Enunciado:
Hállese el volumen y el área lateral de un cilindro recto de $3\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
En un cilindro recta, la generatriz es igual a la altura, por tanto $V=\pi\,r^2\,h=\pi\,2^2\cdot 3\,\text{dm}^3=12\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 38\,\text{dm}^3$, y el área lateral, $A_{lat}=2\,\pi\,r\,h=12\,\pi\,\text{dm}^2\approx 38\,\text{dm}^2$
$\blacksquare$
lunes, 28 de abril de 2014
El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide: a) el volumen del cubo b) el área del desarrollo plano c) la longitud de la diagonal de una de sus caras d) la longitud de la diagonal del cubo
Enunciado:
El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide:
a) el volumen del cubo
b) el área del desarrollo plano
c) la longitud de la diagonal de una de sus caras
d) la longitud de la diagonal del cubo
Resolución:
(a) Volumen del cubo:
Denotando por $a$ la arista del cubo, $V=a^3$. Para calcular $a$, tenemos en cuenta la información del enunciado ( conocemos el valor del área de una cara), por tanto $4=a^2$, luego $a=2\,\text{dm}$, con lo cual $V=2^3 = 8 \, \text{dm}^3$
(b) Área del desarrollo plano del cubo:
El área de una de las caras es $4\,\text{dm}^2$ ( enunciado ), y, por tanto, el área de las seis caras iguales de las que consta el cubo es $6 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^2$
(c) Longitud de la diagonal de las caras del cubo:
Denotando por $x$ la diagonal de una cara y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal en una de las caras, podemos escribir: $x^2=2^2+2^2$ (1), es decir, $x^2=2\cdot 2^2$, luego $x=\sqrt{2\cdot 2^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2^2}=2\,\sqrt{2}\, \text{dm} \approx 2,8\, \text{dm}$
(d) Longitud de la diagonal del cubo:
Denotamos por $d$ la diagonal del cubo, entonces aplicando, otra vez, el Teorema de Pitágoras, ahora, al triángulo rectángulo que se eleva sobre la base y cuyos catetos son $x$ (apartado anterior) y la arista $a=2$, tenemos $d^2=x^2+2^2$ (2); sustituyendo (1) en (2) llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, y, de aquí, $d=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\,\sqrt{3} \approx 3,5 \,\text{dm}$
$\blacksquare$
El área de una de las caras de un cubo mide $4\,\text{dm}^2$. Se pide:
a) el volumen del cubo
b) el área del desarrollo plano
c) la longitud de la diagonal de una de sus caras
d) la longitud de la diagonal del cubo
Resolución:
(a) Volumen del cubo:
Denotando por $a$ la arista del cubo, $V=a^3$. Para calcular $a$, tenemos en cuenta la información del enunciado ( conocemos el valor del área de una cara), por tanto $4=a^2$, luego $a=2\,\text{dm}$, con lo cual $V=2^3 = 8 \, \text{dm}^3$
(b) Área del desarrollo plano del cubo:
El área de una de las caras es $4\,\text{dm}^2$ ( enunciado ), y, por tanto, el área de las seis caras iguales de las que consta el cubo es $6 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^2$
(c) Longitud de la diagonal de las caras del cubo:
Denotando por $x$ la diagonal de una cara y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal en una de las caras, podemos escribir: $x^2=2^2+2^2$ (1), es decir, $x^2=2\cdot 2^2$, luego $x=\sqrt{2\cdot 2^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2^2}=2\,\sqrt{2}\, \text{dm} \approx 2,8\, \text{dm}$
(d) Longitud de la diagonal del cubo:
Denotamos por $d$ la diagonal del cubo, entonces aplicando, otra vez, el Teorema de Pitágoras, ahora, al triángulo rectángulo que se eleva sobre la base y cuyos catetos son $x$ (apartado anterior) y la arista $a=2$, tenemos $d^2=x^2+2^2$ (2); sustituyendo (1) en (2) llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, y, de aquí, $d=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\,\sqrt{3} \approx 3,5 \,\text{dm}$
$\blacksquare$
Considerar el triángulo rectángulo ...
Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:
Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $PB=2 \,\text{cm}$ y $PA=10\,\text{cm}$, calcúlese el área y el perímetro del triángulo.
Resolución:
(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$
(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$ (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$
$\blacksquare$
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:
Resolución:
(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$
(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$ (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$
$\blacksquare$
Los vértices de un triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ son los puntos del plano $A(0,1)$, $B(0,2)$ y $C(-1,2)$. Construir la traslación de dicho triángulo según el vector de traslación $\vec{t}=(3,3)$ y decir cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante $\triangle{\{A',B',C'\}}$.
Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ son los puntos del plano $A(0,1)$, $B(0,2)$ y $C(-1,2)$. Construir la traslación de dicho triángulo según el vector de traslación $\vec{t}=(3,3)$ y decir cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante $\triangle{\{A',B',C'\}}$.
Resolución:
(a) Cálculo algebraico de las coordenadas de los vértices del triángulo $\triangle{\{A',B',C'\}}$ resultante de la traslación:
$x_{A'}=x_{A}+t_{x}=0+3=3$
$y_{A'}=y_{A}+t_{y}=1+3=4$
por tanto las coordenadas de $A'$ son $(3,4)$
$x_{B'}=x_{B}+t_{x}=0+3=3$
$y_{B'}=y_{B}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $B'$ son $(3,5)$
$x_{C'}=x_{C}+t_{x}=-1+3=2$
$y_{C'}=y_{C}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $C'$ son $(2,5)$
(b) Representación gráfica ( construcción con regla y compás ) de la traslación:
$\blacksquare$
Los vértices de un triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ son los puntos del plano $A(0,1)$, $B(0,2)$ y $C(-1,2)$. Construir la traslación de dicho triángulo según el vector de traslación $\vec{t}=(3,3)$ y decir cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo resultante $\triangle{\{A',B',C'\}}$.
Resolución:
(a) Cálculo algebraico de las coordenadas de los vértices del triángulo $\triangle{\{A',B',C'\}}$ resultante de la traslación:
$x_{A'}=x_{A}+t_{x}=0+3=3$
$y_{A'}=y_{A}+t_{y}=1+3=4$
por tanto las coordenadas de $A'$ son $(3,4)$
$x_{B'}=x_{B}+t_{x}=0+3=3$
$y_{B'}=y_{B}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $B'$ son $(3,5)$
$x_{C'}=x_{C}+t_{x}=-1+3=2$
$y_{C'}=y_{C}+t_{y}=2+3=5$
por tanto las coordenadas de $C'$ son $(2,5)$
(b) Representación gráfica ( construcción con regla y compás ) de la traslación:
$\blacksquare$
Calcular el volumen y el área lateral de un cono de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen y el área lateral de un cono recto, de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
(a) Volumen del cono
Calculamos el volumen con la fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$ (1) ( donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura del cono ), sin embargo no se dos da directamente el valor de la altura sino el de la generatriz; calculamos el valor de la altura mediante el Teorema de Pitágoras, pues se forma un triángulo rectángulo de catetos $r$ y $h$ e hipotenusa $g$ ( generatriz ) al cortar el cono por un plano diametral perpendicular a la base y que pasa por el vértice, por lo que $h=\sqrt{g^2-r^2}$, esto es, $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Finalmente, sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos el volumen pedido: $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 9^2\cdot40=1080\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 3393\, \text{dm}^3$
(b) Área lateral del cono
Tal como ha sido justificado en otros ejercicios, el área lateral del desarrollo plano de un cono es $A_{lat}=\pi\,r\,g$, y sustituyendo los datos obtenemos $A_{lat}=\pi\cdot 9 \cdot 41 = 369\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 1159 \, \text{dm}^3$
$\blacksquare$
Calcular el volumen y el área lateral de un cono recto, de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
(a) Volumen del cono
Calculamos el volumen con la fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$ (1) ( donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura del cono ), sin embargo no se dos da directamente el valor de la altura sino el de la generatriz; calculamos el valor de la altura mediante el Teorema de Pitágoras, pues se forma un triángulo rectángulo de catetos $r$ y $h$ e hipotenusa $g$ ( generatriz ) al cortar el cono por un plano diametral perpendicular a la base y que pasa por el vértice, por lo que $h=\sqrt{g^2-r^2}$, esto es, $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Finalmente, sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos el volumen pedido: $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 9^2\cdot40=1080\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 3393\, \text{dm}^3$
(b) Área lateral del cono
