$ euros, a un interés ( simple ) del $1\,\%$ anual, durante $6$ años. ¿ Cuál será el beneficio ( intereses ) ?.

SOLUCIÓN. El beneficio o interés, $I$, viene dado por $$I=C_{\text{inicial}}\cdot i \cdot t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso es $i=1/100=0,01$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Por tanto, $$I=400,00\cdot 0,01 \cdot 6=24,00\; \text{euros}$$
$\square$

Sucesiones aritméticas

ENUNCIADO. Sea la sucesión aritmética $$2,5,8,11,14,\ldots$$ Se pide ( empleando las fórmulas ):
a) el valor del término $a_{20}$
b) el valor de la suma de los $20$ primeros términos

SOLUCIÓN.

a)
Esta sucesión es aritmética, pues cada término se forma, a partir del anterior, sumándole una constante, $d$ ( que en este caso es $3$ ). En una sucesión aritmética, el valor del término n-ésimo viene dado por $a_n=a_1+ (n-1)\cdot d$. Como $a_1=2$ y $n=20$, tenemos $$a_n=2+ (20-1)\cdot 3=59$$

b)
La suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética viene dada por $$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n$$ Entonces, como $n=20$, $a_1=2$ y $a_n=59$, $$S_{20}=\dfrac{(2+59)}{2}\cdot 20=610$$
$\square$

Plantear y resolver

ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $2$. Al restar los triples de dichos números nos da $6$. Encontrar dichos números, planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, donde $x \succ y$. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
3\,x &-&3\,y&=&6 \\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación es, en realidad, la primera, pues basta multiplicar por $3$ ( miembro a miembro ) los términos de la primera para obtener la segunda. Por lo tanto, este sistema consta de una sola ecuación ( independiente ) con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado, esto es, hay infinitos pares de valores (x,y) que cumplen la condición pedida, y éstos son, concretamente, de la forma $$(x\,,\,y=x-2)$$ Así, por ejemplo, $x=2$ e $y=0$ forman parte de la solución; pero también, $(3,1)$, $(4,2)$, ($5,3)$, etcétera.

$\square$

[autoría]

Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2-2\,x-8=0$
b) $(x+1)^2-9=0$
c) $3\,x^2-6\,x=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2-2\,x-8=0$
  $1 \cdot x^2+(-2)\,x+(-8)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}=$

    $=\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2 }=\dfrac{2\pm 6}{2 }=1\pm3=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$

Otra forma de hacerlo:
$x^2-2\,x-8=0$
  $(x-1)^2-8-1=0$
    $(x-1)^2=9$
      $\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}$
        $x-1=\pm 3$
          $x=\pm 3+1=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$

b)
$(x+1)^2-9=0$
  $(x+1)^2=9$
    $\sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{9}$
      $x+1=\pm 3$
        $x=\pm 3-1=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\\
-4
\end{matrix}\right.$

c)
$3\,x^2-6\,x=0$
  $3\,x \,(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
3x=0 \Leftrightarrow x=0
\\
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

[autoría]

Resolver

ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\,(x-1)=3\,(1-x)$
b) $\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
c) $\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$


SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=3\,(1-x)$
  $2x-2=3-3x$
    $2x+3x=3+2$
      $5x=5$
        $x=1$

b)
$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
  $12 \cdot \dfrac{x+2}{6}=12 \cdot \dfrac{x-1}{12}$
    $2\cdot (x+2)=1 \cdot (x-1)$
      $2x+4=x-1$
        $2x-x=-1-4$
          $x=-5$

c)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

Con la combinación $3e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
7x &&&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$

Simplificando la segunda ecuación

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &&&=&\dfrac{3}{7} \\
\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $x$ en la primera ecuación de este sistema ( equivalente ), obtenemos el valor de $y$:

$2\cdot \dfrac{3}{7}+y=1$
  $y=1-2\cdot \dfrac{3}{7}$
    $y=\dfrac{1}{7}$

$\square$

[autoría]

Fracciones generatrices

ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) $4,32$
b) $2,50\overline{1}$
c) $14,\overline{46}$

SOLUCIÓN.
a) $4,32 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{432}{100} \quad \overset{\text{m.c.d}(432,100)=4}{=} \quad \dfrac{108}{25}$

b) $2,50\overline{1} \quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{2501-250}{900} = \dfrac{2251}{900}$

c) $14,\overline{46} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1446-14}{99} = \dfrac{1432}{99}$

$\square$

[autoría]

Calcular ...

