miércoles, 21 de diciembre de 2016
Empleando el método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método algebraico llamado de reducción: $$\left\{\begin{matrix}2x & - & 3y & = & 1 \\ 3x & + & 2y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método gráfico ( geométrico ): $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 1 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 19 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Sea un número entero positivo de dos cifras cuya suma es $9$. Si lo escribimos del revés ( las unidades como decenas y las decenas como unidades ), obtenemos otro número que es $45$ unidades mayor que el original. ¿ Cuál es ese número ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
Empleando el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
martes, 6 de diciembre de 2016
Resolviendo ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
Escribiendo expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Escribir el polinomio que determina el valor del área de un trapecio rectángulo, de bases $x$ y $x+2$, y tal que la distancia perpendicular entre dichas bases es de $3$ centímetros.
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
Un ejercicio de traducción del lenguaje usual al lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Escribir la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es la mitad de la altura.
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
lunes, 5 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Al aumentar $9$ centímetros el lado de un cierto cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área es $657$ centímetros cuadrados mayor que el área del cuadrado original. ¿ Cuál es el área de dicho cuadrado ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
Resolviendo ecuaciones polinómicas de segundo grado
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$(x-2)^2=(x-3)^2+48$$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Hallar los dos números cuya suma es $49$, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es $931$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo ecuaciones del tipo producto de binomios igualado a cero
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$(x+3)\cdot (x+14)=0$$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
Desarrollando expresiones algebraicas, empleando las identidades notables
ENUNCIADO. Simplificar la siguiente expresión $$(2x^2+9)\cdot (2x^2-9)-(x+3x^2)\cdot (x-3x^2)$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Aplicando las identidades notables para desarrollar expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Desarrollar la siguiente expresión $$(x^3-x)^2$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Averiguando si un cierto número es una raíz de un polinomio dado
ENUNCIADO. Averiguar si $x=-2$ es una raíz del polinomio $$P(x)=-3x^2+3x+18$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 28 de noviembre de 2016
Cálculo de probabilidades en relación al juego del dominó
ENUNCIADO. Se elege al azar una ficha de un juego de dominó. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que en la ficha elegida aparezca el número $0$ ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dicha ficha sea igual a $6$ ?
SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas del juego del dominó aparecen en la siguiente tabla
a)
Todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, luego podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. El número total de fichas es $N=28$, y el número de fichas en las que aparece un '0' es $7$, así que la probabilidad de que en la ficha elegida al azar haya un '0' es
$P(\text{"salga un '0' al extraer una ficha"})=\dfrac{N(\text{número de fichas en las que sale un '0'})}{N}$
$=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4} = 25\,\%$
b)
Los valores que se pueden dar al sumar los dos números que aparecen en las fichas del dominó están en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,12\}$ En esta segunda tabla se han anotado el valor de la suma de todas las fichas, correspondiendo las posiciones a las de las fichas representadas en la primera tabla
Haciendo el recuento de dichos valores podemos elaborar la siguiente con el
$\square$
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que en la ficha elegida aparezca el número $0$ ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dicha ficha sea igual a $6$ ?
SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas del juego del dominó aparecen en la siguiente tabla
06 05 16 04 15 26 03 14 25 36 02 13 24 35 46 01 12 23 34 45 56 00 11 22 33 44 55 66
a)
Todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, luego podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. El número total de fichas es $N=28$, y el número de fichas en las que aparece un '0' es $7$, así que la probabilidad de que en la ficha elegida al azar haya un '0' es
$P(\text{"salga un '0' al extraer una ficha"})=\dfrac{N(\text{número de fichas en las que sale un '0'})}{N}$
$=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4} = 25\,\%$
b)
Los valores que se pueden dar al sumar los dos números que aparecen en las fichas del dominó están en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,12\}$ En esta segunda tabla se han anotado el valor de la suma de todas las fichas, correspondiendo las posiciones a las de las fichas representadas en la primera tabla
6 5 7 4 6 8 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12
Haciendo el recuento de dichos valores podemos elaborar la siguiente con el
valor de la suma número de veces que aparece
---------------- ---------------------------
0 1
1 1
2 2
3 2
4 3
5 3
6 4
7 3
8 3
9 2
10 2
11 1
12 1
--------------------------
N = 28
Entonces, pensando el espacio muestral formado por el conjunto de fichas ( con el correspondiente par de puntuaciones en cada una ), y teniendo en cuenta que cada ficha tiene la misma probabilidad de ser elegida, la probabilidad pedida es $$P(\text{'suma=6'})=\dfrac{N(\text{'6'})}{N}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7} \approx 0,1429 \sim 14\,\%$$$\square$
miércoles, 23 de noviembre de 2016
Estableciendo qué cantidad es mayor que otra
ENUNCIADO. ¿ Qué es mayor $\displaystyle 2^{3^{2^{3}}}$ ó $2^{2^{3^{2}}}$ ?
SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$
domingo, 20 de noviembre de 2016
Planteando y resolviendo problemas con fracciones
ENUNCIADO. En la primera etapa de un viaje en automóvil se ha gastado una cuarta parte del depósito ( inicialmente lleno ); y, en la segunda y última etapa, tres quintas partes de lo que había quedado en la primera etapa. Al final del viaje había $18$ litros de combustible en el depósito. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
SOLUCIÓN. Se ha gastado $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{14}{20}$ partes del depósito ( inicialmente lleno ), luego los $18$ litros corresponden a $1-\dfrac{14}{20}=\dfrac{6}{20}$ partes del combustible que había en el depósito al empezar el viaje. Sabiendo ésto, para calcular la capacidad $x$ de dicho depósito basta plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{6}=\dfrac{x}{18}$$ con lo cual $$x=\dfrac{20\cdot 18}{6}=60 \; \text{litros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Se ha gastado $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{14}{20}$ partes del depósito ( inicialmente lleno ), luego los $18$ litros corresponden a $1-\dfrac{14}{20}=\dfrac{6}{20}$ partes del combustible que había en el depósito al empezar el viaje. Sabiendo ésto, para calcular la capacidad $x$ de dicho depósito basta plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{6}=\dfrac{x}{18}$$ con lo cual $$x=\dfrac{20\cdot 18}{6}=60 \; \text{litros}$$
$\square$
domingo, 23 de octubre de 2016
Un problema en el que se aplica la notación científica para hacer los cálculos con comodidad
ENUNCIADO. La luz recorre aproximadamente $300\,000$ kilómetros en $1$ segundo, en el espacio interestelar. La distancia que recorre la luz en $1$ año se toma como una unidad de longitud en astronomía, a la que llamamos año luz. La distancia de nuestro Sol a la estrella Proxima Centauri es de $4,22$ años luz. Exprésese esta distancia en kilómetros, escribiéndola en notación científica. NOTA: Todas los datos del problema, salvo la duración del año terrestre en días ( terrestres), se consideran exactos.
