Realizar los siguientes cálculos de forma exacta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu el resultat exacte (evitant els truncaments o arrodoniments decimals) que surt de l'operació següent
                  $(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots) $

Solució:
Els dos nombres decimals que representen els factors del producte corresponen a nombres racionals ( atès que són nombres decimals periòdics ); per tant, malgrat hi hagi un nombre infinit de xifres en les parts decimals, podem arribar al resultat exacte determinant, primer de tot, les expressions fraccionàries:

      $2,14444\ldots = 2,1\bar{4}=\dfrac{214-21}{90}=\dfrac{193}{90}$   ( nombre decimal periòdic mixt )

      $0,33333\ldots = 0,\bar{3}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$   ( nombre decimal periòdic pur )

Llavors,
      $(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots)=$

          $= \dfrac{193}{90} \cdot \dfrac{1}{3}$

          $= \dfrac{193}{270}$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent equació de segon grau:
    $x^2+\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{1}{3}=0$

Enunciat:
Multiplicant a cada costat de l'igual per $6$ arribem a una equació equivalent més senzilla
    $6\,x^2+x-2=0$
de coeficients $a=6$, $b=1$ i $c=-2$
Llavors, per la fórmula de la solució de l'equació general completa:
    $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$
on el discriminant $\Delta$
    es calcula fent $b^2-4\,a\,c$
Trobem que
    $\Delta = -1 - 4\cdot 6 \cdot (-2)=49$
    que és més gran que zero, per tant, hi haurà dos valors diferents com a solució:
    $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{49}}{12}=\dfrac{-1 \pm 7}{12}\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}\\ \\-\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$
$\square$

Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
    $(x+y)^2=x^2+2\,x\,y+y^2$

Solució:
    $(x+y)^2=(x+y)\cdot (x+y)$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és igual a
                    $=x\cdot x + x\cdot y+ y\cdot x + y\cdot y$
i agrupant termes semblants queda
                    $=x^2 + 2\,x+y^2$
$\square$

Observació:   Si canviem el signe més de la suma dels dos monomis que formen la base de la potència al quadrat del primer membre obtindrem:
    $(x-y)^2=x^2-2\,x\,y+y^2$
i, doncs, aquesta identitat notable es generalitza de la forma
    $(x\pm y)^2=x^2 \pm 2\,x\,y+y^2$

Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27^2$ fent ús d'aquesta propietat ?
    $27^2 = (25+2)^2=25^2+2\cdot 25 \cdot 2 +2^2$
                                $=625+100+4=725+4=729$

[nota del autor]

Compruébese que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$

Solució:
En efecte,
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} = 2^{9} = 512$
i, per contra,
    $\displaystyle \big(2^3\big)^2 = 8^2 = 64 \neq 512$
per tant
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$
$\square$

[nota del autor]

Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
    $(x+y)\cdot (x-y)=x^2-y^2$

Solució:
Per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, el primer membre de la igualtat, $(x+y)\cdot (x-y)$, es desenvolupa i queda igual a
                    $=x\cdot x + x\cdot y - y\cdot x - y\cdot y$
                    $=x\cdot x + x\cdot y - x\cdot y - y\cdot y$
                    $=x^2 + x\cdot y - x\cdot y - y^2$
                    $=x^2 + x\cdot y \cdot (1-1) - y^2$
                    $=x^2 + \cdot x \, y \cdot 0 - y^2$
                    $=x^2 + 0 - y^2$
                    $=x^2 - y^2$
$\square$

Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27\cdot 23$ fent ús d'aquesta propietat ?
    $27\cdot 23 = (25+2)\cdot(25-2)=25^2-2^2=625-4=621$

[nota del autor]

Un pintor puede pintar un muro en tres horas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un pintor A pot pintar un tanca en tres hores. Un company seu, que anomenarem B, la pot pintar en dues hores. Si decideixen col·laborar, treballant simultàniament, sense destorbar-se l'un a l'altre, quant de temps tardaran a pintar-la ?.

Solució:
Si A, tot sol, pinta tota la tanca en tres hores, llavors en pinta una tercera part en una hora, i, si B pinta la totalitat de la tanca ( treballant sol ) en dues hores, llavors en pinta la meitat en una hora. Per tant, en una mateixa hora, tots dos treballant simultàniament, pinten
    $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
que és igual a
    $\dfrac{5}{6}$
parts de la tanca

A partir, d'aquí, anomenem $t$ al temps que els cal per pintar-la treballant a la vegada i plategem la proporció directa corresponent:
    $\dfrac{\;t\;}{\frac{6}{6}}=\dfrac{\;1;}{\frac{5}{6}}$
és a dir
    $t=\dfrac{\;1}{\frac{5}{6}}$
      $=\frac{6}{5}$
      $=1+\frac{1}{5}$
      $=1 \; \text{h} \; 12 \; \text{min}$
$\square$

[nota del autor]

Los vértices de un triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els vèrtexs d'un triangle $\triangle{ABC}$ són els punts del pla $A(-1,1)$, $B(1,0)$ i $C(-1,-1)$. Us demanem:
  a) La construcció ( amb regle i compàs ) del triangle homotètic $\triangle{A'B'C'}$ al triangle donat $\triangle{ABC}$, amb centre d'homotècia $O(0,0)$ i raó d'homotècia $r=3$.
  b) L'àrea $\mathcal{A}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  c) L'àrea $\mathcal{A'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
  d) El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  e) El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
Nota:   L'àrea i les longitus es donen en unitats del gràfic ( unitats arbitràries ).

Solució:
a)

b)
El triangle $\triangle{ABC}$ ( igual que el seu homotètic $\triangle{A'B'C'}$ ) és un triangle isòsceles i, doncs, es divideix en dos triangles rectangles iguals, per tant la seva àrea és igual al doble de l'àrea d'un d'aquests triangles rectangles, que és igual a l'àrea d'un rectangle les longituds dels costats del qual són igual a les longituds dels catets d'un d'aquests dos triangles rectangles:
    $\mathcal{A}=1 \cdot 2 = 2 \, \text{unitats d'\`area}$

c)
Calcularem l'àra $\mathcal{A'}$ a partir de $\mathcal{A}$ ( que acabem de calcular i que val $2$ unitats d'àrea ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A}\cdot r^2$
        $=2\cdot 3^2$
        $=18 \, \text{unitats d'\`area}$

d)
El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$ és igual a la suma de les longituds dels costats
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
Tinguem en compte que $\overline{AB}=\overline{BC}$
ja que l'eix Ox, que passa per $B$, divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos t. rectangles
Llavors, com que els catets d'aquests t.r. tenen longitus $1$ i $2$, respectivament, la seva hipotenusa $AB$ mesura
    $\overline{AB}=\left| \sqrt{2^2+1^2}\right|=\left| \sqrt{5}\right|$
Per tant
    $\mathcal{P}=2\,\left| \sqrt{5}\right|+2$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $\approx 6,47 \, \text{unitats de longitud}$

e)
El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle resultant de l'homotècia, $\triangle{A'B'C'}$ es pot calcular a partir de $\mathcal{P}$ ( que acabem de calcular i que val $2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$ unitats de longitud ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P}\cdot r$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1) \cdot 3$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1) \text{unitats de longitud}$

$\square$

[nota del autor]

Demostrar la siguiente identidad notable ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Demostreu la següent identitat notable:
    $(x+y)^3=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,+y^3$
i poseu un exemple d'aplicació al càlcul mental.

Solució:
    $(x+y)^3=(x+y)^{2}\,(x+y)=(x^2+2\,x\,y+y^2)\,(x+y)$
                    $=x^3+2\,x^2\,y +x\,y^2+x^2\,y+2\,x\,y^2+y^3$
i agrupant els termes semblants arribem a l'expressió del segon membre
                    $=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,x+y^3$
$\square$

Observació:
Canviant la suma de la base del binomi per una resta, és fàcil veure que
    $(x-y)^3=x^3-3\,x^2\,y+3\,y^2\,-y^3$
Per tant es pot escriure aquesta identitat més general
    $(x\pm y)^3=x^3 \mp 3\,x^2\,y+3\,y^2\,\mp y^3$


Exemple d'aplicació al càlcul mental:     Càlcul de $12^3$

    $12^3=(10+2)^3=10^3+3\cdot 10^2 \cdot 2 + 3\cdot 2^2 \cdot 10 + 2^3$
                                $=1\,000+600+120+8=1\,728$

[nota del autor]

