Un cono tiene una altura de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un con té una altura igual a $4\, \text{m}$, i, el radi de la base mesura $2\, \text{m}$. Calculeu l'angle que abasta el sector circular corresponent a la superfície lateral del desenvolupament pla. Calculeu també l'àrea de la superfície lateral del con.

Solució:
Per calcular l'angle $\alpha$ del sector circular (que és l'àrea lateral del desenvolupament pla), que te radi igual a la generatriu del con, cal plantejar una proporció directa entre l'amplitud angular i la longitud de l'arc:
    $\dfrac{\alpha}{2\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\pi\,g} \Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ} \quad \quad (1)$

Caldrà, doncs, calcular la longitud de la generatriu, $g$, que, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que es configura en tallar el con per un pla diametral, s'escriu
    $g^2=r^2+h^2$   ( $h$ és l'altura del con )
és a dir
    $g^2=2^2+4^2 \Rightarrow g=2\,\sqrt{5}$
Llavors, de (1)
    $\alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ}$
      $ = \dfrac{2}{2\,\sqrt{5}}\,360^{\circ}\approx 80^{\circ}$
Per calcular l'àrea de la superfície lateral del con ( del sector circular de la figura ) tornarem a fer ús de la relació de proporcionalitat directa entre la longitud d'arc i l'àrea:
    $\dfrac{\mathcal{A}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g} \Rightarrow \mathcal{A}=\pi\,r\,g$
I, donades les dades del problema, el seu valor és
    $\mathcal{A}=\pi \, 2 \cdot 2\,\sqrt{5}$
          $=4\,\sqrt{5}\,\pi \, \text{m}^2$
          $\approx 29\, \text{m}^2$
$\square$

[nota del autor]

Consideremos dos polígonos semejantes tal que la razón de sus perímetros es $3$ ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dos polígons semblants. La raó dels seus perímetres és igual a $3$. L'àrea del més petit és igual a $5\,\text{m}^2$. Quant val l'àrea del més gran ?.

Enunciat:
Si la raó dels seus perímetres és $3$, la raó de semblança, $r$, és també igual a $3$; per tant, la raó aritmètica entre les àrees és igual a $r^2$, que és $3^2=9$.
És a dir, de
    $\dfrac{\mathcal{A}_{gran}}{\mathcal{A}_{petit}}=r^2$
obtenim
    $\mathcal{A}_{gran}=3^2\cdot 5$
                $=45 \, \text{m}^2$
$\square$

[nota del autor]

Sean dos esferas; el radio de la primera es el triple que el de la segunda ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dues esferes $E_1$ i $E_2$. El radi $r_1$ de la primera és tres vegades més gran que el radi $r_2$ de la segona. Quantes vegades és més gran el volum de le primera que el de la segona ? Quantes vegades és més gran l'àrea de la superfície de la primera que la de la segona ?.

Solució:
El volum d'una esfera de radi $r$ es calcula de la següent manera
    $\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$
i l'àrea de la superfície d'una esfera es calcula fent
    $\mathcal{A}=4\pi\,r^2$

Tenint en compte que
    $\dfrac{r_1}{r_2}=3$
veiem que la raó aritmètica entre els volums és igual a ( simplificant les expressions )
    $\dfrac{\mathcal{V}_1}{\mathcal{V}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^3=3^3=27$
és a dir, el volum de la primera esfera és $27$ vegades més gran que el de la segona.
I, pel que fa a la raó aritmètica entre les àrees,
    $\dfrac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^2=3^2=9$
per tant, veiem que l'àrea de la primera esfera és $9$ vegades més gran que el de la segona.

$\square$

[nota del autor]

Un ciclista ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Observem un ciclista en una bicicleta de muntanya ( el diàmetre de les rodes és de $26 \,\text{polzades}$ - encara avui és habitual fer servir les imperial units quan parlem del diàmetre de les rodes de les bicicletes - , és a dir, $660\,\text{mm}$ en el sistema mètric ) i veiem que fa $1$ pedalada cada segon, en un terreny horitzontal ( sense pujades ni baixades ), sempre al mateix ritme i, per tant, a velocitat constant. Sabem que al canvi de la seva bicicleta, el ciclista ha seleccionat un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents [ com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere ]. Us demanem:
    a) A quina velocitat es desplaça aquest ciclista ?
    b) Quant de temps li caldrà per completar un recorregut de $15\,\text{km}$ pel mateix tipus de terreny ( sense pujades ni baixades, mantenint el ritme de les pedalades ) ?.

Solució:
a)
[a.1]     Primer de tot, calcularem la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i, tal com s'ha explicat en d'altres problemes, les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra perquè la velocitat de gir d'una de les les dues rodes engranades per la cadena és tan més gran com més petit és el seu nombre de dents. Designem per $w_p$ la velocitat de gir del plat i per $w_c$ la velocitat de gir de la corona, i, anomenem $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona. Llavors, per la relació de proporcionalitat inversa podem platejar
    $\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
    $w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
    $52 \cdot 1 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
    $w_c= \dfrac{52 \cdot 1}{13} $
            $= 4 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$

[a.2]     A continuació, sabent quant val la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i coneixent també la mesura del diàmetre de les rodes, podem calcular la velocitat a la qual es desplaça: la velocitat lineal d'un punt de la circumferència d'una roda ha de ser igual a la velocitat de translació de la bicicleta, atès que, en bona lògica, suposem que el desplaçament es produeix sense que hi hagi lliscament.

Com que la longitud de la circumferència del contorn de la roda és igual a $\pi\cdot d$ ( on $d$ representa el diàmetre de la roda ), raonem de la manera següent: donat que en $1\,\text{s}$ les rodes completen $4$ voltes, i, per cada volta, la bicicleta es desplaça una longitud igual a
    $\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
llavors, fent $4$ voltes de roda en aquest interval de temps, la bicicleta recorre
    $4\,\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
que, donada la dada del diàmetre, és igual aproximadament a
    $8\,294 \quad \text{mm}=8,294 \quad \text{m} \approx 8,294 \quad \text{km} $
és a dir, es desplaça a una velocitat de
    $8,294 \; \dfrac{\text{km}}{s}$
que, expressada en quilòmetres per hora, és aproximadament igual a
    $30 \; \dfrac{\text{km}}{h}$

b)
    Sabent a quina velocitat es mou podem calcular, ara, el temps $t$ que tardarà a recórrer una longitud de $30\,\text{km}$; per això, plantejarem una senzill proporció que, ara, és directa ( entre les magnituds temps i longitud ) atès que quan el valor d'una d'aquestes augmenta ( disminueix, respectivament ) l'altra també augmenta ( disminueix, respectivament), és a dir, prenent el valor aproximat de la velocitat expressada en quilòmetres per hora, que hem calculat a l'apartat anterior, escriurem la següent proporció, que, donat que és directa hem decidit posar els valors de la longitud als denominadors i les quantitats de temps als numeradors ( d'un i altre membre)
    $\dfrac{1}{30}=\dfrac{t}{15} \Rightarrow t = 0,5 \, \text{h}=30 \, \text{min}$

Nota:     Observem que l'equació expressa la igualtat entre les dues raons aritmètiques ( de cada membre ), que representen les velocitats i que, naturalment, han de ser iguals.
$\square$

[nota del autor]

Interés simple y compuesto ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el capital inicial $C_0$ i els interessos que dóna $I$ sabent que, aquest capital inicial invertit a una taxa d'interès anual $i$ del $5\,\%$, produeix en $4$ anys un capital final $C_n$ de $1\,500 \; \text{euros}$, tenint en compte que els càlculs es fan d'acord amb els següents models:
  a) interès simple
  b) interès compost

Solució:
a)
Segons el model d'interès simple,
    $C_n=C_{0}\,n\,i+C_0$
expressió que també es posar així
    $C_n=C_{0}\big(\,n\,i+1\big)$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
    $1500=C_{0}\big(4\cdot 0,05+1\big)$
i resolent l'equació
    $C_0=\dfrac{1500}{1,2} = 1250 \,\text{euros}$

Per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
    $I=C_n-C_0$
      $=1500-1250$
      $=250 \, \text{euros}$

b)
Segons el model d'interès compost,
    $C_n=C_{0}\,(1+i)^n$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
    $1500=C_{0}\big(1+0,05\big)^4$
i resolent l'equació
    $C_0 = \dfrac{1500}{1,05^4} \approx 1234,05 \,\text{euros}$

De la mateixa manera que en l'apartat anterior, per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
    $I=C_n-C_0$
      $=1500-1234,05$
      $=265,95 \, \text{euros}$

$\square$

[nota del autor]

Depositamos una cierta cantidad de dinero a interés simple ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional d'aquesta quantitat inicial, que designem per $i$ ( en tant per u ) i que anomenem taxa d'interès ( referida a l'interval de temps establert ). Quin és el valor de la quantitat acumulada $C_n$ a l'n-èssim interval ? Quin benefici ( interès simple produeix aquesta quantitat $C_0$ en $n$ intervals de temps iguals ?