Tal como ha sido justificado en otros ejercicios, el área lateral del desarrollo plano de un cono es $A_{lat}=\pi\,r\,g$, y sustituyendo los datos obtenemos $A_{lat}=\pi\cdot 9 \cdot 41 = 369\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 1159 \, \text{dm}^3$
$\blacksquare$
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Enunciado:
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Resolución:
Podemos calcular el área del triángulo de la forma $A=\dfrac{12\,b}{2}=6\,b$ (1), donde el valor de $b$ no se nos da directamente; sin embargo, por el Teorema de Pitágoras sabemos que $b^2+12^2=13^2$, luego $b^2=13^2-12^2$, es decir, $b^2=169-144=25 \Rightarrow b=\sqrt{25}=5\,\text{cm}$, con lo cual, de (1), $A=6\cdot 5=30\,\text{cm}^2$
$\blacksquare$
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Resolución:
Podemos calcular el área del triángulo de la forma $A=\dfrac{12\,b}{2}=6\,b$ (1), donde el valor de $b$ no se nos da directamente; sin embargo, por el Teorema de Pitágoras sabemos que $b^2+12^2=13^2$, luego $b^2=13^2-12^2$, es decir, $b^2=169-144=25 \Rightarrow b=\sqrt{25}=5\,\text{cm}$, con lo cual, de (1), $A=6\cdot 5=30\,\text{cm}^2$
$\blacksquare$
martes, 8 de abril de 2014
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,2,3,5,1,3,2,4,1,4,5,2,6,3,4,3,4,2,5,6,5,2,7,3,2,4,3,4,2,5,3\}$
Enunciado:
Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$
Se pide:
a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias
b) Representar el diagrama de frecuencias del recuento ( podéis dibujar el polígono de frecuencias o bien el diagrama de barras )
c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas
d) Hallar la moda
e) Hallar la mediana
f) Hallar la media aritmética $\bar{x}$
g) Hallar el rango
h) Calcular la varianza, la desviación típica o estándar, y el coeficiente de variación de Pearson
Resolución:
( apartados: (a)-(g) )
(h)
La varianza ( mide la dispersión ) se define como el promedio de las desviaciones al cuadrado, es decir
$\displaystyle s^2=\dfrac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{5}\,(x_i-\bar{x})^2\,f_i$, donde $n=21$ es el número de valores de la variable estadística
es decir
$s^2=\dfrac{1}{21}\big((1-2'8)^2\cdot 3+(2-2'8)^2\cdot 6+(3-2'8)^2\cdot 7+$
$+(4-2'8)^2\cdot 3+(5-2'8)^2\cdot 1+(6-2'8)^2\cdot 1\big)\approx 1'6$
La desviación estandár ( mide la dispersión ) se define como la raíz cuadrada de la varianza y sus dimensiones son las de la característica en estudio:
$s=\sqrt{s^2} \approx \sqrt{1'6} = 1'3$
El coeficiente de variación de Pearson ( mide la dispersión relativa a la media):
$\text{CVP}=\dfrac{s}{\bar{x}}\approx \dfrac{1'3}{2'8} = 0'46 = 46\,\%$
$\blacksquare$
Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
Enunciado:
Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[ Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos dos puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos tres puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Resolución:
(a)
Procedemos a dibujar el diagrama de árbol, y, haciendo uso de la regla de Laplace, anotamos la probabilidad correspondiente a cada suceso elemental encima de la arista a dicho suceso ( cuidado: al extraer la primera bola, queda una bola menos en la urna, y, en particular, una bola menos del color que aparece ):
Así, pues, por los principios de multiplicación y de suma ( ver el cálculo que acompaña al diagrama de árbol ), la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a $\dfrac{5}{11}$.
Nota: La probabilidad de obtener bolas de distinto color es, por la propiedad del contrario, igual a $1-$probabilidad de obtener bolas del mismo color, esto es, $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$.
(b)
El valor esperado de la ganancia de puntos se calcula sumando el producto de cada ganancia de cada evento resultante ( obtener bolas del mismo color y obtener bolas de colores distintos ) multiplicada por probabilidad correspondiente, por tanto $E=(+2)\cdot \dfrac{5}{11}+(-3)\cdot {6}{11})=-\dfrac{8}{11}$, valor éste que, al ser negativo, nos lleva a rechazar una proposición de juego como la descrita.
$\blacksquare$
Considérese una urna con $6$ bolas rojas y $5$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[ Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos dos puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos tres puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Resolución:
(a)
Procedemos a dibujar el diagrama de árbol, y, haciendo uso de la regla de Laplace, anotamos la probabilidad correspondiente a cada suceso elemental encima de la arista a dicho suceso ( cuidado: al extraer la primera bola, queda una bola menos en la urna, y, en particular, una bola menos del color que aparece ):
Así, pues, por los principios de multiplicación y de suma ( ver el cálculo que acompaña al diagrama de árbol ), la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a $\dfrac{5}{11}$.
Nota: La probabilidad de obtener bolas de distinto color es, por la propiedad del contrario, igual a $1-$probabilidad de obtener bolas del mismo color, esto es, $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$.
(b)
El valor esperado de la ganancia de puntos se calcula sumando el producto de cada ganancia de cada evento resultante ( obtener bolas del mismo color y obtener bolas de colores distintos ) multiplicada por probabilidad correspondiente, por tanto $E=(+2)\cdot \dfrac{5}{11}+(-3)\cdot {6}{11})=-\dfrac{8}{11}$, valor éste que, al ser negativo, nos lleva a rechazar una proposición de juego como la descrita.
$\blacksquare$
viernes, 4 de abril de 2014
Considérense dos poliedros semejantes. La razón de semejanza ( el factor d'escala ) es $2$. El volumem del poliedro menor es igual a $4\,\text{m}^3$. ¿ Cuál es el volumne del mayor ?
Enunciado:
Considérense dos poliedros semejantes, esto es, uno es una fiel reproducción del otro, pero de tamaño distinto. Si el factor de escala ( lineal ) es $2$ y el volumen del poliedro menor (1) es igual a $4\,\text{m}^3$, ¿ cuál es el volumen del poliedro mayor (2) ?
Resolución:
Si el factor de escala ( lineal ), es $r$, entonces la razón aritmética entre los volúmenes es $r^3$
esto es
$\dfrac{\mathcal{V}_{2}}{\mathcal{V}_{1}}=r^3$
luego
$\mathcal{V}_{2}=2^3\cdot 4 =32 \, \text{m}^3 $
$\square$
viernes, 14 de marzo de 2014
Calcúlese el área del desarrollo plano de un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden $1\,\text{dm}$, $2\,\text{dm}$ y $3\,\text{dm}$, respectivamente.
Enunciado:
Calcúlese el área del desarrollo plano de un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden $1\,\text{dm}$, $2\,\text{dm}$ y $3\,\text{dm}$, respectivamente.
Resolución:
Al tener un prisma recto de base rectangular $6$ caras rectangulares iguales dos a dos, el área del desarrollo plano es la suma de las áreas de los seis rectángulos que corresponden a las caras, y, por tanto $A=2\,(1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3)=2\cdot 11 = 22 \, \text{dm}^2$
$\blacksquare$
Determinar el volumen y el área de la superficie de una esfera de $2\,\text{m}$ de radio.
Enunciado:
Determinar el volumen y el área de la superficie de una esfera de $2\,\text{m}$ de radio.
Resolución:
(a) Volumen:
$V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3=\dfrac{4}{3}\,\pi\,2^3=\dfrac{32}{3}\,\pi\,\text{m}^3$
(b) Área de la superficie:
$\mathcal{A}=4\,\pi\,r^2=4\,\pi\,2^2=16\,\pi\,\text{m}^2$
$\blacksquare$
Hallar la capacidad - en litros - de un depósito en forma de prisma recto, de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $10\,\text{cm}$, $20\,\text{cm}$ y $30\,\text{cm}$, respectivamente.
Enunciado:
Hallar la capacidad - en litros - de un depósito en forma de prisma recto, de base rectangular, cuyas aristas desiguales miden: $10\,\text{cm}$, $20\,\text{cm}$ y $30\,\text{cm}$, respectivamente.
Resolución:
Expresando las longitudes de las aristas en decímetros ( $10\,\text{cm}=\text{dm}$, $20\,\text{cm}=2\,\text{dm}$ y $30\,\text{cm}=3\,\text{dm}$ ) y calculando el volumen del paralelepípedo ( prisma de base rectangular ), obtenemos: $V=1\cdot 2\cdot 3 =6\,\text{dm}^3$, luego por la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen ( $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$ ), la capacidad del depósito es de $6\,\text{L}$
$\blacksquare$
Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.
Enunciado:
Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.
Resolución:
Sea $x$ la diagonal de una cara, entonces $x^2=1^2+1^2=2$ ( por el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal de una cara del cubo ). Por otra parte, al trazar la diagonal del cubo, se configura otro triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud $1$ y $x=\sqrt{2}$, y de diagonal $d$, luego
$d=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{3}\,\text{m}$
$\blacksquare$
Calcular la capacidad - en litros - de un depósito cilíndrico de $100\,\text{cm}$ de radio de la base y $100\,\text{cm}$ de altura.
Enunciado:
Calcular la capacidad - en litros - de un depósito cilíndrico de $100\,\text{cm}$ de radio de la base y $100\,\text{cm}$ de altura.