Un cierto número natural es mayor que ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Sabem que un determinat nombre natural és més gran que $10$ i més petit que $100$, i que la suma de les seves xifres és igual a $9$. Per altra banda, sabem també que si invertim l'ordre de les seves xifres, s'obté un altre nombre natural que, restant-lo del primer, dóna com a resultat el nombre $27$. De quin nombre natural estem parlant ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la xifra de les desenes i $y$ a la xifra de les unitats del nombre demanat. Llavors, traduint les frases de l'enunciat al llenguatge de l'àlgebra, tenim: (i) $x+y=9$, i, (ii) $(10\,x+y)-(10\,y+x)=27$. Per tant, cal resoldre el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ 9 \,x &-&9\,y&=&27\\ \end{matrix}\right.$
simplificant la segona equació,
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ x &-&y&=&3\\ \end{matrix}\right.$
i, sumant membre a membre, totes dues equacions
    $2\,x=12$ i, doncs, $x=6$ ( xifra de les desenes ). Amb la qual cosa, $y=9-6$, que és igual a $3$ ( xifra de les unitats ).
El nombre demanat és, per tant, $63$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&3\,y&=&5 \\ -3 \,x &+&5\,y&=&1\\ \end{matrix}\right.$

Solució:
Escollim el mètode de reducció i, per això, efectuem les següents operacions elementals entre equacions ( naturalment, podem escollir també altres combinacions ): multipliquem la primera equació per $3$ i la segona per $2$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), trobem el següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ \, &\,&19\,y&=&17\\ \end{matrix}\right.$
Ara, aïllant la icògnita $y$ de la segona equació (reduïda) arribem a
    $y=\dfrac{17}{19}$
Per calcular el valor de $x$ podem substituir el resultat que acabem de trobar ( per a la incògnita $y$) a una de les dues equacions originals, o bé, semblantment al que hem fet, escollir també una combinació vàlida d'operacions elementals entre els dues equacions per tal d'obtenir una equació reduïda que només depengui de la incògnita $x$. Així, si multipliquem la primera equació per $-5$ i la segona per $3$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), arribem al següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ 19\,x\, &\,&\,&=&22\\ \end{matrix}\right.$
I aïllant la icògnita $x$ de la segona equació (reduïda convenientment)
    $x=\dfrac{22}{19}$
$\square$

[nota del autor]

Dada la sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $ k \ge 1 $ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptat a partir del k-èssim donat )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir del terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}+ d$
    $a_{k+2}=a_{k+1} +d =a_k +d+d=a_{k}+2\,d$
    $a_{k+3}=a_{k+2}+d=a_k +2\,d+d=a_k +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
    $a_{k+n} = a_k+n\,d \quad \quad (1)$
    $\text{on} \; \; n=1,2,3\ldots, \; \text{i} \; n \ge k$

Si, en particular, $k=1$, l'expressió anterior queda
    $a_{n+1} = a_1+n\,d$
expressió de la qual ( canviant $n+1$ per $n$ i $n$ per $n-1$ ) en deduïm l'expressió del terme general que se'ns demana:
    $a_{n} = a_1+(n-1)\,d$
on $a_1$ representa el valor del primer terme de la successió.

Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quin valor té el terme $a_{7}$ ?
De (1), $a_7=a_{5+2}=a_5+2\,d$, és a dir, $a_7=-3+2\cdot 2 = 1$. En efecte, els tres termes de la seqüència són $\{-3 \quad , \quad -3+2=-1 \quad , \quad -1+2=1\}$

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
    $S_{m\,\text{termes consecutius}} = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
    $a_{k}+a_{k+m-1}=a_{k+1}+a_{k+m-2}=a_{k+2}+a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
    $S_{m\,\text{termes consecutius}}=(a_{k}+a_{k+m-1})\cdot \dfrac{m}{2} \quad \quad (2)$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $S_{m\,\text{primers termes consecutius}}=\dfrac{(a_{1}+a_{m})\,m}{2}$


Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quant val la suma dels tres primers termes de la seqüència?
De (2),
$S_{\text{tres termes consecutius}}=\dfrac{(a_{5}+a_{7})\cdot 3}{2}=\dfrac{(-3+1)\cdot 3}{2}=-3$
En efecte, comprovem aquest resultat fent la suma acumulativa: $-3+(-1)+1=-3$

$\square$

[nota del autor]

Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante GeoGebra

[nota del autor]

Calcular la cantidad que corresponde al quince por ciento de ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu la quantitat que correspon al quinze per cent de quatre-mil cinc-centes unitats.

Solució:

Si d'un total de cent parts ( en total ) en considerem quinze, podem expressar això mitjançant la raó aritmètica
    $\dfrac{15}{100}$
que equival a
    $\dfrac{3}{20}$


Per altra banda, si d'un total de quatre-mil cinc-centes unitats en considerem $x$ d'aquestes, podem expressar-ho de la forma
    $\dfrac{x}{4500}$
Ara, tenint en compte que ambdues maneres d'expressar això són equivalents ( proporció ) podem plantejar la següent igualtat ( equació ):
    $\dfrac{x}{4500}=\dfrac{3}{20}$
Per trobar el valor de $x$ multipliquem per $4500$ a cada membre i, així, en simplificar, aconseguirem deixar sol el símbol $x$ ( la incògnita ) en el primer membre:
    $\dfrac{x}{4500} \cdot 4500 =\dfrac{3}{20} \cdot 4500$

    $x \cdot \dfrac{4500}{4500} =3 \cdot \dfrac{4500}{20}$

    $x\cdot 1 =3 \cdot 225$

per tant

    $x = 675$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de $x$ tal que ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu el valor de $x$ que satisfà la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques):
    $\dfrac{5}{x}=\dfrac{3}{4}$

Solució:
Si es compleix la igualtat donada, també s'haurà de complir la igualtat entre els inversos de les raons aritmètiques:

    $\dfrac{x}{5}=\dfrac{4}{3}$

Per trobar el valor de $x$ resoldrem aquesta equació de primer grau. Podem fer que el símbol $x$ ( incògnita de l'equació ) es quedi sol en el primer membre de la igualtat multiplicant ambdós membres per $5$,

    $\dfrac{x}{5} \cdot 5=\dfrac{4}{3} \cdot 5$

    $x \cdot \dfrac{5}{5}=\dfrac{4 \cdot 5}{3}$

    $x \cdot 1=\dfrac{20}{3}$

    $x=\dfrac{20}{3}=6,\bar{6}$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de amigos se reparten un cierto número de bolas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una colla d'amics es reparteixen un cert nombre de boles de colors. Sabem que si en toca vuit a cada un, en sobren tres; i si se'n quedés nou cada un, en faltaria sis. Quants amics són ? Quantes boles hi ha ?.

Solució:
Designem amb $b$ el nombre de boles i amb $a$ el nombre d'amics. Llavors, d'acord amb l'enunciat podem descriure les dues situaciones mitjançant les corresponents equacions
  $b = 8\,a +3$
  $b = 9\,a + (-6)$
Cal resoldre, doncs, el següent sistema d'equacions:
      $\left\{\begin{matrix}b=8\,a+3 & \\ \\b=9\,a-6\end{matrix}\right.$
Igualant els segons membres podem escriure una equació amb una sola incògnita
      $8\,a +3=9\,a-6$
que se satisfà per a $a =9$, i, per tant, $b=75$
$\square$

[nota del autor]

La maqueta de un edificio ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La maqueta d'un edifici, que està feta a escala $1:20$, té una planta rectangular de $4\,\text{dm}$ de llarg per $3\,\text{dm}$ d'ample. Les quatre parets s'eleven verticalment a $2\,\text{dm}$ del pla de la base, i, aquest cos ( prisma de base rectangular ) està cobert per una teulada de doble vessant ( centrada ), el punt més alt de la qual es troba d $2,4 \, \text{dm}$ del pla de la base. Calculeu ( Nota: us recomano que feu un dibuix a escala i que hi poseu les dades anteriors per veure clar què heu de fer ):
  a) El volum de la maqueta
  b) El volum de l'edifici real
  c) L'àrea de la teulada de la maqueta
  d) L'àrea de la teulada de l'edifici real

Solució:

a)
El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és igual a la suma del volum del prisma de base rectangular (el cos principal de l'edifici) que anomenarem $\mathcal{V}_1$ i el del prisma de base triangular ( la teulada ) que anomenarem $\mathcal{V}_2$.