Solució:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$
Al final del segon interval, trobem $C_{0}+ C_0\,i+C_0\,i=C_0+2\,C_0\,i$
Al final del tercer interval, $C_0+2\,C_0\,i+C_0\,i=C_0+3\,C_0\,i$
i així successivament fins al final de l'n-èssim interval ( d'acord amb la regla de formació del valor dels termes d'una successió aritmètica ), en què queda acumulada la quantitat $C_n=C_{0}+ n\,C_0\,i$
Per tant, el benefici ( que recordem que s'anomena interès simple i que designarem per $I$ ) és igual a
$\big( C_{0}+ n\,C_0\,i \big) - C_0$
i, simplificant, queda
$I=n\,C_{0}\,i$
$\square$

[nota del autor]

Una sucesión aritmética de la cual se conoce la diferencia y el valor del primer término ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del primer terme $a_1$, determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim
    b) l'expressió de la suma dels $n$ primers termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_1$
    $a_{2}=a_{1}+ d$
    $a_{3}=a_{2} +d =a_1 +d+d=a_{1}+2\,d$
    $a_{4}=a_{3}+d=a_2 +2\,d+d=a_1 +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
    $a_{n} = a_1+(n-1)\,d \quad \quad (1)$
    $\text{on} \; \; n = 1,2,3,\ldots$

b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
    $S_{n\,\text{termes consecutius}} = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
    $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
    $S_{n\,\text{termes consecutius}}=(a_{1}+a_{n})\cdot \dfrac{n}{2} \quad \quad (2)$

$\square$

[nota del autor]

Considar dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre les àrees és igual a la raó de semblança $r$ elevada al quadrat.

Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents que designem com a bases, $b$ i $b'$ és igual a $r$, i, semblantment, la raó aritmètica entre les longituds dels segments altura d'aquestes bases, $h$ i $h'$, també és igual a $r$:
    $r=\dfrac{b'}{b} \quad \quad (1)$
    $r=\dfrac{h'}{h} \quad \quad (2)$
Tenint en compte que les àrees respectives es calculen de la forma
    $\mathcal{A}=\dfrac{b\,h}{2} \quad \quad (3)$
i
    $\mathcal{A'}=\dfrac{b'\,h'}{2} \quad \quad (4)$
dividint membre a membre (4) entre (3) trobem
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{b'\,h'}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
Tenint en compte (1) i (2)
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{(r\,b)\,(r\,h)}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
i, simplificant, queda
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
$\square$
Nota 1:   El resultat s'estén a la raó entre les àrees de dos poligons semblants qualssevol, atès que tot poligon es pot descompondre en un conjunt de triangles ( com un puzzle ) i, doncs, l'àrea del poligon és igual a la suma de les àrees d'aquests triangles.

Nota 2:   El resultat s'estén - encara més - a les figures semblants el contorn de les quals és una corba contínua no entrellaçada i tancada ( un cercle, per exemple); i això, perquè la corba es pot aproximar per una línia poligonal amb un nombre de vèrtexs tan elevat com vulguem [ prenent-los, a més a més, tan propers els un als altres com desitgem ]. És evident que l'àrea del recinte poligonal tendirà a ser igual al del recinte tancat per la corba, amb precisió il·limitada.

Nota 3:   Recordem - d'altres exercicis i d'altres comentaris - que la raó entre les longituds de segments corresponents de dues figures semblants és igual a la raó de semblança
    $\dfrac{l'}{l}=r$
i que, ara, acabem de demostrar que la raó aritmètica entre les àrees de dues figures semblants ( tancades ) és igual a la raó de semblança elevada al quadrat
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
Estenent aquests resultats a una dimensió més ( pensant en els volums dels cossos a l'espai tridimensional ), és natural arribar a la següent generalització: la raó arimètica entre els volums de dos cossos semblants ( políedres, cossos de revolució, etcètera ) és igual a la raó de semblança elevada al cub,
    $\dfrac{\mathcal{V'}}{\mathcal{V}}=r^3$
$\square$

[nota del autor]

Sean dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre els perímetres també és igual a la raó de semblança $r$.

Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents són iguals a la raó de semblança (Teorema de Tales)
    $r=\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}$
llavors, per les propietats de les proporcions, també es compleix que
    $\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
és a dir
    $r=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
I, donat que el numerador de la raó de la darrera fracció de la tercera desigualtat és igual al perímetre de $\triangle{A'B'C'}$, i, el denominador és igual al perímetre de $\triangle{ABC}$, es compleix que
    $\dfrac{\mathcal{P}'}{\mathcal{P}}=r$
$\square$
Nota:   El resultat s'estén a dues línies poligonals semblants de $n$ vèrtexs; per tant, també s'estén a dues corbes semblants, atès que podem fer l'aproximació de qualsevol corba continua per una poligonal, amb precisió ilimitada [ prenent tants vèrtexs com vulguem, i tan propers els un als altres com desitgem ].

[nota del autor]

En una bicicleta, ponemos la siguiente combinación de piñón y platos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una bicicleta, posem la següent marxa: un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents. Com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere. La pregunta que us plantegem, ara, és la següent: per cada tres voltes que fa el plat, quantes voltes fa la corona ?.

Solució:
Les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals perquè la velocitat de gir és tan més gran com més petit és el nombre de dents. Anomenant $w_p$ a la velocitat de gir del plat, $w_c$ a la de la corona; $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona, podem platejar la següent proporció inversa,
    $\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
    $w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
    $52 \cdot 3 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
    $w_c= \dfrac{52 \cdot 3}{13} $
            $= 12 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$
$\square$

[nota del autor]

Una conducción de agua aporta dos litros cada minuto ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una conducció aporta aigua a raó de dos litres cada minut i tarda vint hores a omplir una dipòsit. Disposem també d'una segona conducció que pot aportar cinc litres d'aigua cada dos minuts. Si decidim omplir el dipòsit obrint totes dues conduccions a la vegada, quant de temps caldrà ?.
Nota:   Us demanem que resolgueu el problema sense passar pel calcul preliminar de la capacitat del dipòsit.

Enunciat:
Les magnituds relacionades en aquest problema són el cabal d'aigua, $\mathcal{C}$, que expressa la quantitat d'aigua per unitat de temps, i el temps d'ompliment del dipòsit, $\mathcal{T}$. Ambdues magnituds són proporcionals, i donat que com més aigua per unitat de temps ( cabal ) entra al dipòsit, menys temps caldrà per tenir-lo ple, la proporció entre aquestes dues magnituds és inversa.

Sigui $c$ el valor del cabal de la primera conducció i $c'$ la suma dels cabals de la primera i de la segona; $t$ el valor del temps que necessita la primera conducció per omplir-lo ( tota sola ) i $t'$ el temps que es necessita per tal que totes dues conduccions, obertes a la vegada, omplin el dipòsit. S'escau plantejar la següent proporció:
    $\dfrac{t}{\frac{1}{c}}=\dfrac{t'}{\frac{1}{c'}}$
que, operant a cada membre, també podem expressar de la forma
    $t \cdot c =t' \cdot c'$

Llavors, posant les dades de l'enunciat
    $c=2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
    $t=20 \, \text{h}=1200 \, \text{min}$
    $c'=\bigg(2+\dfrac{5}{2} \bigg) \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}=4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
    $t'=\text{?}$
podem escriure la següent equació
    $t'=\dfrac{1200\cdot 2}{4,5}$
        $= 533.\bar{3} \; \text{min}$
        $\approx 8 \, \text{h} \; 52 \, \text{min}$

Observació/comprovació del resultat:   Havent arribat ja a la solució, sí que és interessant, ara, resoldre el problema calculant en primer lloc la capacitat del dipòsit i, a partir, d'aquest resultat preliminar i del cabal total, comprovar si el resultat obtingut coincideix amb el que hem obtingut respectant el requeriment de la nota de l'enunciat.
La capacitat del dipòsit l'obtenim amb les dades de la primera conducció i és igual a
    $2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} \cdot 1200 \, \text{min}=2400 \, \text{l}$
Llavors, tenint en compte que el cabal, amb les dues conduccions, és
    $4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
el temps que caldrà per omplir el dipòsit amb les dues conduccions obertes a la vegada serà de
    $2400 \, \text{l} \div 4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} = 533,\bar{3} \, \text{min}$
i que coicideix, efectivament, amb el resultat anterior.

$\square$

[nota del autor]

Sobre isometrías y homotecias (...) Responder de forma concisa ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Doneu una resposta concisa ( breu i clara): a) Tipus d'isometries ( o moviments ) en el pla; b) Quina diferència hi ha entre una isometria ( o moviment ) i una homotècia ?; c) Quina transformació s'obté de composar una isometria ( moviment ) amb una homotècia ?.

Solució:
a)
Les isometries o moviments poden ser: translacions, girs, i simetries ( respecte d'una recta, o també, respecte d'un punt ).

b)
Una isometria conserva la forma de la figura i també la grandària; una homotècia, però, per bé que conservi la forma, canvia la grandària ( redueix o bé amplia ) si la raó de l'homotècia $k$ és diferent de $\pm 1$.

c)
El resultat de composar una isometria amb una homotècia és una semblança, una figura de la mateixa forma que l'original ( però: traslladada, girada, o transformada segons una simetria de mirall ), que conserva la forma, però no necessàriament la grandària.

