Quan resolem equacions de 2n grau, sovint ens podem trobar amb casos més senzills que el de la forma completa ( $a\,x^2+b\,x+c=0$ ). En aquests casos, el procés de resolució (trobar el valor o valors de la variable x que compleixen la igualtat) presenta poca dificultat. El cas general de l'equació de 2n grau completa el tractaré al final de l'article, exposant i justificant l'expressió de la solució seva solució general. Comentaré també algunes propietats interessants que fan referència a la relació entre els valors de la solució i els coeficients $a$, $b$ i $c$. Vegem, primer de tot, els casos més senzills:
1.
$a\,x^2 - c=0$
Solució:
$a\,x^2=c$
$x^2=\dfrac{c}{a}$
$x=\pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}$
Exemple: $3\,x^2 - 4=0$
Solució:
$3\,x^2=4$
$x^2=\dfrac{4}{3}$
$x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
$=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
2.
$(m\,x-n)(p\,x-q)=0$
Solució:
$(m\,x-n)(p\,x-q)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\,x-n=0 \Rightarrow x=\dfrac{n}{m}\\\vee\\p\,x-q=0 \Rightarrow x=\dfrac{q}{p}\end{matrix}\right.$
Exemple: $(5\,x-3)(4\,x-7)=0$
Solució:
$(5\,x-3)(4\,x-7)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\,x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{5}\\\vee\\4\,x-7=0 \Rightarrow x=\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$
3.
$ax^2-bx=0$
Solució:
$x\,(a\,x-b)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\a\,x-b=0\Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.$
Exemple: $8\,x^2-160\,x=0$
Solució:
$8\,x\,(x-20)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\x-20=0\Rightarrow x=20\end{matrix}\right.$
4.
$(m\,x-n)^2-p=0$
Solució:
$(m\,x-n)^2=p$
$m\,x-n=\pm \sqrt{p}$
$m\,x=n \pm \sqrt{p}$
$=\dfrac{n \pm \sqrt{p}}{m}$
Exemple: $(m\,x-n)^2-p=0$
Solució:
$(2\,x-7)^2=5$
$2\,x-7=\pm \sqrt{5}$
$2\,x=7 \pm \sqrt{5}$
$=\dfrac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$
A continuació, i amb la finalitat d'animar a fer ús d'estratègies "enraonades" per resoldre equacions de 2n grau, exposaré (justificaré) l'expressió general de la solució d'una equació general (completa) $ax^2+bx+c=0$, on tots els terme ( el de segon grau, el de primer grau i el terme independent o numèric ) són no nuls.
Resolució d'una equació de 2n grau completa ( del tipus $ax^2+bx+c=0$ ) trobant prèviament l'expressió en una forma equivalent i més compacta del tipus $(x+r)^2+s=0$
Entre els casos més o menys immediats ( més senzills ) exposats a la introducció, en especial, l'expressió d'una equació de 2n grau de la forma $(x+r)^2+s=0$ – que sempre és possible escriure - té molta importància, perquè, serveix per justificar la fórmula (que s'ensenya repetidament) dels valors de x que compleixen l'equació de 2n grau expressada de la forma $ax^2+bx+c=0$, és a dir, la fórmula
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
A continuació, prescindirem de la fórmula per trobar la solució d'una equació donada en forma completa i ho farem donant valors concrets als coeficients (vegeu l'exemple de sota). Els passos que seguirem, fàcilment, es poden generalitzar fent ús dels identificadors “a”, “b” i “c”, enlloc de valors concrets, obtenint la fórmula esmentada que molts alumnes aprenen de memòria sense entendre-la.
Exemple:
Suposem que volem resoldre l'equació $x^2+5x+6=0$. Primer de tot, l'expressem de la forma indicada al paràgraf anterior:
$(x+\dfrac{5}{2})^2 – \dfrac{25}{4} + 6 = 0$
Per justificar aquest pas, tan sols cal tenir en compte el desenvolupament del quadrat d'un binomi mitjançant la identitat: $(w+v)^2 = w^2+2wv+v^2$. Per això, comencem a escrivint el binomi al quadrat que reprodueix el terme de grau dos $x^2$ i el terme de grau u $5x$; com que, segons la identitat, apareix just el doble de '5', escriurem $(x+5/2)^2$, però cal, a més a més, compensar l'afegit del quadrat de 5/2 (que no figura a l'expressió original) restant precisament aquesta quantitat i, per acabar, afegir el terme independent (el '6') que és el valor que falta per acabar d'ajustar l'expressió. Finalment, operem i extraiem l'arrel quadrada per desfer el quadrat:
$x+5/2 = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$
és a dir, obtenim dos valors diferents
$x_1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
i
$x_2 = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
que fent les sumes
$x_1= -2$
i
$x_2 = -3$
Observacions i comentaris
Val a dir que alguns alumnes que entenen bé aquests passos s'estimen més prescindir de l'aplicació de la fórmula general que a continuació obtindrem i resoldre una equació completa de forma ràpida i segura (a efecte d'evitar errors de signes, sobre tot). A més, cas que l'equació plantejada no tingui solució, de seguida se'n adonen (trobant-se ràpidament amb una arrel quadrada d'argument negatiu). I si l'equació donada té un sol valor com a solució, encara es fa més ràpida la resolució, ja que ens estalviem els ajustos posteriors a la configuració del binomi al quadrat, quedant igualat aquest a zero.
Justificació de la fórmula general que dóna la solució d'una equació de 2n grau expressada en forma completa: $ax^2+bx+c=0$
Donada l'equació $ax^2+bx+c=0$, dividirem ambdós membres per a amb la finalitat de partir d'una forma equivalent que tingui coeficient del terme de 2n grau igual a $1$
$x^2 + \dfrac{b}{a}\,x + \dfrac{c}{a} = 0$
A partir, d'aquí, repetint els passos de l'exemple, trobem expressions equivalents fins poder aïllar la variable:
$(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4\,a^2} + \dfrac{c}{a}$
$(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$
reduïm a comú denominador el segon membre i trobem
$(x + b/(2a))^2 = \dfrac{b^2-4\,ac}{4\,a^2}$
extraiem l'arrel quadrada a tots dos costats de la igualtat per desfer el quadrat del primer membre i arribem a
$x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
I, tenint en compte, els dos possibles signes que aporta l'arrel quadrada,
$x =-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
i atès que el denominador és el mateix
$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
Classificació de les equacions de 2n grau (donada l'expressió general(completa)) ax^2+bx+c=0
La classificació es fa segons el valor de $b^2-4\,ac$ (el radicand del radical que apareix a l'expressió de la solució general) que anomenarem discriminant i designarem amb la lletra $\Delta$. Observem que:
1. Si el discriminant $\Delta$ és negatiu, no podem trobar cap nombre real com a solució de l'equació
2. Si el discriminant $\Delta$ és positiu, trobarem dos valors diferents com a solució
Propietat 1.: Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució, llavors:
i) $r_{1}+r_{2}=-b$
ii) $r_{1} \cdot r_{2}=c$
Exemple: Els dos valors de la solució de $x^2+5x+6=0$ ( $b=5$ i $c=6$ ) són $-2$ i $-3$. Es pot comprovar fàcilment que:
i) $(-2)+(-3)=-5$, que és igual a $-b$
ii) $(-2) \cdot (-3)=6$, que és igual a $c$
3. Si el discriminant $\Delta$ és igual a zero trobarem un sol valor, que es repeteix dues vegades.
Propietat 2.: Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució de l'equació $a\,x^2+b\,x+c=0$, llavors el primer membre de l'equació ( és a dir, l'expressió $a\,x^2+b\,x+c$ ) es pot escriure en forma factoritzada:
$a\,(x-r_1)(x-r_2)$
Exemple: Els dos valors de la solució de $3\,x^2+2\,x-1=0$ són
-1 i 1/3
i es pot comprovar fàcilment que
$3\,x^2+2\,x-1$
es pot escriure de la forma
$3\,\big(x-(-1)\big)\big(x-\dfrac{1}{3}\big)$
[ per fer-ho, només cal que fem el producte dels dos binomis, agrupant els termes semblants, i multiplicant el resultat per $3$ ].
$\square$
jueves, 30 de abril de 2015
Ecuaciones polinómicas de segundo grado
domingo, 26 de abril de 2015
Resolver la ecuación
Enunciado:
Estudiar la ecuación
$x^2+1=-(2-x^2)$
Solución:
$x^2+1=-(2-x^2)$
$x^2+1=x^2-2$
i d'aquí
$x^2-x^2=-2-1$
llegando a una contradicción
$0 =-3$
con lo cual concluimos que la ecuación es incompatible (no tiene solución).
$\square$
Estudiar las ecuaciones ...