Calculeum $\mathcal{V}_1$ sense cap dificultat
    $\mathcal{V}_1=2 \cdot 3 \cdot 4$
        $= 24 \, \text{dm}^3$

Per calcular $\mathcal{V}_2$ cal calcular, primer de tot, l'àrea de la base ( que és un triangle isòsceles, amb una longitud de la base de $3 \, \text{dm}$ i altura respectiva igual a $2,4-2=0,4 \, \text{dm}$ ), i resultar ser igual a
    $\dfrac{3 \cdot 0,4}{2}=0,6 \, \text{dm}^2$
Per tant, $\mathcal{V}_2$ pren el següent valor
    $\mathcal{V}_2=0,6 \cdot 4 = 2,4 \, \text{dm}^3$

El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és, doncs, igual a
    $\mathcal{V}=\mathcal{V}_1+\mathcal{V}_2$
        $= 24+2,4 = 26,4 \, \text{dm}^3$

b)
Tenint en compte que ( de la maqueta a l'edifici real ) la raó de semblança $r$ és igual a $20$, podem calcular el volum de l'edifici real $\mathcal{V}'$ a partir del volum de la maqueta $\mathcal{V}$ i de la raó de semblança:
    $\mathcal{V'}=\mathcal{V} \cdot r^3$
        $=26,4 \cdot 20^3 \, \text{dm}^3$
        $=211\,200 \, \text{dm}^3$
        $=211,200 \, \text{m}^3$

c)

Per calcular l'àrea de la teulada $\mathcal{A}$ cal adonar-nos que és la de dos rectangles iguals ( doble vessant, centrat ) de costats: $l$ ( que representa la longitud de l'aresta oblíqua del prisma de base triangular i que ara calcularem ) i $4\, \text{dm}$ ( el llarg de l'edifici ), és a dir, $\mathcal{A}=2\cdot ( 4\,l ) \quad (1)$.

Procedim a calcular la longitud de $l$:
Mirant la secció frontal del prisma de base triangular ( de la teulada ) identifiquem un triangle isòsceles; la meitat del qual és un triangle rectangle que té $0,4 \, \text{dm}$ i $1,5 \, \text{dm}$, respectivament ( aquest segon és la meitat de la base i, doncs, de l'amplada de l'edifici ). En aquest triangle rectangle, $l$ és la longitud de la hipotenusa. Fent ús del teorema de Pitàgores, trobem que
    $l^2=0,4^2+1,5^2 \Rightarrow l=\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right|$

Substituint aquest resulta de $l$ en (1),
    $\mathcal{A}=8\,l$
        $=8\,\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right| \, \text{dm}^2$
        $\approx 12,42 \, \text{dm}^2$

d)
Per calcular l'àrea de la teulada de l'edifici real $\mathcal{A'}$ farem ús del resultat anterior ( el valor de $\mathcal{A}$ ) i de la raó de semblança ( $r=20$ ), tenint en compte que
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
        $=12,42 \cdot 20^2 \, \text{dm}^2$
        $=4\,968 \, \text{dm}^2$
        $=49,68 \, \text{m}^2$

$\square$

[nota del autor]

Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla ...

Enunciado:
Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla de $10 \, \text{W}$ de potencia. Después de $10\,\text{h}$ la batería se agota. Si en lugar de una bombilla de $10\,\text{W}$ hubiese alimentado una bombilla de $8\,\text{W}$, ¿ cuánto habría durado la carga de la batería ?.

Enunciado:
Las magnitudes relacionadas en este problema son la potencia de la bombilla, $\mathcal{P}$, y la duración de la batería, $\mathcal{T}$. Por conocimientos elementales de física sabemos que dichas magnitudes son inversamente proporcionales; así, si $p_1$ i $p_2$ son dos valores de la potencia ( correspondientes a cada una de las dos bombillas ) y, $t_1$ y $t_2$ son os valores de las respectivas duraciones de la batería, podemos plantear la siguiente proporción:
    $\dfrac{t_1}{\frac{1}{p_1}}=\dfrac{t_2}{\frac{1}{p_2}}$
que también puede expresarse de la forma
    $t_{1}\cdot p_{1}=t_{1}\cdot p_{1}$

Y con los datos del enunciado:
    $p_1=10 \, \text{W}$
    $t_1=10 \, \text{h}$
    $p_2=8 \, \text{W}$
    $t_2=\text{?}$

llegamos a la siguiente ecuación
    $10\cdot 10=t_{2}\cdot 8$
y resolviéndola llegamos a
    $t_{2}=\dfrac{10\cdot 10}{8}$
        $=12,5 \; \text{h}$
        $=12\, \text{h} \quad 30 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ ...

Enunciado:
La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ y su volumen es de $12\,\text{dm}^3$, ¿ cuál es el volumen del casco $\mathcal{V}$ a escala natural $1:1$ ?

Solución:
La razón de semejanza ( factor de escala ) es
    $r=\dfrac{1}{30}$
Y teniendo en cuenta que
    $r^3=\dfrac{\mathcal{V^{'}}}{\mathcal{V}}$
encontamos
    $\Big(\dfrac{1}{30}\Big)^3=\dfrac{12}{\mathcal{V}} \Rightarrow \mathcal{V}=30^3 \cdot 12 \, \text{dm}^3$
                                    $=324\,000\,\text{dm}^3$
                                    $=324 \,\text{m}^3$
$\square$

[nota del autor]

Realizar las siguientes operaciones ...

Enunciado:
Realizar las siguientes operaciones:
  a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3$
  b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}$

Solución:
a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3=\dfrac{9^3}{4^3}=\dfrac{729}{64}$
b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt[2]{9}}{\sqrt[2]{4}}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2} \\\\ \\ -\dfrac{3}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa a la transmisión de movimiento de rotación entre dos poleas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dues politges estan unides per una corretja de transmissió. El diàmetre d'una de les politges és de $30 \, \text{cm}$ i un eix motriu la fa girar a velocitat constant, a raó de $20 \, \text{voltes}$ cada minut. L'altra politja, a la qual la primera li transmet el moviment, gira a raó de $24 \, \text{voltes}$ cada minut. Quin diàmetre té aquesta segona politja ?.

Nota:   Cal que tingueu en compte que la velocitat de gir $w_1$ de la politja de diàmetre $d_1$, que està unida per una corretja de transmissió a una altra politja de diàmetre $d_0$ i que gira a una velocitat $w_0$, és tal que
        $\dfrac{w_0}{\frac{1}{d_0}}=\dfrac{w_1}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir, la velocitat a la qual gira cada politja inversament proporcional al seu diàmetre
    $w \propto \dfrac{1}{d}$

Solució:
Tenint en compte l'ajut de la nota adjunta de l'enunciat, i posant directament les dades numèriques, podem escriure
        $\dfrac{20}{\frac{1}{30}}=\dfrac{24}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir
        $20 \cdot 30=24\,d_1$
operant
        $600=24\,d_1$
i aïllant la incògnita trobem el valor del diàmetre demanat
        $d_1=\dfrac{600}{44}$
            $=25 \, \text{cm}$
$\square$

[nota del autor]

Formas de legumbres. Precio de los alimentos.

Del escaparate de una tienda de alimentación cercana a la Plaza de Santa Ana, Madrid.

[nota del autor]

Ejercicio de divisibilidad con números enteros. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu dos nombres enters que compleixin les següents condicions: a) la seva suma és igual a $-11$, i, b) el quaocient i el residu que s'obtenen en fer la divisió entera són $-2$ i $1$, respectivament.

Solució:
Anomenem $a$ i $b$ els dos nombres enters que volem trobar. Llavors podem escriure les següents equacions a partir de la informació de l'enunciat:
    $a+b=-11$
i
    $b=-2\,b+1$   (teorema de la divisió)
és a dir
    $\left\{\begin{matrix}a &+&b&=&-11 \\ a &+&2\,b&=&1\\ \end{matrix}\right.$
Restant la primera de la segona s'obté, fàcilment, $b=12$
i, d'aquí, $a=-23$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa aplicado a un problema de cinemática. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un ciclista que circula a una velocitat de vint quilòmetres per hora té una hora d'avantatge respecte d'un motorista que circula a seixanta quilòmetre per hora. Quant de temps tardarà el motorista a donar-li abast ?.

Solució:
Anomenem $t$ al temps que tarda el motorista a donar-li abast ( des del moment que el ciclista li porta una hora d'avantatge ); llavors, el temps que el ciclista està circulant ( fins el moment que li dóna abast el motorista ) és $t+1$ ( expressem el temps en hores ).

