ENUNCIADO. Calcúlese el resultado de la siguiente operación $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdot \, \ldots \, \cdot \left(1+\dfrac{1}{99}\right)$$
SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
$\square$
domingo, 23 de septiembre de 2018
jueves, 20 de septiembre de 2018
Un ejercicio de mezclas
ENUNCIADO. En una jarra mezclamos naranja y limón ( exprimidos ) a partes iguales. Una tercera parte del contenido de dicha jarra la ponemos en una segunda jarra ( inicialmente vacía ), idéntica a la primera; y la acabamos de llenar con limón exprimido. ¿ Cuántas partes de naranja sobre el total de la misma tiene la segunda jarra ? ¿ Cuántas partes de limón tiene ?
SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
$\square$
SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
$\square$
lunes, 10 de septiembre de 2018
Ángulo que forman las agujas del reloj (horaria y minutera) a una hora dada
ENUNCIADO. Calcúlese el ángulo que forman la aguja horaria y la minutera en el instante en que un reloj marca las 15:40:00
SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
$\square$
SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
$\square$
domingo, 17 de junio de 2018
Un ejercicio de reparto de escaños en unas eleccciones
ENUNCIADO. En unas elecciones, el partido $A$ ha obtenido $600$ votos; el partido $B$, $400$ votos; el partido $C$, $200$ votos, y el partido $D$ $50$ votos. Distribúyanse $15$ escaños entre los cuatro partidos, empleando el procedimiento d'Hondt.
SOLUCIÓN.
Aproximación al problema de reparto de escaños:
Si, repartimos el número de escaños de manera directamente proporcional al número de votos obtenido por cada partido, nos toparemos con el problema de negociar los decimales. Así, por ejemplo, con los datos del ejercicio ( los votos registrados suman un total de $1250$ ), obtendríamos los siguientes resultados al realizar el reparto:
$\dfrac{600}{1250}\cdot 15 = 7,2$ ( par $A$ )
$\dfrac{400}{1250}\cdot 15 = 4,8$ ( par $B$ )
$\dfrac{200}{1250}\cdot 15 = 2,4$ ( par $C$ )
$\dfrac{50}{1250}\cdot 15 = 0,6$ ( par $D$ )
El procedimiento d'Hondt:
El procedimiento de reparto de escaños d'Hondt se considera también como un método de reparto proporcional de escaños, pero con algunos matices, entre los cuales cabe subrayar que si bien resuelve el problema de los decimales los resultados que se obtienen van en detrimento de los partidos menos votados.
El algoritmo del procedimiento d'Hondt para asignar escaños consiste en comenzar anotando los votos obtenidos en la primera fila de una tabla, con tantas columnas como partidos haya y tantas filas como escaños haya que distribuir. El primer escaño se asigna al partido más votado y se señala dicho partido; a continuación, en la segunda fila se sustituye la cantidad de votos que dio lugar a asignar el escaño en el primer paso por el número que resulta de dividir el número de votos original por el número de escaños que ya tiene asignados más una unidad -- en el caso de que varios partidos tengan la misma cantidad en un determinado paso, se da el escaño al partido más votado --. Y se sigue así, hasta haber asignado todos los escaños. La siguiente figura muestra los resultados con los datos del ejercicio, y las celdas coloreadas indican el propietario del escaño.
Así, en el caso que nos ocupa, corresponden $8$ escaños al partido $A$, $5$ escaños a $B$ y $2$ escaños a $C$. Nota: el partido $C$ se queda sin representación.
-oOo-
También podemos dividir sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ tal como se muestra en la tabla de la siguiente figura. Basta con ordenar de mayor a menor las cantidades que resultan de la división de los votos por los divisores, hasta haber asignado un total de $15$ escaños. Las celdas de la tabla que aparecen coloreadas en color naranja, indican los números de escaños que corresponden a cada partido.
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SOLUCIÓN.
Aproximación al problema de reparto de escaños:
Si, repartimos el número de escaños de manera directamente proporcional al número de votos obtenido por cada partido, nos toparemos con el problema de negociar los decimales. Así, por ejemplo, con los datos del ejercicio ( los votos registrados suman un total de $1250$ ), obtendríamos los siguientes resultados al realizar el reparto:
$\dfrac{600}{1250}\cdot 15 = 7,2$ ( par $A$ )
$\dfrac{400}{1250}\cdot 15 = 4,8$ ( par $B$ )
$\dfrac{200}{1250}\cdot 15 = 2,4$ ( par $C$ )
$\dfrac{50}{1250}\cdot 15 = 0,6$ ( par $D$ )
El procedimiento d'Hondt:
El procedimiento de reparto de escaños d'Hondt se considera también como un método de reparto proporcional de escaños, pero con algunos matices, entre los cuales cabe subrayar que si bien resuelve el problema de los decimales los resultados que se obtienen van en detrimento de los partidos menos votados.
El algoritmo del procedimiento d'Hondt para asignar escaños consiste en comenzar anotando los votos obtenidos en la primera fila de una tabla, con tantas columnas como partidos haya y tantas filas como escaños haya que distribuir. El primer escaño se asigna al partido más votado y se señala dicho partido; a continuación, en la segunda fila se sustituye la cantidad de votos que dio lugar a asignar el escaño en el primer paso por el número que resulta de dividir el número de votos original por el número de escaños que ya tiene asignados más una unidad -- en el caso de que varios partidos tengan la misma cantidad en un determinado paso, se da el escaño al partido más votado --. Y se sigue así, hasta haber asignado todos los escaños. La siguiente figura muestra los resultados con los datos del ejercicio, y las celdas coloreadas indican el propietario del escaño.