ENUNCIADO. Realizar las siguientes operaciones con fracciones ( las simplificaciones son obligatorias ):
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
c) $\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
d) $\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=$

  $\overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}$

        $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}$

          $=\dfrac{24+10+(-3)}{36}$

            $=\dfrac{31}{36}$


b)

$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$

  $=\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}$

    $=\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}$

      $=\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}$

        $=5 \cdot \dfrac{1}{2}$

          $=\dfrac{5}{2}$


c)

$\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$

  $=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)$

    $=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}$

      $=\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

        $=\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}$

          $=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}$

            $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$

              $=\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}$

                $=\dfrac{1 }{6}$


d)

$\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

  $=\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3$

    $=\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3$

      $=\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3$

        $=\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3$

          $=\dfrac{(-3)^3}{2^3}$

            $=\dfrac{(-27)}{8}$

              $=-\dfrac{27}{8}$

$\square$

[autoría]

Proyección ( fotografía matemática )

[Altafulla, Mayo de 2015]

[proyección]

[autoría]

Hallar los números racionales tales que ...

ENUNCIADO. Hallar los números racionales tales que la suma ( de cada uno de ellos ) con el respectivo inverso es la fracción $\dfrac{10}{3}$

SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$

[autoría]

La diferencia de dos números naturales es ...

ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $4$. Al restar los triples de dichos números nos da $12$. Plantear un sistema de ecuaciones, estudiarlo y resolverlo ( si procede ).

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
3x &-&3y&=&12
\end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
&&0&=&0
\end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
$\square$

[autoría]

En un depósito ...

ENUNCIADO. En un depósito hay dos grifos de llenado. Si se abre solamente el primero, el depósito se llena en $3$ horas. Si se abra solamente el segundo, el depósito se llena en $6$ horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará si se abren los dos a la vez ?.

SOLUCIÓN. El tiempo que transcurre con los dos grifos abiertos, $x$, es directamente proporcional a la fracción del depósito que se llena. Si el primer depósito llena todo el depósito en $3$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{3}$ del mismo; y, si el segundo grifo llena todo el depósito en $6$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{6}$ del mismo. Luego, en una misma hora, los dos grifos abiertos a la vez llenan $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ del depósito, lo cual nos lleva a plantear la siguiente ecuación ( proporción directa ):
  $\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{x}{3/3}$. Resolviéndola,
    $\dfrac{1}{2/3}=x$
      $\dfrac{3}{2}=x$
luego $x=1,5$ horas
es decir, $x=1$ hora y $30$ minutos
$\square$

[autoría]

En una granja ...

ENUNCIADO. En una granja, entre conejos y gallinas, hay 25 animales. Si entre todos hay $82$ patas, ¿ cuántos conejos y cuántas gallinas hay ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el número de conejos, entonces $25-x$ es el número de gallinas. Como cada conejo tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, podemos escribir la siguiente ecuación $$4x+2\,(25-x)=82$$. Resolvámosla:
  $4x+2\,(25-x)=82$
    $4x+50-2x=82=82$
      $2x=82-50$
        $2x=32$
          $x=\dfrac{32}{2}$
            $x=15$ conejos
luego el número de gallinas es $25-16=9$
$\square$

[autoría]

Después de recorrer ...

ENUNCIADO. Después de recorrer la cuarta parte de un camino, y luego las dos terceras partes del resto, todavía nos quedan $3$ quilómetros por andar. ¿ Cuánto mide la longitud total del camino ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud pedida, entonces $$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\,x\right)=3$$ y realizando los pasos necesarios para despejar $x$,
  $x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=3$
    $x-\dfrac{3}{4}\,x=3$
      $\dfrac{1}{4}\,x=3$
        $x=3 \cdot 4$
          $x=12\,\text{km}$
$\square$

[autoría]

Se ha realizado la medida de ...

ENUNCIADO:
Se ha realizado una medida de la longitud de un tablón, $x$, obteniendo $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$, con una cota de error absoluto de $0,2 \, \text{cm}$. ¿ Cuál es el intervalo de error ( incertidumbre ) para el valor de dicha magnitud ?