Enunciado:
Estudiar las siguientes ecuaciones según sus soluciones:
a) $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
b) $3-2\,x=2\,(1-x)+1$
c) $5\,x+6=x$
Solución:
a) $3\,x+2=5-3\,(1-x)$
$3\,x+2=5-3+3\,x$
$3\,x-3\,x=5-3-2$
$0 \cdot x=0$
$0 =0 \rightarrow \text{ e. compatible indeterminada}$
( todos los números son solución )
b) $3-2\,x=2\,(1-x)-1$
$3-2\,x=2-2\,x-1$
$-2\,x+2\,x=2-1-3$
$0\cdot x =-2$
$0 = -2 \rightarrow \text{ e. incompatible}$
( por haber llegado a una contradicción )
c) $5\,x+6=x$
$5\,x-x=-6$
$4\,x=-6$
$x=\dfrac{-6}{4}$
$x=-\dfrac{3}{2} \rightarrow \text{ e. compatible determinada} ( la solución es única )$
$\square$
La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
La diagonal d'un rectangle mesura $10 \; \text{dm}$ i el perímetre val $28 \; \text{dm}$. Calculeu l'àrea del rectangle.
Solució:
Desginem per $x$ i $y$ les longituds dels costats desiguals del rectangle. Llavors, d'acord amb la informació de l'enunciat podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix}x+y=14 \\ \\x^2+y^2=10^2 \\ \end{matrix}\right\}$
on la primera expressa el valor del semiperímetre i la segona, pel teorema de Pitàgores, relaciona les longituds dels catets i la de la hipotenusa (la diagonal del rectangle configura un triangle rectangle). Aquest sistema d'equacions, malgrat no sigui lineal (la segona equació no l'és), el podem resoldre aïllant una de les incògnites de la primera equació i substituint l'expressió resultant (que depèn de l'altra incògnita) a la segona equació, obtenint així una equació de 2n grau, que ja sabem resoldre.
De la primera equació
$y=14-x$
i posant això a la segona
$x^2+(14-x)^2=10^2$
és a dir
$2\,x^2-28\,x+96=0$
dividint ambdós membres per $2$ podem escriure l'equació equivalent
$x^2-14\,x+48=0$
equació general completa que té com a solució els següents valors
$x=\dfrac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^2-4\cdot 1 \cdot (48)}}{2\cdot 1}$
$=\dfrac{14\pm \sqrt{4}}{2}$
$=\dfrac{14\pm 2}{2}=\left\{\begin{matrix}
8 & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
Per tant
si $x=6 \;\text{dm}$, llavors $y=8 \;\text{dm}$
o de forma equivalent
si $x=8 \;\text{dm}$, llavors $y=6 \;\text{dm}$
És a dir, la grandària del rectangle és de $8 \times 6$ ( $\text{dm}$ )
$\square$
sábado, 25 de abril de 2015
La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
La diagonal d'un rectangle fa deu centímetres. Trobeu-ne les dimensions sabent un dels costats fa dos centímetres menys que l'altre.
Solució:
La diagonal del rectangle el divideix en dos triangles rectangles iguals. Considerem un d'aquests triangles rectangles i anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per $x-2$. Els catets són, és clar, els costats desiguals del rectangle, i, la diagonal del rectangle és la hipotenusa del triangle rectangle, que mesura $10 \, \text{cm}$.
Llavors, pel teorema de Pitàgores podem plantejar
$x^2+(x-2)^2=10^2$
expandint el binomi al quadrat
$x^2+x^2-4\,x+4=100$
i agrupant els termes semblants al primer membre
$2\,x^2-4\,x-96=0$
que és una equació de segon grau completa
$a\,x^2+b\,x+c=0$
Dividint, ara, pel màxim comú múltiple dels tres coeficients, que és igual a $2$, obtenim una equació equivalent més senzilla
$x^2-2\,x-48=0$
de coeficients $a=1$, $b=-2$ i $c=48$
per tant la solució és
$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
i pels valors concrets dels coeficients que tenim
$x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}=\ldots =\left\{\begin{matrix}8\\ \\-7 \end{matrix}\right.$
El segon valor de la solució de l'equació no té sentit en el context del problema perquè, donat que estem cercant longituds, no és possible acceptar valors negatius; per tant, l'únic valor coherent amb el significat del problema és $x=8 \, \text{cm}$. I sí aquesta és la longitud del catet de major longitud, la del més petit ( dos centímetres més petit ) és igual a $6 \, \text{cm}$. Hem acabat.
$\square$
viernes, 24 de abril de 2015
Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.
Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
$h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
$1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
$2^2=n\,(n+m)$
és a dir
$4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
$4=n^2+1$
i d'aquí
$n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
$n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
$m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
$\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
$= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
$\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
$\approx 1 \,\text{cm}^2$
$\square$
Sea un triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
D'un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$, sabem que la longitud del catet $c$ és igual a $4\,\text{cm}$, i, que la projecció sobre la hipotenusa de l'altre catet, $a$, té una longitud de $3\, \text{cm}$. Calculeu-ne l'àrea.
Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
$h^2=3\,m \quad \quad (1)$
on $h$ és la longitud del segment $BP$ i $m$ és la projecció de l'altre catet ( de longitud $4 \, \text{cm}$ ) sobre la hipotenusa $b$ de $\triangle{ABC}$. Per altra banda, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$ podem escriure
$h^2+m^2=4^2 \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), i simplificant, arribem a
$m=\dfrac{4}{\sqrt{10}} \, \text{cm}$
i, posant aquest resultat a (1) i desfent el quadrat (extraient l'arrel quadrada), trobem
$h=\sqrt{3\cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}}} = \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}} \, \text{cm}$
Ara, doncs, ja podem calcular l'àrea:
$\mathcal{A}=\dfrac{(m+3)\,h}{2}$
$= \dfrac{1}{2}\,\bigg(\dfrac{4}{\sqrt{10}}+3\bigg)\cdot \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}}$
i, operant i simplificant, queda
$\mathcal{A}\approx 4\, \text{cm}^2$
Nota: prenem el resultat de les arrels quadrades en valor absolut
$\square$
Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.
Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
$\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
$\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
$s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
$s_2=s$
$s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
$x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
$\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
$\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
$s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
$\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$
jueves, 23 de abril de 2015
Aplicamos a un punto del plano dos traslaciones sucesivas ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Apliquem al punt del pla $P(2,-3)$ dues translacions successives, de vectors respectius $\vec{t}_1=(-3,7)$ i $\vec{t}_2=(5,-1)$. Calculeu les coordenades del punt imatge $P^{'}$.
Solució:
L'aplicació successiva de les dues translacions es pot expressar amb una sola, de vector de translació igual a la suma $\vec{t}=\vec{t}_1+\vec{t}_2$ que té les següents components $(-3,7)+(5,-1)=\big(-3+5,7+(-1)\big)=(2,6)$
Llavors, les coordenades del punt resultant de la translació es calculen fent la suma de vectors
$\vec{OP^{'}}=\vec{OP}+\vec{t}=(2,-3)+(2,6)=(2+2,-3+6)=(4,3)$
on
$\vec{OP}$ és el vector de posició del punt objecte $P$
$\vec{OP^{'}}$ és el vector de posició del punt imatge $P^{'}$
És a dir,
$P^{'}_x=4$
$P^{'}_y=3$
$\square$
Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.
Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.
Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
$h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$
Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
$2\,m= h^2$
és a dir
$2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
$2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
$b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$
Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
$=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
$\approx 5 \,\text{cm}^2$
Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
$\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$
Fet això, tenim que
$\mathcal{P}=a+b+c$
$=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
$=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
$\approx 11 \,\text{cm}$
$\square$
miércoles, 22 de abril de 2015
Un trapecio circular de radios ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un trapezi circular de radis $2\,\text{dm}$ i $3\,\text{dm}$ és abastat per un angle central de $36^{\circ}$. Calculeu l'àrea d'aquest sector circular.
Solució:
L'àrea de la corona circular completa és igual a la diferència de les àres dels cercles
$\mathcal{A}_{360^{\circ}}=\pi\,3^2-\pi\,2^2$
Plantejant, ara, la proporció directa entre àrea i amplitud angular
$\dfrac{\mathcal{A}_{36^{\circ}}}{36}=\dfrac{\mathcal{A}_{360^{\circ}}}{360}$
per tant
$\dfrac{\mathcal{A}_{36^{\circ}}}{36}=\dfrac{\pi\,3^2-\pi\,2^2}{360}$
$\mathcal{A}_{36^{\circ}}=\dfrac{36}{360}\cdot (\pi \,3^2-\pi\,2^2)$
$=\dfrac{1}{10}\cdot \pi (9-4)$
$=\dfrac{5}{10}\cdot \pi $
$=\dfrac{\pi}{2}\, \text{dm}^2$
$\square$
Una pecera tiene forma de paralelepípedo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Una peixera té forma de prisma recte, de base rectangular. Les longituds de les arestes mesuren $2\,\text{m}$, $3\,\text{m}$ i $4\,\text{m}$. Si un peix es mou en línia recta, quina és la màxima distància que es pot desplaçar sense canviar de direcció ni canviar de sentit ?.