Así, en el caso que nos ocupa, corresponden $8$ escaños al partido $A$, $5$ escaños a $B$ y $2$ escaños a $C$. Nota: el partido $C$ se queda sin representación.
También podemos dividir sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ tal como se muestra en la tabla de la siguiente figura. Basta con ordenar de mayor a menor las cantidades que resultan de la división de los votos por los divisores, hasta haber asignado un total de $15$ escaños. Las celdas de la tabla que aparecen coloreadas en color naranja, indican los números de escaños que corresponden a cada partido.
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jueves, 7 de junio de 2018
lunes, 28 de mayo de 2018
Estadística descriptiva. Un ejercicio acerca de la determinación de los cuartiles y de la elaboración del diagrama de caja y bigotes
ENUNCIADO.
Ordenando los valores de menor a mayor,
Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:
Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$
Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.
Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.
Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):
$\square$
Ordenando los valores de menor a mayor,
47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96
Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:
47 52 52 57 58 58 60 65 66 66 71 71 72 73 96
Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$
Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.
Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.
Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):
$\square$
martes, 22 de mayo de 2018
Valores atípicos en una distribución estadística unidimensional. Longitud de los bigotes del diagrama de caja y bigotes
Consideramos que un valor $X=k$ de una distribución estadística es atípico si se sitúa a mayor distancia que $1,5\cdot \text{RIQ}$ del tercer cuartil $Q_3$ o bien del primer cuartil $Q_1$, y se representa con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, $|Q_3-Q_1|$
Un valor $X=k$ es por tanto atípico si $k \succ Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$
Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es $31$. Justifíques el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN. Como $Q_3+1,5 \text{RIQ}=1,5\cdot 10+15=30 \prec 31$, $X=31$ es un valor atípico.
Observación:
Para dibujar los bigotes en un diagrama de caja y bigotes ( una vez dibujada la caja, con los cuartiles ) trazamos un segmento desde el tercer cuartil hasta el valor máximo no atípico, y otro segmento desde el primer cuartil hasta el valor mínimo no atípico, así quedan determinadas las longitudes de los bigotes.
$\square$
Un valor $X=k$ es por tanto atípico si $k \succ Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$
Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es $31$. Justifíques el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN. Como $Q_3+1,5 \text{RIQ}=1,5\cdot 10+15=30 \prec 31$, $X=31$ es un valor atípico.
Observación:
Para dibujar los bigotes en un diagrama de caja y bigotes ( una vez dibujada la caja, con los cuartiles ) trazamos un segmento desde el tercer cuartil hasta el valor máximo no atípico, y otro segmento desde el primer cuartil hasta el valor mínimo no atípico, así quedan determinadas las longitudes de los bigotes.
$\square$
lunes, 21 de mayo de 2018
Reparto de escaños mediante el procedimiento d'Hondt
ENUNCIADO. En unas elecciones, cuatro partidos políticos han obtenido los siguintes votos:
VOTOS
SOLUCIÓN.
Dividiendo sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ y $7$ el número de votos de cada partido y seleccionando los números mayores empezando por el vértice superior izquierdo ( que marcamos con un asterisco ) podremos contabilizar, fila a fila, el número de escaños que hay que asignar a cada partido.
SOLUCIÓN.
Notas: Si en un cierto paso hubiese empate en los resultados de las divisiones, se asigna el escaño al partido que cuenta con mayor número de votos.
ESCAÑOS:
Otra manera de implementar el algoritmo d'Hondt consiste en: asignar el primer escaño al partido más votado en cada paso ( organizaremos dichos pasos por filas ) y dividir el número de votos de éste por el número de escaños que tiene asignados más una unidad, siendo este resultado el nuevo número de votos a tener en cuenta para dicho partido en el siguiente paso. Repetiremos estas operaciones hasta haber asignados todos los escaños (*), tal como se muestra en la siguiente tabla:
VOTOS
--------------- | A | 900 | --------------- | B | 600 | -------------- | C | 300 | -------------- | D | 100 | --------------Se desea repartir $7$ escaños empleando el procedimiento d'Hondt ( Fuente: Wikipedia ).
SOLUCIÓN.
Dividiendo sucesivamente por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ y $7$ el número de votos de cada partido y seleccionando los números mayores empezando por el vértice superior izquierdo ( que marcamos con un asterisco ) podremos contabilizar, fila a fila, el número de escaños que hay que asignar a cada partido.
SOLUCIÓN.
-----------------------------------
divisores consecutivos
-----------------------------------
1 2 3 4 5 6 7
-----------------------------------
A 900 450* 300* 225* 180* 150 129
B 600 300* 200* 150 120 100 86
C 300 150* 100 75 60 50 43
D 100 50 33 25 20 17 14
Notas: Si en un cierto paso hubiese empate en los resultados de las divisiones, se asigna el escaño al partido que cuenta con mayor número de votos.