SOLUCIÓN:
Podemos afirmar que $x=42,3 \, \text{cm} \; \pm \, 0,2 \; \text{cm}$, luego el intervalo de error es $I_x=(43,2-0,2\,,\,42,3+0,2) \; \text{cm}$, esto es, $I_x=(42,0\,,\,42,5) \; \text{cm}$ siendo el centro de dicho intervalo el valor tomado en el proceso de medida: $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$ y estando el valor real de la medida en algún punto de dicho intervalo.
$\square$

[autoría]

Situación de un número racional en la recta numérica ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada ...

ENUNCIADO
En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada, cuya área es de $50 \, \text{dm}^2$, observamos una hoja de sauce flotando que, movida por la corriente, se desplaza a razón de $10 \, \text{m}$ cada $5 \, \text{s}$. ¿Que caudal de agua lleva el canal? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenar una balsa de riego, inicialmente vacía, que tiene una capacidad de $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$?

SOLUCIÓN
En un intervalo de $5 \, \text{s}$, podemos considerar un elemento de volumen de agua ( que transporta el canal ), en forma de prisma recto, cuya base cuadrada tiene un área de $50 \, \text{dm}^2$, y cuya arista longitudinal ( en la dirección de la corriente ) mida $10 \, \text{m}$, esto es, $100 \, \text{dm}$; entonces el volumen de dicho elemento es de $50 \cdot 100 = 5000 \, \text{dm}^3$, por tanto, el caudal pedido es de $\dfrac{5000 \, \text{dm}^3}{5 \, \text{s}}$, es decir, $10^3 \, \dfrac{\text{dm}^3}{s}$

Teniendo en cuenta que $1 \, \text{dm}^3$ de volumen equivale a $1 \, \text{L}$ de capacidad, el canal aporta $10^3 \, \dfrac{\text{L}}{s}$, y como la capacidad de la balsa de riego es $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$, se necesitan $$\dfrac{5 \cdot 10 ^6}{10^3} \, \dfrac{\text{L}}{\text{L}/\text{s}} = 5000 \, \text{s}$$ para llenarla, que, expresado en forma compleja, es igual a $$3 \, \text{h} \; 28 \, \text{min} \; 20 \, \text{s}$$.
$\square$

[nota del autor]

El lado más largo de un rectángulo mide ...

Enunciat:
El costat més llarg d'un rectangle fa dos metres més que el més curt. Sabem que el perímetre d'aquest rectangle mesura $16 \, \text{dm}$. Quant val l'àrea del rectangle?

Resolució:
Si anomenem $x$i $y$ a les longituds dels costats desiguals del rectangle, i considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} 2x+2y = 16 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

simplificant la primea equació el podem escriure de forma més senzilla

$\left.\begin{matrix} x+y = 8 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable

$y+2+y=8$
que equival a
$2y=8-2$
és a dir
$2y=6$
d'on trobem que
$y=3 \, \text{dm}$

i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=8-3$
és a dir
$x=5 \, \text{dm}$

Ara ja podem calcular l'àrea del rectangle, multiplicant les longituds dels dos costats

$A=5 \cdot 3 = 15 \, \text{dm}^2$
$\square$

[nota del autor]

Diversos ejercicios de proporcionalidad ...

1. Hem comprat un article que estava rebaixat en un 6%. Si hem pagat 32,00 € (I.V.A. inclòs), quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar si, en proporció, ens descompten sis euros de cada cent que valgui un cert article

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{32,00}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{32,00 \cdot 100}{94}$

i, aproximant el càlcul (per arrodoniment) fins els cèntims d'euro, trobem la quantitat que haurem de pagar: 34,04 €
$\square$

2. El preu nominal d'un article és de 30,50 € . Ens fan un desc ompte del 6%; per altra banda, cal pagar l'impost de l'I.V.A. del 18% . Quant ens costarà ?

Resoldrem el problema en dos passos: cal calcular quant pagarem amb l'I.V.A. afegit a la dada del problema; a continuació, partint d'aquest resultat, calcularem la quantitat que resultat d'aplicar-li el descompte. Val a dir que l'ordre d'aquests passos es pot invertir, atès que el resultat - com ja s'ha explicat a classe - és el mateix.