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
Otro ejercicio de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Expresar los términos en fracción y calcular la fracción resultante irreducible: $$(2,\overset{\frown }{36}+2,\overset{\frown}{3})\cdot 0,5-2,3\overset{\frown}{6}$$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
$\square$
Aproximaciones y errores
ENUNCIADO. El número de localidades ocupadas en un partido de fútbol fue de $24\,875$. Desde las gradas, un asistente estimó en $25\,000$ el número de espectadores. Se pide:
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
$\square$
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
$\square$
Ejercicios varios de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Calcular sin emplear la calculadora:
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
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Un problema en el que se aplican las fracciones
ENUNCIADO. Juan ha gastado $\dfrac{2}{5}$ partes de su paga en adquirir unas entradas para un concierto y $\dfrac{3}{4}$ del resto en comprarse ropa de deporte. Sabiendo que le quedan $27$ euros, calcula el importe de la paga de Juan.
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
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sábado, 1 de octubre de 2016
Trasllat d'una mesura angular
En aquest cas, les paraules són gaiarebé balderes:
Nota: el regle només s'ha fet servir per traçar el costats dels angles. Obviament, no cal que sigui un regle graduat.
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lunes, 26 de septiembre de 2016
Per què no n'hi ha prou amb un sol paràmetre de posició, com ara la mitjana aritmètica, i fa falta també fer ús, si més no, de la moda i de la mediana ?
Enunciat:
Per què no n'hi ha prou amb un sol paràmetre de posició, com ara la mitjana aritmètica i, sovint, fa falta fer ús dels altres dos paràmetres de posició ( la moda i la mediana ) ?.
Solució:
Si una distribució de valors d'una variable $X$ té un nombre significatiu de valors extrems la mitjana aritmètica no aporta la informació de conjunt suficient; per això, cal tenir en compte també el valor més repetit ( la moda ) i el valor central de la llista de valors ordenada ( mediana ) i, a més a més, també és convenient calcular percentils ( almenys, els quartils ).
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martes, 6 de septiembre de 2016
Ejercicios rutinarios de resolución de ecuaciones
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5\,x+4=0$
b) $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$
SOLUCIÓN.
a) La ecuación pedida es polinómica de segundo grado, de coeficientes: $a=1$ ( c. del término de segundo grado ), $b=5$ ( c. del término de primer grado ) y $c=4$ ( c. del término de grado cero ). Sabemos que $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a} \quad \quad (1)$$ luego $$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{-5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$ por tanto la solución es el conjunto de números $\{-1\,,\,-4\}$
NOTA. Podemos resolver la ecuación sin necesidad de recordar la fórmula (1). En efecto, la ecuación dada puede escribirse de la forma $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+4=0$$ esto es $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$$ entonces $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$ Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro, $$x+\dfrac{5}{2}=\pm\,\dfrac{3}{2}$$ y despejando la incógnita $$x=-\dfrac{5}{2} \pm \,\dfrac{3}{2}=\dfrac{-5 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$
OBSERVACIÓN. Ahora que conocemos la solución de la ecuación $x^2+5\,x+4=0$, sabemos cuáles son las raíces del polinomio $x^2+5\,x+4$, pudiendo escribir este polinomio como producto de los factores polinómicos de primer grado $x-(-1)$ y $x-(-4)$, es decir, $x^2+5\,x+4=(x-(-1))\cdot (x-(-4))$
b)
Como los coeficientes de los términos de la ecuación pedida, $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$, son fraccionarios, procedemos a transformar la ecuación pedida en una ecuación equivalente ( pero más sencilla, con coeficientes enteros ) multiplicando ambos miembros de la igualdad por $\text{mcm}(3,15,9)=45$
$45\cdot \dfrac{x}{3}-45 \cdot \dfrac{1-x}{15}=45 \cdot \dfrac{x+1}{9}$
$15\,x-3\,(1-x)=5\,(x+1)$
$15\,x-3+3\,x=5\,x+5$
$15\,x+3\,x-5\,x=5+3$
$13\,x=8$
$x=\dfrac{8}{13}$
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a) $x^2+5\,x+4=0$
b) $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$
SOLUCIÓN.