Tenint en compte que les magnituds temps i velocitat són inversament proporcionals, podem escriure:
      $\dfrac{\;60\;}{\frac{1}{t}}=\dfrac{\;20\;}{\frac{1}{t+1}}$
i, d'aquí,
      $60\,t=20\,(t+1)$
      $60\,t-20\,t=20$
      $40\,t=20$
      $t=0,5 \; \text{h}$
          $=30 \; \text{min}$


Nota:   Una altra manera de plantejar-ho consisteix a raonar de la següent manera: durant l'hora que el motorista està parat, el ciclista recorre $20\,\text{km}$. Quan el motorista es posa en marxa, el problema equival a calcular el temps necessari per tal que aquest recorri els $20\,\text{km}$ recorreguts pel ciclista, a una velocitat relativa de
    $(60-20)\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
considerant el ciclista parat ( a $20 \, \text{km}$ del punt d'on surt el motorista ).
Llavors, el temps que li cal per recorre aquesta distància és igual a
    $\dfrac{20}{40}\, \text{h}=30 \, \text{min}$.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo con operaciones combinadas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Efectueu la següent operació combinada:
      $\Bigg(\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$

Solució:
L'arrel quadrada de nou quarts és igual a
    $\pm \dfrac{3}{2}$
i el valor absolut, tant del valor positiu com del negatiu, és
    $\dfrac{3}{2}$
Per altra banda,
    $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{2 \cdot (10 \div 5)}{10}+\dfrac{3}{10}$
                  $=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}$
                  $=\dfrac{4+3}{10}$
                  $=\dfrac{7}{10}$
calculant el quadrat d'aquest nombre,
    $\Big(\dfrac{7}{10}\Big)^2=\dfrac{7^2}{10^2}=\dfrac{49}{100}$
Llavors,
      $\Bigg(\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$
és igual a
            $\dfrac{3}{2}\div \dfrac{49}{100}$
                $=\dfrac{3}{2}\cdot \text{invers}\Big( \dfrac{49}{100}\Big)$
                $=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{100}{49}$
                        $=\dfrac{3 \cdot 100}{2 \cdot 49}$
                            $=\dfrac{3 \cdot 100}{49 \cdot 2}$
                                $=\dfrac{3}{49}\cdot \dfrac{100}{2}$
                                    $=\dfrac{3}{49}\cdot 50$
                                    $=\dfrac{3 \cdot 50}{49}$
                                            $=\dfrac{150}{49}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Una persona que camina a ritme constant ( a velocitat constant ) recorre tres quilòmetres en cinquanta minuts. Quant tardaria a recórrer vuit quilòmetres ?.

Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la longitud recorreguda i la magnitud temps emprat. Aquestes magnituds són proporcionals, perquè la persona que camina no es posa, ara a córrer, ara a anar més a poc a poc: sempre va a la mateixa velocitat. Aquí, la proporcionalitat és directa, atès que com més estona camina, més longitud recorre. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
    $\dfrac{50}{3}=\dfrac{t}{8}$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, multiplicarem ambdós membres de la igualtat per $8$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
    $\dfrac{50}{3} \cdot 8 =\dfrac{t}{8} \cdot 8$

    $\dfrac{50 \cdot 8}{3} =\dfrac{8}{8} \cdot t$

    $\dfrac{400}{3} =1 \cdot t$

    $\dfrac{400}{3} =t$

és a dir

    $t=133,\bar{3} \, \text{min} \approx 2\,\text{h} \; 13\; \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per fer un determinat recorregut, una persona tarda dues hores caminant a una velocitat de quatre quilòmetres per hora. Quant de temps tardaria a fer el mateix recorregut si caminés a una velocitat de cinc quilòmetres per hora ?.

Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la velocitat a la qual camina, i la magnitud temps emprat recórrer un determinat trajecte. Aquestes magnituds són inversament proporcionals, perquè més de pressa camini ( més velocitat ) menys temps necessitarà per arribar. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{1}{2}}=\dfrac{\;5\;}{\frac{1}{t}}$
o el que és equivalent
    $4 \cdot 2=5\,t$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, dividirem ambdós membres de la igualtat per $5$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
    $\dfrac{4\cdot 2}{5}=\dfrac{5\,t}{5}$

    $\dfrac{8}{5}=\dfrac{5}{5} \cdot t$

    $\dfrac{8}{5}=1 \cdot t$

és a dir

    $t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}$
        $t=1,6 \; \text{h}$
        $t=1 \, \text{h} \quad 36 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con una sucesión artimética. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu el valor de la suma dels $400$ primers nombres parells consecutius.

Solució:
La successió dels nombres parells té com a terme general
    $a_n=2\,n \quad \text{on} \quad n=1,2,3,\ldots$
Podem calcular la suma dels $n$ primers termes de qualsevol successió aritmètica fent
    $s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
i, tenint en compte l'expressió del terme general i que $a_1=2$
    $s_n=\dfrac{2+2\,n}{2}\cdot n$
simplificant
    $s_n=(n+1)\,n$
Llavors, posant les dades
    $s_{400}=(400+1)\cdot 400$
        $=400^2+400$
        $=160\,000+400$
        $=160\,400$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con traslaciones en el plano. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Considereu el triangle $\triangle{MNP}$ de vèrtexs: $M(0,0)$, $N(0,1)$ i $P(1,0)$. Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{M'N'P'}$ que resulta de traslladar el triangle $\triangle{MNP}$ segons el vector de translació $\vec{t}=(3,-4)$

Solució:
a)
Coordenades de $M'(x_{M'},y_{M'})$:
    $x_{M'}=x_{M}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{M'}=y_{M}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $M(0,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} M'(3,-4)$

b)
Coordenades de $N'(x_{N'},y_{N'})$:
    $x_{N'}=x_{N}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{N'}=y_{N}+t_y$
              $=1+(-4)=-3$
per tant
    $N(0,1) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} N'(3,-3)$

c)
Coordenades de $P'(x_{M'},y_{P'})$:
    $x_{P'}=x_{P}+t_x$
              $=1+3=4$
    $y_{P'}=y_{P}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $P(1,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} P'(4,-4)$

$\square$

Nota:   El problema també es pot resoldre gràficament tal com es mostra a la figura.

[nota del autor]

Ejercicio relacionado con la homotecia y el área de un triángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Representeu en el pla el triangle $\triangle{ABC}$ de vèrtexs: $A(1,0)$, $B(1,-1)$ i $C(-1,-1)$ i calculeu-ne l'àrea ( $\mathcal{A}$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}$ ). A continuació, calculeu l'àrea ( $\mathcal{A}'$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}'$ ) d'un triangle homotètic al donat ( $\triangle{A'B'C'}$ ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia $r$ és igual a $4$.

Solució:
    Gràfic del triangle $\triangle{ABC}$

Àrea i perímetre de $\triangle{ABC}$ :
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
on
    $\overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
    $\overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
i, donat que $\triangle{ABC}$ és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat $CA$:
    $\overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

Per tant
    $\mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|$
            $=3+\left|\sqrt{5}\right|$
            $\approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de $\triangle{A'B'C'}$:
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
            $=1 \cdot 4^2$
            $=16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r$
            $=(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4$
            $\approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu el valor del paràmetre $k$ per tal que els punts $A(1,2)$, $B(-2,5)$ i $C(-3,k)$ estiguin alineats.

Solució:

Els punts $A$, $B$ i $C$ estan alineats ( es troben tots tres damunt d'una mateixa recta) si, i només si,
    $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$
atès que els dos triangles rectangles que es configuren en dibuixar tres punts alineats en el pla cartesià han de ser
triangles semblants i, per tant, les raons aritmètiques respectives entre la longitud del catet vertical i del catet horitzontal corresponents ( els pendents dels segments oblics entre punt i punt ) han de tenir el mateix valor.

Imposant aquesta condició es compleix amb els punts donats:
    $\dfrac{5-2}{-2-1}=\dfrac{k-2}{-3-1}$
és a dir
    $\dfrac{3}{-3}=\dfrac{k-2}{-4}$
i, simplificant,
    $\dfrac{k-2}{4}=1$
per tant
    $k-2=4 \Rightarrow k=6$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que les variables $x$ i $y$ són inversament proporcionals, tenint en compte que tres punts donats del traç de la funció $y=f(x)$ en un diagrama cartesià són: $A_{1}(1,3)$, $A_{2}(2,\frac{3}{2})$ i $A_{3}(3,1)$. Quant val la constant de proporcionalitat inversa ? Quant val la imatge de $-3$ ?.

Solució:
Si entre les variables $x$ i $y$ hi ha una relació de proporcionalitat inversa, la funció $f(x)$ ha de ser del tipus
    $y=\dfrac{k}{x} \Rightarrow y \cdot x=k$
on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa
Llavors les coordenades dels tres punts donats hauran de ser tals que
    $x_1\,y_1=x_2\,y_2=x_2\,y_2$
Vegem-ho:
    $1\cdot 3 \overset{?}{=} 2 \cdot \dfrac{3}{2} \overset{?}{=} 3 \cdot 1$
efectivament, es compleix la doble igualtat, que, com es veu fàcilment, és igual a $3$; aquest valor és, precisament, el de la constant de proporcionalitat $k$.

Finalment, per trobar la imatge de $-3$, és a dir, $f(-3)$, cal fer ús de l'estructura de la funció, que, havent calculat ja el valor de $k$, que és $3$, és
    $f(x)=\dfrac{3}{x}$
Llavors, per a $x=-3$, trobem
    $f(-3)=\dfrac{3}{-3}=-1$

  Comprovació:
    $1\cdot 3 = 2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \cdot 1 = -3 \cdot (-1)=3$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre modelos funcionales de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Una empresa de transports A ofereix els seus serveis amb les següents condicions: l'enviament de cada paquet es cobra a $6$ euros i cal, a més a més, pagar una quota de $20,00$ euros al mes. Una segona empresa B ofereix els seus serveis amb aquestes altres condicions: una quota mensual de $30,00$ i $5\$ euros per cada paquet enviat. A partir de quin nombre de paquets que preveiem enviar convé contractar l'empresa B ?.