Anomenem $x$ al resultat d'afegir l'I.V.A. al preu nominal (que ens donen a l'enunciat) i plantegem la proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{30,50}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{30,50 \cdot 118}{100}$

resultat parcial que és igual a 35,99 €

Tot seguit, mirem quant quedaria amb el descompte; per això, anomenem $y$ a la quantitat que estem cercant i plantegem la proporció corresponent

$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{y}{35,99}$

aïllant la incògnita, trobem

$y=\dfrac{35,99 \cdot 94}{100}$

que, aproximant per arrodoniment als centèsims, és igual a 33,83 €
$\square$

3. Una persona va a la feina a peu; tarda 20 min si camina a una velocitat, constant, de 4 km/h . Quant de temps tardaria caminés a una velocitat, constant, de 5 km/h ?

Observem que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre la velocitat i el temps emprat, ja que si s'augmenta la velocitat és clar que el temps emprat en fer el recorregut haurà de ser més petit.

Anomenant $t$ al temps que tardarà a fer el recorregut si camina a una velocitat de 5 km/h, plantegem la següent proporció inversa:

$\dfrac{20}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$

i, d'aquí, aïllant $t$, trobem

$t=20 \cdot \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}$

i, fent el càlcul, trobem

$t=\dfrac{20 \cdot 4}{5} = 16 \; \text{min}$

$\square$

4. Si obrim una aixeta A, un dipòsit s'omple en 3 h ; per altra banda, si l'omplim obrint una aixeta B, s'omple en 2 h . Amb quant de temps l'omplirem amb les dues aixetes obertes alhora ?.

Raonem de la manera següent:

Aixeta A oberta (i B tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 3 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{3} \, \text{part}$

Aixeta B oberta (i A tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 2 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{2} \, \text{part}$

Aixetes A i B obertes alhora:
    Si en una mateixa hora, omplen
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
és a dir,
$\dfrac{5}{6} \, \text{parts}$
llavors, tot el dipòsit s'omplirà en un temps $t$ que calcularem tot seguit plantejant la següent proporció:

$\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{t}{\dfrac{6}{6}}$

d'on trobem que

$t=\dfrac{6}{5}=1,2 \; \text{h}$

resultat que, expressat en forma complexa, queda

1 h i 12 min

$\square$

5. Un article que hem comprat ens ha costat 45,00 € (amb un I.V.A. del 18% inclòs). Quant hauríem pagat si l'I.V.A. fos del 0% ?

El que se'ns demana en aquest problema és el preu nominal de l'article, que anomenarem $x$; per calcular-lo, plantegem la proporció

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

aïllant la incògnita trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118}$

i aproximant per arrodoniment als centèsims (als cèntims d'euro) queda 38,14 €
$\square$

6. El cost d'un article que comprem cada final d'any augmenta d'un 1,5% cada any, en relació al que valia l'any anterior. Enguany ens ha costat 52,00 € . Quant valia l'any passat ?.

Anomenem $x$ a la quantitat que vam haver de pagar l'any passat (la incògnita del problema) i plantegem la següent proporció:

$\dfrac{100}{100+1,5}=\dfrac{x}{52,00}$

d'aquí, aïllant $x$, arribem al resultat

$x=\dfrac{52,00 \cdot 100}{101,5}$

que, aproximat als centèsims, queda 51,23 €
$\square$

7. Volem repartir un incentiu econòmic de 100,00 € entre dues persones que treballen en una empresa de recaders, de forma proporcional al nombre d'encàrrecs que cada una ha realitzat: A n'ha fet vint-i-sis; i B, dotze. Calculeu quina quantitat correspon a cada treballador.

Primer de tot, cal que entenguem que - essent justos - cal fer un repartiment directament proporcional al nombre d'encàrrecs que cada treballador ha realitzat; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}$

on $a$ representa la quantitat que percebrà el treballador A; i b, la quantitat que correspon a B

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{a+b}{26+12}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 100,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{100}{26+12}$

que, simplificada, queda

$k=\dfrac{50}{19}$

[El valor de $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{26}=k$
tenim que
$a=26 \cdot k$
és a dir
$a=26 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 68,42 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{12}=k$
per tant
$b=12 \cdot k$
és a dir
$b=12 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 31,58 \, \text{euros}$

Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 100,00 € i, la més gran, correspon a qui ha repartit més encàrrecs, tal com ha de ser.