a) La ecuación pedida es polinómica de segundo grado, de coeficientes: $a=1$ ( c. del término de segundo grado ), $b=5$ ( c. del término de primer grado ) y $c=4$ ( c. del término de grado cero ). Sabemos que $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a} \quad \quad (1)$$ luego $$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{-5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$ por tanto la solución es el conjunto de números $\{-1\,,\,-4\}$
NOTA. Podemos resolver la ecuación sin necesidad de recordar la fórmula (1). En efecto, la ecuación dada puede escribirse de la forma $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+4=0$$ esto es $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$$ entonces $$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$ Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro, $$x+\dfrac{5}{2}=\pm\,\dfrac{3}{2}$$ y despejando la incógnita $$x=-\dfrac{5}{2} \pm \,\dfrac{3}{2}=\dfrac{-5 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}-1\\\\ -4\end{matrix}\right.$$
OBSERVACIÓN. Ahora que conocemos la solución de la ecuación $x^2+5\,x+4=0$, sabemos cuáles son las raíces del polinomio $x^2+5\,x+4$, pudiendo escribir este polinomio como producto de los factores polinómicos de primer grado $x-(-1)$ y $x-(-4)$, es decir, $x^2+5\,x+4=(x-(-1))\cdot (x-(-4))$
b)
Como los coeficientes de los términos de la ecuación pedida, $\dfrac{x}{3}-\dfrac{1-x}{15}=\dfrac{x+1}{9}$, son fraccionarios, procedemos a transformar la ecuación pedida en una ecuación equivalente ( pero más sencilla, con coeficientes enteros ) multiplicando ambos miembros de la igualdad por $\text{mcm}(3,15,9)=45$
$45\cdot \dfrac{x}{3}-45 \cdot \dfrac{1-x}{15}=45 \cdot \dfrac{x+1}{9}$
$15\,x-3\,(1-x)=5\,(x+1)$
$15\,x-3+3\,x=5\,x+5$
$15\,x+3\,x-5\,x=5+3$
$13\,x=8$
$x=\dfrac{8}{13}$
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Un ejercicio de estadística descriptiva
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ) y de los otros dos curtiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Tabla de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de amplitud igual $10$
Diagrama de caja y bigotes:
NOTA: Agrupando los valores en intervalos de amplitud $10$ y a partir del histograma de frecuencias se obtiene el valor aproximado de la moda, que es igual a $34$. Mediante el histograma de frecuencias acumuladas se obtienen los valores aproximados de los cuartiles, que son los que figuran en el diagrama de caja y bigotes.
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Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ) y de los otros dos curtiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Tabla de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de amplitud igual $10$
Diagrama de caja y bigotes:
NOTA: Agrupando los valores en intervalos de amplitud $10$ y a partir del histograma de frecuencias se obtiene el valor aproximado de la moda, que es igual a $34$. Mediante el histograma de frecuencias acumuladas se obtienen los valores aproximados de los cuartiles, que son los que figuran en el diagrama de caja y bigotes.
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Planteando y resolviendo ecuaciones
ENUNCIADO. Plantear mediante el álgebra, resolver y comprobar:
a) El resultado de sumar tres unidades a un número entero, y, a continuación, multiplicar el resultado por cuatro, es igual a $16$. ¿ Cuál es ese número ?.
b) El resultado de aplicar un descuento del $6\,\%$ a una cierta cantidad es igual $42$ euros. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.
SOLUCIÓN.
a) Sea $x$ el número pedido. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir $$4\,(x+3)=16$$ esto es $$4x+12=16$$ luego $$4x=4$$ y por tanto $$x=1$$
b) Denotemos por $x$ la cantidad pedida. Según el enunciado podemos escribir la siguiente proporción $$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{42}$$ es decir $$\dfrac{100}{94}=\dfrac{x}{42}$$ y despejando $$x=42 \cdot \dfrac{100}{94} \approx 44,68 \;\text{euros}$$
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a) El resultado de sumar tres unidades a un número entero, y, a continuación, multiplicar el resultado por cuatro, es igual a $16$. ¿ Cuál es ese número ?.
b) El resultado de aplicar un descuento del $6\,\%$ a una cierta cantidad es igual $42$ euros. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.
SOLUCIÓN.
a) Sea $x$ el número pedido. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir $$4\,(x+3)=16$$ esto es $$4x+12=16$$ luego $$4x=4$$ y por tanto $$x=1$$
b) Denotemos por $x$ la cantidad pedida. Según el enunciado podemos escribir la siguiente proporción $$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{42}$$ es decir $$\dfrac{100}{94}=\dfrac{x}{42}$$ y despejando $$x=42 \cdot \dfrac{100}{94} \approx 44,68 \;\text{euros}$$
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
ENUNCIADO. Resolver los siguientes problemas de geometría:
a) Calcular el área de la región del plano comprendida entre una circunferencia de $4$ decímetros de radio y el contorno de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
b) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide $3$ decímetros, y la hipotenusa mide $5$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho triángulo.
SOLUCIÓN
a)
La figura muestra el cuadrado y la circunferencia que lo circunscribe
El área coloreada es igual al área del círculo menos el área del cuadrado, esto es, $$A=\pi\cdot 4^2 - \ell^2$$ es decir $$A=16\,\pi - \ell^2\quad \quad (1)$$ Vemos pues que debemos calcular $\ell$ para poder obtener el área pedida; para ello, fijémonos en el triángulo rectángulo isósceles ( catetos con líneas discontinuas ): por el teorema de Pitágoras $$x^2+x^2=4^2$$ luego $$2\,x^2=16$$ y por tanto $$x^2=8$$ extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros $$x=\sqrt{8}$$ Ahora bien, $$\ell=2\,x$$ y por tanto $$\ell=2\,\sqrt{8}\,\text{dm}$$ Finalmente, sustituyendo en (1), $$A=16\,\pi-(2\,\sqrt{8})^2=16\,\pi-4\cdot 8=16\,\pi-32\approx 18\; \text{dm}^2$$
b)
El área del triángulo de la figura es $$A=\dfrac{3\,x}{2}\quad \quad (2)$$ y el perímetro es $$P=5+3+x \quad \quad (3)$$ Necesitamos por tanto calcular el valor de $x$. Observando la figura
vemos que, por el teorema de Pitágoras, $$5^2=3^2+x^2$$ luego $$x^2=5^2-3^2$$ y por tanto $$x^2=16$$ Extrayendo la raíz cuadrada $$x=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$$
Finalmente, sustituyendo el valor encontrado en (1) y en (2), se obtiene: $$A=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6\,\text{dm}^2$$ y $$P=5+3+4=12\,\text{dm}$$
$\square$
a) Calcular el área de la región del plano comprendida entre una circunferencia de $4$ decímetros de radio y el contorno de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
b) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide $3$ decímetros, y la hipotenusa mide $5$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho triángulo.