ESCAÑOS:
--------------- | A | 4 | --------------- | B | 2 | -------------- | C | 1 | -------------- | D | 0 | --------------
Otra manera de implementar el algoritmo d'Hondt consiste en: asignar el primer escaño al partido más votado en cada paso ( organizaremos dichos pasos por filas ) y dividir el número de votos de éste por el número de escaños que tiene asignados más una unidad, siendo este resultado el nuevo número de votos a tener en cuenta para dicho partido en el siguiente paso. Repetiremos estas operaciones hasta haber asignados todos los escaños (*), tal como se muestra en la siguiente tabla:
--------------------------------------------------------
A | B | C | D |
--------------------------------------------------------
900 (*) | 600 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
450 | 600 (*) | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
450 (*) | 300 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
300 (*) | 300 | 300 | 100 |
--------------------------------------------------------
225 | 300 (*) | 300 (*) | 100 |
--------------------------------------------------------
225 (*) | 150 | 150 | 100 |
--------------------------------------------------------
$\square$
viernes, 18 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con amplitudes desiguales.
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con distintas amplitudes:
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en las siguientes clases ( intervalos ): $[9,13)$, $[13,17)$ y $[17,20]$, y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
--------------------------------------------
--------------------------------------------
i |intervalo | amplitud_i | n_i | N_i |
--------------------------------------------
1 | [9,13) | 13-9=4 | 4 | 4 |
--------------------------------------------
2 | [13,17) | 17-13=4 | 17 | 21 |
--------------------------------------------
3 | [17,20)] | 20-17=3 | 9 | 30 |
--------------------------------------------
| N=30 |
-------
A continuación, deberemos dibujar los histogramas, aunque sólo calcularemos lo necesario, aquí, para elaborar el de frecuencias absolutas del recuento ( de manera similar procederíamos para dibujar el histograma de frecuencias acumuladas ). Provistos de una hoja de papel milimitrado ( para mayor comodidad ), calcularemos la altura y la anchura de los tres rectángulos que formaran dicho histograma.Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
martes, 8 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de valores en intervalos ( clases ) de igual amplitud
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con igual amplitud:
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
$\square$
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en clases ( intervalos ) y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
-----------------------
i|intervalo | n_i |N_i|
-----------------------
1|8'5,10'5) | 1 |1 |
-----------------------
2|10'5,12'5)| 3 |4 |
-----------------------
3|12'5,14'5)| 5 |9 |
-----------------------
4|14'5,16'5)| 12 |21 |
-----------------------
5|16'5,18'5)| 7 |28 |
-----------------------
6|18'5,20'5)| 2 |30 |
-----------------------
|N=30 |
-------
$\square$
martes, 16 de enero de 2018
sábado, 13 de enero de 2018
domingo, 19 de noviembre de 2017
lunes, 16 de octubre de 2017
Adecuación del resultado final de un cálculo al número de cifras significativas que le corresponde, atendiendo a la precisión de los datos
ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ y del área $\bar{A}$ que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema.
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
$\square$
miércoles, 28 de junio de 2017
Exámenes realizados durante el curso, resueltos y comentados
Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].
lunes, 26 de junio de 2017
Cálculo de la capacidad de un depósito en forma de tronco de cono
ENUNCIADO. Calcular la capacidad ( en litros ) de un depósito que tiene forma de tronco de cono. Sabiendo que el radio de la base mayor es de $3$ metros; el radio de la base menor es de $2$ metros, y la distancia perpendicular entre ambas bases de de $1$ metro.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Se ruega al lector que lo reproduzca, con los datos del problema.
Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo
ENUNCIADO. Considerar el siguiente triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $3$ decímetros y uno de los segmentos en que ésta queda dividida al trazar la altura (que pasa por el vértice opuesto a la misma) tiene una longitud de $1$ decímetro. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.
Error absoluto y error relativo en una aproximación dada
ENUNCIADO. Se ha aproximado el número $4235$ por $4200$. Se pide:
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
$\square$
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método gráfico
ENUNCIADO. Resolver de forma gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&=&1 \\ x&+&y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$
Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:
Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
$\square$
Resolviendo un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y comprobar el resultados obtenido: $$\left\{\begin{matrix}2\,x&-&5\,y&=&3 \\ 3\,x&+&2\,y&=&1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$
Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$
$\square$
Un ejercicio de estadística básica
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Invito al lector a que lo reproduzca con los datos del presente ejercicio.
domingo, 18 de junio de 2017
Homotecias en el plano. El pantógrafo.
El pantógrafo es un mecanismo articulado que sirve para copiar la forma de un objeto, aumentando o disminuyendo su tamaño. El siguiente vídeo muestra la realización de un pantógrafo con GeoGebra. Para experimentar con la construcción del pantógrafo, podéis seguir [ este enlace ]:
domingo, 11 de junio de 2017
Un ejercicio de estadística descriptivo de una variable con valores no agrupados en intervalos
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN
a) Tabla de valores y frecuencias:
X f F
--- --- ---
1 2 2
2 10 12
3 20 32
4 12 44
5 1 45
---
N=45
b)
Diagrama de barras. La moda es el valor que aparece un mayor número de veces, así pues es igual a $3$
c)
$\text{rango}=|x_{\text{máx}-x_{\text{mín}}}=|5-1|=4$
Cuartiles:
$Q_2=M=x_{23}=3$
$Q_1=\dfrac{x_{11}+x_{12}}{2}=\dfrac{2+2}{2}=2$
$Q_3=\dfrac{x_{34}+x_{35}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4$
d)
Diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
e)
Rango intercuartílico:
$\text{RIQ}\overset{\text{def}}{=}|Q_3-Q_1|=|4-2|=2$
Valores atípicos:
Un valor se dice atípico si no está en el intervalo $(Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\, Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ})=(2-3\,,\,4+3)=(-1\,,\,7)$, luego no hay ningún valor atípico en la distribución dada.