$\square$

8. Dos esportistes es volen repartir un premi de 200,00 €, de forma propormacional al temps que cadascú ha trigat en completar la cursa: A l'ha acabat en 2 h i 45 min; i B, en 2 h i 35 min. Calculeu la quantitat que ha de percebre cadascú.

Primer de tot, cal que entenguem que cal fer un repartiment inversament proporcional a les marques de temps respectives; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}$

On $a$ representa la quantitat que percebrà l'esportista A; i b, la quantitat que correspon a B. Val a dir que hem posat les marques de temps en forma incomplexa, expressant-les en minuts.

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=\dfrac{a+b}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 200,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{200}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

que és igual a

$k=15984,375$

[El valor de la constant de proporcionalitat $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{165} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{165} \cdot 15984,375 \approx 96,88 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{155} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{155} \cdot 15984,375 \approx 103,1\underline{2} \, \text{euros}$


Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 200,00 € i, la més gran, correspon a qui ha trigat menys en completar la cursa.

$\square$

[nota del autor]

El producto de dos números pares consecutivos es igua a ...

Enunciat:
El producte de dos nombres parells consecutius és igual a 224. Determineu aquest nombres.

Resolució:

Si anomenem $n$ a un dels dos nombres, a l'altre li haurem de dir $n+2$

i d'acord amb l'enunciat, plantejarem la següent equació
$n \, (n+2)=224$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant en un mateix membre de la igualtat, i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació anterior de la forma
$n^2+2n-224=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$an^2+bn+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=2$
$c=-224$
tenim
$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -16\\ \\14\\ \end{matrix}\right.$

Per tant, trobem dos parells de nombres com a solució del problema (una parella de nombres negatius) i una altra de nombres positius:
    si $n=-16$, llavors $m=-14$ (que és el nombre parell consecutiu a $-16$)
    si $n=14$, llavors $m=16$ (que és el nombre parell consecutiu a $14$)
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con polinomios ...

[nota del autor]

Valor esperado o esperanza matemática ...

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu d'un producte és de 38,75 € . Afegint l'I.V.A. del 18%, quant ens costarà quan el comprem?

Anomenem $x$ a la quantitat que ens costarà. Llavors, pensant amb el significat del tant per cent, s'ha de complir la següent proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{38,75}$

per tant

$x=\dfrac{38,75 \cdot 118}{100}$

que, aproximant als cèntims d'euro (per arrodoniment), és igual a

$45,73 \, \text{euros}$

$\square$

2. Quin tant per cent correspon a:
    a) trenta unitats, d'un total de trenta-cinc
    b) tres dècimes, d'un total de quatre unitats
    c) vint unitats d'un total de mil cinc-cents

Anomenant $t$ al tant per cent demanat, plantegem i resolem les següents proporcions:

a)

$\dfrac{30}{35}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{35} \approx 85,7 \,\%$

b)

$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4} = 7,5 \,\%$

c)

$\dfrac{20}{1500}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1500} \approx 1,3 \,\%$

$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagat 25,30 € . Quant hauríem pagat sense el descompte ?

Designarem amb la lletra $x$ la quantitat a determinar (la quantitat de diners que hauríem de pagar si no ens fessin el descompte) i plategem la següent proporció (interpretant correctament el significat del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{25,30}$

d'aquí aïllem la incògnita i obtenim

$x=\dfrac{25,30 \cdot 100}{94} \approx 26,91 \, \text{euros}$
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 7% per la compra d'un article que té un preu de 42,34 €, quant pagarem ?

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar i escrivim el plantejament (la proporció corresponet a la interpretació del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{42,34}$

llavors

$x=\dfrac{93 \cdot 42,34}{100} \approx 39,38 \, \text{euros}$

$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article (amb un I.V.A. del 18% inclòs) és de 110,50 € . Quin és el preu de l'article sense l'I.V.A. ?