Resolución:
Al pedirnos que expresemos la capacidad en litros, comenzaremos expresando los datos ( el radio y la altura ) en decímetros: $r=100\,\text{cm}=10\,\text{dm}$ y $h=100\,\text{cm}=10\,\text{dm}$, atendiendo la equivalencia entre volumen y capacidad ( $1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3$ ). El volumen es pues $V=\pi\,r^2\,h=10\cdot 10\,\pi = 100\pi\,\text{dm}^3$, luego la capacidad de dicho depósito cilíndrico es $100\,\pi\,\text{L}$
$\blacksquare$
Hállese el valor del área lateral del desarrollo plano de un cilindro de $7\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Hállese el valor del área lateral del desarrollo plano de un cilindro de $7\,\text{dm}$ de generatriz y $2\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
Imaginemos la deconstrucción de un cilindro ( por ejemplo, cortando la generatriz y el contorno de las bases de un cilindro de cartulina y desplegando la superficie lateral ). Al desenrollarse dicha superficie lateral de los contornos de las bases, que son circunferencias, obtenemos un rectángulos de lados $2\,\pi\,r$ y $h$, respectivamente, luego $A_{lateral}=( 2\,\pi\,r ) \cdot h$, y, como en un cilindro recto la $g=h=7\,\text{dm}$, llegamos a $A_{lateral}=( 2\cdot 7\, \pi) \cdot 2=28\,\pi\,\text{dm}^2$
$\blacksquare$
Calcular el volumen - expresado en decímetros cúbicos - de un cilindro recto de $70\,\text{cm}$ de generatriz y $20\,\text{cm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen - expresado en decímetros cúbicos - de un cilindro recto de $70\,\text{cm}$ de generatriz y $20\,\text{cm}$ de radio de la base.
Resolución:
Empecemos expresando los datos ( radio y generatriz en decímetros, pues nos piden que demos el volumen en decímetros cúbicos: $r=20\,\text{cm}=2\,\text{dm}$, $g=70\,\text{cm}=7\,\text{dm}$ ). Sabemos que el volumen de un cilindro se calcula de la forma $V=\pi\,r^2\,h$, y, como en un cilindro recto $h=r$, nos queda $V=\pi\,2^2\cdot 7 = 28\,\pi\,\text{dm}^3$
$\blacksquare$
Hallar el área lateral - en decímetros cuadrados - de un cono de $50\,\text{cm}$ de generatriz y $40\,\text{cm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Hallar el área lateral —en decímetros cuadrados— de un cono de $50\,\text{cm}$ de generatriz y $40\,\text{cm}$ de radio de la base.
Resolución:
El área lateral de un cono es el área del sector circular de radio $g$, que, una vez recortado, debe enrollarse alrededor del contorno del círculo de la base, que tiene longitud $2\,\pi\,r$, luego planteando la proporción $\dfrac{A_{lateral}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g}$, y, de aquí, $A_{lateral}=\pi\,r\,g$; teniendo en cuenta que $g=50\,\text{cm}=5\,\text{dm}$ y $r=40\,\text{cm}=4\,\text{dm}$ , obtenemos $A_{lateral}=\pi\cdot 4 \cdot 5=20\,\pi\,\text{dm}^2$
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Calcúlese el ángulo del sector circular que hay que dibujar y recortar ( en una cartulina ) para obtener ( doblándolo y pegando los bordes ) un cono ( sin la tapa ) de $3\,\text{dm}$ de altura y siendo $4\,\text{dm}$ el radio de la circunferencia del borde de la base.
Enunciado:
Calcúlese el ángulo del sector circular que hay que dibujar y recortar ( en una cartulina ) para obtener ( doblándolo y pegando los bordes ) un cono ( sin la tapa ) de $3\,\text{dm}$ de altura y siendo $4\,\text{dm}$ el radio de la circunferencia del borde de la base.
Resolución:
Tal como se recuerda en el enunciado, el ángulo, $\alpha$, del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral del cono es el ángulo del sector circular que, al ser recortado y enrollado alrededor del contorno del círculo de la base da lugar a la superficie lateral del cono, luego el valor de dicho ángulo se obtiene de la proporción $\dfrac{\alpha}{2\,\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\,g}$, y, de aquí, $\alpha=360^{\circ}\,\dfrac{r}{g}$. Teniendo en cuenta que $g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{dm}$, obtenemos $\alpha=360^{\circ}\,\dfrac{4}{5}=288^{\circ}$
$\blacksquare$
Calcular el volumen de un cono de $10\,\text{dm}$ de generatriz y $6\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen de un cono de $10\,\text{dm}$ de generatriz y $6\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
El volumen de un cono se calcula de la forma $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$. Conocemos el valor del radio y el de la altura, pero no el de la altura; ahora bien, mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma al cortar el cono por un plano diametral: $h^2=g^2-r^2=10^2-6^2=64$, luego $h=\sqrt{64}=8\,\text{dm}$. Así, pues, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,6^2\cdot 8=96\,\pi\,\text{dm}^3$
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lunes, 10 de marzo de 2014
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.
Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.
Resolución:
Después de construir el giro ( figura ) observamos que: $P'(0,3)$ y $Q'(-1,3)$, y el vértice $O(0,0)$, al coincidir con el centro de giro, es invariante.
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El área de un cierto triángulo es $24\,\text{cm}^2$ y su perímetro es $24\,\text{cm}$. Se aplica a dicho triángulo una homotecia de razón $r=10$, obteniéndose así un triángulo {\sl semejante} al triángulo original. Calcúlese: a) el área b) el perímetro
Enunciado:
El área de un cierto triángulo es $24\,\text{cm}^2$ y su perímetro es $24\,\text{cm}$. Se aplica a dicho triángulo una homotecia de razón $r=10$, obteniéndose así un triángulo {\sl semejante} al triángulo original. Calcúlese:
a) el área
b) el perímetro
Resolución:
El perímetro del triángulo resultante es igual al perímetro del triángulo original multiplicado por la razón de la homotecia, esto es, $24\cdot 10 = 240\,\text{cm}$.
El área del triángulo resultante es igual al área del triángulo original multiplicada por el cuadrado de la razón de la homotecia, es decir, $24\cdot 10^2 = 2\,400\,\text{cm}^2$
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Sean los vectores $\vec{u}=(-1,2)$ y $\vec{v}=(3,5)$. Se pide: a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en el origen de coordenadas, $O(0,0)$, y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$ b) Medir el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( con el transportador de ángulos ): $\angle \{ \vec{u}\,,\, \vec{v}\}$ c) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Enunciado:
Sean los vectores $\vec{u}=(-1,2)$ y $\vec{v}=(3,5)$. Se pide:
a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en el origen de coordenadas, $O(0,0)$, y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$
b) Medir el ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( con el transportador de ángulos ): $\angle \{ \vec{u}\,,\, \vec{v}\}$
c) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Resolución:
La siguiente figura ilustra una resolución suficiente del problema
Nota:
También podemos determinar las coordenadas del vector suma de forma algebraica: $\vec{u}+\vec{v}=(-1\,,\,2)+(3\,,\,5)=(-1+3\,,\,2+5)=(2\,,\,7)$
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Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática (...)
Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:
Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $\overline{PB}=4 \,\text{cm}$ y $\overline{PA}=25\,\text{cm}$, ¿ cuál es su área ?.
Resolución:
Por el Teorema de Pitágora, la altura correspondiente al lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos, esto es: $h=\sqrt{4\cdot 25}=10$. Luego el área del triángulo es igual a $\dfrac{(25+4)\cdot 10}{2}=145\,\text{m}^2$
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Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.
Enunciado:
Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.
Resolución:
La figura ilustra la construcción de la traslación del segmento $a$ dado por los puntos $A$ y $B$
En el propio gráfico podemos leer las coordenadas de los puntos extremos del segmento que resultan de la traslación: $A'(6,5)$ y $B'(5,6)$.
Nota:
Podemos también conocer las coordenadas de $A'$ y $B'$ sin hacer la construcción, recurriendo al método algebraico: $x'_A=x_A+t_x$ e $y'_B=y_B+t_y$; esto es, $x'_A=1+5=6$ e $y'_B=0+5=5$
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Sea el triángulo de vértices: $A(0,1)$, $B(1,2)$ y $C(-1,2)$. Se pide: a) Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano b) Construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=4$ c) ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante ?.
Enunciado:
Sea el triángulo de vértices: $A(0,1)$, $B(1,2)$ y $C(-1,2)$. Se pide:
a) Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano
b) Construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=4$
c) ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante ?.
Resolución:
La siguiente figura da respuesta a los tres apartados
Las coordenadas de los puntos $A'$, $B'$ y $C'$ las leemos en el diagrama cartesiano, obteniendo: $A'(0,4)$, $B'(4,8)$ y $C'(-4,8)$
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A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=10\,\text{cm}$ y $c=8\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Enunciado:
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=10\,\text{cm}$ y $c=8\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.
Resolución:
Por el Teorema de Pitágoras, $b=\sqrt{10^2-8^2}=6\,\text{cm}$, luego el perímetro del triángulo es igual a $10+8+6 = 24\,\text{cm}$, y, el valor del área es $\dfrac{6\cdot 8}{2}=24\,\text{cm}^2$
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domingo, 2 de marzo de 2014
Sea el punto $B(3,3)$. ¿ Cuales son las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.