SOLUCIÓN
a)
La figura muestra el cuadrado y la circunferencia que lo circunscribe
El área coloreada es igual al área del círculo menos el área del cuadrado, esto es, $$A=\pi\cdot 4^2 - \ell^2$$ es decir $$A=16\,\pi - \ell^2\quad \quad (1)$$ Vemos pues que debemos calcular $\ell$ para poder obtener el área pedida; para ello, fijémonos en el triángulo rectángulo isósceles ( catetos con líneas discontinuas ): por el teorema de Pitágoras $$x^2+x^2=4^2$$ luego $$2\,x^2=16$$ y por tanto $$x^2=8$$ extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros $$x=\sqrt{8}$$ Ahora bien, $$\ell=2\,x$$ y por tanto $$\ell=2\,\sqrt{8}\,\text{dm}$$ Finalmente, sustituyendo en (1), $$A=16\,\pi-(2\,\sqrt{8})^2=16\,\pi-4\cdot 8=16\,\pi-32\approx 18\; \text{dm}^2$$
b)
El área del triángulo de la figura es $$A=\dfrac{3\,x}{2}\quad \quad (2)$$ y el perímetro es $$P=5+3+x \quad \quad (3)$$ Necesitamos por tanto calcular el valor de $x$. Observando la figura
Finalmente, sustituyendo el valor encontrado en (1) y en (2), se obtiene: $$A=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6\,\text{dm}^2$$ y $$P=5+3+4=12\,\text{dm}$$
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Dados dos puntos del plano, determínese la ecuación de la recta que pasa por ellos
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,4)$ y $B(2,3)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Determinar el valor de los coeficientes $m$ y $k$
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $0$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $0$
SOLUCIÓN.
a)
La gráfica de la función lineal dada es la siguiente recta
b)
Las coordenadas de los puntos dados deberán satisfacer la ecuación de la función pedida $$\begin{matrix}A:&4&=&m\cdot 1&+&k \\ B:&3&=&m\cdot 2&+&k\end{matrix}$$ luego para determinar los coeficientes $m$ y $k$ resolveremos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ 2\,m&+&k&=&3 \end{matrix}\right.$$ Procedemos a resolverlo por reducción. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por dos, pasamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ &-&k&=&-5 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación obtenida vemos que $$k=5$$ y sustituyendo este valor en la primera encontramos $$m+5=4$$ y por tanto $$m=-1$$
OBSERVACIÓN. Sustituyendo estos resultados en la expresión de la función lineal afín $f(x)=m\,x+k$, vemos que ésta se escribe ( en nuestro caso ) de la forma $f(x)=-x+5$. También podemos decir que la ecuación de la recta en forma explícita es, pues, $$y=-x+5$$
c)
La ordenada pedida es la ordenada en el origen $f(0)$. Sustituyendo $x$ por $0$ en la ecuación encontrada, obtenemos $$f(0)=-0+5=5$$ Esto significa que la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,5)$
d)
Se nos pide que calculemos la raíz de la función $f(x)=-x+5$, para ello igualamos a cero el primer miembro y resolvemos la ecuación $$0=-x+5$$ de donde $x=5$. Quiere decir ésto que la recta corta al eje de abscisas en el punto de coordenadas $(5,0)$
$\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Determinar el valor de los coeficientes $m$ y $k$
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $0$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $0$
SOLUCIÓN.
a)
La gráfica de la función lineal dada es la siguiente recta
b)
Las coordenadas de los puntos dados deberán satisfacer la ecuación de la función pedida $$\begin{matrix}A:&4&=&m\cdot 1&+&k \\ B:&3&=&m\cdot 2&+&k\end{matrix}$$ luego para determinar los coeficientes $m$ y $k$ resolveremos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ 2\,m&+&k&=&3 \end{matrix}\right.$$ Procedemos a resolverlo por reducción. Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por dos, pasamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&4 \\ &-&k&=&-5 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación obtenida vemos que $$k=5$$ y sustituyendo este valor en la primera encontramos $$m+5=4$$ y por tanto $$m=-1$$
OBSERVACIÓN. Sustituyendo estos resultados en la expresión de la función lineal afín $f(x)=m\,x+k$, vemos que ésta se escribe ( en nuestro caso ) de la forma $f(x)=-x+5$. También podemos decir que la ecuación de la recta en forma explícita es, pues, $$y=-x+5$$
c)
La ordenada pedida es la ordenada en el origen $f(0)$. Sustituyendo $x$ por $0$ en la ecuación encontrada, obtenemos $$f(0)=-0+5=5$$ Esto significa que la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,5)$
d)
Se nos pide que calculemos la raíz de la función $f(x)=-x+5$, para ello igualamos a cero el primer miembro y resolvemos la ecuación $$0=-x+5$$ de donde $x=5$. Quiere decir ésto que la recta corta al eje de abscisas en el punto de coordenadas $(5,0)$
$\square$
jueves, 1 de septiembre de 2016
Translació d'un punt en el pla
Amb l'ajut d'un vector podem expressar la translació d'un punt P al llarg d'una recta, a una determinada distància d'un punt de partida i en un determinat sentit:Una translació d'un punt P portarà aquest a una nova posició P'. Per exemple, prendrem el punt P(-1,2) i el portarem al llarg de, per exemple: dues divisions de l'eix horitzontal cap a la dreta, i 4 divisions de l'eix vertical cap amunt. El resultat és el punt P'(1,6) |
martes, 14 de junio de 2016
El problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Dejamos depositados $500$ euros, a un interés ( compuesto ) del $1\,\%$ anual, durante $10$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ?
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
$\square$
Resolviendo ecuaciones ...
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
a) $x^2+2\,x-8=0$
b) $\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación a resolver es de segundo grado y completa, luego $x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ \\-4\end{matrix}\right.$
b)
La ecuación es de primer grado y los coeficientes son fraccionarios. Una ecuación equivalente a la dada, más sencilla, la obtenemos multiplicando en ambos miembros por $\text{mcm}(4,12,6)=12$ y simplificando las partes numéricas de todos los términos, que van a resultar números enteros. Así,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{1-x}{12}=\dfrac{x+1}{6}$
$12 \cdot \dfrac{x}{4}-12 \cdot \dfrac{1-x}{12}=12\cdot \dfrac{x+1}{6}$
$3x-(1-x)=2(x+1)$
$3x-1+x=2\,x+2$
$3x+x-2\,x=2+1$
$2\,x=3$
$x=\dfrac{3}{2}$
$\square$
Elaboración de un diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO.