Si $x$ és el preu demanat ( la quantitat que ens costaria si no s'hagués de pagar un impost del 18% d'I.V.A. ) podem plantejar la següent proporció, a partir del significat el tant per cent de recàrrec

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{110,50}$

d'aquí

$x=\dfrac{110,50 \cdot 100}{118} \approx 93,64 \, \text{euros}$

$\square$

6. Volem comprar un objecte que té un preu de 76,12 € . Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 9% (és temps de rebaixes), però, per altra banda, cal no oblidar que haurem de pagar l'impost de l'I.V.A. (un 18% més del que val el producte). Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-9}{100}=\dfrac{x}{76,12} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{76,12 \cdot 91}{100} = 69,2692 \, \text{euros}$

Aquest resultat parcial (per això es mostren totes les seves xifres decimals) cal fer-lo servir per acabar el problema; ara, falta per calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{69,2692} $

d'aquí

$y=\dfrac{69,2692 \cdot 118}{100}$

que, aproximant per arrodoniment fins els cèntims d'euro, és igual a

$81,74 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint, primer de tot, l'I.V.A. i, a continuació, li apliquéssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article és de $12,25 \; \text{euro}$ . Si ens fan un descompte del
7%, quant pagarem ? [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{12,25}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{93 \cdot 12,25}{100} \approx 11,39 \; \text{euro}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat un $12$% hem pagat $44,00 \text{euro}. Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?. [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar si l'article no estigués rebaixat. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{44,00}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{44,00 \cdot 100}{88} = 50 \; \text{euro}$
$\square$

3. Un article ens costa $83,40 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja és inclòs al preu ]. Quin és el preu nominal de l'article ?.

Anomenem $x$ al preu nominal de l'article. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{83,40}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{83,40 \cdot 100}{118} \approx 70,68 \; \text{euro}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article és de $24,50 \; \text{euro}$. Ens fan un descompte del $5$%. Per altra banda, l'I.V.A. és del $18$%. Quina quantitat haurem de pagar ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Aplicarem el descompte (o bé - si ho preferim - primer, l'I.V.A.) i, a la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, li aplicarem l'I.V.A. (o el descompte, si hem començat aplicant l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat a pagar fent el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{24,50}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{24,50 \cdot 95}{100} = 23,275$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de carregar l'I.V.A. al resultat del 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{23,275}$
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{24,50 \cdot 118}{100} = 27,46 \; \text{euro}$
$\square$

5. En unes rebaixes fan el $6$% de descompte. Hem comprat un article pel qual hem pagat $32,80 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja hi és inclòs]. Quin és el preu nominal d'aquest article ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Deduirem el descompte (o bé, primer, l'I.V.A.) i a continuació, de la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, en deduirem l'I.V.A. (o el descompte, si primer hem deduït l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat que obtenim deduint el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{32,80}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{32,80 \cdot 100}{94} = 34,8936 \dots$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de deduir l'I.V.A. del resultat obtingut al 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{34,8936 \dots}{y}$
[Recordeu que al numerador del 2n membre de la igualtat hi posem la quantitat que havíem desat
a la memòria de la calculadora]
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{(34,8936 \dots) \cdot 100}{118} \approx 29,57 \; \text{euro}$
$\square$

6. Volem repartir $100,00 \; \text{euros}$ entre tres participants a una cursa de fons, de forma inversament proporcional als temps que han tardat a arribar: el corredor $A$ ha tardat 3 h i 35 min; el corredor $B$, 3 h i 25 min; i el corredor $C$,3 h i 45 min. Quina quantitat correspon a cada participant ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Primer de tot, expressarem les unitats en forma incomplexa per poder fer els càlculs còmodament:
El temps de $A$: 3 h i 35 min = 215 min
El temps de $B$: 3 h i 25 min = 205 min
El temps de $C$: 3 h i 45 min = 225 min

Cal tenir en compte que la quantitat que a un corredor li pertoca és inversament proporcional al temps que ha tardat en arribar; per això, escriurem
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}$

I, per les propietats de les raons aritmètiques, s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}=\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{215}+\frac{1}{205}+\frac{1}{225}}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=100,00$, trobem que és igual a $7156,323291$, quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow a=\dfrac{m}{215} \approx 33,29 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=m \Rightarrow b=\dfrac{m}{205} \approx 34,91 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow c=\dfrac{m}{225} \approx 31,8\underline{0} \, \text{euro}$

Comprovació: $33,29+34,91+31,8\underline{0} = 100,00$
$\square$

7. Volem repartir $300,00 \; \text{euros}$ entre tres persones que han repartit formularis d'una enquesta, de forma directament proporcional al nombre de formularis que, cada u, hagi aportat. L'enquestador $A$ ha portat $42$ formularis; B, $25$; i $C$ n'ha portat $32$ . Quina quantitat correspon a cada enquestador ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Per les propietats de les raons s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{42}=\dfrac{b}{25}=\dfrac{c}{32}=\dfrac{a+b+c}{42+25+32}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=300,00$, trobem que , simplificat, és igual a
$\dfrac{100}{33}$