$\square$

[nota del autor]

Clasifíquense los siguiente sistemas de ecuaciones según su solución ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu els següents sistemes d'equacions:
    a)
          $\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
    b)
          $\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
    c)
          $\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$

Solució:
    a)
          $\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
Els primers membres d'ambdues equcions són iguals, llavors els segons membres també ho ha de ser, però, en igualar-los, ens trobem amb una contradicció: $1=2$. Concloem que el sistema és incompatible ( no té solució ).

    b)
          $\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
La segona equació és igual a la primera multiplicada per $-2$, per tant el sistema equival a una sola equació amb dues incòngnites $3\,x-y=4$ i en donar valors arbitraris a una de les dues (variable secundària), l'altra (la variable principal) pren el valor que l'estructura de l'equació li fa correspondre. Com que podem donar infinits valors a la variable secundària, hi ha infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat.

    c)
          $\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Aquest sistema és compatible determinat; li correspon un sol valor a la variable $x$ i un sol valor a la variable $y$, valors que podem calcular fàcilment, en aquest cas, perquè si sumem terme a terme ambdós membres de les equacions obtenim l'equació $2\,x=0$ (equació equivalent a cada una de les dues) de la qual deduïm que $x=0$ i, substituint aquest valor en una de les dues originals, trobem que $y=1$.
$\square$

[nota del autor]

Realizar los siguientes cálculos de forma exacta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu el resultat exacte (evitant els truncaments o arrodoniments decimals) que surt de l'operació següent
                  $(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots) $

Solució:
Els dos nombres decimals que representen els factors del producte corresponen a nombres racionals ( atès que són nombres decimals periòdics ); per tant, malgrat hi hagi un nombre infinit de xifres en les parts decimals, podem arribar al resultat exacte determinant, primer de tot, les expressions fraccionàries:

      $2,14444\ldots = 2,1\bar{4}=\dfrac{214-21}{90}=\dfrac{193}{90}$   ( nombre decimal periòdic mixt )

      $0,33333\ldots = 0,\bar{3}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$   ( nombre decimal periòdic pur )

Llavors,
      $(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots)=$

          $= \dfrac{193}{90} \cdot \dfrac{1}{3}$

          $= \dfrac{193}{270}$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent equació de segon grau:
    $x^2+\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{1}{3}=0$

Enunciat:
Multiplicant a cada costat de l'igual per $6$ arribem a una equació equivalent més senzilla
    $6\,x^2+x-2=0$
de coeficients $a=6$, $b=1$ i $c=-2$
Llavors, per la fórmula de la solució de l'equació general completa:
    $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$
on el discriminant $\Delta$
    es calcula fent $b^2-4\,a\,c$
Trobem que
    $\Delta = -1 - 4\cdot 6 \cdot (-2)=49$
    que és més gran que zero, per tant, hi haurà dos valors diferents com a solució:
    $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{49}}{12}=\dfrac{-1 \pm 7}{12}\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}\\ \\-\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$
$\square$

Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
    $(x+y)^2=x^2+2\,x\,y+y^2$

Solució:
    $(x+y)^2=(x+y)\cdot (x+y)$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és igual a
                    $=x\cdot x + x\cdot y+ y\cdot x + y\cdot y$
i agrupant termes semblants queda
                    $=x^2 + 2\,x+y^2$
$\square$

Observació:   Si canviem el signe més de la suma dels dos monomis que formen la base de la potència al quadrat del primer membre obtindrem:
    $(x-y)^2=x^2-2\,x\,y+y^2$
i, doncs, aquesta identitat notable es generalitza de la forma
    $(x\pm y)^2=x^2 \pm 2\,x\,y+y^2$

Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27^2$ fent ús d'aquesta propietat ?
    $27^2 = (25+2)^2=25^2+2\cdot 25 \cdot 2 +2^2$
                                $=625+100+4=725+4=729$

[nota del autor]

Compruébese que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$

Solució:
En efecte,
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} = 2^{9} = 512$
i, per contra,
    $\displaystyle \big(2^3\big)^2 = 8^2 = 64 \neq 512$
per tant
    $\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$
$\square$

[nota del autor]

Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
    $(x+y)\cdot (x-y)=x^2-y^2$

Solució:
Per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, el primer membre de la igualtat, $(x+y)\cdot (x-y)$, es desenvolupa i queda igual a
                    $=x\cdot x + x\cdot y - y\cdot x - y\cdot y$
                    $=x\cdot x + x\cdot y - x\cdot y - y\cdot y$
                    $=x^2 + x\cdot y - x\cdot y - y^2$
                    $=x^2 + x\cdot y \cdot (1-1) - y^2$
                    $=x^2 + \cdot x \, y \cdot 0 - y^2$
                    $=x^2 + 0 - y^2$
                    $=x^2 - y^2$
$\square$

Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27\cdot 23$ fent ús d'aquesta propietat ?
    $27\cdot 23 = (25+2)\cdot(25-2)=25^2-2^2=625-4=621$

[nota del autor]

Un pintor puede pintar un muro en tres horas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un pintor A pot pintar un tanca en tres hores. Un company seu, que anomenarem B, la pot pintar en dues hores. Si decideixen col·laborar, treballant simultàniament, sense destorbar-se l'un a l'altre, quant de temps tardaran a pintar-la ?.

Solució:
Si A, tot sol, pinta tota la tanca en tres hores, llavors en pinta una tercera part en una hora, i, si B pinta la totalitat de la tanca ( treballant sol ) en dues hores, llavors en pinta la meitat en una hora. Per tant, en una mateixa hora, tots dos treballant simultàniament, pinten
    $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
que és igual a
    $\dfrac{5}{6}$
parts de la tanca

A partir, d'aquí, anomenem $t$ al temps que els cal per pintar-la treballant a la vegada i plategem la proporció directa corresponent:
    $\dfrac{\;t\;}{\frac{6}{6}}=\dfrac{\;1;}{\frac{5}{6}}$
és a dir
    $t=\dfrac{\;1}{\frac{5}{6}}$
      $=\frac{6}{5}$
      $=1+\frac{1}{5}$
      $=1 \; \text{h} \; 12 \; \text{min}$
$\square$

[nota del autor]

Los vértices de un triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els vèrtexs d'un triangle $\triangle{ABC}$ són els punts del pla $A(-1,1)$, $B(1,0)$ i $C(-1,-1)$. Us demanem:
  a) La construcció ( amb regle i compàs ) del triangle homotètic $\triangle{A'B'C'}$ al triangle donat $\triangle{ABC}$, amb centre d'homotècia $O(0,0)$ i raó d'homotècia $r=3$.
  b) L'àrea $\mathcal{A}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  c) L'àrea $\mathcal{A'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
  d) El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  e) El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
Nota:   L'àrea i les longitus es donen en unitats del gràfic ( unitats arbitràries ).

Solució:
a)

b)
El triangle $\triangle{ABC}$ ( igual que el seu homotètic $\triangle{A'B'C'}$ ) és un triangle isòsceles i, doncs, es divideix en dos triangles rectangles iguals, per tant la seva àrea és igual al doble de l'àrea d'un d'aquests triangles rectangles, que és igual a l'àrea d'un rectangle les longituds dels costats del qual són igual a les longituds dels catets d'un d'aquests dos triangles rectangles:
    $\mathcal{A}=1 \cdot 2 = 2 \, \text{unitats d'\`area}$

c)
Calcularem l'àra $\mathcal{A'}$ a partir de $\mathcal{A}$ ( que acabem de calcular i que val $2$ unitats d'àrea ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A}\cdot r^2$
        $=2\cdot 3^2$
        $=18 \, \text{unitats d'\`area}$

d)
El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$ és igual a la suma de les longituds dels costats
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
Tinguem en compte que $\overline{AB}=\overline{BC}$
ja que l'eix Ox, que passa per $B$, divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos t. rectangles
Llavors, com que els catets d'aquests t.r. tenen longitus $1$ i $2$, respectivament, la seva hipotenusa $AB$ mesura
    $\overline{AB}=\left| \sqrt{2^2+1^2}\right|=\left| \sqrt{5}\right|$
Per tant
    $\mathcal{P}=2\,\left| \sqrt{5}\right|+2$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $\approx 6,47 \, \text{unitats de longitud}$

e)
El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle resultant de l'homotècia, $\triangle{A'B'C'}$ es pot calcular a partir de $\mathcal{P}$ ( que acabem de calcular i que val $2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$ unitats de longitud ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P}\cdot r$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1) \cdot 3$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1) \text{unitats de longitud}$

$\square$

[nota del autor]

Demostrar la siguiente identidad notable ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Demostreu la següent identitat notable:
    $(x+y)^3=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,+y^3$
i poseu un exemple d'aplicació al càlcul mental.