Enunciado:
Sea el punto $B(3,3)$. Determínense las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.
Resolución:
(a)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de ordenadas, $Oy$, da el punto $B'(-x_B,y_B)$, es decir, mantiene la ordenada del punto original pero cambia la abscisa del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,3)$
(b)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de abscisas, $Ox$, da el punto $B^{''}(x_B,-y_B)$, es decir, mantiene la abscisa del punto original pero cambia la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(3,-3)$
(c)
La simetría de $B(x_B,y_B)$ central, respecto de $O(0,0)$, da el punto $B^{'''}(-x_B,-y_B)$, es decir, cambia la abscisa del punto original por el opuesto de dicho valor y cambia también la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,-3)$. Observemos que, en general, la simetría central respecto a un centro cualquiera equivale a un giro horario ( o antihorario, indistintamente ) con centro en el centro de simetría y amplitud de giro de $180^{\circ}$
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.
Enunciado:
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.
Resolución:
Observemos que las coordenadas de $A'$ son $A'(x_A+t_x\,,\,y_A+t_y)$, es decir $A'(-1+2\,,\,2+(-4))$, y, operando, $A'(1\,,\,-2)$
y, por tanto, lo mismo ocurre con todos los otros puntos; así, pues, las coordenadas de $B'$ son $B'(x_B+t_x\,,\,y_B+t_y)$, es decir $B'(1+2\,,\,2+(-4))$ , y, operando, $B'(3\,,\,-2)$
Nota: Se dará también por buen proceder el anotar, simplemente, la lectura de las coordenadas del los puntos resultantes, $A'$ y $B'$, leyendo/midiendo sobre el diagrama después de construir la traslación con regla y compás; sin embargo, merece mucho el esfuerzo de comprender la relación apuntada arriba, que, naturalmente, se generaliza a todas las traslaciones.
$\blacksquare$
Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide ...
Enunciado:
Sean los vectores libres ( equipolentes ) $\vec{u}=(1,3)$ y $\vec{v}=(4,2)$. Se pide:
a) Dibujar los dos vectores en el plano cartesiano, con origen común en cualquier punto del plano y construir la suma gráfica: $\vec{u}+\vec{v}$
b) Decir cuáles son las coordenadas del vector $\vec{u}+\vec{v}$
Resolución:
(a)
(b)
Podemos leer las coordenadas en el gráfico o, mejor aún, realizar la suma algebraica de los vectores: $$\vec{u}+\vec{v}=(1,3)+(4,2)=(1+4,3+2)=(5,5)$$
$\blacksquare$
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?
Enunciado:
El área de un cierto rectángulo es igual a $5\,\text{cm}^2$. ¿Cuál es el área del rectángulo resultante de aplicarle una homotecia de razón $r=2$?
Resolución:
Al aplicar al rectángulo de origen una homotecia de razón $r$, la longitud de cada uno de los lados del rectángulo resultante es $r$ veces mayor, luego el área de dicho rectángulo - que, como es sabido, se calcula multiplicando sus dos lados desiguales -, resulta ser igual a $(r\,a)\cdot (r\,b)$, es decir, $r^2 \cdot a\,b $; en otras palabras, el área, $\text{Área}^{'}$, del rectángulo - y, de hecho, de cualquier otra figura plana - que resulta de aplicar una homotecia de razón $r$ a la figura original ( de área $\text{Área}=a\cdot b$ ) es $\text{Área}^{'}=r^2 \cdot \text{Área}$. Así, pues, en nuestro caso, al ser $r=2$, $\text{Área}^{'}=2^2 \cdot 5 = 20 \, \text{cm}^2$
$\blacksquare$
Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.
Enunciado:
Sea el triángulo de vértices: $A(1,3)$, $B(2,2)$ y $C(2,3)$. Dibujar dicho triángulo en el plano cartesiano. A continuación, construir la homotecia directa de centro $O(0,0)$ y razón de homotecia $r=3$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices $A'$, $B'$ y $C'$ del triángulo resultante.
Resolución:
A partir del gráfico, medimos el valor de las coordenadas de los puntos imágenes: $A'(3\,,\,9)$, $B'(6\,,\,6)$ y $C'(6\,,\,9)$
$\blacksquare$
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
Enunciado:
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
Resolución:
Conociendo el valor del área ( $20\,\text{dm}^2$ ) y el valor de uno de los lados desiguales ( $a=4\,\text{dm}$ ) del rectángulo, podemos calcular la longitud del otro ( a la que llamamos $b$ ), de manera bien sencilla, pues, $20=4\,b$; de aquí, $b=20/4=5\,\text{dm}$. Y, como la diagonal del rectángulo ( que denotamos por $d$ ) divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$d=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\,\text{dm}$$
$\blacksquare$
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$
Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$
Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).
Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$
Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$
Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$
$\blacksquare$
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$
Enunciado:
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$
Resolución:
Tomando $b$ como base del triángulo, y, por tanto, $h$ como su altura, podemos calcular el área del triángulo de la forma $$\text{Área}=\dfrac{b\cdot h}{2}$$
con lo cual deberemos calcular el valor de $b$ y el valor de $h$, cosa que llevaremos a cabo teniendo en cuenta que $\triangle{\{A,B,C\}}$ es, según la figura ( uno de los ángulos del triángulo es un a. recto: el a. de vértice $B$ ), un triángulo rectángulo.
Por el Teorema del Cateto: $a^2=b \cdot \overline{PC}$, y con los datos del problema, $4^2=2\,b$; de aquí deducimos $b=8\,\text{cm}$
Teniendo en cuenta, ahora, el Teorema de la Altura: $\overline{AP} \cdot \overline{PC}=h^2$. Poniendo, ahora, los datos del problema, nos queda: $6 \cdot 2 = h^2$. De aquí, deducimos $h=\sqrt{12}=2\,\sqrt{3} \,\text{cm}$
Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del área, encontramos $\text{Área}=\dfrac{b \cdot h}{2}=\dfrac{(6+2) \cdot 2\,\sqrt{3} }{2}=8\,\sqrt{3}\,\text{cm}^2$
$\blacksquare$
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.
Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.
Resolución:
Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.
Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.
Nota ( Ampliación ): Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.
$\blacksquare$
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$
Enunciado:
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$
Resolución:
Por comodidad, denotamos por $x$ el segmento $\overline{OA}$, y por $y$ el segmento $\overline{AB}$. Entonces, teniendo en cuenta el Teorema de Tales ( los triángulos $\triangle{\{O,A,A'\}}$ y $\triangle{\{O,B,B'\}}$ ) podemos escribir la siguiente proporción entre los segmentos correspondientes:
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+y}{3+2,2}$$
y teniendo en cuenta que $x+y=6,5$
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{6,5}{5,2}$$
y, resolviendo la ecuación,
$$x=3,75 \, \text{cm}$$
luego
$$y=6,5-3,75=2,75 \, \text{cm}$$
$\blacksquare$
sábado, 22 de febrero de 2014
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ para $x=4$ y expresar el resultado aproximado a las décimas (por redondeo simétrico).
Ayuda: Escribir, primero, la expresión $\displaystyle \sqrt[3]{x^2}$ como una potencia ( de base $x$ ) con exponente fraccionario; a continuación, en esta expresión algebraica en forma de potencia, sustituir $x$ por el valor dado de dicha variable, y, a partir de la expresión numérica que se obtiene, usar la calculadora para encontrar el valor numérico pedido. Finalmente, hacer la aproximación.}
Resolución:
$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}=4^{2/3} \underset{(1)}{\approx} 2,5$
(1) utilizando la calculadora científica ( " 4 ^ 2 / 3 = " ) y aproximando la cantidad que aparece en pantalla por redondeo simétrico hasta las décimas
$\blacksquare$
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.
Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:
$\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro
$\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro
$\blacksquare$
Resolver la siguiente ecuación: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación:
$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
Resolución:
Multiplicando cada miembro de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes ( que es igual a $12$ ), podemos escribir la siguiente ecuación equivalente:
$$12\cdot \dfrac{x}{2}-12\cdot \dfrac{5}{6}=12\cdot\dfrac{1}{12}-12\cdot\dfrac{2\,(x-1)}{3}$$
y simplificando, queda
$$6\,x-10=1-8\,(x-1)$$
es decir
$$6\,x-10=1-8\,x+8$$
y agrupando términos semjantes
$$6\,x+8\,x=1+8+10$$
con lo cual
$$14\,x=19$$
luego
$$x=\dfrac{19}{14}$$
$\blacksquare$
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Enunciado:
Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿ Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$ ?.