Aquesta quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{42}=m \Rightarrow a=42\,m \approx 127,27 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{25}=m \Rightarrow b=25\,m \approx 75,76 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{32}=m \Rightarrow c=32\,m \approx 96,97 \, \text{euro}$

Comprovació: $127,27+75,76+96,97 = 300,00$
$\square$

8. Un excursionista tarda 3 h i 35 min per anar de casa seva a un refugi, caminant a una velocitat constant de $4$ km/h . Si, per fer el mateix trajecte, caminés a $5$ km/h, quant de temps tardaria ?

Tinguem en compte que les dues magnituds relacionades en aquest problema són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra. Anomenarem $t$ al temps que volem calcular, i expressarem la quantitat de temps que ens donen com a dada en forma incomplexa ( 3 h i 35 min = 215 min ).

Plantegem la proporció (inversa):
$\dfrac{215}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
Aïllant la incògnita $t$ trobem
$t=\dfrac{215 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=172 \; \text{min} $
és a dir
2 h i 52 min
$\square$

[nota del autor]

Un barco navega ...

De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: Un vaixell A navega en línia recta a una velocitat constant de 4 km/h envers un altre vaixell B el qual es mou a una velocitat constant de 2 km/h en la mateixa direcció que A però en sentit oposat. En un instant de temps donat, els separa una distància de 6 km. A partir d'aquest instant, un au marina que s'havia posat a la creuta d'un pal del vaixell A emprén el vol cap a B, i de B cap a A, anant i venint de l'un a l'altre a una velocitat constant de 10 km/h. Quina distància total haurà recorregut l'au fins que es creuin els dos vaixells ? Primer de tot, necessitem saber quant de temps cal perquè es creuin. Aquest temps és justament el temps de vol de l'au (suposem que el canvi de sentit el fa de forma instantània); per tant, per saber quina distància total haurà recorregut, només caldrà multiplicar-lo per la velocitat a la qual es desplaça. 1. Si raonem en termes de velocitat relativa, podem calcular fàcilment la quantitat de temps necessària fins que es creuen ambdues embarcacions, sense necessitat de plantejar cap equació. Com que la velocitat relativa és igual a 4 km/h + 2 km/h = 6 km/h el temps que busquem és igual al que necessitaria un dels dos vaixells viatjant envers l'altra embarcació a la velocitat relativa, suposant aquest segon, parat. Per calcular aquesta quantitat de temps tan sols cal fer 6 km / (6 km/h) = 1 h 2. Finalment, calculem la distància total recorreguda per l'au fent: 10 km/h · 1 h = 10 km

[nota del autor]

Calcular la potencia sucesiva ...

ENUNCIADO
Calcular el valor de la siguiente operación con potencias $$2^{2^{3}}$$

SOLUCIÓN
$$2^{2^{3}}=2^8=256$$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article es de 22,35 € (I.V.A. inclòs). Si ens fan un descompte del 5%, quant pagarem ? .

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar; llavors, entenent el significat del tant per cent de descompte, podrem plantejar la següent proporció

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{22,35}$

d'on, aïllant la incògnita

$x=\dfrac{22,35 \cdot 95}{100}$

aproximant als centèsims

$x \approx 21,23 \, \text{euros}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat en un 8% hem pagat 62,54 € (I.V.A. inclòs). Quant haur íem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ a la quantitat que pagaríem si no ens haguessin fet el descompte. De la interpretació del tant per cent de descompte que ens donen com a dada, podrem plantejar la
següent proporció

$\dfrac{100}{100-8}=\dfrac{x}{62,54}$

d'on, aïllant la incògnita, trobem

$x=\dfrac{62,54 \cdot 100}{92}$

$x \approx 67,98 \, \text{euros}$
$\square$

3. Un article ens costa 21,78 € (amb I.V.A. del 18% inclòs). Quin es el preu nominal de l'article ?

Si anomenem $x$ al preu nominal de l'article, d'acord amb l'enunciat s'ha de complir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{21,78} $

d'on

$x=\dfrac{21,78 \cdot 100}{118} \approx 18,46 \, \text{euros}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article es de 35,42 € . Ens fan un descompte del 4%, i l'I.V.A. es del 18%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{35,42} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{35,42 \cdot 96}{100} \approx 34,0032 \, \text{euros}$