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN.
Examinando el diagrama de tallo y hojas es claro que la moda es algún valor entre $30$ y $40$ ( por ser el "tallo" con mayor número de "hojas" ), y, concretamente es igual a $35$ ya que el '5' como dígito de las unidades es el que aparece un mayor número de veces. Por lo que respecta al valor de la mediana $M_e$ ( centro de la distribución de valores de $X$ ordenada de menor a mayor ), al haber $42$ datos ( que es un número par ), hay dos valores en el centro, luego ésta sera igual a $M_e=\dfrac{x_{21}+x_{22}}{2}$, esto es, $\dfrac{2+3}{2}=2,5$
$\square$
Estadística descriptiva
ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Ejercicio con una función cuadrática
ENUNCIADO. Dada la función cuadrática $f(x)=x^2-4$, se pide:
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
a) Calcular las imágenes de los siguientes valores de $x$: $-2,-1,0,1$ y $2$
b) Representar la gráfica de la función. ¿ Qué nombre recibe la curva de dicha gráfica ?
c) Determinar las raíces de la función
SOLUCIÓN.
a)
Para calcular las imágenes basta sustituir la variable independiente ( en la expresión de la función ) por el valor concreto de la misma. Así,
$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$
$f(-1)=(-1)^2-4=1-4=-3$
$f(0)=0^2-4=0-4=-4$
$f(1)=1^2-4=1-4=-3$
$f(2)=2^2-4=4-4=0$
b)
c)
Las ráices de la función son los valores de $x$ cuya imagen es cero, luego para determinarlas imponemos $f(x)=0$, esto es $x^2-4=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 $
$\square$
Dados dos puntos encontrar la función lineal afín que ...
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
b) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
c) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
d) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN.
a)
b)
Sin más que observar la gráfica de la función, nos damos cuenta de que la recta corta al eje de abscisas en el punto $D$, cuya abscisa es $-2$, luego la raíz ( sólo hay una ) es $r=-2$.
c)
La ecuación de una recta, en forma explícita, se escribe de la forma $y=m\,x+k$, donde el coeficiente $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen. Simplemente, observando la figura, vemos que $m\overset{\text{ver nota 1}}{=}1$ y que $k\overset{\text{ver nota 1}}{=}2$, luego la ecuación de la recta pedida se concreta de la forma $y=x+2$, esto es, la función lineal afín que corresponde a dicha recta es $f(x)=x+2$, luego la imagen de $3$ es $f(3)=3+2=5$, que es la ordenada pedida. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
Nota 1: Determinando la ecuación de la recta por simple inspección visual del gráfico, hay que tomar la precaución de comprobar que las coordenadas de los puntos dados satisfacen la ecuación obtenida. Éste es, desde luego, el procedimiento más rápido para llegar a la ecuación de la recta; sin embargo, un procedimiento más recomendable consiste en resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos al imponer que los puntos dados, $A$ y $B$, están sobre la recta: $$\left\{\begin{matrix}3&=&m\cdot 1&+&k \\ 6&=&m\cdot 4&+&k \\ \end{matrix}\right.$$ El lector puede comprobar que la solución es $m=1$ y $k=2$.
d)
Basta resolver la ecuación $4=x+2$, para determinar la antiimagen de $4$. Obviamente resulta $x=2$, que, además, puede leerse directamente en la gráfica de la función. Observación: También podemos consultar, directamente, el gráfico de la función, si bien este procedimiento ( que es de medida ) da, en principio, un resultado no exacto.
$\square$
domingo, 12 de junio de 2016
jueves, 9 de junio de 2016
Diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y el de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:\par
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
Un ejercicio sobre funciones cuadráticas
ENUNCIADO. Completar la siguiente tabla con los valores de función, y representar la gráfica de la misma en un diagrama cartesiano:
Responder, además, a las siguientes preguntas:
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
a) ¿ Qué tipo de función es ? ¿ Qué nombre recibe la curva que corresponde a esta función ?
b) A la vista de la gráfica de la función, ¿ tiene raíces la función dada ? Razonar la respuesta, y, en caso afirmativo, calcularlas.
c) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
d) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto donde la función alcanza el valor máximo ?
SOLUCIÓN.
En efecto,
$f(-2)=-(-2)^2+3=-4+3=-1$
$f(-1)=-(-1)^2+3=-1+3=2$
$f(0)=0+3=-4+3=3$
$f(1)=-1^2+3=-1+3=2$
$f(2)=-2^2+3=-4+3=-1$
Gráfica de la función:
a) Se trata de una función polinómica de segundo grado, esto es, una función cuadrática. La curva de la gráfica de la función recibe el nombre de parábola.
b) En la gráfica observamos dos puntos de corte con el eje de abscisas, $F$ y $G$; sus abscisas son las raíces de la función. Para calcularlas, hemos de tener en cuenta que las ordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas son igual a cero, luego si $0=-x^2+3$, deducimos ( resolviendo la ecuación ) que $x=\pm |\sqrt{3}|$. Por consiguiente las dos raíces son $r_1=x_F=-|\sqrt{3}|$ y $r_2=x_G=|\sqrt{3}|$
c) La ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte de la gráfica de la función con el eje de ordenadas: $y_C=3$
d) El valor máximo de función es $3$ y corresponde a la ordenada del punto $C$ ( que es el vértice de esta parábola ).