Solució:
El camí que dóna la màxima distància és el de la diagonal del prisma $d$, i, tal i com és ben sabut, aplicant el teorema de Pitàgores dos cops, sobre els triangles rectangles que es configuren (dibuixeu vosaltres la figura), aquesta longitud és igual a $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} \, \text{m} \approx 5 \, \text{m} $
$\square$
Queremos repartir de forma directamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser directament proporcional a l'edat.
Solució:
Anomenem:
$p$ a la quantitat que li correspon al petit
$m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
$g$ a la quantitat que li correspon al gran
És evident que haurem de trobar que $p \le m \le g$. I s'haurà de complir que
$\dfrac{p}{4}=\dfrac{m}{5}=\dfrac{g}{6}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat directa, $k_d$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
$\dfrac{p+m+g}{4+5+6}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que ( operant i simplificant ) aquesta la constant de proporcionalitat directa, $k_d$, té el següent valor
$k_d=\dfrac{10}{3}$
Per tant,
$\dfrac{p}{4}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow p \approx 33,33 \,\text{euros}$
$\dfrac{m}{5}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow m \approx 16,67 \,\text{euros}$
$\dfrac{g}{6}=\dfrac{10}{3} \Rightarrow p = 20 \,\text{euros}$
$\square$
Queremos repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser inversament proporcional a l'edat.
Solució:
Anomenem:
$p$ a la quantitat que li correspon al petit
$m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
$g$ a la quantitat que li correspon al gran
És evident que haurem de trobar que $p \ge m \ge g$. I s'haurà de complir que
$\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat inversa, $k_i$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
$\dfrac{\;p+m+g\;}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que aquesta la constant de proporcionalitat inversa ( operant i simplificant ) té el següent valor
$k_i=\dfrac{3000}{37}$
Per tant,
$\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow p \approx 20,27 \,\text{euros}$
$\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow m \approx 16,22 \,\text{euros}$
$\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow g \approx 13,51 \,\text{euros}$
$\square$
martes, 21 de abril de 2015
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \, \text{cm}$, i, la seva projecció sobre la hipotenusa, $2\,\text{cm}$. Dibuixeu un esquema del triangle i calculeu l'àrea i el perímetre.
Solució:
Àrea:
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,h\,(2+m) \quad \quad (1)$
Perímetre:
$\mathcal{P}=3+(2+m)+b \quad \quad (2)$
Cal, doncs, calcular $h$, $m$ i $b$:
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
$h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h = \sqrt{5} \, \text{cm}$
Aplicant el teorema de l'altura al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
$5=2\,m \Rightarrow m=\dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
per tant, la hipotenusa d'aquest triangle té una longitud de
$\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$
Calcularem $b$ aplicant el teorema del catet al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
&bnsp $b^2=\dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{5}{2} \Rightarrow b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}\,\text{cm}$
I, finalment
de (1):
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2} \,\sqrt{5} $
$=\dfrac{9}{4}\,\sqrt{5} \,\text{cm}^2 $
$\approx 5 \,\text{cm}^2 $
de (2):
$\mathcal{P}=3+\dfrac{9}{2}+\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}$
$=\dfrac{15}{2}+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} $
$=\dfrac{3}{2}\,\big(5+ \sqrt{5}\big) \, \text{cm} $
$\approx 11 \,\text{cm}$
$\square$
Un cono tiene una altura de ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un con té una altura igual a $4\, \text{m}$, i, el radi de la base mesura $2\, \text{m}$. Calculeu l'angle que abasta el sector circular corresponent a la superfície lateral del desenvolupament pla. Calculeu també l'àrea de la superfície lateral del con.
Solució:
Per calcular l'angle $\alpha$ del sector circular (que és l'àrea lateral del desenvolupament pla), que te radi igual a la generatriu del con, cal plantejar una proporció directa entre l'amplitud angular i la longitud de l'arc:
$\dfrac{\alpha}{2\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\pi\,g} \Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ} \quad \quad (1)$
Caldrà, doncs, calcular la longitud de la generatriu, $g$, que, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que es configura en tallar el con per un pla diametral, s'escriu
$g^2=r^2+h^2$ ( $h$ és l'altura del con )
és a dir
$g^2=2^2+4^2 \Rightarrow g=2\,\sqrt{5}$
Llavors, de (1)
$\alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ}$
$ = \dfrac{2}{2\,\sqrt{5}}\,360^{\circ}\approx 80^{\circ}$
Per calcular l'àrea de la superfície lateral del con ( del sector circular de la figura ) tornarem a fer ús de la relació de proporcionalitat directa entre la longitud d'arc i l'àrea:
$\dfrac{\mathcal{A}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g} \Rightarrow \mathcal{A}=\pi\,r\,g$
I, donades les dades del problema, el seu valor és
$\mathcal{A}=\pi \, 2 \cdot 2\,\sqrt{5}$
$=4\,\sqrt{5}\,\pi \, \text{m}^2$
$\approx 29\, \text{m}^2$
$\square$
Consideremos dos polígonos semejantes tal que la razón de sus perímetros es $3$ ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dos polígons semblants. La raó dels seus perímetres és igual a $3$. L'àrea del més petit és igual a $5\,\text{m}^2$. Quant val l'àrea del més gran ?.
Enunciat:
Si la raó dels seus perímetres és $3$, la raó de semblança, $r$, és també igual a $3$; per tant, la raó aritmètica entre les àrees és igual a $r^2$, que és $3^2=9$.
És a dir, de
$\dfrac{\mathcal{A}_{gran}}{\mathcal{A}_{petit}}=r^2$
obtenim
$\mathcal{A}_{gran}=3^2\cdot 5$
$=45 \, \text{m}^2$
$\square$
Sean dos esferas; el radio de la primera es el triple que el de la segunda ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dues esferes $E_1$ i $E_2$. El radi $r_1$ de la primera és tres vegades més gran que el radi $r_2$ de la segona. Quantes vegades és més gran el volum de le primera que el de la segona ? Quantes vegades és més gran l'àrea de la superfície de la primera que la de la segona ?.
Solució:
El volum d'una esfera de radi $r$ es calcula de la següent manera
$\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$
i l'àrea de la superfície d'una esfera es calcula fent
$\mathcal{A}=4\pi\,r^2$
Tenint en compte que
$\dfrac{r_1}{r_2}=3$
veiem que la raó aritmètica entre els volums és igual a ( simplificant les expressions )
$\dfrac{\mathcal{V}_1}{\mathcal{V}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^3=3^3=27$
és a dir, el volum de la primera esfera és $27$ vegades més gran que el de la segona.
I, pel que fa a la raó aritmètica entre les àrees,
$\dfrac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^2=3^2=9$
per tant, veiem que l'àrea de la primera esfera és $9$ vegades més gran que el de la segona.
$\square$
Un ciclista ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Observem un ciclista en una bicicleta de muntanya ( el diàmetre de les rodes és de $26 \,\text{polzades}$ - encara avui és habitual fer servir les imperial units quan parlem del diàmetre de les rodes de les bicicletes - , és a dir, $660\,\text{mm}$ en el sistema mètric ) i veiem que fa $1$ pedalada cada segon, en un terreny horitzontal ( sense pujades ni baixades ), sempre al mateix ritme i, per tant, a velocitat constant. Sabem que al canvi de la seva bicicleta, el ciclista ha seleccionat un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents [ com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere ]. Us demanem:
a) A quina velocitat es desplaça aquest ciclista ?
b) Quant de temps li caldrà per completar un recorregut de $15\,\text{km}$ pel mateix tipus de terreny ( sense pujades ni baixades, mantenint el ritme de les pedalades ) ?.
Solució:
a)
[a.1] Primer de tot, calcularem la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i, tal com s'ha explicat en d'altres problemes, les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra perquè la velocitat de gir d'una de les les dues rodes engranades per la cadena és tan més gran com més petit és el seu nombre de dents. Designem per $w_p$ la velocitat de gir del plat i per $w_c$ la velocitat de gir de la corona, i, anomenem $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona. Llavors, per la relació de proporcionalitat inversa podem platejar
$\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
$w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
$52 \cdot 1 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
$w_c= \dfrac{52 \cdot 1}{13} $
$= 4 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$
[a.2] A continuació, sabent quant val la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i coneixent també la mesura del diàmetre de les rodes, podem calcular la velocitat a la qual es desplaça: la velocitat lineal d'un punt de la circumferència d'una roda ha de ser igual a la velocitat de translació de la bicicleta, atès que, en bona lògica, suposem que el desplaçament es produeix sense que hi hagi lliscament.