Solució
Designem per $x$ el nombre de paquets a enviar i per $y$ la quantitat de diners que ens costa ( incloent la quota de manteniment de contracte ).

Llavors, la funció $y=f(x)$ per a l'empresa A és
    $y=6\,x+20$
que representa una recta $r_A$ de pendent igual a $m_A=6$ ( sis euros per paquet )

i per a l'empresa B,
    $y=5\,x+30$
que representa una recta $r_B$ de pendent igual a $m_B=5$ ( cinc euros per paquet )

Les dues rectes són secants ( els pendents no són iguals i, doncs, les rectes no són paral·leles ), per tant es tallen en un punt $P(x_P,y_P)$. Calculem les coordenades d'aquest punt resolent el sistema d'equacions:

    $\left\{\begin{matrix}y & = & 6\,x & + & 20\\ y & = & 5\,x & + & 30\\ \end{matrix}\right. $

obtenim
    $x=10 \; \text{paquets}$
i
    $y=80$ euros

Llavors, com que el pendent de la recta $r_B$ és més gran que el de la recta $r_A$, fora convenient
contractar l'empresa A per un nombre previst de paquets inferiors a $10$, i, per contra, contractar l'empresa $B$ si el nombre d'enviaments que ens cal fer és superior a $10$.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de interpretación del gráfico de una funció. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat;
Un excursionista recorre un intinerari tancat, com el que es mostra esquemàticament a sota ( Figura 1 ), sortint del punt $P$ i tornant al punt $P$

( Figura 1 )

Al gràfic cartesià que podeu veure a continuació (Figura 2), es representa la funció que relaciona el temps que transcorre ( eix d'abscisses ) des que surt del punt $P$ fins que torna al mateix punt, enfront de la distància corresponent a la qual es troba respecte del punt $P$ ( eix d'ordenades )

( Figura 2 )

Es demana:
  (a) La longitud total del recorregut
  (b) El temps que ha tardat des que ha sortit fins que ha tornat al punt de sortida
  (c) Descripció dels trams del recorregut ( Figura 2 ). A quina velocitat ( constant en cada tram ) s'ha desplaçat en cadascun dels tres trams.
  (d) Ha fet algun descans ? Quant de temps ha durat aquest descans ?

Solució:
Observant la Figura 2 interpretem que a l'excursió hi ha tres trams significatius que, per ordre, són els següents: OA, AB i BC

(a) Longitud total del recorregut ve donada per la suma de les ordenades dels punts $A(0,4)$ i $C(5,4)$, és a dir $4+4=8 \, \text{km}$

(b) El temps que ha tardat des que surt del punt $P$ ( Figura 1 ) fins que torna al mateix punt és igual a la diferència entre les abscisses dels punts $C$ i $O$ ( gràfic de la funció [ Figura 2 ] ):
    $t_{C}-t_{O}=5-0=5 \, \text{h}$

(c) El temps corresponents a cada tram significatiu del recorregut venen donades per les diferències entre les abscisses dels punts extrems de cada tram ( gràfic de la figura 2 ):
    $t_{O \rightarrow A}=t_A-t_O=2-0=2 \, \text{h}$
    $t_{A \rightarrow B}=t_B-t_A=4-2=2 \, \text{h}$
    $t_{B \rightarrow C }=t_C-t_B=5-4=1 \, \text{h}$

Les longituds,$l$, recorregudes en cada tram ( figura 2 ) venen donades per les diferències entre les ordenades dels punts extrems de cada tram ( gràfic de la figura 2 ):
    $l_{O \rightarrow A}=x_A-x_O=4-0=4 \, \text{km}$
    $l_{A \rightarrow B}=x_B-x_A=4-4=0 \, \text{km} \quad \text{( aturat )}$
    $l_{B \rightarrow C}=\left|x_C-x_B\right|=\left|0-4\right|=4 \, \text{km}$

I les velocitats en cada cada tram venen donades per les corresponents raons aritmètiques entre les longituds i les diferències entre els intervals de temps corresponents ( pendents dels segments rectilinis en cada tram):
    $v_{OA}=\dfrac{x_A-x_O}{t_A-t_O}=\dfrac{4}{2}=2 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
    $v_{AB}=\dfrac{x_B-x_A}{t_B-t_A}=\dfrac{0}{2}=0 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
    $v_{BC}=\dfrac{\left|x_C-x_B\right|}{t_C-t_B}=\dfrac{4}{1}=4 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

(d)   Ha fet un descansat amb una durada de $t_B-t_A=4-2=2 \, \text{h}$ ( tram $AB$ [Figura 2] ), atès que $l_{A \rightarrow B}=x_B-x_A=4-4=0 \, \text{km} \quad ( v_{AB}=0 )$

$\square$

[nota del autor]

Los lados desiguales de un rectángulo miden ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els costats desiguals d'un rectangle mesuren $2\,\text{cm}$ i $5\,\text{cm}$, respectivament. Si allarguem $d\,\text{cm}$ ( $d \ge 0$ ) els costats d'aquest rectangle, obtindrem un rectangle semblant a l'original ?.

Solució:
Per tal que els dos rectangles siguin semblants s'ha de complir que
    $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3+d}{5+d}$
i perquè aquesta igualtat sigui certa cal que
    $3\,(5+d)=5\,(3+d) \Rightarrow 3\,d=5\,d \Rightarrow 0=2\,d$
però, donat que $d\neq 0$, $2\,d$ no pot ser igual a $0$, la qual cosa contradiu la línia de dalt.
D'aquí concloem que el rectangle que s'obté no és semblant al rectangle original.
$\square$

[nota del autor]

Un vehículo se desplaza por una autopista ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un vehicle es es mou per una autopista. Surt d'un lloc P ( amb destinació a un altre lloc Q), desplaçant-se a raó de cent quilòmetres cada seixanta minuts ( velocitat constant ). Un segon vehicle, que es desplaça a raó de de cent-deu quilòmetres cada seixanta minuts, surt del punt Q, trenta minuts més tard que el primer, amb destinació P. La distància entre P i Q és de cent quilòmetres. A quina hora es creuaran ? A quina distància del punt A ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la distància del punt que es creuen al punt P, i, $t$ a l'interval de temps que passa des que surt el vehicle amb origen en el lloc P fins que es creuen. Llavors podem plantejar les següents proporcions, posant als numerador les distàncies (en quilòmetres) i als denominadors els intervals de temps ( en minuts):

    i)   $\dfrac{100}{60}=\dfrac{x}{t}$

    ii)   $\dfrac{110}{60}=\dfrac{100-x}{t-30}$


Aquestes dues proporcions ens donen un sistema de dues equacions amb dues incògnites:
      $\left\{\begin{matrix}3\,x &-& 5\,t & = & 0\\ 6\,x &+& 11\,t & = & 930\\ \end{matrix}\right.$

que té com a solució
      $t=\dfrac{310}{7}\, \text{min} \approx 44,29 \; \text{min}$
                              $ \approx 44 \; \text{min}\; \text{i}\; 17 \; \text{s}$
      $x=\dfrac{1550}{21}\, \text{km} \approx 73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$

Conclusió:   Es troben a $73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$ del punt P,
                    a les $08:44:17 \; \text{h}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios diversos

[ Ejercicios diversos ]

[nota del autor]

Ejercicios de cálculo de proporciones con mezclas ( artículo escrito en catalán )