f)
Seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de variable y separando con un ';' el número de veces que se repite, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
1 SHIFT ; 1 M+
2 SHIFT ; 10 M+
3 SHIFT ; 20 M+
4 SHIFT ; 12 M+
5 SHIFT ; 1 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x}=3$
(2) ----> $s\approx 0,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 0,8$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 27\,\%$
$\square$
domingo, 4 de junio de 2017
Estadística descriptiva. Histogramas con intervalos de distinta amplitud
ENUNCIADO. En la recogida de datos de un estudio estadístico de una cierta característica ( variable ) $X$, agrupando los valores en intervalos se ha obtenido lo siguiente:
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
$\square$
intervalo frecuencia --------- ---------- [10,30) 10 [30,40) 20 [40,45) 15 [45,60) 30 [60,70) 8
Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.
SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.
Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):
intervalo amplitud frecuencia altura --------- ---------- ---------- -------------- [10,30) 20 10 10/(20·0,5)=1 [30,40) 10 20 20/(10·0,5)=4 [40,45) 5 15 15/(5·0,5)=6 [45,60) 15 30 30/(15·0,5)=4 [60,70) 10 8 8/(10·0,5)=1,6
$\square$
lunes, 29 de mayo de 2017
Averiguando si un cierto valor de una variable estadística es atípico
ENUNCIADO. Hemos hecho un estudio estadístico de una cierta característica ( variable estadística ), obteniendo los siguientes valores para los cuartiles primero, segundo y tercero: $Q_1=12$, $Q_2=M=13$ y $Q_3=16$. Decir razonadamente si algunos de los datos (de dicha variable estadística) que damos a continuación pueden ser considerados atípicos: $5, 12, 23, 3, 15$
SOLUCIÓN. Decimos que un cierto valor $k$ de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ).
En nuestro caso, $\text{RIQ}=\left|16-12\right|=4$; entonces $I=(12-1,5\cdot 4\,,\, 16+1,5 \cdot 4 )= ( 6\,,\, 22)$. Vemos pues que $3$, $5$ y $23$ no pertenecen a dicho intervalo, luego debemos considerar dichos valores como atípicos, a diferencia de $12$ y $15$ que sí están en ese intervalo.
A continuación, se representa del digrama de caja y bigotes ( o diagrama de Tukey ) en el que se muestran los valores atípicos con un símbolo de rombo ( suele emplearse también un asterisco ):
$\square$
SOLUCIÓN. Decimos que un cierto valor $k$ de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ).
En nuestro caso, $\text{RIQ}=\left|16-12\right|=4$; entonces $I=(12-1,5\cdot 4\,,\, 16+1,5 \cdot 4 )= ( 6\,,\, 22)$. Vemos pues que $3$, $5$ y $23$ no pertenecen a dicho intervalo, luego debemos considerar dichos valores como atípicos, a diferencia de $12$ y $15$ que sí están en ese intervalo.
A continuación, se representa del digrama de caja y bigotes ( o diagrama de Tukey ) en el que se muestran los valores atípicos con un símbolo de rombo ( suele emplearse también un asterisco ):
$\square$
jueves, 11 de mayo de 2017
Funciones cuadráticas. Parábolas
ENUNCIADO. Sea la función cuadrática $f(x)=x^2+2x-3$, cuya gráfica es una parábola. Se pide:
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?
SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$
b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$
c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$
$\square$
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?
SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$
b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$
c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$
$\square$
miércoles, 10 de mayo de 2017
Rectas en el plano
ENUNCIADO. Dada la recta cuya ecuación en forma general es $$r:2\,x+3\,y+1=0$$ Se pide:
a) La gráfica de dicha función en un diagrama cartesiano
b) Escribir la ecuación de dicha recta en forma explícita
c) ¿ Cuál es el valor de la pendiente de esa recta ?
d) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
SOLUCIÓN.
a) La gráfica de dicha función en un diagrama cartesiano
b) Escribir la ecuación de dicha recta en forma explícita
c) ¿ Cuál es el valor de la pendiente de esa recta ?
d) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?
SOLUCIÓN.
Dominio de definición y conjunto imagen de una función. Ejemplo.
ENUNCIADO. Determínese el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$, definida de $\mathbb{R}$ ( conjunto de partida ) en $\mathbb{R}$ ( conjunto de llegada ).
SOLUCIÓN. Los números negativos no tienen raíz cuadrada definida, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Por otra parte el valor absoluto $\left|\,\sqrt{.}\,\right|$ no permite números negativos como valores de función, luego $\text{Im}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. $\square$
SOLUCIÓN. Los números negativos no tienen raíz cuadrada definida, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Por otra parte el valor absoluto $\left|\,\sqrt{.}\,\right|$ no permite números negativos como valores de función, luego $\text{Im}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. $\square$
martes, 9 de mayo de 2017
Puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas
ENUNCIADO. Hállense las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de coordenadas cartesianas de las gráficas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=4\,x+5$
b) $g(x)=x^2-x-2$
c) $h(x)=\dfrac{2\,x+3}{x}$
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=4\,x+5$
b) $g(x)=x^2-x-2$
c) $h(x)=\dfrac{2\,x+3}{x}$
SOLUCIÓN.