Solució:
    $(x+y)^3=(x+y)^{2}\,(x+y)=(x^2+2\,x\,y+y^2)\,(x+y)$
                    $=x^3+2\,x^2\,y +x\,y^2+x^2\,y+2\,x\,y^2+y^3$
i agrupant els termes semblants arribem a l'expressió del segon membre
                    $=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,x+y^3$
$\square$

Observació:
Canviant la suma de la base del binomi per una resta, és fàcil veure que
    $(x-y)^3=x^3-3\,x^2\,y+3\,y^2\,-y^3$
Per tant es pot escriure aquesta identitat més general
    $(x\pm y)^3=x^3 \mp 3\,x^2\,y+3\,y^2\,\mp y^3$


Exemple d'aplicació al càlcul mental:     Càlcul de $12^3$

    $12^3=(10+2)^3=10^3+3\cdot 10^2 \cdot 2 + 3\cdot 2^2 \cdot 10 + 2^3$
                                $=1\,000+600+120+8=1\,728$

[nota del autor]

Un cierto número natural es mayor que ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Sabem que un determinat nombre natural és més gran que $10$ i més petit que $100$, i que la suma de les seves xifres és igual a $9$. Per altra banda, sabem també que si invertim l'ordre de les seves xifres, s'obté un altre nombre natural que, restant-lo del primer, dóna com a resultat el nombre $27$. De quin nombre natural estem parlant ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la xifra de les desenes i $y$ a la xifra de les unitats del nombre demanat. Llavors, traduint les frases de l'enunciat al llenguatge de l'àlgebra, tenim: (i) $x+y=9$, i, (ii) $(10\,x+y)-(10\,y+x)=27$. Per tant, cal resoldre el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ 9 \,x &-&9\,y&=&27\\ \end{matrix}\right.$
simplificant la segona equació,
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ x &-&y&=&3\\ \end{matrix}\right.$
i, sumant membre a membre, totes dues equacions
    $2\,x=12$ i, doncs, $x=6$ ( xifra de les desenes ). Amb la qual cosa, $y=9-6$, que és igual a $3$ ( xifra de les unitats ).
El nombre demanat és, per tant, $63$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&3\,y&=&5 \\ -3 \,x &+&5\,y&=&1\\ \end{matrix}\right.$

Solució:
Escollim el mètode de reducció i, per això, efectuem les següents operacions elementals entre equacions ( naturalment, podem escollir també altres combinacions ): multipliquem la primera equació per $3$ i la segona per $2$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), trobem el següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ \, &\,&19\,y&=&17\\ \end{matrix}\right.$
Ara, aïllant la icògnita $y$ de la segona equació (reduïda) arribem a
    $y=\dfrac{17}{19}$
Per calcular el valor de $x$ podem substituir el resultat que acabem de trobar ( per a la incògnita $y$) a una de les dues equacions originals, o bé, semblantment al que hem fet, escollir també una combinació vàlida d'operacions elementals entre els dues equacions per tal d'obtenir una equació reduïda que només depengui de la incògnita $x$. Així, si multipliquem la primera equació per $-5$ i la segona per $3$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), arribem al següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ 19\,x\, &\,&\,&=&22\\ \end{matrix}\right.$
I aïllant la icògnita $x$ de la segona equació (reduïda convenientment)
    $x=\dfrac{22}{19}$
$\square$

[nota del autor]

Dada la sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $ k \ge 1 $ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptat a partir del k-èssim donat )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir del terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}+ d$
    $a_{k+2}=a_{k+1} +d =a_k +d+d=a_{k}+2\,d$
    $a_{k+3}=a_{k+2}+d=a_k +2\,d+d=a_k +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
    $a_{k+n} = a_k+n\,d \quad \quad (1)$
    $\text{on} \; \; n=1,2,3\ldots, \; \text{i} \; n \ge k$

Si, en particular, $k=1$, l'expressió anterior queda
    $a_{n+1} = a_1+n\,d$
expressió de la qual ( canviant $n+1$ per $n$ i $n$ per $n-1$ ) en deduïm l'expressió del terme general que se'ns demana:
    $a_{n} = a_1+(n-1)\,d$
on $a_1$ representa el valor del primer terme de la successió.

Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quin valor té el terme $a_{7}$ ?
De (1), $a_7=a_{5+2}=a_5+2\,d$, és a dir, $a_7=-3+2\cdot 2 = 1$. En efecte, els tres termes de la seqüència són $\{-3 \quad , \quad -3+2=-1 \quad , \quad -1+2=1\}$

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
    $S_{m\,\text{termes consecutius}} = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
    $a_{k}+a_{k+m-1}=a_{k+1}+a_{k+m-2}=a_{k+2}+a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
    $S_{m\,\text{termes consecutius}}=(a_{k}+a_{k+m-1})\cdot \dfrac{m}{2} \quad \quad (2)$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $S_{m\,\text{primers termes consecutius}}=\dfrac{(a_{1}+a_{m})\,m}{2}$


Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quant val la suma dels tres primers termes de la seqüència?
De (2),
$S_{\text{tres termes consecutius}}=\dfrac{(a_{5}+a_{7})\cdot 3}{2}=\dfrac{(-3+1)\cdot 3}{2}=-3$
En efecte, comprovem aquest resultat fent la suma acumulativa: $-3+(-1)+1=-3$

$\square$

[nota del autor]

Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante GeoGebra

[nota del autor]

Calcular la cantidad que corresponde al quince por ciento de ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu la quantitat que correspon al quinze per cent de quatre-mil cinc-centes unitats.

Solució:

Si d'un total de cent parts ( en total ) en considerem quinze, podem expressar això mitjançant la raó aritmètica
    $\dfrac{15}{100}$
que equival a
    $\dfrac{3}{20}$


Per altra banda, si d'un total de quatre-mil cinc-centes unitats en considerem $x$ d'aquestes, podem expressar-ho de la forma
    $\dfrac{x}{4500}$
Ara, tenint en compte que ambdues maneres d'expressar això són equivalents ( proporció ) podem plantejar la següent igualtat ( equació ):
    $\dfrac{x}{4500}=\dfrac{3}{20}$
Per trobar el valor de $x$ multipliquem per $4500$ a cada membre i, així, en simplificar, aconseguirem deixar sol el símbol $x$ ( la incògnita ) en el primer membre:
    $\dfrac{x}{4500} \cdot 4500 =\dfrac{3}{20} \cdot 4500$

    $x \cdot \dfrac{4500}{4500} =3 \cdot \dfrac{4500}{20}$

    $x\cdot 1 =3 \cdot 225$

per tant

    $x = 675$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de $x$ tal que ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu el valor de $x$ que satisfà la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques):
    $\dfrac{5}{x}=\dfrac{3}{4}$

Solució:
Si es compleix la igualtat donada, també s'haurà de complir la igualtat entre els inversos de les raons aritmètiques:

    $\dfrac{x}{5}=\dfrac{4}{3}$

Per trobar el valor de $x$ resoldrem aquesta equació de primer grau. Podem fer que el símbol $x$ ( incògnita de l'equació ) es quedi sol en el primer membre de la igualtat multiplicant ambdós membres per $5$,

    $\dfrac{x}{5} \cdot 5=\dfrac{4}{3} \cdot 5$

    $x \cdot \dfrac{5}{5}=\dfrac{4 \cdot 5}{3}$

    $x \cdot 1=\dfrac{20}{3}$

    $x=\dfrac{20}{3}=6,\bar{6}$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de amigos se reparten un cierto número de bolas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una colla d'amics es reparteixen un cert nombre de boles de colors. Sabem que si en toca vuit a cada un, en sobren tres; i si se'n quedés nou cada un, en faltaria sis. Quants amics són ? Quantes boles hi ha ?.

Solució:
Designem amb $b$ el nombre de boles i amb $a$ el nombre d'amics. Llavors, d'acord amb l'enunciat podem descriure les dues situaciones mitjançant les corresponents equacions
  $b = 8\,a +3$
  $b = 9\,a + (-6)$
Cal resoldre, doncs, el següent sistema d'equacions:
      $\left\{\begin{matrix}b=8\,a+3 & \\ \\b=9\,a-6\end{matrix}\right.$
Igualant els segons membres podem escriure una equació amb una sola incògnita
      $8\,a +3=9\,a-6$
que se satisfà per a $a =9$, i, per tant, $b=75$
$\square$

[nota del autor]

La maqueta de un edificio ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La maqueta d'un edifici, que està feta a escala $1:20$, té una planta rectangular de $4\,\text{dm}$ de llarg per $3\,\text{dm}$ d'ample. Les quatre parets s'eleven verticalment a $2\,\text{dm}$ del pla de la base, i, aquest cos ( prisma de base rectangular ) està cobert per una teulada de doble vessant ( centrada ), el punt més alt de la qual es troba d $2,4 \, \text{dm}$ del pla de la base. Calculeu ( Nota: us recomano que feu un dibuix a escala i que hi poseu les dades anteriors per veure clar què heu de fer ):
  a) El volum de la maqueta
  b) El volum de l'edifici real
  c) L'àrea de la teulada de la maqueta
  d) L'àrea de la teulada de l'edifici real

Solució:

a)
El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és igual a la suma del volum del prisma de base rectangular (el cos principal de l'edifici) que anomenarem $\mathcal{V}_1$ i el del prisma de base triangular ( la teulada ) que anomenarem $\mathcal{V}_2$.

Calculeum $\mathcal{V}_1$ sense cap dificultat
    $\mathcal{V}_1=2 \cdot 3 \cdot 4$
        $= 24 \, \text{dm}^3$

Per calcular $\mathcal{V}_2$ cal calcular, primer de tot, l'àrea de la base ( que és un triangle isòsceles, amb una longitud de la base de $3 \, \text{dm}$ i altura respectiva igual a $2,4-2=0,4 \, \text{dm}$ ), i resultar ser igual a
    $\dfrac{3 \cdot 0,4}{2}=0,6 \, \text{dm}^2$
Per tant, $\mathcal{V}_2$ pren el següent valor
    $\mathcal{V}_2=0,6 \cdot 4 = 2,4 \, \text{dm}^3$

El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és, doncs, igual a
    $\mathcal{V}=\mathcal{V}_1+\mathcal{V}_2$
        $= 24+2,4 = 26,4 \, \text{dm}^3$

b)
Tenint en compte que ( de la maqueta a l'edifici real ) la raó de semblança $r$ és igual a $20$, podem calcular el volum de l'edifici real $\mathcal{V}'$ a partir del volum de la maqueta $\mathcal{V}$ i de la raó de semblança:
    $\mathcal{V'}=\mathcal{V} \cdot r^3$
        $=26,4 \cdot 20^3 \, \text{dm}^3$
        $=211\,200 \, \text{dm}^3$
        $=211,200 \, \text{m}^3$

c)

Per calcular l'àrea de la teulada $\mathcal{A}$ cal adonar-nos que és la de dos rectangles iguals ( doble vessant, centrat ) de costats: $l$ ( que representa la longitud de l'aresta oblíqua del prisma de base triangular i que ara calcularem ) i $4\, \text{dm}$ ( el llarg de l'edifici ), és a dir, $\mathcal{A}=2\cdot ( 4\,l ) \quad (1)$.