Conservem totes les xifres decimals d'aquest resultat (que podem desar en una memòria de la calcladora) perquè encara ens falta un pas més: calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{34,0032} $

d'aquí

$y=\dfrac{34,00 \cdot 118}{100}$

que és igual a

$40,12 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint l'I.V.A. a la dada del problema i, a continuació, d'aquesta en féssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

5. En unes rebaixes (7% de descompte), hem comprat un article que ens ha costat 19,10 € (I.V.A. del 18% inclòs). Quin és el preu nominal d'aquest article ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem hagut de pagar si no estigués rebaixat

$\dfrac{100}{100-7}=\dfrac{x}{19,10} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{19,10 \cdot 100}{93} \approx 20,54 \, \text{euros}$

Si, a partir d'aquest resultat, calculem el que hauríem de pagar si l'I.V.A. no s'hi hagués d'afegir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{y}{20,54} $

d'aquí

$y=\dfrac{20,54 \cdot 100}{118}$

que és igual a

$17,41 \, \text{euros}$

Observació: Com ja 'ha comentat a l'exerici anterior, podem invertir l'ordre dels passos que hem seguit; s'obtindrà el mateix resultat.

$\square$

6.Volem repartir 90,00 € entre tres corredors de fons que han participat en una marató, de forma inversament proporcional al temps que cadascú ha trigat per completar la cursa: A ha tardat 3h 15 min; B, 3 h 45 min; i C, 3 h 25 min . Quant percebrà cadascun del tres corredors ?.

Anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{195}+\frac{1}{225}+\frac{1}{205}}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}$

i

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

Com que $a+b+c=90,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = 6228,072706$
que aconsellem que deseu en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=k$
i, per tant
$a = \dfrac{k}{195}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 31,94 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=k$
i, per tant
$b = \dfrac{k}{225}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,68 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}=k$
i, per tant
$c = \dfrac{k}{205}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 30,38 \, \text{euros}$

A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui tarda més temps li correspon menys premi (tal com ha de ser).
$\square$

7.Volem repartir 150,00 € entre tres persones que han col·laborat a repartir qüestionaris d'una enquesta, de forma directament prporcional al nombre de qüestionaris que cadascú ha aportat. Una d'elles n'ha portat 12; una altra, 5; i la tercera, 10. Quant correspon a cada un dels tres enquestadors ?.

Com en el problema anterior, anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C. En aquest cas, però, la relació de proporcionalitat és directa

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{12}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{10}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{12+5+10}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{12}$

$\dfrac{b}{5}$

i

$\dfrac{c}{10}$

Com que $a+b+c=150,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = \dfrac{50}{9}$
que haurieu de desar en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{12}=k$
i, per tant
$a = 12 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 66,67 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{5}=k$
i, per tant
$b = 5 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,78 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{10}=k$
i, per tant
$c = 10 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 55,5\underline{5} \, \text{euros}$


A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui porti més qüestionaris (a qui faci més feina) més li haurà de correspondre (de forma justa i lògica).
$\square$

8. Un excursionista tarda 1 h 15 min a fer el cam entre dos refugis, caminant a una velocitat constant de 5 km/h . Si la velocitat fos de 3 km/h, amb quant de temps faria el recorregut ?

Donada la relació de proporcionalitat inversa que hi ha entre la velocitat i la longitud del trajecte recorregut en un mateix interval de temps, podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{75}{\frac{1}{5}}=\dfrac{t}{\frac{1}{3}}$

expressió, on $t$ expressa la quantitat de temps que trigarà a fer el recorregut a la nova velocitat.

Per comoditat, hem expressat el tems en minuts; malgrat la velocitat vingui donada en quilòmetres per hora, no cal convertir a unitats homogènies perquè el factor de conversió figuraria en tots dos membres de la igualtat i, per tant, es simplificaria.

Aïllant $t$ trobem

$t=\dfrac{75 \cdot 5}{3}$

que és igual a 125 min; és a dir, 2 h i 5 min .

$\square$

[nota del autor]