Resolución:
Sean $x$ ( número de pintores ), $y$ ( área a pintar ) y $z$ ( tiempo empleado ), las magnitudes que intervienen en este problema de proporcionalidad compuesta. Es evidente que $x$ e $y$ están en proporción directa, mientras que $y$ y $z$ están en proporción inversa, luego, podemos escribir la proporción compuesta de la forma:
$$\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2} \quad \quad (1)$$
y siendo:
$x_1=4$ pintores
$x_2=3$ pintores
$y_1=32\,\text{m}^2$
$y_2=15\,\text{m}^2$
$z_1=90\,\text{min}$
$z_2$ ( incógnita del problema )
con lo cual, despejando la incógnita de (1):
$$z_2=z_1 \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot \dfrac{x_1}{x_2}$$
o, si se prefiere, poniendo directamente los datos en (1):
$$\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)^{-1}\cdot \dfrac{33}{15}=\dfrac{90}{z_2}$$
y despejando la incógnita,
$$z_2=90\cdot \dfrac{15}{32}\cdot \dfrac{4}{3}$$
obteniendo
$$z_2=\dfrac{225}{4}=56\,\text{min}\,15\,\text{s}$$
$\square$
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Enunciado:
Calcular el valor numérico del polinomio $P(x)=x^3-x^2+x-1$ para $x=3$
Resolución:
$P(3)=3^3-3^2+3-1=27-9+3-1=18+3-1=21-1=20$
$\blacksquare$
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Enunciado:
El polinomio $P(x)=x^2+4$ es un polinomio primo. Justificarlo con los cálculos y las explicaciones necesarias.
Resolución:
Un polinomio es primo si no tiene raíces en el conjunto de los números reales. Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, busquemos valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea igual a cero:
$x^2+4=0 \Leftrightarrow x^2=-4 \Leftrightarrow x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$, luego el polinomio dado no tiene raíces, luego es un polinomio primo.
$\blacksquare$
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos: $$2\,x^3-8\,x^2$$
Enunciado:
Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma en la siguiente expresión polinómica para expresarla como producto de factores polinómicos:
$$2\,x^3-8\,x^2$$
Resolución:
Teniendo en cuenta que $\text{m.c.d}(2,8)=2$ y que $x^3=x^2\,x$, podemos escribir:
$2\,x^3-8\,x^2=2\,x^2\,(x-4)$
$\blacksquare$
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.
Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$
$\blacksquare$
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Enunciato:
Hallar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4\,x+4$ y expresarlo como producto de factores polinómicos primos (Teorema de Factorización).
Resolución:
Veamos si el polinomio dado tiene raíces, esto es, valores de $x$ para los cuales el valor del polinomio $P(x)$ sea cero. Imponiendo esta condición:
$$x^2-4\,x+4=0$$
que es una ecuación de segundo grado cuya solución es
$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 0}{2}=2$, luego el polinomio tiene una sola raíz, $r=2$, con multiplicidad igual a $2$, y, por tanto, por el Toerema de Factorización, podemos expresar el polinomio dado de la forma
$$P(x)=(x-2)\,(x-2)=(x-2)^2$$
$\blacksquare$
viernes, 7 de febrero de 2014
Proporcionalidad compuesta
Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:
Caso I ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$
Caso II ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
Caso III ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$
Caso IV ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):
Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
$\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$ (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
$\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$ (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
$z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$
[ Ejemplo 1 ]
$\square$
domingo, 24 de noviembre de 2013
miércoles, 6 de noviembre de 2013
Proporcionalidad compuesta ( problema de muestra )
Enunciado:
Dos pintores, igualmente eficientes y trabajando a la vez, tardan $30 \; \text{min}$ en pintar un muro $6\; \text{m}^2$. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igual de hábiles ) en pintar un muro de $25 \; \text{m}^2$ ?
Resolución:
Intervienen en este problema tres magnitudes: a) el tiempo empleado en hacer la tarea; b) el àrea del muro que se quiere pintar; y, c) el número de pintores que realizan la tarea ( sin entorpecerse unos a otros ).
Al intervenir más de dos magnitudes proporcionales, se nos plantea un problema de propocinalidad compuesta entre los siguientes pares de magnitudes: i) el timepo empleado y el n úmero de pintores (que es una relación p. inversa); y, ii) el tiempo empleado y el área a pintar (que és una relació de p. directa).
Resolveremos el problema mediante dos pasos encadenados (dos proporciones enlazadas), que son las siguientes:
i) Primero, calculamos el tiempo, $t_1$, que tardarían $3$ pintors (en lugar de $2$ pintores ) en pintar $6\; \text{m}^2$ de muro:
$\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
y, de aquí, vemos que
$t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$
ii) A continuación, calculamos cuánto tiempo tardarían tres pintores ( en lugar de dos ) en pintar $25 \; \text{m}^2$ ( en lugar de $25 \; \text{m}^2$ )
$\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$
Finalmente, teniendo en cuenta [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, sustituimos este primer resultado en (2) y encontramos que
$t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
$=83,\bar{3} \; \text{min}$
$\approx 1\; \text{h}\;\;24\;\text{min}$
$\blacksquare$
Observación: Tipeo/esquema de resolución de la proporción compuesta:
Nota: Una forma de notar el inverso de un número $a$ es $\text{inv}(a)=\dfrac{1}{a}$, que también se puede escribir de la forma $a^{-1}$. Ambas notaciones las hemos utilizado en este problema.
$\square$
miércoles, 25 de septiembre de 2013
Ejercicio de operaciones combinadas con fracciones
Enunciado:
Operar:
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$
Solución:
Primero, simplificamos las fracciones reducibles
$\dfrac{60}{5}=12$
con lo cual la expresión a calcular puede escribirse así
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuación, respetando la prioridad de les operaciones, procedemos a realizar las que quedan dentro del paréntesis, por tanto efectuamos, en primer lugar, la división
$\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Poniendo este resultado en la línea principal del cálculo, podemos escribir
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
$=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuación, seguimos haciendo las operaciones del paréntesis, que son sumas y restas, para lo cual reducimos a común denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) y llegamos a
$\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
$=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
$=\dfrac{25-14+40}{60}$
$=\dfrac{51}{60}$
$=\dfrac{17}{30}$
Y escribiendo ésto en la línea principal del cálculo,
$\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
$=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
$=17\cdot \dfrac{12}{20}$
$=17\cdot \dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{51}{5}$
$\square$
domingo, 2 de junio de 2013
Calcúlense las longitudes los los lados de un triángulo rectángulo tal que ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle, sabent que són tres nombres parells consecutius.
Resolució:
En un triangle rectangle s'ha de complir el teorema de Pitàgores: el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadratas de les longituds del catets.
Si anomenem $n$ a la longitud de la hipotenusa (un nombre parell), designarem les longituds dels dos catets de la forma $n-2$ i $n-4$, respectivament (tenim en compte tota la informació de l'enunciat: totes tres longituds són nombres positius i parells - nombres naturals, doncs; i, a més, són parells consecutius).
Pel teorema de Pitàgores
$n^2=(n-2)^2+(n-4)^2$
desenvolupant les potències dels binomis
$n^2=n^2-4n+4+n^2-8n+16+(n-4)^2$
agrupant en un mateix membre i simplificant
$n^2-12n+20=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$ax^2+bx+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-12$
$c=20$
tenim
$x=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 2\\ \\10\\ \end{matrix}\right.$
El primer valor no té sentit per al problema que volem resoldre, perquè representant $n$ la longitud de la hipotenusa, portaria als les següents longituds dels catets (nombres parells precedents): $0$ i $-2$ (longitud negativa !), que, és clar que no té cap sentit.
El segon valor és el bo: si $n=10 \, \text{m}$, llavors les longituds dels dos catets són $8 \, \text{m}$ i $6 \, \text{m}$, respectivament.
$\square$
sábado, 15 de septiembre de 2012
Encontrando los divisores de un número natural
Si us agrada programar una mica és un bon exercici escriure una senzilla línia d'instruccions amb MAXIMA per escriure la llista de nombres divisors d'un nombre natural donat:
(%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
(%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452
I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:
(%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$
Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:
(%i4) troba_divisors(235456);
Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456
Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:
(%i5) divisors(235456);
(%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}
(%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
(%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452
I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:
(%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$
Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:
(%i4) troba_divisors(235456);
Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456
Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:
(%i5) divisors(235456);
(%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}
[autoría]
viernes, 14 de septiembre de 2012
Sea n un número natural, ¿cuál es el resto de la división de 7n+3 entre n, siendo n cualquier número entero distinto de cero?
Enunciat: Considerem que n és un nombre natural, quant val el reste de la divisió 7n+3 entre n, per a tot n enter no nul? Resolució: Vaig suggerir als meus alumnes que provessin diversos valors de n i que, a la vista dels resultats, treguessin les conclusions oportunes. Procedint així, el problema es pot considerar fàcil. Ara bé, tot i que és fàcil intuir la solució, demostrar-la costa una mica més. Vegem-ho. Al primer cop d'ull, ens quedem una mica desconcertats. Ara bé, de seguida una veueta ens diu que cal pensar amb el teorema fonamental de la divisió: el dividend = divisor . quocient + reste. Primer que tot convé entendre que el dividend de l'operació que se'ns dóna, 7n+3, és més gran que el divisor, 7. Això és així perquè n és un nombre natural, i per molt petit que sigui (penseu amb l'u), el dividend és més gran que 7 (10, en el cas que n=1). Si penseu en la divisió en termes d'una fracció (7n+3)/7, en cas, impròpia, ja que el numerador és més gran que el denominador, sabem que la podrem expressar com a suma d'un nombre enter més una fracció pròpia, el numerador de la qual és igual al reste de la divisó. Pel cas que tenim entre mans, (7n+3)/7 la descomposem fàciment així (propietat distributiva): n + 3/7. Pel que acabem de dir, doncs, el reste ha de ser igual a 3 |
[autoría]
viernes, 7 de septiembre de 2012
Una persona va andando al trabajo ...