Procedim a calcular la longitud de $l$:
Mirant la secció frontal del prisma de base triangular ( de la teulada ) identifiquem un triangle isòsceles; la meitat del qual és un triangle rectangle que té $0,4 \, \text{dm}$ i $1,5 \, \text{dm}$, respectivament ( aquest segon és la meitat de la base i, doncs, de l'amplada de l'edifici ). En aquest triangle rectangle, $l$ és la longitud de la hipotenusa. Fent ús del teorema de Pitàgores, trobem que
    $l^2=0,4^2+1,5^2 \Rightarrow l=\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right|$

Substituint aquest resulta de $l$ en (1),
    $\mathcal{A}=8\,l$
        $=8\,\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right| \, \text{dm}^2$
        $\approx 12,42 \, \text{dm}^2$

d)
Per calcular l'àrea de la teulada de l'edifici real $\mathcal{A'}$ farem ús del resultat anterior ( el valor de $\mathcal{A}$ ) i de la raó de semblança ( $r=20$ ), tenint en compte que
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
        $=12,42 \cdot 20^2 \, \text{dm}^2$
        $=4\,968 \, \text{dm}^2$
        $=49,68 \, \text{m}^2$

$\square$

[nota del autor]

Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla ...

Enunciado:
Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla de $10 \, \text{W}$ de potencia. Después de $10\,\text{h}$ la batería se agota. Si en lugar de una bombilla de $10\,\text{W}$ hubiese alimentado una bombilla de $8\,\text{W}$, ¿ cuánto habría durado la carga de la batería ?.

Enunciado:
Las magnitudes relacionadas en este problema son la potencia de la bombilla, $\mathcal{P}$, y la duración de la batería, $\mathcal{T}$. Por conocimientos elementales de física sabemos que dichas magnitudes son inversamente proporcionales; así, si $p_1$ i $p_2$ son dos valores de la potencia ( correspondientes a cada una de las dos bombillas ) y, $t_1$ y $t_2$ son os valores de las respectivas duraciones de la batería, podemos plantear la siguiente proporción:
    $\dfrac{t_1}{\frac{1}{p_1}}=\dfrac{t_2}{\frac{1}{p_2}}$
que también puede expresarse de la forma
    $t_{1}\cdot p_{1}=t_{1}\cdot p_{1}$

Y con los datos del enunciado:
    $p_1=10 \, \text{W}$
    $t_1=10 \, \text{h}$
    $p_2=8 \, \text{W}$
    $t_2=\text{?}$

llegamos a la siguiente ecuación
    $10\cdot 10=t_{2}\cdot 8$
y resolviéndola llegamos a
    $t_{2}=\dfrac{10\cdot 10}{8}$
        $=12,5 \; \text{h}$
        $=12\, \text{h} \quad 30 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ ...

Enunciado:
La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ y su volumen es de $12\,\text{dm}^3$, ¿ cuál es el volumen del casco $\mathcal{V}$ a escala natural $1:1$ ?

Solución:
La razón de semejanza ( factor de escala ) es
    $r=\dfrac{1}{30}$
Y teniendo en cuenta que
    $r^3=\dfrac{\mathcal{V^{'}}}{\mathcal{V}}$
encontamos
    $\Big(\dfrac{1}{30}\Big)^3=\dfrac{12}{\mathcal{V}} \Rightarrow \mathcal{V}=30^3 \cdot 12 \, \text{dm}^3$
                                    $=324\,000\,\text{dm}^3$
                                    $=324 \,\text{m}^3$
$\square$

[nota del autor]

Realizar las siguientes operaciones ...

Enunciado:
Realizar las siguientes operaciones:
  a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3$
  b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}$

Solución:
a)
      $\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3=\dfrac{9^3}{4^3}=\dfrac{729}{64}$
b)
      $\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt[2]{9}}{\sqrt[2]{4}}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2} \\\\ \\ -\dfrac{3}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa a la transmisión de movimiento de rotación entre dos poleas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dues politges estan unides per una corretja de transmissió. El diàmetre d'una de les politges és de $30 \, \text{cm}$ i un eix motriu la fa girar a velocitat constant, a raó de $20 \, \text{voltes}$ cada minut. L'altra politja, a la qual la primera li transmet el moviment, gira a raó de $24 \, \text{voltes}$ cada minut. Quin diàmetre té aquesta segona politja ?.

Nota:   Cal que tingueu en compte que la velocitat de gir $w_1$ de la politja de diàmetre $d_1$, que està unida per una corretja de transmissió a una altra politja de diàmetre $d_0$ i que gira a una velocitat $w_0$, és tal que
        $\dfrac{w_0}{\frac{1}{d_0}}=\dfrac{w_1}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir, la velocitat a la qual gira cada politja inversament proporcional al seu diàmetre
    $w \propto \dfrac{1}{d}$

Solució:
Tenint en compte l'ajut de la nota adjunta de l'enunciat, i posant directament les dades numèriques, podem escriure
        $\dfrac{20}{\frac{1}{30}}=\dfrac{24}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir
        $20 \cdot 30=24\,d_1$
operant
        $600=24\,d_1$
i aïllant la incògnita trobem el valor del diàmetre demanat
        $d_1=\dfrac{600}{44}$
            $=25 \, \text{cm}$
$\square$

[nota del autor]

Formas de legumbres. Precio de los alimentos.

Del escaparate de una tienda de alimentación cercana a la Plaza de Santa Ana, Madrid.

[nota del autor]

Ejercicio de divisibilidad con números enteros. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu dos nombres enters que compleixin les següents condicions: a) la seva suma és igual a $-11$, i, b) el quaocient i el residu que s'obtenen en fer la divisió entera són $-2$ i $1$, respectivament.

Solució:
Anomenem $a$ i $b$ els dos nombres enters que volem trobar. Llavors podem escriure les següents equacions a partir de la informació de l'enunciat:
    $a+b=-11$
i
    $b=-2\,b+1$   (teorema de la divisió)
és a dir
    $\left\{\begin{matrix}a &+&b&=&-11 \\ a &+&2\,b&=&1\\ \end{matrix}\right.$
Restant la primera de la segona s'obté, fàcilment, $b=12$
i, d'aquí, $a=-23$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa aplicado a un problema de cinemática. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un ciclista que circula a una velocitat de vint quilòmetres per hora té una hora d'avantatge respecte d'un motorista que circula a seixanta quilòmetre per hora. Quant de temps tardarà el motorista a donar-li abast ?.

Solució:
Anomenem $t$ al temps que tarda el motorista a donar-li abast ( des del moment que el ciclista li porta una hora d'avantatge ); llavors, el temps que el ciclista està circulant ( fins el moment que li dóna abast el motorista ) és $t+1$ ( expressem el temps en hores ).

Tenint en compte que les magnituds temps i velocitat són inversament proporcionals, podem escriure:
      $\dfrac{\;60\;}{\frac{1}{t}}=\dfrac{\;20\;}{\frac{1}{t+1}}$
i, d'aquí,
      $60\,t=20\,(t+1)$
      $60\,t-20\,t=20$
      $40\,t=20$
      $t=0,5 \; \text{h}$
          $=30 \; \text{min}$


Nota:   Una altra manera de plantejar-ho consisteix a raonar de la següent manera: durant l'hora que el motorista està parat, el ciclista recorre $20\,\text{km}$. Quan el motorista es posa en marxa, el problema equival a calcular el temps necessari per tal que aquest recorri els $20\,\text{km}$ recorreguts pel ciclista, a una velocitat relativa de
    $(60-20)\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
considerant el ciclista parat ( a $20 \, \text{km}$ del punt d'on surt el motorista ).
Llavors, el temps que li cal per recorre aquesta distància és igual a
    $\dfrac{20}{40}\, \text{h}=30 \, \text{min}$.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo con operaciones combinadas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Efectueu la següent operació combinada:
      $\Bigg(\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$

Solució:
L'arrel quadrada de nou quarts és igual a
    $\pm \dfrac{3}{2}$
i el valor absolut, tant del valor positiu com del negatiu, és
    $\dfrac{3}{2}$
Per altra banda,
    $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{2 \cdot (10 \div 5)}{10}+\dfrac{3}{10}$
                  $=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}$
                  $=\dfrac{4+3}{10}$
                  $=\dfrac{7}{10}$
calculant el quadrat d'aquest nombre,
    $\Big(\dfrac{7}{10}\Big)^2=\dfrac{7^2}{10^2}=\dfrac{49}{100}$
Llavors,
      $\Bigg(\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$
és igual a
            $\dfrac{3}{2}\div \dfrac{49}{100}$
                $=\dfrac{3}{2}\cdot \text{invers}\Big( \dfrac{49}{100}\Big)$
                $=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{100}{49}$
                        $=\dfrac{3 \cdot 100}{2 \cdot 49}$
                            $=\dfrac{3 \cdot 100}{49 \cdot 2}$
                                $=\dfrac{3}{49}\cdot \dfrac{100}{2}$
                                    $=\dfrac{3}{49}\cdot 50$
                                    $=\dfrac{3 \cdot 50}{49}$
                                            $=\dfrac{150}{49}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Una persona que camina a ritme constant ( a velocitat constant ) recorre tres quilòmetres en cinquanta minuts. Quant tardaria a recórrer vuit quilòmetres ?.

Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la longitud recorreguda i la magnitud temps emprat. Aquestes magnituds són proporcionals, perquè la persona que camina no es posa, ara a córrer, ara a anar més a poc a poc: sempre va a la mateixa velocitat. Aquí, la proporcionalitat és directa, atès que com més estona camina, més longitud recorre. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
    $\dfrac{50}{3}=\dfrac{t}{8}$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, multiplicarem ambdós membres de la igualtat per $8$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
    $\dfrac{50}{3} \cdot 8 =\dfrac{t}{8} \cdot 8$

    $\dfrac{50 \cdot 8}{3} =\dfrac{8}{8} \cdot t$

    $\dfrac{400}{3} =1 \cdot t$

    $\dfrac{400}{3} =t$

és a dir

    $t=133,\bar{3} \, \text{min} \approx 2\,\text{h} \; 13\; \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per fer un determinat recorregut, una persona tarda dues hores caminant a una velocitat de quatre quilòmetres per hora. Quant de temps tardaria a fer el mateix recorregut si caminés a una velocitat de cinc quilòmetres per hora ?.

Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la velocitat a la qual camina, i la magnitud temps emprat recórrer un determinat trajecte. Aquestes magnituds són inversament proporcionals, perquè més de pressa camini ( més velocitat ) menys temps necessitarà per arribar. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{1}{2}}=\dfrac{\;5\;}{\frac{1}{t}}$
o el que és equivalent
    $4 \cdot 2=5\,t$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, dividirem ambdós membres de la igualtat per $5$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
    $\dfrac{4\cdot 2}{5}=\dfrac{5\,t}{5}$

    $\dfrac{8}{5}=\dfrac{5}{5} \cdot t$

    $\dfrac{8}{5}=1 \cdot t$

és a dir

    $t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}$
        $t=1,6 \; \text{h}$
        $t=1 \, \text{h} \quad 36 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con una sucesión artimética. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Calculeu el valor de la suma dels $400$ primers nombres parells consecutius.

Solució:
La successió dels nombres parells té com a terme general
    $a_n=2\,n \quad \text{on} \quad n=1,2,3,\ldots$
Podem calcular la suma dels $n$ primers termes de qualsevol successió aritmètica fent
    $s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
i, tenint en compte l'expressió del terme general i que $a_1=2$
    $s_n=\dfrac{2+2\,n}{2}\cdot n$
simplificant
    $s_n=(n+1)\,n$
Llavors, posant les dades
    $s_{400}=(400+1)\cdot 400$
        $=400^2+400$
        $=160\,000+400$
        $=160\,400$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con traslaciones en el plano. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Considereu el triangle $\triangle{MNP}$ de vèrtexs: $M(0,0)$, $N(0,1)$ i $P(1,0)$. Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{M'N'P'}$ que resulta de traslladar el triangle $\triangle{MNP}$ segons el vector de translació $\vec{t}=(3,-4)$

Solució:
a)
Coordenades de $M'(x_{M'},y_{M'})$:
    $x_{M'}=x_{M}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{M'}=y_{M}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $M(0,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} M'(3,-4)$

b)
Coordenades de $N'(x_{N'},y_{N'})$:
    $x_{N'}=x_{N}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{N'}=y_{N}+t_y$
              $=1+(-4)=-3$
per tant
    $N(0,1) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} N'(3,-3)$

c)
Coordenades de $P'(x_{M'},y_{P'})$:
    $x_{P'}=x_{P}+t_x$
              $=1+3=4$
    $y_{P'}=y_{P}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $P(1,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} P'(4,-4)$

$\square$

Nota:   El problema també es pot resoldre gràficament tal com es mostra a la figura.

[nota del autor]

Ejercicio relacionado con la homotecia y el área de un triángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Representeu en el pla el triangle $\triangle{ABC}$ de vèrtexs: $A(1,0)$, $B(1,-1)$ i $C(-1,-1)$ i calculeu-ne l'àrea ( $\mathcal{A}$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}$ ). A continuació, calculeu l'àrea ( $\mathcal{A}'$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}'$ ) d'un triangle homotètic al donat ( $\triangle{A'B'C'}$ ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia $r$ és igual a $4$.

Solució:
    Gràfic del triangle $\triangle{ABC}$

Àrea i perímetre de $\triangle{ABC}$ :
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
on
    $\overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
    $\overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
i, donat que $\triangle{ABC}$ és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat $CA$:
    $\overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

Per tant
    $\mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|$
            $=3+\left|\sqrt{5}\right|$
            $\approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de $\triangle{A'B'C'}$:
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
            $=1 \cdot 4^2$
            $=16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r$
            $=(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4$
            $\approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu el valor del paràmetre $k$ per tal que els punts $A(1,2)$, $B(-2,5)$ i $C(-3,k)$ estiguin alineats.

Solució:

Els punts $A$, $B$ i $C$ estan alineats ( es troben tots tres damunt d'una mateixa recta) si, i només si,
    $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$
atès que els dos triangles rectangles que es configuren en dibuixar tres punts alineats en el pla cartesià han de ser
triangles semblants i, per tant, les raons aritmètiques respectives entre la longitud del catet vertical i del catet horitzontal corresponents ( els pendents dels segments oblics entre punt i punt ) han de tenir el mateix valor.

Imposant aquesta condició es compleix amb els punts donats:
    $\dfrac{5-2}{-2-1}=\dfrac{k-2}{-3-1}$
és a dir
    $\dfrac{3}{-3}=\dfrac{k-2}{-4}$
i, simplificant,
    $\dfrac{k-2}{4}=1$
per tant
    $k-2=4 \Rightarrow k=6$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Comproveu que les variables $x$ i $y$ són inversament proporcionals, tenint en compte que tres punts donats del traç de la funció $y=f(x)$ en un diagrama cartesià són: $A_{1}(1,3)$, $A_{2}(2,\frac{3}{2})$ i $A_{3}(3,1)$. Quant val la constant de proporcionalitat inversa ? Quant val la imatge de $-3$ ?.

Solució:
Si entre les variables $x$ i $y$ hi ha una relació de proporcionalitat inversa, la funció $f(x)$ ha de ser del tipus
    $y=\dfrac{k}{x} \Rightarrow y \cdot x=k$
on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa
Llavors les coordenades dels tres punts donats hauran de ser tals que
    $x_1\,y_1=x_2\,y_2=x_2\,y_2$
Vegem-ho:
    $1\cdot 3 \overset{?}{=} 2 \cdot \dfrac{3}{2} \overset{?}{=} 3 \cdot 1$
efectivament, es compleix la doble igualtat, que, com es veu fàcilment, és igual a $3$; aquest valor és, precisament, el de la constant de proporcionalitat $k$.

Finalment, per trobar la imatge de $-3$, és a dir, $f(-3)$, cal fer ús de l'estructura de la funció, que, havent calculat ja el valor de $k$, que és $3$, és
    $f(x)=\dfrac{3}{x}$
Llavors, per a $x=-3$, trobem
    $f(-3)=\dfrac{3}{-3}=-1$

  Comprovació:
    $1\cdot 3 = 2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \cdot 1 = -3 \cdot (-1)=3$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre modelos funcionales de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Una empresa de transports A ofereix els seus serveis amb les següents condicions: l'enviament de cada paquet es cobra a $6$ euros i cal, a més a més, pagar una quota de $20,00$ euros al mes. Una segona empresa B ofereix els seus serveis amb aquestes altres condicions: una quota mensual de $30,00$ i $5\$ euros per cada paquet enviat. A partir de quin nombre de paquets que preveiem enviar convé contractar l'empresa B ?.

Solució
Designem per $x$ el nombre de paquets a enviar i per $y$ la quantitat de diners que ens costa ( incloent la quota de manteniment de contracte ).

Llavors, la funció $y=f(x)$ per a l'empresa A és
    $y=6\,x+20$
que representa una recta $r_A$ de pendent igual a $m_A=6$ ( sis euros per paquet )

i per a l'empresa B,
    $y=5\,x+30$
que representa una recta $r_B$ de pendent igual a $m_B=5$ ( cinc euros per paquet )

Les dues rectes són secants ( els pendents no són iguals i, doncs, les rectes no són paral·leles ), per tant es tallen en un punt $P(x_P,y_P)$. Calculem les coordenades d'aquest punt resolent el sistema d'equacions:

    $\left\{\begin{matrix}y & = & 6\,x & + & 20\\ y & = & 5\,x & + & 30\\ \end{matrix}\right. $

obtenim
    $x=10 \; \text{paquets}$
i
    $y=80$ euros

Llavors, com que el pendent de la recta $r_B$ és més gran que el de la recta $r_A$, fora convenient
contractar l'empresa A per un nombre previst de paquets inferiors a $10$, i, per contra, contractar l'empresa $B$ si el nombre d'enviaments que ens cal fer és superior a $10$.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de interpretación del gráfico de una funció. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat;
Un excursionista recorre un intinerari tancat, com el que es mostra esquemàticament a sota ( Figura 1 ), sortint del punt $P$ i tornant al punt $P$

( Figura 1 )

Al gràfic cartesià que podeu veure a continuació (Figura 2), es representa la funció que relaciona el temps que transcorre ( eix d'abscisses ) des que surt del punt $P$ fins que torna al mateix punt, enfront de la distància corresponent a la qual es troba respecte del punt $P$ ( eix d'ordenades )

( Figura 2 )

Es demana:
  (a) La longitud total del recorregut
  (b) El temps que ha tardat des que ha sortit fins que ha tornat al punt de sortida
  (c) Descripció dels trams del recorregut ( Figura 2 ). A quina velocitat ( constant en cada tram ) s'ha desplaçat en cadascun dels tres trams.
  (d) Ha fet algun descans ? Quant de temps ha durat aquest descans ?