$\square$
Un ejercicio sobre funciones lineales afines
ENUNCIADO. Los puntos $A(1,3)$ y $B(4,6)$ pertenecen a la gráfica de una función lineal afín $f(x)=m\,x+k$ ( que es una recta ). Se pide:
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
a) Representar los dos puntos dados y la gráfica de dicha función
c) Calcular el valor del coeficiente $m$ ( pendiente de la recta )
b) Calcular el valor del coeficiente $k$ ( ordenada en el origen )
d) Calcular el valor de la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas ( raíz de la función lineal afín )
e) Calcular el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $3$
f) Calcular el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $4$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
martes, 19 de abril de 2016
Precisión en las mediciones
ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
jueves, 7 de abril de 2016
lunes, 4 de abril de 2016
Diferencia de longitud geográfica y diferencia horaria
ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=3^{\circ}\,50'\,\text{W}$ y $L_B=12^{\circ}\,40'\,\text{E}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando en $A$ son las $13:10:20$ horas ?.
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativo para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=-3^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ) y $L_B=+12^{\circ}\,40'$ ( por estar al este del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|-3^{\circ}\,50'-(+12^{\circ}\,40')\right|=16^{\circ}\,30'=965'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ ( por comodidad de cálculo, expresamos esta cantidad en minutos de arco ) cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{965}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{965}{900}=1,07 \bar{2}\; \text{h} =1\,\text{h} \quad 4\;\text{min}\quad 20\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ más ( $B$ está al este de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A+\Delta\,t=13:10:20+1:04:20=14:14:40\; \text{horas}$$
$\square$
Hallar la capacidad de una caja de embalaje que tiene forma de ...
ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $2$, $3$ y $4$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
$\square$
a) La longitud de la diagonal del prisma. ¿ Cabe en dicha caja de embalaje una varilla rígida de $l=54$ centímetros de longitud ?
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Por el teorema de Pitágoras ( aplicado dos veces en los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la diagonal del prisma), podemos escribir $$d=2^2+3^2+4^2=29 \Rightarrow d=\sqrt{29}\;\text{dm} \approx 5,39 \; \text{dm}$$
$l=54\;\text{cm}=5,4\;\text{dm} > d \approx 5,39$ podemos afirmar que ésta no cabe en el embalaje ( aunque la intentemos poner en la dirección de la diagonal ).
b)
El volumen de la caja es igual a $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\;\text{dm}^3$, lo cual supone una capacidad de $24 \;\text{L}$
c)
El área del desarrollo plano es igual a la suma de los seis rectángulos ( iguales dos a dos ) de que consta el mismo: $2\cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 ) = 52\;\text{dm}^2$
$\square$
Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...
ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
$\square$
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
$\square$
Homotecias: razón de las áreas y razón de los perímetros ...
ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un cuadrado de $4\,\text{cm}^2$ de área, con un factor de ampliación del $150\,\%$ ( razón de homotecia igual a $1,5$ ). Se pide:
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
$\square$
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado
SOLUCIÓN.
a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$
b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$
c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$
d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$
$\square$
Construir el giro de un segmento ...
ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(-1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(4,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\square$
Hallar la altura del árbol a partir de la sombra del mismo y de la sombra de otro árbol ...
ENUNCIADO. Dos árboles están plantados ( perpendicularmente al suelo ) en un claro del bosque cuyo suelo es horizontal. El pequeño mide $4$ metros y del más alto desconocemos su altura. En un cierto momento del día ( que es soleado ) medimos las longitudes de las sombras: la que da el pequeño es de $5$ metros, y la que da el más alto es de $15$ metros. Calcular la altura del árbol más alto.
SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
$\square$
miércoles, 16 de marzo de 2016
domingo, 13 de marzo de 2016
Diferencia horaria
ENUNCIADO. Considerar dos puntos, $A$ y $B$, sobre la superficie de la Tierra. Sus coordenadas de longitud son: $L_A=4^{\circ}\,20'\,\text{E}$ y $L_B=24^{\circ}\,50'\,\text{W}$, respectivamente. ¿ Qué hora (solar) es en $B$ cuando la hora en $A$ es $18:30:00$ horas ?.
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativa para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=+4^{\circ}\,20'$ ( por estar al este del meridiano cero ) y $L_B=-24^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|+4^{\circ}\,20'-(-24^{\circ}\,50')\right|=29^{\circ}\,10'=1750'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{1750}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{1750}{900}=1\;\text{h}\quad 56\;\text{min}\quad 40\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ menos ( $B$ está al oeste de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A-\Delta\,t=18:30:00-1:56:40=16:33:20$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta los signos de las longitudes ( positivo para un punto al este del meridiano cero, y negativa para un punto situado al oeste del mismo ): $L_A=+4^{\circ}\,20'$ ( por estar al este del meridiano cero ) y $L_B=-24^{\circ}\,50'$ ( por estar al oeste del meridiano cero ). Entonces, la diferencia de longitudes en valor absoluto es igual a $$\Delta\,L=\left|L_A-L_B\right|=\left|+4^{\circ}\,20'-(-24^{\circ}\,50')\right|=29^{\circ}\,10'=1750'$$ Teniendo ahora en cuenta que la Tierra gira sobre su eje a razón de $15^{\circ}$ cada $1$ hora, esto es, de $15 \cdot 60 = 900'$ cada $1$ hora, la diferencia horaria, $\Delta\,t$, viene dada por la proporción $$\dfrac{\Delta\,t}{1}=\dfrac{1750}{900}$$ y despejando $\Delta\,t$ obtenemos $\Delta\, t= \dfrac{1750}{900}=1\;\text{h}\quad 56\;\text{min}\quad 40\; \text{s}$. Por tanto, la hora en $B$ es igual a la hora en $A$ menos ( $B$ está al oeste de $A$ ) la diferencia horaria $\Delta\,t$, esto es, $$t_B=t_A-\Delta\,t=18:30:00-1:56:40=16:33:20$$
$\square$
Prisma recto de base rectangular
ENUNCIADO. Sea una caja de embalaje hecha de cartón, que tiene forma de prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $1$, $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) La longitud de la diagonal del prisma
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Aplicando el teorema de Pitágoras dos veces ( cada una en el correspondiente triángulo rectángulo ), obtenemos la longitud de la diagonal: $d=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\; \text{dm}$
b) El volumen de la caja ( que tiene forma de prisma recto de base rectangular ) es igual a $V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \; \text{dm}^3$. Luego, tiendo en cuenta la equivalencia $1\; \text{L} = 1 \; \text{dm}^3$, la capacidad de la caja es de $6 \; \text{L}$
c) El desarrollo plano está formado por seis rectángulos ( iguales dos a dos ), cuyos lados tienen como longitudes las de las aristas del prisma, así $$A=2\,(2\cdot 3+ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 )=22 \; \text{dm}^2$$
$\square$
a) La longitud de la diagonal del prisma
b) La capacidad de dicha caja ( en litros )
c) El área del desarrollo plano de dicho embalaje
SOLUCIÓN.