Enunciat:
Una persona que va a peu a la fenina, camina a una velocitat de 4 km/h. La distància de casa seva a la feina és de 1,5 km . Surt de casa a les 08:00:00 . Al mateix temps, el seu veí del pis de dalt, que fa el torn de nit, plega, i surt de la feina per anar-se'n cap a casa, caminant a una velocitat de 3 km/h . A quina distància de casa es creuearan? Quina hora serà?
Resolució:
Anomenant $x$ a la distància de casa a la qual es trobaran, i $t$ al temps que ha de passar (de del moment que surten) fins que es troben, podem plantejar el següent sistema d'equacions (de les proporcions respectives)
$\left.\begin{matrix} \dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{t}\\ \\\dfrac{3}{1}=\dfrac{1,5-x}{t}\\ \end{matrix}\right\}$
De la primera equació
$x= 4\,t$
expressió que, posada a la segona equació (on figura la variable $x$) ens permet escriure
la següent equació (que és compatible amb les equacions del sistema original)
$3\,t=1,5-4\,t$
i, resolent-la, trobem
$t=\dfrac{3}{14} \, \text{h} \approx 12 \, \text{min} \; \text{i} \; 51 \, \text{s}$
Per calcular l'hora que serà quan es trobin, cal sumar aquesta quantitat que acabem de trobar a l'hora que han sortit (tots dos, simultàniament)
00:12:51 + 8:00:00 = 08:12:51
I, per determinar la distància $x$ a la que es trobaran (mesurada desde casa seva), substituirem el valor de $t$ que hem trobat en qualsevol de les equacions originals (la primera és més senzilla)
$x=4 \cdot \dfrac{3}{14} \approx 857 \, \text{m}$
$\square$
[autoría]
¿ Cuánto mide el la de una habitación cuadrada tal que ... ? ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu la mesura del costat d'una habitació quadrada, tenint en compte la següent informació. Una altra habitació (que té forma rectangular) fa $9\, \text{m}^2$ menys de superfície (que l'habitació quadrada); i, tenint la meitat d'amplada (que l'habitació quadrada), la seva llargada fa $3\,\text{m}$ més (que la de l'habitació quadrada)
Resolució:
Si anomenem $x$ a la longitud del costat de l'habitació quadrada, l'àrea d'aquesta és igual a $x^2$; i, tenint en compte la informació de l'enunciat, l'àrea de l'habitació rectangular ha de ser igual a
$\dfrac{x}{2}\,(x+3)$
Com que l'àrea de l'habitació quadrada és $9 \,\text{m^2}$ més petita que l'àrea de l'habitació rectangular, podem plantejar l'equació
$x^2-9=\dfrac{x}{2}\,(x+3)$
reduint a comú denominador
$2x^2-18=x^2+3x$
agrupant en un mateix membre de la igualtat, sumant els termes semblants (del mateix grau), i ordenant de grau més gran a grau més petit, escriurem aquesta equació de 2n grau completa ( de la forma $ax^2+bx+c=0$ ) per aplicar el el procediment que ens ha de permetre trobar els valors de la solució
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
on els coeficients, ara, prenen els següents valors
$a=1$
$b=-3$
$c=-18$
tenim
$x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -3\\ \\6\\ \end{matrix}\right.$
És obvi que el primer valor (un nombre negatiu) no té sentit com a solució del problema (malgrat sigui un dels valors de la solució de l'equació) atès que la longitud és una magnitud positiva. La solució del problema la dóna el segon valor $6 \, \text{m}$
$\square$
[autoría]
Ejercicios de ecuaciones de primer grado
De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: 1. Les edats d'una mare i el seu fill sumen 83 anys. Quan la mare tenia l'edat del fill, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrineu l'edat de cadascun.
2. Hem fet un viatge en cotxe. Hem dividit el trajecte en dues parts. Per fer la primera part hem gastat la meitat del combustible amb què havíem començat el viatge. Per fer la segona part hem gastat la meitat del que quedava al dipòsit. En acabar el viatge encara queden 10 L al dipòsit. Quant combustible hi havia al dipòsit en començar el viatge ? Quina distància hem recorregut sabent que, en mitjana, el vehicle consumeix 6,25 L cada 100 km ?
3. El denominador d'una fracció és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al numerador, la fracció que en resulta és igual a la inversa de la fracció original. Quina és aquesta fracció ?
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[autoría]
Ejercicios de proporcionalidad ( Artículo escrito en catalán )
1. El preu d'un article ha augmentat d'un $3$% en relació al que costava l'any anterior. Enguany, quan l'hem comprat, ens ha costat $24,35 \, \text{euro}$. Quant ens va costar l'any passat ?.
Anomenem $x$ a la quantitat que vam pagar l'anys passat. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100}{100+3}=\dfrac{x}{24,35}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{24,35 \cdot 100}{103} \approx 23,64 \, \text{euro}$
$\square$
2. Una conducció d'aigua omple un dipòsit en $2$ h; una segona conducció l'omple en $3$ h . Si omplim el dipòsit amb totes dues conduccions a la vegada, quant de temps es tarda a tenir el dipòsit ple ?
1a conducció: Si omple tot el dipòsit en $3$ h, en $1$ h n'omple $1/3$ part
2a conducció: Si omple tot el dipòsit en $2$ h, en $1$ h n'omple $1/2$ part
Per tant,
En una mateixa hora, totes dues a la vegada, omlen $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ parts del total, és a dir, $\frac{5}{6}$ parts del dipòsit.
Llavors, anomenant $t$ al temps que cal per oplir el dipòsit, en proporció:
$\dfrac{1}{\frac{5}{6}}=\dfrac{t}{\frac{6}{6}}$
D'aquí, aïllant $t$, trobem
$t=\dfrac{6}{5} \; \text{h}$ que és igual a $1$ h i $12$ min
$\square$
3. Quan un determinat dipòsit és buit i tanquem l'aixeta, s'omple en $5$ h. Per altra banda, sabem que, quan és ple, tancant l'aixeta i obrint del desguàs, es buida en $110$ min. Estant el dipòsit buit, obrim l'aixeta per omplir-lo, però ens deixem el desguàs obert. Quant de temps cal esperar per tal que quedi ple ?
Observem que, en una mateixa unitat de temps, quan l'aixeta i el desguàs són oberts a la vegada, surt més volum d'aigua que el que entra; per tant, és impossible que s'ompli. $\square$
4. Sabem que fa 3 anys, el preu d'un determinat article era de 12, 00 €. Cada any, el preu augmenta d'un 1,4%, en relaci ó al preu de l'any anterior. Calculeu el preu d'enguany ?.
Considerant que fem el pagament anual a final d'any, cal calcular la quantitat que correspon al pagament del quart any. Anomenem $x_1$ a la quantitat que es va pagar fa tres anys (12,00 €); $x_2$, a la quantitat que vam pagar el 2n any; $x_3$, a la que es va pagar el tercer any; i $x_4$ a la quantitat que toca pagar enguany. Plantegem les proporcions encadenades:
$\dfrac{100+1,4}{100}=\dfrac{x_1}{12,00}$
d'on
$x_2 = \dfrac{101,4 \cdot 12,00}{100}$
Semblantment,
$x_3 = \dfrac{101,4 \cdot x_2}{100}$
i
$x_4=\dfrac{101,4 \cdot x_3}{100}$
que, donats els resultats anteriors, és igual a
$\big(\dfrac{101,4}{100}\big)^{3} \cdot 12,00$
que, aproximant, queda
$12,51$ €
$\square$
5. Dipositem 100,00 € en una llibreta d'estalvis. Cada any, aquesta quantitat ens d óna un 2% de bene ficis (interessos). Si hem tingut aquesta quantitat
en estalvi durant 5 anys, quina quantitat de diners tindrem a la llibreta al fi nal d'aquest interval de temps ?
Per calcular els interessos $I_1$que la quantitat que hem posat a la llibreta produeix
en un any plantegem la següent proporció
$\dfrac{2}{100}=\dfrac{I_1}{100,00}$
d'on trobem que $I_1$ = 2,00 €
Llavors, si en un any s'obté aquests beneficis, en 5 anys obtindrem
5·2,00 = 10,00 € d'interessos.
Per tant, al cap de cinc anys a la llibreta hi haurà la quantitat de diners que vam posar en estalvi més els interessos que acabem de calcular, és a dir 110,00 €
$\square$
6. Una poblaci o de bacteris s'ha triplicat. Quin tant per cent d'augment es pot dir que s'ha donat ? I quan s'hagi quadruplicat ?