Solució:
Observant la Figura 2 interpretem que a l'excursió hi ha tres trams significatius que, per ordre, són els següents: OA, AB i BC

(a) Longitud total del recorregut ve donada per la suma de les ordenades dels punts $A(0,4)$ i $C(5,4)$, és a dir $4+4=8 \, \text{km}$

(b) El temps que ha tardat des que surt del punt $P$ ( Figura 1 ) fins que torna al mateix punt és igual a la diferència entre les abscisses dels punts $C$ i $O$ ( gràfic de la funció [ Figura 2 ] ):
    $t_{C}-t_{O}=5-0=5 \, \text{h}$

(c) El temps corresponents a cada tram significatiu del recorregut venen donades per les diferències entre les abscisses dels punts extrems de cada tram ( gràfic de la figura 2 ):
    $t_{O \rightarrow A}=t_A-t_O=2-0=2 \, \text{h}$
    $t_{A \rightarrow B}=t_B-t_A=4-2=2 \, \text{h}$
    $t_{B \rightarrow C }=t_C-t_B=5-4=1 \, \text{h}$

Les longituds,$l$, recorregudes en cada tram ( figura 2 ) venen donades per les diferències entre les ordenades dels punts extrems de cada tram ( gràfic de la figura 2 ):
    $l_{O \rightarrow A}=x_A-x_O=4-0=4 \, \text{km}$
    $l_{A \rightarrow B}=x_B-x_A=4-4=0 \, \text{km} \quad \text{( aturat )}$
    $l_{B \rightarrow C}=\left|x_C-x_B\right|=\left|0-4\right|=4 \, \text{km}$

I les velocitats en cada cada tram venen donades per les corresponents raons aritmètiques entre les longituds i les diferències entre els intervals de temps corresponents ( pendents dels segments rectilinis en cada tram):
    $v_{OA}=\dfrac{x_A-x_O}{t_A-t_O}=\dfrac{4}{2}=2 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
    $v_{AB}=\dfrac{x_B-x_A}{t_B-t_A}=\dfrac{0}{2}=0 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
    $v_{BC}=\dfrac{\left|x_C-x_B\right|}{t_C-t_B}=\dfrac{4}{1}=4 \, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

(d)   Ha fet un descansat amb una durada de $t_B-t_A=4-2=2 \, \text{h}$ ( tram $AB$ [Figura 2] ), atès que $l_{A \rightarrow B}=x_B-x_A=4-4=0 \, \text{km} \quad ( v_{AB}=0 )$

$\square$

[nota del autor]

Los lados desiguales de un rectángulo miden ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els costats desiguals d'un rectangle mesuren $2\,\text{cm}$ i $5\,\text{cm}$, respectivament. Si allarguem $d\,\text{cm}$ ( $d \ge 0$ ) els costats d'aquest rectangle, obtindrem un rectangle semblant a l'original ?.

Solució:
Per tal que els dos rectangles siguin semblants s'ha de complir que
    $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3+d}{5+d}$
i perquè aquesta igualtat sigui certa cal que
    $3\,(5+d)=5\,(3+d) \Rightarrow 3\,d=5\,d \Rightarrow 0=2\,d$
però, donat que $d\neq 0$, $2\,d$ no pot ser igual a $0$, la qual cosa contradiu la línia de dalt.
D'aquí concloem que el rectangle que s'obté no és semblant al rectangle original.
$\square$

[nota del autor]

Un vehículo se desplaza por una autopista ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un vehicle es es mou per una autopista. Surt d'un lloc P ( amb destinació a un altre lloc Q), desplaçant-se a raó de cent quilòmetres cada seixanta minuts ( velocitat constant ). Un segon vehicle, que es desplaça a raó de de cent-deu quilòmetres cada seixanta minuts, surt del punt Q, trenta minuts més tard que el primer, amb destinació P. La distància entre P i Q és de cent quilòmetres. A quina hora es creuaran ? A quina distància del punt A ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la distància del punt que es creuen al punt P, i, $t$ a l'interval de temps que passa des que surt el vehicle amb origen en el lloc P fins que es creuen. Llavors podem plantejar les següents proporcions, posant als numerador les distàncies (en quilòmetres) i als denominadors els intervals de temps ( en minuts):

    i)   $\dfrac{100}{60}=\dfrac{x}{t}$

    ii)   $\dfrac{110}{60}=\dfrac{100-x}{t-30}$


Aquestes dues proporcions ens donen un sistema de dues equacions amb dues incògnites:
      $\left\{\begin{matrix}3\,x &-& 5\,t & = & 0\\ 6\,x &+& 11\,t & = & 930\\ \end{matrix}\right.$

que té com a solució
      $t=\dfrac{310}{7}\, \text{min} \approx 44,29 \; \text{min}$
                              $ \approx 44 \; \text{min}\; \text{i}\; 17 \; \text{s}$
      $x=\dfrac{1550}{21}\, \text{km} \approx 73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$

Conclusió:   Es troben a $73 \, \text{km} \; \text{i}\; 810 \; \text{m}$ del punt P,
                    a les $08:44:17 \; \text{h}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios diversos

[ Ejercicios diversos ]

[nota del autor]

Ejercicios de cálculo de proporciones con mezclas ( artículo escrito en catalán )

Problema 1 Un comerciant compra 200 litres d'un vi a un preu de 7,00 € cada litre, i 500 litres d'una altra classe de vi a 12 € el litre. Té la intenció de fer la mescla de vins per tal de vendre-la. A quin preu cal que vengui la barreja per tal que no tingui benefici ni pèrdua ? Resolució El cost del vi que compra és de 200 l x 7 €/l + 500 l x 12 €/l = 7400 €. La quantitat de diners que en treurà de la venda és (200+500)v, on v representa el preu de venda. Igualant ambdues quantitats, 7400 = 700v. Per tant, v = 74/7 que, aproximant a les centèsimes, és igual a 10 € i 57 cèntims d'euro. Problema 2 El quirat és la unitat que es fa servir en joieria per mesurar el contingut d'or de l'aliatge d'una peça. Un quirat es defineix com 1/24ena part en or pur de la massa total de l'aliatge. Així, per exemple, si considerem una peça d'aliatge de 17 quirats que tingui una massa de 48 grams, entenem que conté una quantitat d'or pur igual a 34 g; la resta són dels altres metalls amb què s'ha barrejat. Anell de casament bizantí. Font (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Wedding_ring_Louvre_AC924.jpg Per fer una peça de joieria, un joier parteix de dos aliatges: el primer conté 90 g d'or i 120 g d'argent; i el segon, 200 g d'or i 300 g d'argent. Quants quirats tenen els aliatges dels qual parteix ? Quants quirats té la peça resultant després de fondre'ls ? Resolució Plantejant la proporció 24/1 = q1/(90/(120+90)), trobem que el primer aliatge té 12 quirats (aproximant a les unitats). Pel que fa al segon aliatge, plategem la proporció, 24/1 = q2/(200/(300+200)), i trobem que té 10 quirats (aproximant a les unitats). En fondre els dos materials (aliatges) de partida plantegem al seu torn la proporció 24/1 = qf/((200+90)/(300+200+120+90)) i arribem a la conclusió que tindrà 10 quirats (aproximant a les unitats) Si ja heu entès els problemes de barreges, mirem de fer, ara, una analogia per resoldre aquest altre problema: Problema 3 En una banyera hi ha 15 litres d'aigua a una temperatura de 21 ºC. Quants litres d'aigua a 60º C hi hem d'afegir per tal que la temperatura de la mescla sigui de 39º C ? termòmetre de termoparell, font (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/20050501_1315_2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg/180px-20050501_1315_2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg Resolució Com que la quantitat de calor que conté una certa quantitat d'aigua és proporcional també a la temperatura, podem considerar aquesta como si es tractés d'un "preu unitari", com en el problema anterior. Si fem el balanç: 15 (21) + 60 m = 39 ( m + 15) Si resolem aquesta equació de 1r grau, obtenim m = 90/7, que és aproximadament igual a 12.9ºC

[nota del autor]

Ejercicio sobre mezclas ( aleaciones )

Enunciado:
Fundimos un lingote de plata de $200 \, \text{g}$, cuya ley es del $90\,\%$ ( grado de pureza en plata ) con otro lingote de $300 \, \text{g}$ de $80\,\%$ de ley. ¿ Cuál es la ley de la aleación resultante ?.