Com que la longitud de la circumferència del contorn de la roda és igual a $\pi\cdot d$ ( on $d$ representa el diàmetre de la roda ), raonem de la manera següent: donat que en $1\,\text{s}$ les rodes completen $4$ voltes, i, per cada volta, la bicicleta es desplaça una longitud igual a
$\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
llavors, fent $4$ voltes de roda en aquest interval de temps, la bicicleta recorre
$4\,\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
que, donada la dada del diàmetre, és igual aproximadament a
$8\,294 \quad \text{mm}=8,294 \quad \text{m} \approx 8,294 \quad \text{km} $
és a dir, es desplaça a una velocitat de
$8,294 \; \dfrac{\text{km}}{s}$
que, expressada en quilòmetres per hora, és aproximadament igual a
$30 \; \dfrac{\text{km}}{h}$
b)
Sabent a quina velocitat es mou podem calcular, ara, el temps $t$ que tardarà a recórrer una longitud de $30\,\text{km}$; per això, plantejarem una senzill proporció que, ara, és directa ( entre les magnituds temps i longitud ) atès que quan el valor d'una d'aquestes augmenta ( disminueix, respectivament ) l'altra també augmenta ( disminueix, respectivament), és a dir, prenent el valor aproximat de la velocitat expressada en quilòmetres per hora, que hem calculat a l'apartat anterior, escriurem la següent proporció, que, donat que és directa hem decidit posar els valors de la longitud als denominadors i les quantitats de temps als numeradors ( d'un i altre membre)
$\dfrac{1}{30}=\dfrac{t}{15} \Rightarrow t = 0,5 \, \text{h}=30 \, \text{min}$
Nota: Observem que l'equació expressa la igualtat entre les dues raons aritmètiques ( de cada membre ), que representen les velocitats i que, naturalment, han de ser iguals.
$\square$
Interés simple y compuesto ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu el capital inicial $C_0$ i els interessos que dóna $I$ sabent que, aquest capital inicial invertit a una taxa d'interès anual $i$ del $5\,\%$, produeix en $4$ anys un capital final $C_n$ de $1\,500 \; \text{euros}$, tenint en compte que els càlculs es fan d'acord amb els següents models:
a) interès simple
b) interès compost
Solució:
a)
Segons el model d'interès simple,
$C_n=C_{0}\,n\,i+C_0$
expressió que també es posar així
$C_n=C_{0}\big(\,n\,i+1\big)$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
$1500=C_{0}\big(4\cdot 0,05+1\big)$
i resolent l'equació
$C_0=\dfrac{1500}{1,2} = 1250 \,\text{euros}$
Per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
$I=C_n-C_0$
$=1500-1250$
$=250 \, \text{euros}$
b)
Segons el model d'interès compost,
$C_n=C_{0}\,(1+i)^n$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
$1500=C_{0}\big(1+0,05\big)^4$
i resolent l'equació
$C_0 = \dfrac{1500}{1,05^4} \approx 1234,05 \,\text{euros}$
De la mateixa manera que en l'apartat anterior, per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
$I=C_n-C_0$
$=1500-1234,05$
$=265,95 \, \text{euros}$
$\square$
Depositamos una cierta cantidad de dinero a interés simple ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional d'aquesta quantitat inicial, que designem per $i$ ( en tant per u ) i que anomenem taxa d'interès ( referida a l'interval de temps establert ). Quin és el valor de la quantitat acumulada $C_n$ a l'n-èssim interval ? Quin benefici ( interès simple produeix aquesta quantitat $C_0$ en $n$ intervals de temps iguals ?
Solució:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$
Al final del segon interval, trobem $C_{0}+ C_0\,i+C_0\,i=C_0+2\,C_0\,i$
Al final del tercer interval, $C_0+2\,C_0\,i+C_0\,i=C_0+3\,C_0\,i$
i així successivament fins al final de l'n-èssim interval ( d'acord amb la regla de formació del valor dels termes d'una successió aritmètica ), en què queda acumulada la quantitat $C_n=C_{0}+ n\,C_0\,i$
Per tant, el benefici ( que recordem que s'anomena interès simple i que designarem per $I$ ) és igual a
$\big( C_{0}+ n\,C_0\,i \big) - C_0$
i, simplificant, queda
$I=n\,C_{0}\,i$
$\square$
Una sucesión aritmética de la cual se conoce la diferencia y el valor del primer término ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del primer terme $a_1$, determineu:
a) l'expressió del terme n-èssim
b) l'expressió de la suma dels $n$ primers termes consecutius
Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
$a_1$
$a_{2}=a_{1}+ d$
$a_{3}=a_{2} +d =a_1 +d+d=a_{1}+2\,d$
$a_{4}=a_{3}+d=a_2 +2\,d+d=a_1 +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
$a_{n} = a_1+(n-1)\,d \quad \quad (1)$
$\text{on} \; \; n = 1,2,3,\ldots$
b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
$S_{n\,\text{termes consecutius}} = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
$S_{n\,\text{termes consecutius}}=(a_{1}+a_{n})\cdot \dfrac{n}{2} \quad \quad (2)$
$\square$
lunes, 20 de abril de 2015
Considar dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre les àrees és igual a la raó de semblança $r$ elevada al quadrat.
Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents que designem com a bases, $b$ i $b'$ és igual a $r$, i, semblantment, la raó aritmètica entre les longituds dels segments altura d'aquestes bases, $h$ i $h'$, també és igual a $r$:
$r=\dfrac{b'}{b} \quad \quad (1)$
$r=\dfrac{h'}{h} \quad \quad (2)$
Tenint en compte que les àrees respectives es calculen de la forma
$\mathcal{A}=\dfrac{b\,h}{2} \quad \quad (3)$
i
$\mathcal{A'}=\dfrac{b'\,h'}{2} \quad \quad (4)$
dividint membre a membre (4) entre (3) trobem
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{b'\,h'}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
Tenint en compte (1) i (2)
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{(r\,b)\,(r\,h)}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
i, simplificant, queda
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
$\square$
Nota 1: El resultat s'estén a la raó entre les àrees de dos poligons semblants qualssevol, atès que tot poligon es pot descompondre en un conjunt de triangles ( com un puzzle ) i, doncs, l'àrea del poligon és igual a la suma de les àrees d'aquests triangles.
Nota 2: El resultat s'estén - encara més - a les figures semblants el contorn de les quals és una corba contínua no entrellaçada i tancada ( un cercle, per exemple); i això, perquè la corba es pot aproximar per una línia poligonal amb un nombre de vèrtexs tan elevat com vulguem [ prenent-los, a més a més, tan propers els un als altres com desitgem ]. És evident que l'àrea del recinte poligonal tendirà a ser igual al del recinte tancat per la corba, amb precisió il·limitada.
Nota 3: Recordem - d'altres exercicis i d'altres comentaris - que la raó entre les longituds de segments corresponents de dues figures semblants és igual a la raó de semblança
$\dfrac{l'}{l}=r$
i que, ara, acabem de demostrar que la raó aritmètica entre les àrees de dues figures semblants ( tancades ) és igual a la raó de semblança elevada al quadrat
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
Estenent aquests resultats a una dimensió més ( pensant en els volums dels cossos a l'espai tridimensional ), és natural arribar a la següent generalització: la raó arimètica entre els volums de dos cossos semblants ( políedres, cossos de revolució, etcètera ) és igual a la raó de semblança elevada al cub,
$\dfrac{\mathcal{V'}}{\mathcal{V}}=r^3$
$\square$
Sean dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre els perímetres també és igual a la raó de semblança $r$.
Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents són iguals a la raó de semblança (Teorema de Tales)
$r=\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}$
llavors, per les propietats de les proporcions, també es compleix que
$\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
és a dir
$r=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
I, donat que el numerador de la raó de la darrera fracció de la tercera desigualtat és igual al perímetre de $\triangle{A'B'C'}$, i, el denominador és igual al perímetre de $\triangle{ABC}$, es compleix que
$\dfrac{\mathcal{P}'}{\mathcal{P}}=r$
$\square$
Nota: El resultat s'estén a dues línies poligonals semblants de $n$ vèrtexs; per tant, també s'estén a dues corbes semblants, atès que podem fer l'aproximació de qualsevol corba continua per una poligonal, amb precisió ilimitada [ prenent tants vèrtexs com vulguem, i tan propers els un als altres com desitgem ].
En una bicicleta, ponemos la siguiente combinación de piñón y platos ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
En una bicicleta, posem la següent marxa: un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents. Com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere. La pregunta que us plantegem, ara, és la següent: per cada tres voltes que fa el plat, quantes voltes fa la corona ?.