a) Aplicando el teorema de Pitágoras dos veces ( cada una en el correspondiente triángulo rectángulo ), obtenemos la longitud de la diagonal: $d=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\; \text{dm}$
b) El volumen de la caja ( que tiene forma de prisma recto de base rectangular ) es igual a $V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \; \text{dm}^3$. Luego, tiendo en cuenta la equivalencia $1\; \text{L} = 1 \; \text{dm}^3$, la capacidad de la caja es de $6 \; \text{L}$
c) El desarrollo plano está formado por seis rectángulos ( iguales dos a dos ), cuyos lados tienen como longitudes las de las aristas del prisma, así $$A=2\,(2\cdot 3+ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 )=22 \; \text{dm}^2$$
$\square$
Cono
ENUNCIADO. Considerar un cono de $8$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $6$ decímetros. Se pide:
a) la longitud de la generatriz
b) el volumen del cono
c) el área lateral
d) el área de la base
SOLUCIÓN.
a) Tomando una generatriz, podemos configurar un triángulo rectángulo, con la altura del cono y el radio de extremos el pie de la altura y el pie de la generatriz; entonces, por el teorema de Pitágoras, $g=\sqrt{h^2+r^2}$, y, con los datos del problema, $g=\sqrt{8^2+6^2}=10\; \text{cm}$
b) El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2 \cdot 8 = 96\,\pi \; \text{cm}^3$
c) El área lateral del cono ( del desarrollo plano de la misma es un sector circular de radio $g$ y ángulo proporcional a la longitud de su arco ) viene dado por $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \; \text{cm}^2$
d) El área de la base del cono ( de base circular ) viene dada por $A_{\text{base}}=\pi\,r^2=\pi\cdot 6^2 = 36\,\pi \; \text{cm}^2$
$\square$
a) la longitud de la generatriz
b) el volumen del cono
c) el área lateral
d) el área de la base
SOLUCIÓN.
a) Tomando una generatriz, podemos configurar un triángulo rectángulo, con la altura del cono y el radio de extremos el pie de la altura y el pie de la generatriz; entonces, por el teorema de Pitágoras, $g=\sqrt{h^2+r^2}$, y, con los datos del problema, $g=\sqrt{8^2+6^2}=10\; \text{cm}$
b) El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2 \cdot 8 = 96\,\pi \; \text{cm}^3$
c) El área lateral del cono ( del desarrollo plano de la misma es un sector circular de radio $g$ y ángulo proporcional a la longitud de su arco ) viene dado por $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \; \text{cm}^2$
d) El área de la base del cono ( de base circular ) viene dada por $A_{\text{base}}=\pi\,r^2=\pi\cdot 6^2 = 36\,\pi \; \text{cm}^2$
$\square$
Hemos hecho una fotocopia ampliada ...
ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un rectángulo de $6\,\text{cm}^2$, con un factor de ampliación del $250\,\%$ ( razón de homotecia igual a $2,5$ ). Se pide:
a) Si el perímetro del rectángulo original es igual a $10\,\text{cm}$, ¿ cuál es el perímetro del rectángulo ampliado ?
b) ¿ Cuál es la razón aritmética entre el área del rectángulo ampliado y el área del rectángulo original ?
c) Calcular el área del rectángulo de la fotocopia ampliada
SOLUCIÓN.
a) La homotecia nos da una imagen semejante al rectángulo original. Sea $P'$ el perímetro de la imagen ( fotocopia ) y $P$ el del rectángulo original, entonces la razón de la homotecia ( que es la de la semejanza ) es igual a $r=\dfrac{P'}{P}$, esto es, $2,5=\dfrac{P'}{10}$; de donde, despejando $P'$, obtenemos $P'=2,5 \cdot 10 = 25 \; \text{cm}$
b) La razón aritmética entre las áreas, $A$ y $A'$, de las figuras objeto e imagen, que son semejantes ( por la homotecia ), es igual al cuadrado de la razón de semejanza: $r^2=2,5^2=6,25$
c) Por lo dicho en el apartado anterior, $r^2=\dfrac{A'}{A}$, lugo $6,25=\dfrac{A'}{6}$, con lo cual $A'=6\cdot 6,25 = 37,5 \; \text{cm}^2$
$\square$
a) Si el perímetro del rectángulo original es igual a $10\,\text{cm}$, ¿ cuál es el perímetro del rectángulo ampliado ?
b) ¿ Cuál es la razón aritmética entre el área del rectángulo ampliado y el área del rectángulo original ?
c) Calcular el área del rectángulo de la fotocopia ampliada
SOLUCIÓN.
a) La homotecia nos da una imagen semejante al rectángulo original. Sea $P'$ el perímetro de la imagen ( fotocopia ) y $P$ el del rectángulo original, entonces la razón de la homotecia ( que es la de la semejanza ) es igual a $r=\dfrac{P'}{P}$, esto es, $2,5=\dfrac{P'}{10}$; de donde, despejando $P'$, obtenemos $P'=2,5 \cdot 10 = 25 \; \text{cm}$
b) La razón aritmética entre las áreas, $A$ y $A'$, de las figuras objeto e imagen, que son semejantes ( por la homotecia ), es igual al cuadrado de la razón de semejanza: $r^2=2,5^2=6,25$
c) Por lo dicho en el apartado anterior, $r^2=\dfrac{A'}{A}$, lugo $6,25=\dfrac{A'}{6}$, con lo cual $A'=6\cdot 6,25 = 37,5 \; \text{cm}^2$
$\square$
Aplicar un giro al segmento ...
ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(3,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.
SOLUCIÓN.
Del gráfico, vemos que las coordenadas de los puntos resultantes del giro son $A'(3,3)$ y $B'(4,2)$
$\square$
SOLUCIÓN.
Del gráfico, vemos que las coordenadas de los puntos resultantes del giro son $A'(3,3)$ y $B'(4,2)$
$\square$
Medidas indirectas
ENUNCIADO. En un llano del parque y en un día soleado, medimos la longitud de la sombra que da una farola y, a la vez, un ayudante mide la longitud de la sombra que da una persona cuya estatura es de $170$ centímetros. La longitud de la sombra de la farola ha resultado ser de $10$ metros; y, la longitud de la sombra de la persona ( que está de pie ), de $190$ centímetros. Con estos datos, calcular la altura de la farola.
SOLUCIÓN.
La sombras del árbol ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del árbol ) y del bastón ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del palo ), a la misma hora del día, conforman un dos triángulos semejantes; entonces, llamando $x$ a la altura del árbol, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{170}{190}$$ donde los datos vienen expresados en centímetros. Despejando $x$ obtenemos $$x=\dfrac{17 \cdot 1000}{19} \approx 895 \; \text{cm}$$. $\square$
SOLUCIÓN.
La sombras del árbol ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del árbol ) y del bastón ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del palo ), a la misma hora del día, conforman un dos triángulos semejantes; entonces, llamando $x$ a la altura del árbol, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{170}{190}$$ donde los datos vienen expresados en centímetros. Despejando $x$ obtenemos $$x=\dfrac{17 \cdot 1000}{19} \approx 895 \; \text{cm}$$. $\square$
jueves, 3 de marzo de 2016
martes, 23 de febrero de 2016
domingo, 14 de febrero de 2016
Situación de un número racional en la recta numérica
Semejanza
ENUNCIADO. Sea un cuadrado de $4$ centímetros de lado. Considerar, ahora, otro cuadrado que sea semejante al primero y que tenga $12$ centímetros de lado. ¿ Cuál es la razón de semejanza del segundo con respecto del primero ? ¿ Cuál es la razón entre las áreas del mayor y del menor ?.
SOLUCIÓN. La razón de semejanza es $k=\dfrac{12}{4}=3$, y la razón entre las áreas es $k^2$, esto es, $3^2=9$
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SOLUCIÓN. La razón de semejanza es $k=\dfrac{12}{4}=3$, y la razón entre las áreas es $k^2$, esto es, $3^2=9$
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Construir la homotecia con centro en el punto ...
ENUNCIADO. Construir una homotecia de razón $2:1$ del triángulo cuyos vértices son $A(-1,0)$, $B(0,1)$ y $C(1,0)$.
Sugerencia: Tomar como centro de la homotecia el punto $O(0,0)$
SOLUCIÓN.
Sugerencia: Tomar como centro de la homotecia el punto $O(0,0)$
SOLUCIÓN.
Construir un giro tal que ...
ENUNCIADO.
Construir un giro de centro el punto $P(3,0)$, de ángulo $180^{\circ}$, y en el sentido de las agujas del reloj del rectángulo cuyos vértices son los puntos $A(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(-1,1)$ y $D(1,1)$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos imagen $A',B',C'$ y $D'$ ?.
SOLUCIÓN.
Construir un giro de centro el punto $P(3,0)$, de ángulo $180^{\circ}$, y en el sentido de las agujas del reloj del rectángulo cuyos vértices son los puntos $A(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(-1,1)$ y $D(1,1)$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos imagen $A',B',C'$ y $D'$ ?.
SOLUCIÓN.
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo tal que ...
ENUNCIADO.
Sea un rectángulo cuya diagonal mide $5$ decímetros, siendo uno de sus lados de longitud igual a $3$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho rectángulo.
SOLUCIÓN. La diagonal del rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales. Tomemos cualquiera de los dos; entonces, el lado de longitud conocida es uno de sus catetos, y, llamando $x$ al otro cateto ( que es el otro lado desigual del rectángulo ), por el teorema de Pitágoras podemos escribir $$5^2=3^2+x^2$$ de donde $$x=\left|\sqrt{5^2-3^2}\right|=4\;\text{dm}$$. Una vez conocidos los lados desiguales del rectángulo, podemos calcular su área fácilmente $$\text{Área}=3\cdot 4=12\; \text{dm}^2$$ Y, también, el perímetro del mismo $$\text{Perímetro}=2\,(3+4)=14\;\text{dm}$$
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Sea un rectángulo cuya diagonal mide $5$ decímetros, siendo uno de sus lados de longitud igual a $3$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho rectángulo.
SOLUCIÓN. La diagonal del rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales. Tomemos cualquiera de los dos; entonces, el lado de longitud conocida es uno de sus catetos, y, llamando $x$ al otro cateto ( que es el otro lado desigual del rectángulo ), por el teorema de Pitágoras podemos escribir $$5^2=3^2+x^2$$ de donde $$x=\left|\sqrt{5^2-3^2}\right|=4\;\text{dm}$$. Una vez conocidos los lados desiguales del rectángulo, podemos calcular su área fácilmente $$\text{Área}=3\cdot 4=12\; \text{dm}^2$$ Y, también, el perímetro del mismo $$\text{Perímetro}=2\,(3+4)=14\;\text{dm}$$
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Triángulos rectángulos. Toremas de Pitágoras, del cateto y de la altura.
ENUNCIADO.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto
Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto
Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.
domingo, 24 de enero de 2016
Visitando el Museo del Romanticismo ( Madrid )
lunes, 18 de enero de 2016
Demostración "china" del teorema de Pitágoras
Fijémonos en la siguiente figura
Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$
Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$
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