Solución:
La cantidad de plata pura que contiene la mezcla ( la aleación ), de $200\,\text{g}+300\,\text{g}=500\,\text{g}$ de masa total, es de $0,9\cdot 200+0,8\cdot 300$
esto es, $420\, \text{g}$. Denotando por $x$ la ley de la aleación, su valor ha de ser igual a la razón aritmética entre la cantidad de plata pura y la cantidad total de materia ( la masa total de la aleación ); por tanto,
    $x=\dfrac{420}{500}=84\,\%$
$\square$

[nota del autor]

Un ejercicio de mezclas ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una banyera, barregem cinc litres d'aigua a una temperatura de setanta graus centígrads amb tres litres d'aigua a a una temperatura de cinquanta graus centígrads. A quina temperatura queda la mescla ?.

Nota:   En aquestes condicions es considera que l'energia calorífica emmagatzemada per l'aigua és proporcional a la massa de l'aigua i a la temperatura.

Solució:
D'acord amb el que se'ns diu a la nota adjunta de l'enunciat, donada una massa d'aigua $m$ a una temperatura $T$, es compleix que l'energia emmagatzemada (e. calorífica) $Q$ per aquesta massa d'aigua és tal que $Q \propto m\,T$, és a dir, $Q=c\,m\,T$ on $c$ és la constant de proporcionalitat, anomenada capacitat calortífica de l'aigua. Aquesta llei física es compleix mentre la temperatura estigui per sota del punt d'ebullició i, per tant, és vàlida per al problema plantejat.

Quan barregem dues masses d'aigua, doncs, es produeix un intercanvi d'energia: la més calenta cedeix energia (en forma de calor ) a la més freda, fins arribar a una situació d'equilibri (tèrmic) en què la temperatura de la mescla ( que serà menor que la més gran de les dues i més gran que la més petita ), es mantingui constant ( sempre i quan estigui ben aïllat tèrmicament el bany, és clar ).

Llavors, en aquesta situació d'equilibri, s'ha de complir que la suma de l'energia emmagatzemada per la massa d'aigua calenta i la de l'aigua freda sigui igual a l'energia calorífica de la mescla, igualtat d'on podrem deduir la temperatura d'equilibri, la qual cosa podem escriure de forma matemàtica de la manera següent

        $c \cdot 5 \cdot 70 + c \cdot 3 \cdot 50 = c \, (5+3) \, T_e $
simplificant
        $ 5 \cdot 70 + 3 \cdot 50 = (5+3) \, T_e $
i aïllant $T_e$ queda
        $ T_e=\dfrac{5 \cdot 70 + 3 \cdot 50}{5+3}$
és a dir
        $ T_e=62,5 \,^{\circ}\text{C}$
$\square$

[nota del autor]

Se mezclan dos sustancias alimentarias, A y B, del mismo tipo genérico, pero de distinto precio. El precio de A es de $8 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$, y, el de B, $5\, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. La mezcla a obtener ha de tener un precio de $6 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. ¿ Qué tanto por ciento sobre el total de mezcla corresponderá a cada componente ?.

Enunciat:
Se mezclan dos sustancias alimentarias, A y B, del mismo tipo genérico, pero de distinto precio. El precio de A es de $8 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$, y, el de B, $5\, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. La mezcla a obtener ha de tener un precio de $6 \, \frac{\text{euro}}{\text{kg}}$. ¿ Qué tanto por ciento sobre el total de mezcla corresponderá a cada sustancia componente ?.

Solució:
Denominemos $a$ a la cantidad de sustancia $A$ que interviene en la mezcla; $b$, a la cantidad de substancia $B$; y, $t$, a la cantidad total de la mezcla ( expresadas en kilogramos ). Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
    $\left.\begin{matrix}8\,a &+& 5\,b &=& 6\,t \\ \\a &+& b &=& t \\ \end{matrix}\right\}$
Resolviéndolo, obtenemos
    $b=\dfrac{2}{3}\,t \Rightarrow \dfrac{b}{t}=\dfrac{2}{3} \approx 67 \, \% \; \text{de A}$
y
    $b=\dfrac{1}{3}\,t \Rightarrow \dfrac{a}{t}=\dfrac{1}{3} \approx 33 \, \% \; \text{de B}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre funciones lineales afines ( en catalán )

Enunciat:
Considereu una funció lineal afí, $f(x)$, tal que:
    $f(1)=3$
i
    $f^{-1}(5)=4$
Us demanem:
  a) El valor de l'ordenada a l'origen, $f(0)$
  b) El valor de $f^{-1}(0)$ ( arrel de la funció lineal afí )
  c) El pendent de la recta donada el traç de la funció lineal afí
  d) El valor de l'ordenada que correspon a l'abscissa $x=100$, és a dir, $f(100)$
  e) El valor de l'abscissa que correspon a l'ordenada $y=-10$, és a dir, $f^{-1}(-10)$

Solució:
Primer de tot, cal determinar l'equació
    $y = f(x)$
Tenint en compte que la funció lineal afí té per traç una recta, farem ús de la proporcionalitat geomètrica entre els triangles semblants que es configuren en el gràfic en situar els punts $A(1,3)$ i $B(4,5)$, que són les dades del problema, i $P(x,y)$, que és un punt que podem moure pel damunt de la recta i, per tant, el podem ubicar en una posició arbitrària. Llavors, tenint en compte que $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BPP'}$ ( vegeu la figura de sota )

podem escriure la següent proporció directa:
    $\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$
i, posant les dades concretes,
    $\dfrac{x-4}{4-1}=\dfrac{y-5}{5-3}$
simplificant
    $r:\,\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-5}{2}$
que és l'equació ( en forma contínua ) de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$
D'aquí, aïllant la variable dependent, $y$, deduïm fàcilment l'equació de la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
i, per tant, també podem escriure,
    $f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
que podrem emprar per calcular la imatge d'un determinat valor de la variable independent, $x$, o bé per calcular l'antiimatge d'un valor donat de la variable dependent.
--
Nota:     Havent determinat l'equació de la funció, podem dir que tenim concretat el model funcional que lliga una variable amb l'altra.
--
Fet això, ja podem començar a donar resposta a les preguntes:

a)
La imatge de $0$ és
    $f(0)=\dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{7}{3}$
          $=\dfrac{7}{3}$
Aquest valor és igual al del coeficient $n$ de l'equació
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
que s'anomena ordenada a l'origen
--
Nota:   Una funció - sigui del tipus que sigui - té una única ordenada a l'origen
--
Identificant, arribem a
    $n=\dfrac{7}{3}$
--
Nota:   Les coordenades del punt d'intersecció amb l'eix d'ordenades, $Oy$, són
        $(0,\dfrac{7}{3})$
--

b)
Si l'ordenada pren el valor $0$, resolent l'equació, podem determinar quin valor d'abscissa li correspon:
    $0=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $x=-\dfrac{7}{2}$
és a dir, l'antiimatge de $0$ és
    $f^{-1}(0)=-\dfrac{7}{2}$
Nota:   Com ja s'ha comentat a l'enunciat, el valor d'aquesta abscissa correspon a la única arrel o zero de funció ( abscissa del punt d'intersecció del seu traç amb l'eix d'abscisses $Ox$ ) que té aquesta funció lineal afí ( Una funció lineal afí té, com a màxim, una arrel ).

c)
El pendent de la recta $r$ correspon al valor del coeficient del terme de grau u, $m$, de l'equació $y=f(x)$, que pren la forma tipus
    $y \equiv f(x)=m\,x+n$
per tant
    $m=\dfrac{2}{3}$

d)
El valor de la imatge de $100$ és
    $f(100)=\dfrac{2}{3}\cdot 100+\dfrac{7}{3}$
        $=\dfrac{207}{3}$

e)
El valor de l'antiimatge de $-10$ el trobem resolent l'equació
    $-10=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$
d'on
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\big(\dfrac{7}{3}+10\big)$
    $\dfrac{2}{3}\,x=-\dfrac{37}{3}$
i, per tant,
    $x=-\dfrac{37}{2}$
és a dir
    $f^{-1}(-10)=-\dfrac{37}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Acerca de los números triangulares

ENUNCIADO:
¿Es $6$ un número triangular? ¿Lo es $10$? ¿Lo es $18$?

SOLUCIÓN
Podemos expresar el número $6$ del modo

1
11
111

Así que, sí lo es.

Otra forma de verlo es la siguiente: como la configuración anterior es parte de un cuadrado $3 \times 3 $

1 . .
11 .
111

al ser el número de '1os' la suma de $1+2+3$, que es la suma de los tres primeros números naturales consecutivos, podemos expresar $6$ de la forma $\dfrac{3\cdot 4}{2}$. Por lo tanto, todo número triangular deberá ser de la de la forma $\dfrac{n\,(n+1)}{2}$, donde $n$ es un número entero no negativo y distinto de $0$.

Vamos a ver si se cumple esta condición para el número $10$:
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 10$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=10$$
vemos que
$n^2+n=20$
  $n^2+n-20=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{-1\pm 9}{2}$
Como una de los valores de la solución de dicha ecuación de segundo grado es $4$, que es un número entero no negativo y distinto de $0$, podemos decir que $10$ es un número triangular.

Veamos si es así en el caso de $18$
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}\overset{?}{=} 18$$
Resolviendo la ecuación
$$\dfrac{n\,(n+1)}{2}=18$$
vemos que
$n^2+n=36$
  $n^2+n-36=0$
    $n=\dfrac{-1\pm \sqrt{145}}{2} \notin \mathbb{Z}$
luego $18$ no es un número triangular. $\square$

[nota del autor]

Resolución de un problema de proporcionalidad compuesta

[nota del autor]