Solució:
Les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals perquè la velocitat de gir és tan més gran com més petit és el nombre de dents. Anomenant $w_p$ a la velocitat de gir del plat, $w_c$ a la de la corona; $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona, podem platejar la següent proporció inversa,
$\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
$w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
$52 \cdot 3 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
$w_c= \dfrac{52 \cdot 3}{13} $
$= 12 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$
$\square$
domingo, 19 de abril de 2015
Una conducción de agua aporta dos litros cada minuto ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Una conducció aporta aigua a raó de dos litres cada minut i tarda vint hores a omplir una dipòsit. Disposem també d'una segona conducció que pot aportar cinc litres d'aigua cada dos minuts. Si decidim omplir el dipòsit obrint totes dues conduccions a la vegada, quant de temps caldrà ?.
Nota: Us demanem que resolgueu el problema sense passar pel calcul preliminar de la capacitat del dipòsit.
Enunciat:
Les magnituds relacionades en aquest problema són el cabal d'aigua, $\mathcal{C}$, que expressa la quantitat d'aigua per unitat de temps, i el temps d'ompliment del dipòsit, $\mathcal{T}$. Ambdues magnituds són proporcionals, i donat que com més aigua per unitat de temps ( cabal ) entra al dipòsit, menys temps caldrà per tenir-lo ple, la proporció entre aquestes dues magnituds és inversa.
Sigui $c$ el valor del cabal de la primera conducció i $c'$ la suma dels cabals de la primera i de la segona; $t$ el valor del temps que necessita la primera conducció per omplir-lo ( tota sola ) i $t'$ el temps que es necessita per tal que totes dues conduccions, obertes a la vegada, omplin el dipòsit. S'escau plantejar la següent proporció:
$\dfrac{t}{\frac{1}{c}}=\dfrac{t'}{\frac{1}{c'}}$
que, operant a cada membre, també podem expressar de la forma
$t \cdot c =t' \cdot c'$
Llavors, posant les dades de l'enunciat
$c=2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
$t=20 \, \text{h}=1200 \, \text{min}$
$c'=\bigg(2+\dfrac{5}{2} \bigg) \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}=4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
$t'=\text{?}$
podem escriure la següent equació
$t'=\dfrac{1200\cdot 2}{4,5}$
$= 533.\bar{3} \; \text{min}$
$\approx 8 \, \text{h} \; 52 \, \text{min}$
Observació/comprovació del resultat: Havent arribat ja a la solució, sí que és interessant, ara, resoldre el problema calculant en primer lloc la capacitat del dipòsit i, a partir, d'aquest resultat preliminar i del cabal total, comprovar si el resultat obtingut coincideix amb el que hem obtingut respectant el requeriment de la nota de l'enunciat.
La capacitat del dipòsit l'obtenim amb les dades de la primera conducció i és igual a
$2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} \cdot 1200 \, \text{min}=2400 \, \text{l}$
Llavors, tenint en compte que el cabal, amb les dues conduccions, és
$4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
el temps que caldrà per omplir el dipòsit amb les dues conduccions obertes a la vegada serà de
$2400 \, \text{l} \div 4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} = 533,\bar{3} \, \text{min}$
i que coicideix, efectivament, amb el resultat anterior.
$\square$
sábado, 18 de abril de 2015
Sobre isometrías y homotecias (...) Responder de forma concisa ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Doneu una resposta concisa ( breu i clara): a) Tipus d'isometries ( o moviments ) en el pla; b) Quina diferència hi ha entre una isometria ( o moviment ) i una homotècia ?; c) Quina transformació s'obté de composar una isometria ( moviment ) amb una homotècia ?.
Solució:
a)
Les isometries o moviments poden ser: translacions, girs, i simetries ( respecte d'una recta, o també, respecte d'un punt ).
b)
Una isometria conserva la forma de la figura i també la grandària; una homotècia, però, per bé que conservi la forma, canvia la grandària ( redueix o bé amplia ) si la raó de l'homotècia $k$ és diferent de $\pm 1$.
c)
El resultat de composar una isometria amb una homotècia és una semblança, una figura de la mateixa forma que l'original ( però: traslladada, girada, o transformada segons una simetria de mirall ), que conserva la forma, però no necessàriament la grandària.
$\square$
viernes, 17 de abril de 2015
Clasifíquense los siguiente sistemas de ecuaciones según su solución ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Estudieu els següents sistemes d'equacions:
a)
$\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
b)
$\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
c)
$\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Solució:
a)
$\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
Els primers membres d'ambdues equcions són iguals, llavors els segons membres també ho ha de ser, però, en igualar-los, ens trobem amb una contradicció: $1=2$. Concloem que el sistema és incompatible ( no té solució ).
b)
$\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
La segona equació és igual a la primera multiplicada per $-2$, per tant el sistema equival a una sola equació amb dues incòngnites $3\,x-y=4$ i en donar valors arbitraris a una de les dues (variable secundària), l'altra (la variable principal) pren el valor que l'estructura de l'equació li fa correspondre. Com que podem donar infinits valors a la variable secundària, hi ha infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat.
c)
$\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Aquest sistema és compatible determinat; li correspon un sol valor a la variable $x$ i un sol valor a la variable $y$, valors que podem calcular fàcilment, en aquest cas, perquè si sumem terme a terme ambdós membres de les equacions obtenim l'equació $2\,x=0$ (equació equivalent a cada una de les dues) de la qual deduïm que $x=0$ i, substituint aquest valor en una de les dues originals, trobem que $y=1$.
$\square$
Realizar los siguientes cálculos de forma exacta ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Trobeu el resultat exacte (evitant els truncaments o arrodoniments decimals) que surt de l'operació següent
$(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots) $
Solució:
Els dos nombres decimals que representen els factors del producte corresponen a nombres racionals ( atès que són nombres decimals periòdics ); per tant, malgrat hi hagi un nombre infinit de xifres en les parts decimals, podem arribar al resultat exacte determinant, primer de tot, les expressions fraccionàries:
$2,14444\ldots = 2,1\bar{4}=\dfrac{214-21}{90}=\dfrac{193}{90}$ ( nombre decimal periòdic mixt )
$0,33333\ldots = 0,\bar{3}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$ ( nombre decimal periòdic pur )
Llavors,
$(2,14444\ldots) \times (0,333\ldots)=$
$= \dfrac{193}{90} \cdot \dfrac{1}{3}$
$= \dfrac{193}{270}$
$\square$
Resolver la siguiente ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Resoleu la següent equació de segon grau:
$x^2+\dfrac{1}{6}\,x-\dfrac{1}{3}=0$
Enunciat:
Multiplicant a cada costat de l'igual per $6$ arribem a una equació equivalent més senzilla
$6\,x^2+x-2=0$
de coeficients $a=6$, $b=1$ i $c=-2$
Llavors, per la fórmula de la solució de l'equació general completa:
$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$
on el discriminant $\Delta$
es calcula fent $b^2-4\,a\,c$
Trobem que
$\Delta = -1 - 4\cdot 6 \cdot (-2)=49$
que és més gran que zero, per tant, hi haurà dos valors diferents com a solució:
$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{49}}{12}=\dfrac{-1 \pm 7}{12}\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}\\ \\-\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$
$\square$
Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
$(x+y)^2=x^2+2\,x\,y+y^2$
Solució:
$(x+y)^2=(x+y)\cdot (x+y)$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és igual a
$=x\cdot x + x\cdot y+ y\cdot x + y\cdot y$
i agrupant termes semblants queda
$=x^2 + 2\,x+y^2$
$\square$
Observació: Si canviem el signe més de la suma dels dos monomis que formen la base de la potència al quadrat del primer membre obtindrem:
$(x-y)^2=x^2-2\,x\,y+y^2$
i, doncs, aquesta identitat notable es generalitza de la forma
$(x\pm y)^2=x^2 \pm 2\,x\,y+y^2$
Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27^2$ fent ús d'aquesta propietat ?
$27^2 = (25+2)^2=25^2+2\cdot 25 \cdot 2 +2^2$
$=625+100+4=725+4=729$
jueves, 16 de abril de 2015
Compruébese que ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Comproveu que
$\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$
Solució:
En efecte,
$\displaystyle 2^{{3}^{2}} = 2^{9} = 512$
i, per contra,
$\displaystyle \big(2^3\big)^2 = 8^2 = 64 \neq 512$
per tant
$\displaystyle 2^{{3}^{2}} \neq \big(2^3\big)^2$
$\square$
Justificar la siguiente identidad ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Justifiqueu la següent identitat:
$(x+y)\cdot (x-y)=x^2-y^2$
Solució:
Per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, el primer membre de la igualtat, $(x+y)\cdot (x-y)$, es desenvolupa i queda igual a
$=x\cdot x + x\cdot y - y\cdot x - y\cdot y$
$=x\cdot x + x\cdot y - x\cdot y - y\cdot y$
$=x^2 + x\cdot y - x\cdot y - y^2$
$=x^2 + x\cdot y \cdot (1-1) - y^2$
$=x^2 + \cdot x \, y \cdot 0 - y^2$
$=x^2 + 0 - y^2$
$=x^2 - y^2$
$\square$
Exemple d'aplicació al càlcul mental
Com es podria calcular mentalment $27\cdot 23$ fent ús d'aquesta propietat ?