Problema 1 Un comerciant compra 200 litres d'un vi a un preu de 7,00 € cada litre, i 500 litres d'una altra classe de vi a 12 € el litre. Té la intenció de fer la mescla de vins per tal de vendre-la. A quin preu cal que vengui la barreja per tal que no tingui benefici ni pèrdua ? Resolució El cost del vi que compra és de 200 l x 7 €/l + 500 l x 12 €/l = 7400 €. La quantitat de diners que en treurà de la venda és (200+500)v, on v representa el preu de venda. Igualant ambdues quantitats, 7400 = 700v. Per tant, v = 74/7 que, aproximant a les centèsimes, és igual a 10 € i 57 cèntims d'euro. Problema 2 El quirat és la unitat que es fa servir en joieria per mesurar el contingut d'or de l'aliatge d'una peça. Un quirat es defineix com 1/24ena part en or pur de la massa total de l'aliatge. Així, per exemple, si considerem una peça d'aliatge de 17 quirats que tingui una massa de 48 grams, entenem que conté una quantitat d'or pur igual a 34 g; la resta són dels altres metalls amb què s'ha barrejat. Anell de casament bizantí. Font (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Wedding_ring_Louvre_AC924.jpg Per fer una peça de joieria, un joier parteix de dos aliatges: el primer conté 90 g d'or i 120 g d'argent; i el segon, 200 g d'or i 300 g d'argent. Quants quirats tenen els aliatges dels qual parteix ? Quants quirats té la peça resultant després de fondre'ls ? Resolució Plantejant la proporció 24/1 = q1/(90/(120+90)), trobem que el primer aliatge té 12 quirats (aproximant a les unitats). Pel que fa al segon aliatge, plategem la proporció, 24/1 = q2/(200/(300+200)), i trobem que té 10 quirats (aproximant a les unitats). En fondre els dos materials (aliatges) de partida plantegem al seu torn la proporció 24/1 = qf/((200+90)/(300+200+120+90)) i arribem a la conclusió que tindrà 10 quirats (aproximant a les unitats) Si ja heu entès els problemes de barreges, mirem de fer, ara, una analogia per resoldre aquest altre problema: Problema 3 En una banyera hi ha 15 litres d'aigua a una temperatura de 21 ºC. Quants litres d'aigua a 60º C hi hem d'afegir per tal que la temperatura de la mescla sigui de 39º C ? termòmetre de termoparell, font (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/20050501_1315_2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg/180px-20050501_1315_2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg Resolució Com que la quantitat de calor que conté una certa quantitat d'aigua és proporcional també a la temperatura, podem considerar aquesta como si es tractés d'un "preu unitari", com en el problema anterior. Si fem el balanç: 15 (21) + 60 m = 39 ( m + 15) Si resolem aquesta equació de 1r grau, obtenim m = 90/7, que és aproximadament igual a 12.9ºC

[nota del autor]

Ejercicio sobre mezclas ( aleaciones )

Enunciado:
Fundimos un lingote de plata de $200 \, \text{g}$, cuya ley es del $90\,\%$ ( grado de pureza en plata ) con otro lingote de $300 \, \text{g}$ de $80\,\%$ de ley. ¿ Cuál es la ley de la aleación resultante ?.

Solución:
La cantidad de plata pura que contiene la mezcla ( la aleación ), de $200\,\text{g}+300\,\text{g}=500\,\text{g}$ de masa total, es de $0,9\cdot 200+0,8\cdot 300$
esto es, $420\, \text{g}$. Denotando por $x$ la ley de la aleación, su valor ha de ser igual a la razón aritmética entre la cantidad de plata pura y la cantidad total de materia ( la masa total de la aleación ); por tanto,
    $x=\dfrac{420}{500}=84\,\%$
$\square$

[nota del autor]

Un ejercicio de mezclas ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una banyera, barregem cinc litres d'aigua a una temperatura de setanta graus centígrads amb tres litres d'aigua a a una temperatura de cinquanta graus centígrads. A quina temperatura queda la mescla ?.

Nota:   En aquestes condicions es considera que l'energia calorífica emmagatzemada per l'aigua és proporcional a la massa de l'aigua i a la temperatura.

Solució:
D'acord amb el que se'ns diu a la nota adjunta de l'enunciat, donada una massa d'aigua $m$ a una temperatura $T$, es compleix que l'energia emmagatzemada (e. calorífica) $Q$ per aquesta massa d'aigua és tal que $Q \propto m\,T$, és a dir, $Q=c\,m\,T$ on $c$ és la constant de proporcionalitat, anomenada capacitat calortífica de l'aigua. Aquesta llei física es compleix mentre la temperatura estigui per sota del punt d'ebullició i, per tant, és vàlida per al problema plantejat.

Quan barregem dues masses d'aigua, doncs, es produeix un intercanvi d'energia: la més calenta cedeix energia (en forma de calor ) a la més freda, fins arribar a una situació d'equilibri (tèrmic) en què la temperatura de la mescla ( que serà menor que la més gran de les dues i més gran que la més petita ), es mantingui constant ( sempre i quan estigui ben aïllat tèrmicament el bany, és clar ).

Llavors, en aquesta situació d'equilibri, s'ha de complir que la suma de l'energia emmagatzemada per la massa d'aigua calenta i la de l'aigua freda sigui igual a l'energia calorífica de la mescla, igualtat d'on podrem deduir la temperatura d'equilibri, la qual cosa podem escriure de forma matemàtica de la manera següent

        $c \cdot 5 \cdot 70 + c \cdot 3 \cdot 50 = c \, (5+3) \, T_e $
simplificant
        $ 5 \cdot 70 + 3 \cdot 50 = (5+3) \, T_e $
i aïllant $T_e$ queda
        $ T_e=\dfrac{5 \cdot 70 + 3 \cdot 50}{5+3}$
és a dir
        $ T_e=62,5 \,^{\circ}\text{C}$
$\square$

[nota del autor]

Se mezclan dos sustancias alimentarias, A y B, del mismo tipo genérico, pero de distinto precio. El precio de A es de $8 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$, y, el de B, $5\, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. La mezcla a obtener ha de tener un precio de $6 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. ¿ Qué tanto por ciento sobre el total de mezcla corresponderá a cada componente ?.

Enunciat:
Se mezclan dos sustancias alimentarias, A y B, del mismo tipo genérico, pero de distinto precio. El precio de A es de $8 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$, y, el de B, $5\, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. La mezcla a obtener ha de tener un precio de $6 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. ¿ Qué tanto por ciento sobre el total de mezcla corresponderá a cada sustancia componente ?.

Solució:
Denominemos $a$ a la cantidad de sustancia $A$ que interviene en la mezcla; $b$, a la cantidad de substancia $B$; y, $t$, a la cantidad total de la mezcla ( expresadas en kilogramos ). Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
    $\left.\begin{matrix}8\,a &+& 5\,b &=& 6\,t \\ \\a &+& b &=& t \\ \end{matrix}\right\}$
Resolviéndolo, obtenemos
    $b=\dfrac{2}{3}\,t \Rightarrow \dfrac{b}{t}=\dfrac{2}{3} \approx 67 \, \% \; \text{de A}$
y
    $b=\dfrac{1}{3}\,t \Rightarrow \dfrac{a}{t}=\dfrac{1}{3} \approx 33 \, \% \; \text{de B}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones lineales afines ( en catalán )

Enunciat:
Considereu una funció lineal afí, $f(x)$, tal que:
    $f(1)=3$
i
    $f^{-1}(5)=4$
Us demanem:
  a) El valor de l'ordenada a l'origen, $f(0)$
  b) El valor de $f^{-1}(0)$ ( arrel de la funció lineal afí )
  c) El pendent de la recta donada el traç de la funció lineal afí
  d) El valor de l'ordenada que correspon a l'abscissa $x=100$, és a dir, $f(100)$
  e) El valor de l'abscissa que correspon a l'ordenada $y=-10$, és a dir, $f^{-1}(-10)$

Solució:
Primer de tot, cal determinar l'equació
    $y = f(x)$
Tenint en compte que la funció lineal afí té per traç una recta, farem ús de la proporcionalitat geomètrica entre els triangles semblants que es configuren en el gràfic en situar els punts $A(1,3)$ i $B(4,5)$, que són les dades del problema, i $P(x,y)$, que és un punt que podem moure pel damunt de la recta i, per tant, el podem ubicar en una posició arbitrària. Llavors, tenint en compte que $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BPP'}$ ( vegeu la figura de sota )

podem escriure la següent proporció directa:
    $\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$
i, posant les dades concretes,
    $\dfrac{x-4}{4-1}=\dfrac{y-5}{5-3}$
simplificant
    $r:\,\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-5}{2}$
que és l'equació ( en forma contínua ) de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$
D'aquí, aïllant la variable dependent, $y$, deduïm fàcilment l'equació de la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
i, per tant, també podem escriure,
    $f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
que podrem emprar per calcular la imatge d'un determinat valor de la variable independent, $x$, o bé per calcular l'antiimatge d'un valor donat de la variable dependent.
--
Nota:     Havent determinat l'equació de la funció, podem dir que tenim concretat el model funcional que lliga una variable amb l'altra.
--
Fet això, ja podem començar a donar resposta a les preguntes:

a)
La imatge de $0$ és
    $f(0)=\dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{7}{3}$
          $=\dfrac{7}{3}$
Aquest valor és igual al del coeficient $n$ de l'equació
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
que s'anomena ordenada a l'origen
--
Nota:   Una funció - sigui del tipus que sigui - té una única ordenada a l'origen
--
Identificant, arribem a
    $n=\dfrac{7}{3}$
--
Nota:   Les coordenades del punt d'intersecció amb l'eix d'ordenades, $Oy$, són
        $(0,\dfrac{7}{3})$
--

b)
Si l'ordenada pren el valor $0$, resolent l'equació, podem determinar quin valor d'abscissa li correspon:
    $0=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $x=-\dfrac{7}{2}$
és a dir, l'antiimatge de $0$ és
    $f^{-1}(0)=-\dfrac{7}{2}$
Nota:   Com ja s'ha comentat a l'enunciat, el valor d'aquesta abscissa correspon a la única arrel o zero de funció ( abscissa del punt d'intersecció del seu traç amb l'eix d'abscisses $Ox$ ) que té aquesta funció lineal afí ( Una funció lineal afí té, com a màxim, una arrel ).

c)
El pendent de la recta $r$ correspon al valor del coeficient del terme de grau u, $m$, de l'equació $y=f(x)$, que pren la forma tipus
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
per tant
    $m=\dfrac{2}{3}$

d)
El valor de la imatge de $100$ és
    $f(100)=\dfrac{2}{3}\cdot 100+\dfrac{7}{3}$
        $=\dfrac{207}{3}$

e)
El valor de l'antiimatge de $-10$ el trobem resolent l'equació
    $-10=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\big(\dfrac{7}{3}+10\big)$
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\dfrac{37}{3}$
i, per tant,
    $x=-\dfrac{37}{2}$
és a dir
    $f^{-1}(-10)=-\dfrac{37}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Acerca de los números triangulares

ENUNCIADO:
¿Es $6$ un número triangular? ¿Lo es $10$? ¿Lo es $18$?