Anomenem $x$ al nombre d'individus de la població inicial, i $t$ al tant per cent d'augment de la població. Tenint en compte que el nombre d'individus de la població final és igual a $3\,x$ i que, per tant, l'augment del nombre d'individus és $3\,x-x$, podem calcular el valor de $t$, plantejant la següent proporció
$\dfrac{\text{t}}{100}=\dfrac{3\,x-x}{x}$
d'on s'obté que
$t=\dfrac{2\,x \cdot 100}{x}$
és a dir
t=200 %
De manera semblant, és fàcil veure, doncs, que quan la població és duplica l'augment correspon a un 100%; per tant, generalitzant aquests resultats, deduïm que quan es quadriplica, serà d'un 300%; quan es quintuplica, d'un 400%, etcètera.
$\square$
7. D'una determinada quantitat de sorra, en traiem el 15%; tot seguit, del que ha quedat, en traiem el 35%. Fet aix o, encara queden 250 kg de sorra. Quina quantitat de sorra hi havia al començament ? Quina quantitat n'hem tret en total ?
Calculem el tant per cent de sorra $t$ que correson a 250 kg (la quantitat que ha quedat en l'últim pas):
En la primera extracció s'ha retirat un 15% del total.
En la segona, un 35% del 85% que ha havia quedat:
$\dfrac{35}{100}\cdot \dfrac{85}{100}=\dfrac{29,75}{100}$
és a dir, un 29,75% del total
Calculeum, ara, el tant per cent que ha quedat, i que correspon a la quantitat de 250 kg:
100% - (15%+29,75%) = 55,25%
Per calcular la quantitat total $x$ (que hi havia al començament) plantejarem la següent proporció:
$\dfrac{100}{55,25}=\dfrac{x}{250}$
d'on s'obté
$x=\dfrac{250 \cdot 100}{55,25}$
és a dir
$x \approx 452 \; \text{kg}$
Llavors, la quantitat de sorra que s'ha retirat és aproximadament igual (arrodoniment) a
la diferència entre la quantitat total que acabem de calcular i la quantitat de sorra que ha quedat (250 kg); és a dir, $202 \; \text{kg}$, aproximadament (arrodoniment dels decimals).
$\square$
8. Un excursionista recorre la cinquena part d'un trajecte en una primera etapa. Descansa, i a la segona etapa, recorre les dues terceres parts del que
encara li falta per acabar. Torna a descansar i, a la tercera i última etapa,
recorre 20 km. Calculeu la longitud total del recorregut ?
Primer de tot, calcularem la fracció del recorregut que correspon a la tercera etapa.
Si la primera etapa és igual a una cinquena part del total, la segona representa
$\dfrac{2}{3}\cdot (1-\dfrac{1}{5})$
és a dir,
8/15 del total
Per tant, la tercera etapa - de 20 km - representa
$1-\dfrac{8}{15}=\dfrac{7}{15}$
parts del total
Llavors, per calcular la longitud del recorregut total $x$ podem plantejar la següent proporció
$\dfrac{15}{7}=\dfrac{x}{20}$
i aïllant $x$ trobem el seu valor
$x=\dfrac{15 \cdot 20}{7}$
que, aproximat a les unitats, és igual a
43 km
$\square$
Anomenem $x$ a la quantitat que vam pagar l'anys passat. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100}{100+3}=\dfrac{x}{24,35}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{24,35 \cdot 100}{103} \approx 23,64 \, \text{euro}$
$\square$
2. Una conducció d'aigua omple un dipòsit en $2$ h; una segona conducció l'omple en $3$ h . Si omplim el dipòsit amb totes dues conduccions a la vegada, quant de temps es tarda a tenir el dipòsit ple ?
1a conducció: Si omple tot el dipòsit en $3$ h, en $1$ h n'omple $1/3$ part
2a conducció: Si omple tot el dipòsit en $2$ h, en $1$ h n'omple $1/2$ part
Per tant,
En una mateixa hora, totes dues a la vegada, omlen $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ parts del total, és a dir, $\frac{5}{6}$ parts del dipòsit.
Llavors, anomenant $t$ al temps que cal per oplir el dipòsit, en proporció:
$\dfrac{1}{\frac{5}{6}}=\dfrac{t}{\frac{6}{6}}$
D'aquí, aïllant $t$, trobem
$t=\dfrac{6}{5} \; \text{h}$ que és igual a $1$ h i $12$ min
$\square$
3. Quan un determinat dipòsit és buit i tanquem l'aixeta, s'omple en $5$ h. Per altra banda, sabem que, quan és ple, tancant l'aixeta i obrint del desguàs, es buida en $110$ min. Estant el dipòsit buit, obrim l'aixeta per omplir-lo, però ens deixem el desguàs obert. Quant de temps cal esperar per tal que quedi ple ?
Observem que, en una mateixa unitat de temps, quan l'aixeta i el desguàs són oberts a la vegada, surt més volum d'aigua que el que entra; per tant, és impossible que s'ompli. $\square$
4. Sabem que fa 3 anys, el preu d'un determinat article era de 12, 00 €. Cada any, el preu augmenta d'un 1,4%, en relaci ó al preu de l'any anterior. Calculeu el preu d'enguany ?.
Considerant que fem el pagament anual a final d'any, cal calcular la quantitat que correspon al pagament del quart any. Anomenem $x_1$ a la quantitat que es va pagar fa tres anys (12,00 €); $x_2$, a la quantitat que vam pagar el 2n any; $x_3$, a la que es va pagar el tercer any; i $x_4$ a la quantitat que toca pagar enguany. Plantegem les proporcions encadenades:
$\dfrac{100+1,4}{100}=\dfrac{x_1}{12,00}$
d'on
$x_2 = \dfrac{101,4 \cdot 12,00}{100}$
Semblantment,
$x_3 = \dfrac{101,4 \cdot x_2}{100}$
i
$x_4=\dfrac{101,4 \cdot x_3}{100}$
que, donats els resultats anteriors, és igual a
$\big(\dfrac{101,4}{100}\big)^{3} \cdot 12,00$
que, aproximant, queda
$12,51$ €
$\square$
5. Dipositem 100,00 € en una llibreta d'estalvis. Cada any, aquesta quantitat ens d óna un 2% de bene ficis (interessos). Si hem tingut aquesta quantitat
en estalvi durant 5 anys, quina quantitat de diners tindrem a la llibreta al fi nal d'aquest interval de temps ?
Per calcular els interessos $I_1$que la quantitat que hem posat a la llibreta produeix
en un any plantegem la següent proporció
$\dfrac{2}{100}=\dfrac{I_1}{100,00}$
d'on trobem que $I_1$ = 2,00 €
Llavors, si en un any s'obté aquests beneficis, en 5 anys obtindrem
5·2,00 = 10,00 € d'interessos.
Per tant, al cap de cinc anys a la llibreta hi haurà la quantitat de diners que vam posar en estalvi més els interessos que acabem de calcular, és a dir 110,00 €
$\square$
6. Una poblaci o de bacteris s'ha triplicat. Quin tant per cent d'augment es pot dir que s'ha donat ? I quan s'hagi quadruplicat ?
Anomenem $x$ al nombre d'individus de la població inicial, i $t$ al tant per cent d'augment de la població. Tenint en compte que el nombre d'individus de la població final és igual a $3\,x$ i que, per tant, l'augment del nombre d'individus és $3\,x-x$, podem calcular el valor de $t$, plantejant la següent proporció
$\dfrac{\text{t}}{100}=\dfrac{3\,x-x}{x}$
d'on s'obté que
$t=\dfrac{2\,x \cdot 100}{x}$
és a dir
t=200 %
De manera semblant, és fàcil veure, doncs, que quan la població és duplica l'augment correspon a un 100%; per tant, generalitzant aquests resultats, deduïm que quan es quadriplica, serà d'un 300%; quan es quintuplica, d'un 400%, etcètera.
$\square$
7. D'una determinada quantitat de sorra, en traiem el 15%; tot seguit, del que ha quedat, en traiem el 35%. Fet aix o, encara queden 250 kg de sorra. Quina quantitat de sorra hi havia al començament ? Quina quantitat n'hem tret en total ?
Calculem el tant per cent de sorra $t$ que correson a 250 kg (la quantitat que ha quedat en l'últim pas):
En la primera extracció s'ha retirat un 15% del total.
En la segona, un 35% del 85% que ha havia quedat:
$\dfrac{35}{100}\cdot \dfrac{85}{100}=\dfrac{29,75}{100}$
és a dir, un 29,75% del total
Calculeum, ara, el tant per cent que ha quedat, i que correspon a la quantitat de 250 kg:
100% - (15%+29,75%) = 55,25%
Per calcular la quantitat total $x$ (que hi havia al començament) plantejarem la següent proporció:
$\dfrac{100}{55,25}=\dfrac{x}{250}$
d'on s'obté
$x=\dfrac{250 \cdot 100}{55,25}$
és a dir
$x \approx 452 \; \text{kg}$
Llavors, la quantitat de sorra que s'ha retirat és aproximadament igual (arrodoniment) a
la diferència entre la quantitat total que acabem de calcular i la quantitat de sorra que ha quedat (250 kg); és a dir, $202 \; \text{kg}$, aproximadament (arrodoniment dels decimals).