$27\cdot 23 = (25+2)\cdot(25-2)=25^2-2^2=625-4=621$
Un pintor puede pintar un muro en tres horas ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un pintor A pot pintar un tanca en tres hores. Un company seu, que anomenarem B, la pot pintar en dues hores. Si decideixen col·laborar, treballant simultàniament, sense destorbar-se l'un a l'altre, quant de temps tardaran a pintar-la ?.
Solució:
Si A, tot sol, pinta tota la tanca en tres hores, llavors en pinta una tercera part en una hora, i, si B pinta la totalitat de la tanca ( treballant sol ) en dues hores, llavors en pinta la meitat en una hora. Per tant, en una mateixa hora, tots dos treballant simultàniament, pinten
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
que és igual a
$\dfrac{5}{6}$
parts de la tanca
A partir, d'aquí, anomenem $t$ al temps que els cal per pintar-la treballant a la vegada i plategem la proporció directa corresponent:
$\dfrac{\;t\;}{\frac{6}{6}}=\dfrac{\;1;}{\frac{5}{6}}$
és a dir
$t=\dfrac{\;1}{\frac{5}{6}}$
$=\frac{6}{5}$
$=1+\frac{1}{5}$
$=1 \; \text{h} \; 12 \; \text{min}$
$\square$
Los vértices de un triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Els vèrtexs d'un triangle $\triangle{ABC}$ són els punts del pla $A(-1,1)$, $B(1,0)$ i $C(-1,-1)$. Us demanem:
a) La construcció ( amb regle i compàs ) del triangle homotètic $\triangle{A'B'C'}$ al triangle donat $\triangle{ABC}$, amb centre d'homotècia $O(0,0)$ i raó d'homotècia $r=3$.
b) L'àrea $\mathcal{A}$ del triangle $\triangle{ABC}$
c) L'àrea $\mathcal{A'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
d) El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$
e) El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
Nota: L'àrea i les longitus es donen en unitats del gràfic ( unitats arbitràries ).
Solució:
a)
b)
El triangle $\triangle{ABC}$ ( igual que el seu homotètic $\triangle{A'B'C'}$ ) és un triangle isòsceles i, doncs, es divideix en dos triangles rectangles iguals, per tant la seva àrea és igual al doble de l'àrea d'un d'aquests triangles rectangles, que és igual a l'àrea d'un rectangle les longituds dels costats del qual són igual a les longituds dels catets d'un d'aquests dos triangles rectangles:
$\mathcal{A}=1 \cdot 2 = 2 \, \text{unitats d'\`area}$
c)
Calcularem l'àra $\mathcal{A'}$ a partir de $\mathcal{A}$ ( que acabem de calcular i que val $2$ unitats d'àrea ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
$\mathcal{A'}=\mathcal{A}\cdot r^2$
$=2\cdot 3^2$
$=18 \, \text{unitats d'\`area}$
d)
El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$ és igual a la suma de les longituds dels costats
$\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
Tinguem en compte que $\overline{AB}=\overline{BC}$
ja que l'eix Ox, que passa per $B$, divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos t. rectangles
Llavors, com que els catets d'aquests t.r. tenen longitus $1$ i $2$, respectivament, la seva hipotenusa $AB$ mesura
$\overline{AB}=\left| \sqrt{2^2+1^2}\right|=\left| \sqrt{5}\right|$
Per tant
$\mathcal{P}=2\,\left| \sqrt{5}\right|+2$
$=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$
$\approx 6,47 \, \text{unitats de longitud}$
e)
El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle resultant de l'homotècia, $\triangle{A'B'C'}$ es pot calcular a partir de $\mathcal{P}$ ( que acabem de calcular i que val $2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$ unitats de longitud ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
$\mathcal{P'}=\mathcal{P}\cdot r$
$=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1) \cdot 3$
$=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1)$
$=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1) \text{unitats de longitud}$
$\square$
miércoles, 15 de abril de 2015
Demostrar la siguiente identidad notable ... ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Demostreu la següent identitat notable:
$(x+y)^3=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,+y^3$
i poseu un exemple d'aplicació al càlcul mental.
Solució:
$(x+y)^3=(x+y)^{2}\,(x+y)=(x^2+2\,x\,y+y^2)\,(x+y)$
$=x^3+2\,x^2\,y +x\,y^2+x^2\,y+2\,x\,y^2+y^3$
i agrupant els termes semblants arribem a l'expressió del segon membre
$=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,x+y^3$
$\square$
Observació:
Canviant la suma de la base del binomi per una resta, és fàcil veure que
$(x-y)^3=x^3-3\,x^2\,y+3\,y^2\,-y^3$
Per tant es pot escriure aquesta identitat més general
$(x\pm y)^3=x^3 \mp 3\,x^2\,y+3\,y^2\,\mp y^3$
Exemple d'aplicació al càlcul mental: Càlcul de $12^3$
$12^3=(10+2)^3=10^3+3\cdot 10^2 \cdot 2 + 3\cdot 2^2 \cdot 10 + 2^3$
$=1\,000+600+120+8=1\,728$
Un cierto número natural es mayor que ... ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Sabem que un determinat nombre natural és més gran que $10$ i més petit que $100$, i que la suma de les seves xifres és igual a $9$. Per altra banda, sabem també que si invertim l'ordre de les seves xifres, s'obté un altre nombre natural que, restant-lo del primer, dóna com a resultat el nombre $27$. De quin nombre natural estem parlant ?.
Solució:
Anomenem $x$ a la xifra de les desenes i $y$ a la xifra de les unitats del nombre demanat. Llavors, traduint les frases de l'enunciat al llenguatge de l'àlgebra, tenim: (i) $x+y=9$, i, (ii) $(10\,x+y)-(10\,y+x)=27$. Per tant, cal resoldre el següent sistema d'equacions:
$\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ 9 \,x &-&9\,y&=&27\\ \end{matrix}\right.$
simplificant la segona equació,
$\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ x &-&y&=&3\\ \end{matrix}\right.$
i, sumant membre a membre, totes dues equacions
$2\,x=12$ i, doncs, $x=6$ ( xifra de les desenes ). Amb la qual cosa, $y=9-6$, que és igual a $3$ ( xifra de les unitats ).
El nombre demanat és, per tant, $63$
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions:
$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&3\,y&=&5 \\ -3 \,x &+&5\,y&=&1\\ \end{matrix}\right.$
Solució:
Escollim el mètode de reducció i, per això, efectuem les següents operacions elementals entre equacions ( naturalment, podem escollir també altres combinacions ): multipliquem la primera equació per $3$ i la segona per $2$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), trobem el següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
$\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ \, &\,&19\,y&=&17\\ \end{matrix}\right.$
Ara, aïllant la icògnita $y$ de la segona equació (reduïda) arribem a
$y=\dfrac{17}{19}$
Per calcular el valor de $x$ podem substituir el resultat que acabem de trobar ( per a la incògnita $y$) a una de les dues equacions originals, o bé, semblantment al que hem fet, escollir també una combinació vàlida d'operacions elementals entre els dues equacions per tal d'obtenir una equació reduïda que només depengui de la incògnita $x$. Així, si multipliquem la primera equació per $-5$ i la segona per $3$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), arribem al següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
$\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ 19\,x\, &\,&\,&=&22\\ \end{matrix}\right.$
I aïllant la icògnita $x$ de la segona equació (reduïda convenientment)
$x=\dfrac{22}{19}$
$\square$
Dada la sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $ k \ge 1 $ ), determineu:
a) l'expressió del terme n-èssim ( comptat a partir del k-èssim donat )
b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir del terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )
Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
$a_k$
$a_{k+1}=a_{k}+ d$
$a_{k+2}=a_{k+1} +d =a_k +d+d=a_{k}+2\,d$
$a_{k+3}=a_{k+2}+d=a_k +2\,d+d=a_k +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
$a_{k+n} = a_k+n\,d \quad \quad (1)$
$\text{on} \; \; n=1,2,3\ldots, \; \text{i} \; n \ge k$
Si, en particular, $k=1$, l'expressió anterior queda
$a_{n+1} = a_1+n\,d$
expressió de la qual ( canviant $n+1$ per $n$ i $n$ per $n-1$ ) en deduïm l'expressió del terme general que se'ns demana:
$a_{n} = a_1+(n-1)\,d$
on $a_1$ representa el valor del primer terme de la successió.