SOLUCIÓN
Podemos expresar el número $6$ del modo

1
11
111

Así que, sí lo es.

Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado $3 \times 3 $

1 . .
11 .
111

al ser el número de '1os' la suma de $1+2+3$, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar $6$ de la forma $\dfrac{3\cdot 4}{2}$. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma $\dfrac{n\,(n+1)}{2}$, donde $n$ es un número entero no negativo y distinto de $0$.

Vamos a ver si se cumple esta condición para el número $10$:
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10$$
vemos que
$n^2+n=20$
  $n^2+n-20=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}$
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es $4$, que es un número entero no negativo y distinto de $0$, podemos decir que $10$ es un número triangular.

Veamos si es así en el caso de $18$
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18$$
vemos que
$n^2+n=36$
  $n^2+n-36=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}$
luego $18$ no es un número triangular. $\square$

[nota del autor]

Resolución de un problema de proporcionalidad compuesta

[nota del autor]

Sea la función cuadrática $f(x)=x^2-6\,x+8$. Se pide ...

Enunciado:
Sea la función cuadrática $f(x)=x^2-6\,x+8$. Se pide:

a) el valor de cada una de las raíces de la función $f(x)$ ( caso de tenerlas )

b) el valor de la ordenada en el origen de la función $f(x)$

c) las coordenadas del vértice de la parábola ( que es la curva que representa dicha función )

d) describir la recta de simetría de la parábola, ¿ cuál es el valor que toma la abscisa de todos los los puntos que se encuentran en dicha recta ?

e) dibujar el gráfico de dicha función y, también, todos los elementos notables a los que nos hemos referido anteriormente

f) hallar la imagen de $-10$

g) hallar las antiimágenes de $2$

Solución:
a)
Las raíces de $f(x)$ son los valores de $x$ que anulan la función; para encontrarlas, por tanto, imponemos la condición $f(x)=0$ y resolvemos la ecuación.
$x^2-6\,x+8=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{6+2}{2}=4 \\
\\
\dfrac{6-2}{2}=2 \\
\end{matrix}\right.$
luego la función $f$ tiene dos raíces: $4$ y $2$

b)
La ordenada en el origen de la función dada $f(x)$ es la imagen de $x=0$ por dicha función, esto es, $f(0)=0^2-6\cdot 0 +8=8$

c)
El vértice $V$ de la parábola -- curva que corresponde al trazo de la función dada ( por ser una función polinómica de segundo grado ) -- se sitúa en la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto medio del segmento $AB$, cuyos puntos extremos tienen las siguientes coordenadas: $A(2,0)$ y $B(4,0)$ ( puntos de corte de la gráfica de $f(x)$ con el eje de abscisas ); así, pues, $x_V=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3$, y, la ordenada de $V$ es la imagen ( por $f$ ) de $x_V$, esto es, $y_V=f(x_V)=f(3)=3^2-6\cdot 3 +8=-1$. Así, pues, el vértice es el punto $V(3,-1)$

d)
En el apartado anterior ya se ha respondido parte de la pregunta, pues, la recta de la que se hablaba ( que contiene al vértice ) es, precisamente, la recta de simetría de la parábola; todos los puntos situados en dicha recta, que es perpendicular al eje de abscisas, tienen abscisa igual a la del vértice de la parábola ( $x_V=3$ ), por lo que la ecuación de la misma viene dada por $x=3$.

e)

f)
$f(-10)=(-10)^2-6\cdot(-10)+8=168$

g)
$f(x)=2 \Leftrightarrow 2=x^2-6x+8 \Leftrightarrow x^2-6x+6=0$ y esto se cumple si y sólo si
$x=\dfrac{(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{6 \pm \sqrt{60}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{6 \pm 2\,\sqrt{15}}{2}=3\pm \sqrt{15}$
esto es, hay dos antiimagenes para el valor de $y=2$ que son las siguientes:
$$x=\left\{\begin{matrix}
3+\sqrt{15} \\
\\
3-\sqrt{15} \\
\end{matrix}\right.$$

$\square$

[nota del autor]

Sea la función lineal afín $f(x)=-3\,x+6$ ( una recta ). Se pide ...

Enunciado:
Sea la función lineal afín $f(x)=-3\,x+6$ ( una recta ). Se pide:
a) las coordenadas de los puntos de corte con los ejes $Ox$ y $Oy$
b) el valor de la pendiente y el valor de la ordenada en el origen de la recta que representa dicha función
c) representar gráficamente dicha función

Solución:

a)

Denotemos por $A$ el punto de corte con el eje de abscisas; entonces, como $y_A=0$, $x_A$ viene dada por la solución de la ecuación $0=-3\,x+6 \Leftrightarrow x=2$; es decir, $x_A=2$. Por tanto, el punto de corte con el eje de abscisas es $A(2,0)$

Denotando por $B$ el punto de corte con el eje de ordenadas, sabemos que $x_B=0$, luego $y_B=f(x_B)=f(0)=-3\cdot 0+6=6$, esto es, el punto de corte de dicha recta con el eje de ordenadas es $B(0,6)$

b)
La ecuación de una recta ( función lineal afín ), en el plano, tiene la forma ( explícita ) $r:\,y=m\,x+k$, siendo $m$ la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen, luego comparando la ecuación dada, $y=-3\,x+6$ con la ecuación tipo e identificando el valor de los coeficientes obtenemos $m=-3$ y $k=6$.

c)

$\square$

[nota del autor]

Representar gráficamente las funciones: a) $f(x)=2\,x-5$ b) $g(x)=(x-2)^2-3$ c) $h(x)=2^{x-1}$ e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$

Enunciado:
Representar gráficamente las funciones que abajo se indican, calculando, para cada una de ellas, las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente:
$$\{-4\,,\,-3\,,\,-2\,,\,-1\,,\,0\,,\,1\,,\,2\,,\,3\,,4\}$$
Organizar en una tabla numérica los pares de valores que obtengáis ( que son las coordenadas de un conjunto de puntos del plano ), y, a partir de dichos puntos, que debéis representar en un diagrama cartesiano ( un diagrama para cada función ), se os pide que perfiléis el trazo ( la curva ) para cada una de dichas funciones, indicando cuál es el nombre con el que se conocen tales curvas:

a) $f(x)=2\,x-5$
b) $g(x)=(x-2)^2-3$
c) $h(x)=2^{x-1}$
e) $l(x)=\dfrac{1}{x-1}$


Solución:

Nota:   Se omiten las tablas numéricas, pues los valores de las coordenadas se han indicado en el propio gráfico

a)
Función de proporcionalidad directa ( función lineal afín )

b)
Función polinómica de segundo grado ( su trazo corresponde a una parábola con eje de simetría perpendicular al eje de abscisas )

c)
Función exponencial; en este caso, monótona creciente

d)
Función de proporcionalidad inversa ( su trazo corresponde a una hipérbola )

$\square$

[nota del autor]

(a) Dibuje, con regla y compás, una circunferencia de $3\,\text{cm}$ de radio, y, a continuación, inscriba un hexágono en dicha circunferencia. (b) Calcule el área de dicho hexágono. (c) Calcule el área del círculo cuyo contorno es la circunferencia descrita en el primer apartado. (d) Calcule el área de la región del plano comprendida entre la circunferencia y el contorno del hexágono. (e) Se aplica una homotecia de centro en un punto cualquiera del plano, con razón de homotecia igual a $2$. Calcule el área de la figura resultante de la aplicación de dicha homotecia al círculo del que se habla en el tercer apartado.