Curvas que no corresponden a funciones
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a la unidad. ¿ Puede decirse que dicha gráfica corresponde a una función ? Razonar la respuesta de acuerdo con la definición de función.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Funciones periódicas
ENUNCIADO. Esbozar la gráfica de una función periódica que tenga período igual a $2$
SOLUCIÓN.
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es periódica si existe un número real $T$ ( período de $f$ ) tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo $x$ del dominio de definición de la función.
Ejemplo:
SOLUCIÓN.
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es periódica si existe un número real $T$ ( período de $f$ ) tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo $x$ del dominio de definición de la función.
Ejemplo:
Dibujar la gráfica de la función lineal afín a partir de la raíz y de la ordenada en el origen
ENUNCIADO. Dibújese la gráfica de la función lineal afín tal que $3$ sea raíz de dicha función y que la ordenada en el origen tenga el valor $4$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Estudio de la incidencia de rectas en el plano
ENUNCIADO. Sea el siguiente par de rectas:
$r:\,y=x-1$
$s:y=-x+1$
Teniendo en cuenta el valore de la pendiente y el de la ordenada en el origen de cada una de las rectas, estúdiese la incidencia de las mismas. Si procediese, calcúlense las coordenadas del punto de intersección de las mismas.
SOLUCIÓN. Las pendientes son $m_r=1$ y $m_s=-1$; como $m_r \neq m_s$, las rectas no son paralelas, luego son secantes, luego se intersecan en un punto del plano $I$.
Vamos a calcular ahora las coordenadas del punto de intersección; para ello, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación ( equivalente a cualquiera de las dos ) $2\,y=0$ y por tanto $y_I=0$. Sustituyendo ahora en una de las dos ecuaciones originales, pongamos que en la primera, encontramos $0=x-1$, cuya solución es $x=1$, esto es, $x_I=1$. Por consiguiente, el punto de intersección de las dos rectas es $I(1,0)$. $\square$
$r:\,y=x-1$
$s:y=-x+1$
Teniendo en cuenta el valore de la pendiente y el de la ordenada en el origen de cada una de las rectas, estúdiese la incidencia de las mismas. Si procediese, calcúlense las coordenadas del punto de intersección de las mismas.
SOLUCIÓN. Las pendientes son $m_r=1$ y $m_s=-1$; como $m_r \neq m_s$, las rectas no son paralelas, luego son secantes, luego se intersecan en un punto del plano $I$.
Vamos a calcular ahora las coordenadas del punto de intersección; para ello, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación ( equivalente a cualquiera de las dos ) $2\,y=0$ y por tanto $y_I=0$. Sustituyendo ahora en una de las dos ecuaciones originales, pongamos que en la primera, encontramos $0=x-1$, cuya solución es $x=1$, esto es, $x_I=1$. Por consiguiente, el punto de intersección de las dos rectas es $I(1,0)$. $\square$
Puntos de la gráfica de una función
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=6\,x+7$. Averíguese si los siguientes puntos están en la gráfica de dicha función: $A(\frac{1}{2},10)$, $B(-2,-4)$, $C(-\frac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
SOLUCIÓN.
$f(x_A)=f(\frac{1}{2})=6 \cdot \dfrac{1}{2}+7=3+7=10=y_A$, luego $A$ está en la gráfica de $f$
$f(x_B)=f(-2)=6 \cdot (-2)+7=-12+7=-5\neq -4=y_B$, luego $B$ no está en la gráfica de $f$
$f(x_C)=f(-\frac{1}{3})=6 \cdot (-\dfrac{1}{3})+7=-2+7= 5\neq \dfrac{1}{2}=y_C$, luego $C$ no está en la gráfica de $f$
$\square$
SOLUCIÓN.
$f(x_A)=f(\frac{1}{2})=6 \cdot \dfrac{1}{2}+7=3+7=10=y_A$, luego $A$ está en la gráfica de $f$
$f(x_B)=f(-2)=6 \cdot (-2)+7=-12+7=-5\neq -4=y_B$, luego $B$ no está en la gráfica de $f$
$f(x_C)=f(-\frac{1}{3})=6 \cdot (-\dfrac{1}{3})+7=-2+7= 5\neq \dfrac{1}{2}=y_C$, luego $C$ no está en la gráfica de $f$
$\square$
Funciones pares, impares y ni de un tipo ni del otro
ENUNCIADO. Averiguar si las siguientes funciones son pares o impares:
a) $f(x)=x^3+x$
b) $g(x)=x^4+1$
c) $h(x)=x^2+x$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función es par si $\ell(x)=\ell(-x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del eje de ordenadas ); y se dice impar si $\ell(-x)=-\ell(x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del origen de coordenadas ). Desde luego, hay funciones que no son pares ni impares. Veamos qué sucede con las funciones propuestas.