$\square$
8. Un excursionista recorre la cinquena part d'un trajecte en una primera etapa. Descansa, i a la segona etapa, recorre les dues terceres parts del que
encara li falta per acabar. Torna a descansar i, a la tercera i última etapa,
recorre 20 km. Calculeu la longitud total del recorregut ?
Primer de tot, calcularem la fracció del recorregut que correspon a la tercera etapa.
Si la primera etapa és igual a una cinquena part del total, la segona representa
$\dfrac{2}{3}\cdot (1-\dfrac{1}{5})$
és a dir,
8/15 del total
Per tant, la tercera etapa - de 20 km - representa
$1-\dfrac{8}{15}=\dfrac{7}{15}$
parts del total
Llavors, per calcular la longitud del recorregut total $x$ podem plantejar la següent proporció
$\dfrac{15}{7}=\dfrac{x}{20}$
i aïllant $x$ trobem el seu valor
$x=\dfrac{15 \cdot 20}{7}$
que, aproximat a les unitats, és igual a
43 km
$\square$
[autoría]
martes, 4 de septiembre de 2012
El dilema de elección del camino preguntando a un mentiroso. ( Artículo escrito en catalán )
En Jan, un excursionista, caminant per un viarany que solca un bosc frondós, fa via cap al refugi. Arriba en un punt on el viarany es bifurca. A la vora del camí hi ha una masia on sap que hi viuen dos germans. Un és sincer – li direm S – i l'altre és un mentider – l'anomenarem M -. En Jan ja havia estat advertit per un company que es trobaria amb el dilema d'haver de formular una pregunta a una persona que tant podria dir sempre la veritat, com de topar-se amb el seu germà, que diu sempre coses falses.
Evidentment no serviria de res fer la pregunta que li faria a una persona sincera perquè senzillament la probabilitat que aquesta persona fos S és del 50%. No hi ha manera de saber amb certesa si Jan es trobarà amb S o bé amb M. Més aviat, pensa Jan, hauria de deduir el camí correcte a partir de la resposta que li fos donada a la pregunta que formulés, fos qui fos qui es trobés, el germà S o bé el germà M. Jan s'aturà davant la porta de la masia. De seguida va sortir un dels germans que, com que Jan no sap quins dels dos és, aquí l'anomerarem G.
Jan: Bon dia ! - saludà en Jan alegrement.
G: I bona hora – el respongué l'home.
Jan: Voldria fer-vos una pregunta molt important per a mi en aquest moment
G: Feu-me-la, bon home.
Jan: Podríeu dir-me quin és el camí que diria el vostre germà que he de prendre per anar cap al refugi ? El de la dreta o el de l'esquerra ?.
G: Ell diria, sens dubte, el de la dreta.
(...)
Jan en va tenir prou per decidir quin era el camí del refugi amb total certesa: prengué el de l'esquerra. Al vespre, a la llum del foc, explicà l'anècdota a d'altres estadants i el per què d'haver de decidir prendre el camí contrari a l'indicat per G (...)
Jan: Mireu. Si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut S (el sincer), aquesta hauria contestat amb sinceritat allò que hauria contestat M, el mentider: el camí que no era; per tant, és lògic que prengués el camí contrari del que em deia. Per altra banda, si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut M, hauria contestat el contrari del que el seu germà S hauria contestat (el camí correcte), per tant, també hagués hagut de prendre el camí contrari que m'indicava. En qualsevol cas ... em cal1ia prendre el camí contrari a l'indicat !.
Evidentment no serviria de res fer la pregunta que li faria a una persona sincera perquè senzillament la probabilitat que aquesta persona fos S és del 50%. No hi ha manera de saber amb certesa si Jan es trobarà amb S o bé amb M. Més aviat, pensa Jan, hauria de deduir el camí correcte a partir de la resposta que li fos donada a la pregunta que formulés, fos qui fos qui es trobés, el germà S o bé el germà M. Jan s'aturà davant la porta de la masia. De seguida va sortir un dels germans que, com que Jan no sap quins dels dos és, aquí l'anomerarem G.
Jan: Bon dia ! - saludà en Jan alegrement.
G: I bona hora – el respongué l'home.
Jan: Voldria fer-vos una pregunta molt important per a mi en aquest moment
G: Feu-me-la, bon home.
Jan: Podríeu dir-me quin és el camí que diria el vostre germà que he de prendre per anar cap al refugi ? El de la dreta o el de l'esquerra ?.
G: Ell diria, sens dubte, el de la dreta.
(...)
Jan en va tenir prou per decidir quin era el camí del refugi amb total certesa: prengué el de l'esquerra. Al vespre, a la llum del foc, explicà l'anècdota a d'altres estadants i el per què d'haver de decidir prendre el camí contrari a l'indicat per G (...)
Jan: Mireu. Si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut S (el sincer), aquesta hauria contestat amb sinceritat allò que hauria contestat M, el mentider: el camí que no era; per tant, és lògic que prengués el camí contrari del que em deia. Per altra banda, si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut M, hauria contestat el contrari del que el seu germà S hauria contestat (el camí correcte), per tant, també hagués hagut de prendre el camí contrari que m'indicava. En qualsevol cas ... em cal1ia prendre el camí contrari a l'indicat !.
[autoría]
miércoles, 1 de febrero de 2012
La proporcionalidad inversa en problemas habituales
Enunciat Dotze persones volen fer una excursió. Han previst 1000 g d'un determinat aliment per cap. A l'últim moment, però, només són vuit. I, com que ja han comprat les coses, volen saber quina quantitat Q correspon a cada persona, ara. Resolució Mètode elemental: Una resolució molt senzilla i eficaç és la següent. Com que quatre persones s'han retirat i ja no van d'execursió, hi han 4000 g més d'aquest aliment a repartir entre les vuit persones que sí que hi van; això fa que cada una d'elles disposi de 4000:8 = 500 g d'aquest aliment més. És a dir, a cadascuna de les vuit persones els correspon 1000 + 500 = 1500 g. Això és el que, possiblement faria un alumne de 1r d'ESO. Ara bé, quan plantejo el problema als alumnes de 3r curs, a més a més d'aquesta resolució, els demano que pensin en un altra on aparegui d'una manera clara la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de persones i la quantitat que els correspon. Mètode interessant La quantitat Q és inversament proporcional al nombre de persones N; llavors, podem dir que Q és directament proporcional a 1/N. Si anomenem C a la constant de proporcionalitat podem escriure que Q = C/N i, per tant, Q.N=C. És a dir, la quantitat Q.N pren el mateix valor tant en la situació inicial (quan eren dotze: Q1N1), com ara, que són vuit: Q2N2. Tenint en compte que Q1=1000 g, N1=12, i N2=8, tenim que Q1N1 = Q2N2 I amb els valors donats: 1000(12)=8.Q2 D'aquí trobem que Q2 = 1000.(12/8) = 1500 g/persona Hi han molts exemples de magnituds en relació de proporcionalitat inversa en el món que ens envolta. Exposaré a continuació uns quants exemples sobre això que exposo com analogies al problema sezill del repartiment del qual he parlat al començament 1. Una analogia: la llei física de Boyle-Mariotte sobre els gasos ideals  font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Ley_de_Boyle_Mariotte.png En Física, trobem moltes lleis de proporcionalitat inversa. Per exemple, la llei de Boyle-Mariotte (sobre els gasos ideals) - que ve a dir que, a temperatura constant, el volum V que ocupa un gas ideal és inversament proporcional a la pressió P a la qual es sotmés - segueix el mateix patró matemàtic que el problema exposat: PV = k, on k és la constant de proporcionalitat. Per tant, donades dues situacions P1V1 i P1V1, podrem treballar plantejant la igualtat P1V1 = P2V2 2. Una altra analogia: la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de dents i la velocitat angular de dues rodes engranades  font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif El nombre de dents z d'una roda engranada a una altra que li transmet el moviment és inversament proporcional a la velocitat angular w, de tal manera que obtenim una fórmula similar:
3 Més encara ... La premsa hidràulica Es tracta d'una aplicació del principi de Pascal (la pressió es transmet per igual a tots els punts d'un fluïd incompressible). 
3. I encara més ... les palanques Succeeix quelcom semblant, per exemple, amb una palanca de primer gènere:  font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/LeverPrincleple.svg/500px-LeverPrincleple.svg.png
Naturalment, també es compleix la relació inversa entre la força i el braç amb les palanques de 2n i 3r gènere. Fixeu-vos en la de segon gènere (un carretó):  font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Brouette_equilibre.jpg/350px-Brouette_equilibre.jpg
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miércoles, 26 de octubre de 2011
domingo, 26 de octubre de 2008
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