Enunciado:
(a) Dibuje, con regla y compás, una circunferencia de $3\,\text{cm}$ de radio, y, a continuación, inscriba un hexágono en dicha circunferencia.
(b) Calcule el área de dicho hexágono.
(c) Calcule el área del círculo cuyo contorno es la circunferencia descrita en el primer apartado.
(d) Calcule el área de la región del plano comprendida entre la circunferencia y el contorno del hexágono.
(e) Se aplica una homotecia de centro en un punto cualquiera del plano, con razón de homotecia igual a $2$. Calcule el área de la figura resultante de la aplicación de dicha homotecia al círculo del que se habla en el tercer apartado.

Solución:
a)

b)

Como el hexágono es regular, se descompone en seis triángulos equiláteros iguales; los tres lados de cada uno de dichos triángulos tienen la misma longitud que el radio, $l=r=3\,\text{cm}$. Así, pues, el área del hexágono es igual a seis veces el área de uno de dichos triángulos equiláteros, esto es, $A_{\text{hexágono}}=6\cdot \dfrac{3\,a}{2}=9\,a$   (1), siendo $a$ la apotema de dichos triángulos ( la altura correspondiente a tomar como base el lado del hexágono ). Entonces, dado un de estos triángulos equiláteros, como dicha altura lo divide en dos triángulos rectángulos, por el Teorema de Pitágora podemos escribir $a^2+\big(\dfrac{3}{2}\big)^2=3^2$, y, despejando $a$, obtenemos $a^2=9-\dfrac{9}{4} \Rightarrow a=\sqrt{\dfrac{27}{4}}=\sqrt{\dfrac{9\cdot 3}{4}}=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}$. Luego, sustituyendo en (1): $A_{\text{hexágono}}=9\cdot \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}=\dfrac{27}{2}\,\sqrt{3} \,\text{cm}^2 \approx 23 \, \text{cm}^2$

c)
$A_{\text{círculo circunscrito}}=\pi\,r^2=\pi\,3^2=9\,\pi \,\text{cm}^2 \approx 28 \, \text{cm}^2$

d)
Se pide ahora calcular el área compuesta por los seis segmentos circulares ( coloreados en azul en la figura de abajo), luego
$A_{\text{segmentos circulares}}=A_{\text{círculo}}-A_{\text{hexágono inscrito}}=\big(9\,\pi - \frac{27}{2}\,\sqrt{3}\big) \, \text{cm}^2 \approx 5 \, \text{cm}^2$

e)
El área del círculo resultante de aplicar una homotecia de razón $k$ al círculo que corresponde a la circunferencia circunscrita es $k^2 \, A_{\text{círculo original}}$, y, por tanto, su valor es igual a $2^2 \cdot ( 9 \, \pi) \, \text{cm}^2 = 36\, \pi \,\text{cm}^2 \approx 113 \, \text{cm}^2$

$\square$

[nota del autor]

En una urna hay $4$ bolas negras y $3$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide: a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color d) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea blanca y la segunda negra e) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea negra y la segunda blanca.

Enunciado:
En una urna hay $4$ bolas negras y $3$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide:
a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria.
b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color
d) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea blanca y la segunda
negra
e) Calcule la probabilidad de que: la primera bola sea negra y la segunda blanca.

Solución:

a)

b)
La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color es igual a
$P\big( (B_1 \cap B_2 ) \cup ( N_1 \cap N_2)\big)$
y teniendo en cuenta que $B_1 \cap B_2$ y $_1 \cap N_2$ son incompatibles, podemos escribir la probabilidad anterior como
$P(B_1 \cap B_2 ) + P(N_1 \cap N_2) \underset{\text{principio de multiplicación}}{=} \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{3}{7}$

c)
La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color es la probabilidad del suceso contrario al pedido en el apartado anterior, luego su valor es $1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$

d)
$P(B_1 \cap N_2)=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{7}$

e)
$P(N_1 \cap B_2)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes: $$\{3,1,3,2,4,3,4,1,3,2,5,4,5,3,1,3,2,4,3,3,4,2,5,4,2,3,2,3,4,5\}$$ a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? ¿ Y el de la mediana ?. Razónese c) Calcule la media aritmética d) Calcule la varianza y la desviación estándar e) Calcule el coeficiente de variación de Pearson f) ¿ Cuál es el rango ? Razónese

Enunciado:
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{3,1,3,2,4,3,4,1,3,2,5,4,5,3,1,3,2,4,3,3,4,2,5,4,2,3,2,3,4,5\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? ¿ Y el de la mediana ?. Razónese
c) Calcule la media aritmética
d) Calcule la varianza y la desviación estándar
e) Calcule el coeficiente de variación de Pearson
f) ¿ Cuál es el rango ? Razónese

Solución:
a)
En la tabla figura también una columna para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$, que tienen interés para el cálculo de percentiles, y, en particular, para el cálculo de la mediana

b)
La moda y la mediana son medidas ( parámetros estadísticos ) de situación, al igual que lo es también la media aritmética

c)
La media aritmética es una medida ( parámetro estadístico ) de situación, como también lo son la moda y la mediana

d)
La varianza y la desviación estándar son medidas ( o parámetros estadísticos ) que proporcionan información sobre la dispersión de los valores de $X$

e)
El coeficiente de Variación de Pearson suele utilizarse para comparar varios conjuntos de valores de una misma variable aleatoria y la información que proporciona se refiere a la dispersión en cada uno de dichos conjuntos; en nuestro caso, sólo hay un conjunto de valores:
$\text{CVP} \underset{(def)}{=} \dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{1,03}{3,1} \approx 0,33 = 33\,\%$

f)
El rango es una medida o parámetro estadístico de dispersión ( como lo son también la varianza y la desviación estándar), y se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo y el valor mínimo de los valores de $X$, luego es igual a $|5-1|=4$

$\square$

[nota del autor]

Considere los siguientes cuerpos geométricos en el espacio: a) un cono de $4\,\text{dm}$ de generatriz y $3\,\text{dm}$ de radio de la base; b) un cilindro de $5\,\text{dm}$ de altura y $2\,\text{dm}$ de radio de la base, y, c) un prisma recto de base rectangular cuyas aristas desiguales miden $2\,\text{dm}$, $3\,\text{dm}$ y $4\,\text{dm}$, respectivamente ...

Enunciado:
Considere los siguientes cuerpos geométricos en el espacio: a) un cono de $4\,\text{dm}$ de generatriz y $3\,\text{dm}$ de radio de la base; b) un cilindro de $5\,\text{dm}$ de altura y $2\,\text{dm}$ de radio de la base, y, c) un prisma recto de base rectangular cuyas aristas desiguales miden $2\,\text{dm}$, $3\,\text{dm}$ y $4\,\text{dm}$, respectivamente.

Para cada unos de dichos cuerpos haga lo siguiente:
1. Dibuje una figura esquemática del cuerpo geométrico y anote en ella los datos del enunciado
2. Dibuje una figura esquemática del desarrollo plano del cuerpo geométrico y anote en ella los datos del enunciado
3. Calcule el volumen del cuerpo geométrico
4. Calcule el área total del desarrollo plano del cuerpo geométrico

Solución:

1.

2.

3.
Volumen del cono:
$V_{\text{cono}}=\dfrac{1}{3} \cdot \pi\,r^2 \,a = \dfrac{1}{3}\,3^2 \cdot \sqrt{4^2-3^2} \,\pi=\dfrac{1}{3}\,3^2 \cdot \sqrt{7} \,\pi=3\,\sqrt{7}\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 25 \,\text{dm}^3$

Volumen del cilindro:
$V_{\text{cilindro}}=\pi\,r^2 \,a = 2^2 \cdot 5 \,\pi=20\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 63 \, \text{dm}^3$

Volumne del prisma de base rectangular:
$V_{\text{prisma}}=2\cdot \cdot 3 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^3$

4.
Área total del desarrollo plano del cono:
$A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+A_{\text{base}}$
  $=\pi\,r\,g+\pi\,r^2=\pi\cdot 3 \cdot 4 + \pi\cdot 3^2=12\,\pi + 9\,\pi=21\,\pi \approx 66 \, \text{dm}^2$

Área total del desarrollo plano del cilindro:
$A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+A_{\text{base}}$
  $=2\,\pi\,r\,a+2\,(\pi\,r^2)$
  $=2\cdot \pi\cdot 2 \cdot 5 + 2\,(\pi \cdot 2^2)$
  $=20\,\pi+8\,\pi=28\,\pi\,\text{dm}^2 \approx 88\,\text{dm}^2$

Área total del desarrollo plano del prisma recto de base rectangular:
$A_{\text{total}}=2\,(2\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 4)$ ( suma de las áreas de las tres parejas de caras rectangulares )
  $=2\,(6+8+12)=52\,\text{dm}^2$

$\square$

[nota del autor]