Exemple/comprovació: El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quin valor té el terme $a_{7}$ ?
De (1), $a_7=a_{5+2}=a_5+2\,d$, és a dir, $a_7=-3+2\cdot 2 = 1$. En efecte, els tres termes de la seqüència són $\{-3 \quad , \quad -3+2=-1 \quad , \quad -1+2=1\}$
b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
$S_{m\,\text{termes consecutius}} = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
$a_{k}+a_{k+m-1}=a_{k+1}+a_{k+m-2}=a_{k+2}+a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
$S_{m\,\text{termes consecutius}}=(a_{k}+a_{k+m-1})\cdot \dfrac{m}{2} \quad \quad (2)$
Nota: Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
$S_{m\,\text{primers termes consecutius}}=\dfrac{(a_{1}+a_{m})\,m}{2}$
Exemple/comprovació: El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quant val la suma dels tres primers termes de la seqüència?
De (2),
$S_{\text{tres termes consecutius}}=\dfrac{(a_{5}+a_{7})\cdot 3}{2}=\dfrac{(-3+1)\cdot 3}{2}=-3$
En efecte, comprovem aquest resultat fent la suma acumulativa: $-3+(-1)+1=-3$
$\square$
miércoles, 8 de abril de 2015
Calcular la cantidad que corresponde al quince por ciento de ... ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Calculeu la quantitat que correspon al quinze per cent de quatre-mil cinc-centes unitats.
Solució:
Si d'un total de cent parts ( en total ) en considerem quinze, podem expressar això mitjançant la raó aritmètica
$\dfrac{15}{100}$
que equival a
$\dfrac{3}{20}$
Per altra banda, si d'un total de quatre-mil cinc-centes unitats en considerem $x$ d'aquestes, podem expressar-ho de la forma
$\dfrac{x}{4500}$
Ara, tenint en compte que ambdues maneres d'expressar això són equivalents ( proporció ) podem plantejar la següent igualtat ( equació ):
$\dfrac{x}{4500}=\dfrac{3}{20}$
Per trobar el valor de $x$ multipliquem per $4500$ a cada membre i, així, en simplificar, aconseguirem deixar sol el símbol $x$ ( la incògnita ) en el primer membre:
$\dfrac{x}{4500} \cdot 4500 =\dfrac{3}{20} \cdot 4500$
$x \cdot \dfrac{4500}{4500} =3 \cdot \dfrac{4500}{20}$
$x\cdot 1 =3 \cdot 225$
per tant
$x = 675$
$\square$
Calcular el valor de $x$ tal que ... ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Calculeu el valor de $x$ que satisfà la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques):
$\dfrac{5}{x}=\dfrac{3}{4}$
Solució:
Si es compleix la igualtat donada, també s'haurà de complir la igualtat entre els inversos de les raons aritmètiques:
$\dfrac{x}{5}=\dfrac{4}{3}$
Per trobar el valor de $x$ resoldrem aquesta equació de primer grau. Podem fer que el símbol $x$ ( incògnita de l'equació ) es quedi sol en el primer membre de la igualtat multiplicant ambdós membres per $5$,
$\dfrac{x}{5} \cdot 5=\dfrac{4}{3} \cdot 5$
$x \cdot \dfrac{5}{5}=\dfrac{4 \cdot 5}{3}$
$x \cdot 1=\dfrac{20}{3}$
$x=\dfrac{20}{3}=6,\bar{6}$
$\square$
martes, 7 de abril de 2015
Un grupo de amigos se reparten un cierto número de bolas ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Una colla d'amics es reparteixen un cert nombre de boles de colors. Sabem que si en toca vuit a cada un, en sobren tres; i si se'n quedés nou cada un, en faltaria sis. Quants amics són ? Quantes boles hi ha ?.
Solució:
Designem amb $b$ el nombre de boles i amb $a$ el nombre d'amics. Llavors, d'acord amb l'enunciat podem descriure les dues situaciones mitjançant les corresponents equacions
$b = 8\,a +3$
$b = 9\,a + (-6)$
Cal resoldre, doncs, el següent sistema d'equacions:
$\left\{\begin{matrix}b=8\,a+3 & \\ \\b=9\,a-6\end{matrix}\right.$
Igualant els segons membres podem escriure una equació amb una sola incògnita
$8\,a +3=9\,a-6$
que se satisfà per a $a =9$, i, per tant, $b=75$
$\square$
La maqueta de un edificio ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
La maqueta d'un edifici, que està feta a escala $1:20$, té una planta rectangular de $4\,\text{dm}$ de llarg per $3\,\text{dm}$ d'ample. Les quatre parets s'eleven verticalment a $2\,\text{dm}$ del pla de la base, i, aquest cos ( prisma de base rectangular ) està cobert per una teulada de doble vessant ( centrada ), el punt més alt de la qual es troba d $2,4 \, \text{dm}$ del pla de la base. Calculeu ( Nota: us recomano que feu un dibuix a escala i que hi poseu les dades anteriors per veure clar què heu de fer ):
a) El volum de la maqueta
b) El volum de l'edifici real
c) L'àrea de la teulada de la maqueta
d) L'àrea de la teulada de l'edifici real
Solució:
a)
El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és igual a la suma del volum del prisma de base rectangular (el cos principal de l'edifici) que anomenarem $\mathcal{V}_1$ i el del prisma de base triangular ( la teulada ) que anomenarem $\mathcal{V}_2$.
Calculeum $\mathcal{V}_1$ sense cap dificultat
$\mathcal{V}_1=2 \cdot 3 \cdot 4$
$= 24 \, \text{dm}^3$
Per calcular $\mathcal{V}_2$ cal calcular, primer de tot, l'àrea de la base ( que és un triangle isòsceles, amb una longitud de la base de $3 \, \text{dm}$ i altura respectiva igual a $2,4-2=0,4 \, \text{dm}$ ), i resultar ser igual a
$\dfrac{3 \cdot 0,4}{2}=0,6 \, \text{dm}^2$
Per tant, $\mathcal{V}_2$ pren el següent valor
$\mathcal{V}_2=0,6 \cdot 4 = 2,4 \, \text{dm}^3$
El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és, doncs, igual a
$\mathcal{V}=\mathcal{V}_1+\mathcal{V}_2$
$= 24+2,4 = 26,4 \, \text{dm}^3$
b)
Tenint en compte que ( de la maqueta a l'edifici real ) la raó de semblança $r$ és igual a $20$, podem calcular el volum de l'edifici real $\mathcal{V}'$ a partir del volum de la maqueta $\mathcal{V}$ i de la raó de semblança:
$\mathcal{V'}=\mathcal{V} \cdot r^3$
$=26,4 \cdot 20^3 \, \text{dm}^3$
$=211\,200 \, \text{dm}^3$
$=211,200 \, \text{m}^3$
c)
Per calcular l'àrea de la teulada $\mathcal{A}$ cal adonar-nos que és la de dos rectangles iguals ( doble vessant, centrat ) de costats: $l$ ( que representa la longitud de l'aresta oblíqua del prisma de base triangular i que ara calcularem ) i $4\, \text{dm}$ ( el llarg de l'edifici ), és a dir, $\mathcal{A}=2\cdot ( 4\,l ) \quad (1)$.
Procedim a calcular la longitud de $l$:
Mirant la secció frontal del prisma de base triangular ( de la teulada ) identifiquem un triangle isòsceles; la meitat del qual és un triangle rectangle que té $0,4 \, \text{dm}$ i $1,5 \, \text{dm}$, respectivament ( aquest segon és la meitat de la base i, doncs, de l'amplada de l'edifici ). En aquest triangle rectangle, $l$ és la longitud de la hipotenusa. Fent ús del teorema de Pitàgores, trobem que
$l^2=0,4^2+1,5^2 \Rightarrow l=\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right|$
Substituint aquest resulta de $l$ en (1),
$\mathcal{A}=8\,l$
$=8\,\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right| \, \text{dm}^2$
$\approx 12,42 \, \text{dm}^2$
d)
Per calcular l'àrea de la teulada de l'edifici real $\mathcal{A'}$ farem ús del resultat anterior ( el valor de $\mathcal{A}$ ) i de la raó de semblança ( $r=20$ ), tenint en compte que
$\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
$=12,42 \cdot 20^2 \, \text{dm}^2$
$=4\,968 \, \text{dm}^2$
$=49,68 \, \text{m}^2$
$\square$
Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla ...
Enunciado:
Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla de $10 \, \text{W}$ de potencia. Después de $10\,\text{h}$ la batería se agota. Si en lugar de una bombilla de $10\,\text{W}$ hubiese alimentado una bombilla de $8\,\text{W}$, ¿ cuánto habría durado la carga de la batería ?.