a)
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$, luego $f$ es impar
b)
$g(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=g(x)$, luego $g$ es par
c)
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq f(x)$, luego $f$ no es par
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq -f(x)$, luego $f$ no es impar
$\square$
a) $f(x)=x^3+x$
b) $g(x)=x^4+1$
c) $h(x)=x^2+x$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función es par si $\ell(x)=\ell(-x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del eje de ordenadas ); y se dice impar si $\ell(-x)=-\ell(x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del origen de coordenadas ). Desde luego, hay funciones que no son pares ni impares. Veamos qué sucede con las funciones propuestas.
a)
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$, luego $f$ es impar
b)
$g(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=g(x)$, luego $g$ es par
c)
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq f(x)$, luego $f$ no es par
$h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq -f(x)$, luego $f$ no es impar
$\square$
jueves, 4 de mayo de 2017
miércoles, 26 de abril de 2017
Cálculo de diversas magnitudes en un triángulo rectángulo, empleando los siguientes teoremas: de Pitágoras, de la altura, y del cateto
ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $1$ y $2$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
Cálculo de la diferencia horaria entre dos puntos de la superficie de la Tierra de distinta longitud
ENUNCIADO. En un punto $A$ de la superficie de la Tierra cuya coordenada de longitud es $3^{\circ}\, 40^{'}\,\text{W}$ son las $09:25$ horas. ¿ Qué hora es ( en ese mismo instante ) en otro punto $B$ de longitud $21^{\circ}\, 26^{'}\,\text{E}$ ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Volumen y área del desarrollo plano de un cono. Trazado del desarrollo plano de un cono.
ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $3$ decímetros, y generatriz igual a $5$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
d) El área total del desarrollo plano de dicho cono
e) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
ENUNCIADO.
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
d) El área total del desarrollo plano de dicho cono
e) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
ENUNCIADO.
lunes, 24 de abril de 2017
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIDO. El valor del primer término de una sucesión aritmética es $3$ y el valor del cuarto término es $-6$. Se pide:
a) El valor del décimo término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) El valor del décimo término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
Un ejercicio sobre sucesiones geométricas
ENUNCIADO.
El valor del tercer término de una sucesión geométrica es $8$ y el del quinto término es $32$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN.
El valor del tercer término de una sucesión geométrica es $8$ y el del quinto término es $32$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN.
jueves, 23 de marzo de 2017
martes, 21 de marzo de 2017
Conos. Relaciones métricas.
ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $6$ decímetros, y generatriz igual a $10$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono
SOLUCIÓN.
Calculo de la diferencia horaria entre dos puntos de la Tierra de diferente longitud
ENUNCIADO. En un punto $A$ de la superficie de la Tierra de longitud $20^{\circ}\, 10^{'}\,\text{E}$ son las $11:15$ horas. ¿ Qué hora es ( en ese mismo instante ) en otro punto $B$ cuya longitud es $10^{\circ}\, 40^{'}\,\text{W}$ ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Triángulos rectángulos. Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto
ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo
SOLUCIÓN.
lunes, 20 de marzo de 2017
Cálculos en un prisma recto de base rectangular
ENUNCIADO. Considérese un prisma recto de base rectangular, cuyas aristas de distinta longitud miden $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho cuerpo en el espacio, con sus datos
b) El volumen que ocupa dicho cuerpo en el espacio. Si se tratase de un depósito, ¿ cuál sería su capacidad ?
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano de dicho cuerpo ( con todas sus caras )
d) El área total de su desarrollo plano
e) La longitud de la diagonal de dicho prisma
SOLUCIÓN.
Cálculo del volumen de un tronco de cono
ENUNCIADO. Considérese un depósito que tiene forma de tronco de cono, con los siguientes datos: radio de la base mayor ( circular ) igual a $2$ metros; radio de la base menor ( circular ) igual a $1$ metro, y distancia perpendicular entre las bases igual a $1$ metro. Se pide:
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
a) Un dibujo esquemático de dicho tronco de cono, con sus datos
b) La capacidad ( en litros ) del depósito
SOLUCIÓN.
lunes, 6 de marzo de 2017
domingo, 5 de marzo de 2017
sábado, 4 de febrero de 2017
Una sencilla aplicación de las sucesiones aritméticas al problema del interés simple
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés simple durante $10$ años, con una tasa de interés anual del $1\,\%$. Se pide:
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
Un sencillo ejercicio sobre el problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés compuesto durante $5$ años, con una tasa de interés anual del $2\,\%$. Se pide:
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. El segundo término de una sucesión aritmética es $3$ y el cuarto término es $4$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
viernes, 3 de febrero de 2017
Un ejercicio con sucesiones geométricas
ENUNCIADO. El tercer término de una sucesión geométrica es $\dfrac{1}{2}$ y el quinto término es $\dfrac{1}{8}$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
Escribiendo términos consecutivos
ENUNCIADO. Escríbanse dos términos más de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
martes, 31 de enero de 2017
Un ejercicio sobre sucesiones geométricas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión geométrica se sabe que el valor del primer término es $\dfrac{1}{4}$ y el del quinto es $4$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
-oOo- Aquí tenéis también el texto de la solución:
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$
$a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$
y
$a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:
$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$
$=\dfrac{1\,048\,575}{4}$
$\square$
Un ejercicio sobre sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. De una cierta sucesión aritmética se sabe que el valor del primer término es $-1$ y el del séptimo es $1$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión
SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$
Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$
Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$
Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:
$a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$
$a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$
y
$a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$
b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.
Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:
$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$
$=1\,550$
$\square$
lunes, 30 de enero de 2017
Rebotes
ENUNCIADO. Una pelota se deja caer, en vertical, desde $30$ metros de altura. Así que va rebotando en el suelo, subiendo y bajando, de manera que tras cada rebote ( en el suelo ) alcanza una altura igual a $4/5$ de la altura desde la que ha caído en la etapa anterior. Se pide:
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?
SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros
b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:
i) $30$ metros de bajada
ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]
Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$
$\square$
lunes, 16 de enero de 2017
Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )
SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).
Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.
Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$
Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$
Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano
b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$
$\square$
Comparando aproximaciones de varias cantidades según sus respectivas precisiones
ENUNCIADO. Se aproxima el número $16\,358$ por $16\,000$; y el número $1\,210$ por el número $1\,000$. Calcular el error absoluto y el error relativo de ambas aproximaciones. Decir razonadamente cuál de las dos aproximaciones es más precisa.
SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
$\square$
SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
$\square$
Resolviendo ecuaciones polinómicas
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que
$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$
b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:
$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir
$6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$
$3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$
$6-3\,x-2\,x -10=3-x$
$6-10-3=3\,x+2\,x-x$
$-7=4\,x$
$x=-\dfrac{7}{4}$
$\square$
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que
$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$
b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:
$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir
$6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$
$3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$
$6-3\,x-2\,x -10=3-x$
$6-10-3=3\,x+2\,x-x$
$-7=4\,x$
$x=-\dfrac{7}{4}$
$\square$
¿ Es o no es una raíz ?
ENUNCIADO. Averiguar si $x=-1$ es una raíz del polinomio $$P(x)=x^5+3x^4+4\,x^3+4\,x^2+3\,x+1$$
SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
$=-1+3-4+4-3+1$
$=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
$=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
$=-1+3-4+4-3+1$
$=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$
Resolviendo problemas mediante el álgebra
Plantear algebraicamente el siguiente problema y resolver el sistema de ecuaciones resultante:
ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?
Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
$\square$
ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?
Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.
SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
$\square$
Fracciones
ENUNCIADO. En la primera etapa de una excursión, Marta ha recorrido dos terceras partes del trayecto y en la segunda etapa una cuarta parte del resto. Para terminar la excursión aún le faltan $5$ kilómetros. ¿ Cuál es la longitud total del trayecto ?.
SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$
miércoles, 21 de diciembre de 2016
Empleando el método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método algebraico llamado de reducción: $$\left\{\begin{matrix}2x & - & 3y & = & 1 \\ 3x & + & 2y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método gráfico ( geométrico ): $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 1 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 19 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Sea un número entero positivo de dos cifras cuya suma es $9$. Si lo escribimos del revés ( las unidades como decenas y las decenas como unidades ), obtenemos otro número que es $45$ unidades mayor que el original. ¿ Cuál es ese número ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
Empleando el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
martes, 6 de diciembre de 2016
Resolviendo ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
Escribiendo expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Escribir el polinomio que determina el valor del área de un trapecio rectángulo, de bases $x$ y $x+2$, y tal que la distancia perpendicular entre dichas bases es de $3$ centímetros.
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
Un ejercicio de traducción del lenguaje usual al lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Escribir la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es la mitad de la altura.
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
lunes, 5 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Al aumentar $9$ centímetros el lado de un cierto cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área es $657$ centímetros cuadrados mayor que el área del cuadrado original. ¿ Cuál es el área de dicho cuadrado ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
Resolviendo ecuaciones polinómicas de segundo grado
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$(x-2)^2=(x-3)^2+48$$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Hallar los dos números cuya suma es $49$, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es $931$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo ecuaciones del tipo producto de binomios igualado a cero
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$(x+3)\cdot (x+14)=0$$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
Desarrollando expresiones algebraicas, empleando las identidades notables
ENUNCIADO. Simplificar la siguiente expresión $$(2x^2+9)\cdot (2x^2-9)-(x+3x^2)\cdot (x-3x^2)$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Aplicando las identidades notables para desarrollar expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Desarrollar la siguiente expresión $$(x^3-x)^2$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Averiguando si un cierto número es una raíz de un polinomio dado
ENUNCIADO. Averiguar si $x=-2$ es una raíz del polinomio $$P(x)=-3x^2+3x+18$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 28 de noviembre de 2016
Cálculo de probabilidades en relación al juego del dominó
ENUNCIADO. Se elege al azar una ficha de un juego de dominó. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que en la ficha elegida aparezca el número $0$ ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dicha ficha sea igual a $6$ ?
SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas del juego del dominó aparecen en la siguiente tabla
a)
Todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, luego podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. El número total de fichas es $N=28$, y el número de fichas en las que aparece un '0' es $7$, así que la probabilidad de que en la ficha elegida al azar haya un '0' es
$P(\text{"salga un '0' al extraer una ficha"})=\dfrac{N(\text{número de fichas en las que sale un '0'})}{N}$
$=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4} = 25\,\%$
b)
Los valores que se pueden dar al sumar los dos números que aparecen en las fichas del dominó están en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,12\}$ En esta segunda tabla se han anotado el valor de la suma de todas las fichas, correspondiendo las posiciones a las de las fichas representadas en la primera tabla
Haciendo el recuento de dichos valores podemos elaborar la siguiente con el
$\square$
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que en la ficha elegida aparezca el número $0$ ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dicha ficha sea igual a $6$ ?
SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas del juego del dominó aparecen en la siguiente tabla
06 05 16 04 15 26 03 14 25 36 02 13 24 35 46 01 12 23 34 45 56 00 11 22 33 44 55 66
a)
Todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, luego podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. El número total de fichas es $N=28$, y el número de fichas en las que aparece un '0' es $7$, así que la probabilidad de que en la ficha elegida al azar haya un '0' es
$P(\text{"salga un '0' al extraer una ficha"})=\dfrac{N(\text{número de fichas en las que sale un '0'})}{N}$
$=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4} = 25\,\%$
b)
Los valores que se pueden dar al sumar los dos números que aparecen en las fichas del dominó están en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,12\}$ En esta segunda tabla se han anotado el valor de la suma de todas las fichas, correspondiendo las posiciones a las de las fichas representadas en la primera tabla
6 5 7 4 6 8 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12
Haciendo el recuento de dichos valores podemos elaborar la siguiente con el
valor de la suma número de veces que aparece
---------------- ---------------------------
0 1
1 1
2 2
3 2
4 3
5 3
6 4
7 3
8 3
9 2
10 2
11 1
12 1
--------------------------
N = 28
Entonces, pensando el espacio muestral formado por el conjunto de fichas ( con el correspondiente par de puntuaciones en cada una ), y teniendo en cuenta que cada ficha tiene la misma probabilidad de ser elegida, la probabilidad pedida es $$P(\text{'suma=6'})=\dfrac{N(\text{'6'})}{N}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7} \approx 0,1429 \sim 14\,\%$$$\square$
miércoles, 23 de noviembre de 2016
Estableciendo qué cantidad es mayor que otra
ENUNCIADO. ¿ Qué es mayor $\displaystyle 2^{3^{2^{3}}}$ ó $2^{2^{3^{2}}}$ ?
SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$
domingo, 20 de noviembre de 2016
Planteando y resolviendo problemas con fracciones
ENUNCIADO. En la primera etapa de un viaje en automóvil se ha gastado una cuarta parte del depósito ( inicialmente lleno ); y, en la segunda y última etapa, tres quintas partes de lo que había quedado en la primera etapa. Al final del viaje había $18$ litros de combustible en el depósito. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
SOLUCIÓN. Se ha gastado $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{14}{20}$ partes del depósito ( inicialmente lleno ), luego los $18$ litros corresponden a $1-\dfrac{14}{20}=\dfrac{6}{20}$ partes del combustible que había en el depósito al empezar el viaje. Sabiendo ésto, para calcular la capacidad $x$ de dicho depósito basta plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{6}=\dfrac{x}{18}$$ con lo cual $$x=\dfrac{20\cdot 18}{6}=60 \; \text{litros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Se ha gastado $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{14}{20}$ partes del depósito ( inicialmente lleno ), luego los $18$ litros corresponden a $1-\dfrac{14}{20}=\dfrac{6}{20}$ partes del combustible que había en el depósito al empezar el viaje. Sabiendo ésto, para calcular la capacidad $x$ de dicho depósito basta plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{6}=\dfrac{x}{18}$$ con lo cual $$x=\dfrac{20\cdot 18}{6}=60 \; \text{litros}$$
$\square$
domingo, 23 de octubre de 2016
Un problema en el que se aplica la notación científica para hacer los cálculos con comodidad
ENUNCIADO. La luz recorre aproximadamente $300\,000$ kilómetros en $1$ segundo, en el espacio interestelar. La distancia que recorre la luz en $1$ año se toma como una unidad de longitud en astronomía, a la que llamamos año luz. La distancia de nuestro Sol a la estrella Proxima Centauri es de $4,22$ años luz. Exprésese esta distancia en kilómetros, escribiéndola en notación científica. NOTA: Todas los datos del problema, salvo la duración del año terrestre en días ( terrestres), se consideran exactos.
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
Otro ejercicio de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Expresar los términos en fracción y calcular la fracción resultante irreducible: $$(2,\overset{\frown }{36}+2,\overset{\frown}{3})\cdot 0,5-2,3\overset{\frown}{6}$$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
$\square$
Aproximaciones y errores
ENUNCIADO. El número de localidades ocupadas en un partido de fútbol fue de $24\,875$. Desde las gradas, un asistente estimó en $25\,000$ el número de espectadores. Se pide:
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
$\square$
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
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Ejercicios varios de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Calcular sin emplear la calculadora:
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$
Un problema en el que se aplican las fracciones
ENUNCIADO. Juan ha gastado $\dfrac{2}{5}$ partes de su paga en adquirir unas entradas para un concierto y $\dfrac{3}{4}$ del resto en comprarse ropa de deporte. Sabiendo que le quedan $27$ euros, calcula el importe de la paga de Juan.
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
$\square$
sábado, 1 de octubre de 2016
Trasllat d'una mesura angular
En aquest cas, les paraules són gaiarebé balderes:
Nota: el regle només s'ha fet servir per traçar el costats dels angles. Obviament, no cal que sigui un regle graduat.
$\square$
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