Enunciado:
Las magnitudes relacionadas en este problema son la potencia de la bombilla, $\mathcal{P}$, y la duración de la batería, $\mathcal{T}$. Por conocimientos elementales de física sabemos que dichas magnitudes son inversamente proporcionales; así, si $p_1$ i $p_2$ son dos valores de la potencia ( correspondientes a cada una de las dos bombillas ) y, $t_1$ y $t_2$ son os valores de las respectivas duraciones de la batería, podemos plantear la siguiente proporción:
$\dfrac{t_1}{\frac{1}{p_1}}=\dfrac{t_2}{\frac{1}{p_2}}$
que también puede expresarse de la forma
$t_{1}\cdot p_{1}=t_{1}\cdot p_{1}$
Y con los datos del enunciado:
$p_1=10 \, \text{W}$
$t_1=10 \, \text{h}$
$p_2=8 \, \text{W}$
$t_2=\text{?}$
llegamos a la siguiente ecuación
$10\cdot 10=t_{2}\cdot 8$
y resolviéndola llegamos a
$t_{2}=\dfrac{10\cdot 10}{8}$
$=12,5 \; \text{h}$
$=12\, \text{h} \quad 30 \, \text{min}$
$\square$
La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ ...
Enunciado:
La maqueta del casco de una embarcación está construida a escala $1:30$ y su volumen es de $12\,\text{dm}^3$, ¿ cuál es el volumen del casco $\mathcal{V}$ a escala natural $1:1$ ?
Solución:
La razón de semejanza ( factor de escala ) es
$r=\dfrac{1}{30}$
Y teniendo en cuenta que
$r^3=\dfrac{\mathcal{V^{'}}}{\mathcal{V}}$
encontamos
$\Big(\dfrac{1}{30}\Big)^3=\dfrac{12}{\mathcal{V}} \Rightarrow \mathcal{V}=30^3 \cdot 12 \, \text{dm}^3$
$=324\,000\,\text{dm}^3$
$=324 \,\text{m}^3$
$\square$
Realizar las siguientes operaciones ...
Enunciado:
Realizar las siguientes operaciones:
a)
$\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3$
b)
$\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}$
Solución:
a)
$\Big(\dfrac{9}{4}\Big)^3=\dfrac{9^3}{4^3}=\dfrac{729}{64}$
b)
$\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt[2]{9}}{\sqrt[2]{4}}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2} \\\\ \\ -\dfrac{3}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$
lunes, 6 de abril de 2015
Ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa a la transmisión de movimiento de rotación entre dos poleas. ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Dues politges estan unides per una corretja de transmissió. El diàmetre d'una de les politges és de $30 \, \text{cm}$ i un eix motriu la fa girar a velocitat constant, a raó de $20 \, \text{voltes}$ cada minut. L'altra politja, a la qual la primera li transmet el moviment, gira a raó de $24 \, \text{voltes}$ cada minut. Quin diàmetre té aquesta segona politja ?.
Nota: Cal que tingueu en compte que la velocitat de gir $w_1$ de la politja de diàmetre $d_1$, que està unida per una corretja de transmissió a una altra politja de diàmetre $d_0$ i que gira a una velocitat $w_0$, és tal que
$\dfrac{w_0}{\frac{1}{d_0}}=\dfrac{w_1}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir, la velocitat a la qual gira cada politja inversament proporcional al seu diàmetre
$w \propto \dfrac{1}{d}$
Solució:
Tenint en compte l'ajut de la nota adjunta de l'enunciat, i posant directament les dades numèriques, podem escriure
$\dfrac{20}{\frac{1}{30}}=\dfrac{24}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir
$20 \cdot 30=24\,d_1$
operant
$600=24\,d_1$
i aïllant la incògnita trobem el valor del diàmetre demanat
$d_1=\dfrac{600}{44}$
$=25 \, \text{cm}$
$\square$
Formas de legumbres. Precio de los alimentos.
Ejercicio de divisibilidad con números enteros. ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Trobeu dos nombres enters que compleixin les següents condicions: a) la seva suma és igual a $-11$, i, b) el quaocient i el residu que s'obtenen en fer la divisió entera són $-2$ i $1$, respectivament.
Solució:
Anomenem $a$ i $b$ els dos nombres enters que volem trobar. Llavors podem escriure les següents equacions a partir de la informació de l'enunciat:
$a+b=-11$
i
$b=-2\,b+1$ (teorema de la divisió)
és a dir
$\left\{\begin{matrix}a &+&b&=&-11 \\ a &+&2\,b&=&1\\ \end{matrix}\right.$
Restant la primera de la segona s'obté, fàcilment, $b=12$
i, d'aquí, $a=-23$
$\square$
Ejercicio de proporcionalidad inversa aplicado a un problema de cinemática. ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un ciclista que circula a una velocitat de vint quilòmetres per hora té una hora d'avantatge respecte d'un motorista que circula a seixanta quilòmetre per hora. Quant de temps tardarà el motorista a donar-li abast ?.
Solució:
Anomenem $t$ al temps que tarda el motorista a donar-li abast ( des del moment que el ciclista li porta una hora d'avantatge ); llavors, el temps que el ciclista està circulant ( fins el moment que li dóna abast el motorista ) és $t+1$ ( expressem el temps en hores ).
Tenint en compte que les magnituds temps i velocitat són inversament proporcionals, podem escriure:
$\dfrac{\;60\;}{\frac{1}{t}}=\dfrac{\;20\;}{\frac{1}{t+1}}$
i, d'aquí,
$60\,t=20\,(t+1)$
$60\,t-20\,t=20$
$40\,t=20$
$t=0,5 \; \text{h}$
$=30 \; \text{min}$
Nota: Una altra manera de plantejar-ho consisteix a raonar de la següent manera: durant l'hora que el motorista està parat, el ciclista recorre $20\,\text{km}$. Quan el motorista es posa en marxa, el problema equival a calcular el temps necessari per tal que aquest recorri els $20\,\text{km}$ recorreguts pel ciclista, a una velocitat relativa de
$(60-20)\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
considerant el ciclista parat ( a $20 \, \text{km}$ del punt d'on surt el motorista ).
Llavors, el temps que li cal per recorre aquesta distància és igual a
$\dfrac{20}{40}\, \text{h}=30 \, \text{min}$.
$\square$
Ejercicio de cálculo con operaciones combinadas. ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Efectueu la següent operació combinada:
$\Bigg(\left|\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\right|\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$
Solució:
L'arrel quadrada de nou quarts és igual a
$\pm \dfrac{3}{2}$
i el valor absolut, tant del valor positiu com del negatiu, és
$\dfrac{3}{2}$
Per altra banda,
$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{2 \cdot (10 \div 5)}{10}+\dfrac{3}{10}$
$=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}$
$=\dfrac{4+3}{10}$
$=\dfrac{7}{10}$
calculant el quadrat d'aquest nombre,
$\Big(\dfrac{7}{10}\Big)^2=\dfrac{7^2}{10^2}=\dfrac{49}{100}$
Llavors,
$\Bigg(\left|\sqrt[2]{\dfrac{9}{4}}\right|\Bigg)\div \Big(\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}\Big)^2$
és igual a
$\dfrac{3}{2}\div \dfrac{49}{100}$
$=\dfrac{3}{2}\cdot \text{invers}\Big( \dfrac{49}{100}\Big)$
$=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{100}{49}$
$=\dfrac{3 \cdot 100}{2 \cdot 49}$
$=\dfrac{3 \cdot 100}{49 \cdot 2}$
$=\dfrac{3}{49}\cdot \dfrac{100}{2}$
$=\dfrac{3}{49}\cdot 50$
$=\dfrac{3 \cdot 50}{49}$
$=\dfrac{150}{49}$
$\square$
Ejercicio de proporcionalidad directa. ( Artículo escrito en catalán ).
Enunciat:
Una persona que camina a ritme constant ( a velocitat constant ) recorre tres quilòmetres en cinquanta minuts. Quant tardaria a recórrer vuit quilòmetres ?.
Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la longitud recorreguda i la magnitud temps emprat. Aquestes magnituds són proporcionals, perquè la persona que camina no es posa, ara a córrer, ara a anar més a poc a poc: sempre va a la mateixa velocitat. Aquí, la proporcionalitat és directa, atès que com més estona camina, més longitud recorre. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
$\dfrac{50}{3}=\dfrac{t}{8}$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, multiplicarem ambdós membres de la igualtat per $8$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
$\dfrac{50}{3} \cdot 8 =\dfrac{t}{8} \cdot 8$
$\dfrac{50 \cdot 8}{3} =\dfrac{8}{8} \cdot t$
$\dfrac{400}{3} =1 \cdot t$
$\dfrac{400}{3} =t$
és a dir
$t=133,\bar{3} \, \text{min} \approx 2\,\text{h} \; 13\; \text{min}$
$\square$